Cálculo das Probabilidades I
Departamento de Estatística
Universidade Federal da Paraíba
Prof. Tarciana Liberal (UFPB)
Aula Distribuição Normal
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Distribuição Normal
LEMBRANDO: Variável Aleatória Contínua
• Assume valores num intervalo de números reais.
• Não é possível listar, individualmente, todos os possíveis valores de
uma v.a. contínua.
• Associamos probabilidades a intervalos de valores da variável.
x
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Distribuição Normal
Exemplo : Observamos o peso, em kg, de 1500 pessoas adultas
selecionadas ao acaso em uma população.
Densid ade
0 .04
0 .03
0 .02
0 .01
0 .00
30
40
50
60
70
80
90
1 00
Peso
- a distribuição dos valores é aproximadamente simétrica em
torno de 70kg;
- a maioria dos valores encontra-se no intervalo (55;85);
- existe uma pequena proporção de valores abaixo de 48kg (1,2%) e
acima de 92kg (1%).
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Distribuição Normal
Vamos definir a variável aleatória:
X: peso, em kg, de uma pessoa adulta escolhida ao acaso.
Como se distribuem os valores da variável aleatória X, isto é, qual a
distribuição de probabilidades de X ?
Densidade
0 .0 3 0
0 .0 1 5
0 .0 0 0
30
40
50
60
70
80
90
10 0
P es o
A curva contínua da figura denomina-se curva Normal.
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Distribuição Normal
A distribuição Normal é uma das mais importantes distribuições
contínuas de probabilidade pois:
•
Muitos fenômenos aleatórios comportam-se de forma próxima a essa
distribuição.
•
Serve como excelente aproximação para uma grande classe de distribuições
que têm enorme importância prática.
•
Apresenta algumas propriedades matemáticas muito desejáveis, que
permitem concluir importantes resultados teóricos.
A distribuição Normal foi estudada pela primeira vez no século
XVII, quando se observou que os padrões em erros de medida
seguiam uma distribuição simétrica em forma de sino.
Foi apresentada pela primeira vez em forma matemática por
DeMoivre em 1733.
A distribuição era, também, conhecida por Laplace antes de 1775.
Gauss, publicou a primeira referência relativa a essa distribuição
em 1809.
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Distribuição Normal
Distribuição Normal ou Gaussiana
Personagens ilustres
De Moivre
Laplace
Gauss
1
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Distribuição Normal
Nem todos os fenômenos se ajustam à distribuição Normal.
Exemplo:
Y: Duração, em horas, de uma lâmpada de certa marca.
A experiência sugere que esta distribuição deve ser assimétrica - grande
proporção de valores entre 0 e 500 horas e pequena proporção de
valores acima de 1500 horas.
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Distribuição Normal
Distribuição Normal ou Gaussiana
Definição: A variável aleatória X tem uma distribuição normal com
média µ e variância σ2, se sua função densidade de probabilidade é
dada por:
1  x−µ 
σ 
2
− 
1
f ( x) =
e 2
σ 2π
para todo – ∞ < x < ∞.
Os parâmetros µ e σ devem satisfazer às condições:
-∞ < µ < ∞ e σ > 0.
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ESPERANÇA, VARIÂNCIA E F.G.M.
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ESPERANÇA, VARIÂNCIA E F.G.M.
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Distribuição Normal
Propriedades da distribuição normal
(a) E(X)= µ e Var(X)= σ 2
(b) A distribuição é simétrica em torno de sua média.
(c) A área total sob curva é igual a um.
(d) f (x) → 0 quando x → ±∞
(e) x = µ é ponto de máximo de f (x)
(f ) µ - σ e µ + σ são pontos de inflexão de f (x)
(g) A moda, a mediana e a média são iguais.
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Distribuição Normal
Propriedades da distribuição normal
(h) 68,2% dos valores estão localizados entre µ - σ e µ + σ, 95,4% entre
µ - 2σ e µ + 2σ e 99,8% entre µ - 3σ e µ + 3σ.
(i)
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Influência de µ na curva Normal
N( µ ; σ 2)
N( µ ; σ 2)
1
2
µ
1
µ
2
x
Curvas Normais com mesma variância σ2
mas médias diferentes (µ2 > µ1).
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Distribuição Normal
Influência de σ2 na curva Normal
N(µ;σ12)
σ22 > σ12
N(µ;σ22)
µ
Curvas Normais com mesma média µ,
mas com variâncias diferentes (σ
σ22 > σ12 ).
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Distribuição Normal
Cálculo de probabilidades
P(a < X < b)
Área sob a
curva acima
do eixo
horizontal (x)
entre a e b.
a
µ
b
PROBLEMAS:
(I) Integrar a função de densidade (utilização de métodos
numéricos).
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Distribuição Normal
(II) Qual Tabela usar?
Deveríamos ter disponíveis uma infinidade de
Tabelas, uma para cada par σ e µ!
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Distribuição Normal
Cálculo de probabilidades
SOLUÇÃO:
Transformar qualquer distribuição Normal (µ,σ2 ) em
uma distribuição normal com parâmetros fixos
(Normal Padrão), através de uma mudança de
variável e tabelar as probabilidades.
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Distribuição Normal
Se X ~ N(µ
µ ; σ 2),
definimos
E(Z) = 0
Var(Z) = 1
f(x)
X ~ N(µ
µ ; σ2)
f(z)
Z ~ N(0 ; 1)
a
a–µ
σ
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0 b–µ
σ
µ
b
x
z
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Z é uma variável aleatória contínua que terá distribuição normal
padrão com µ = 0 e σ2 = 1, ou seja Z ~ N(0,1), com função
densidade de probabilidade definida por:
2
1 − z2
ϕ ( z) =
e
2π
IMPORTANTE:
Se X tiver a distribuição N(µ, σ2), e se Y = aX + b,
então Y terá distribuição N(aµ + b, a2σ2).
Se X tiver distribuição N(µ, σ2), e se Z = (X - µ)/σ, então
Z terá distribuição N(0,1).
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Distribuição Normal
Distribuição Normal
2
Curva normal padrão. Z = N(0, 1)
ϕ ( z) =
1 − z2
e
2π
1
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Distribuição Normal
Tabulação da Distribuição Normal reduzida
Suponha que Z tenha distribuição N(0, 1). Nesse caso:
1
2π
P (a ≤ Z ≤ b) =
b
∫e
−
z2
2
dz
a
A função de distribuição da distribuição normal reduzida é
1
Φ(s) =
2π
Desta forma, P(a ≤ Z ≤ b)
pode ser calculada:
z
∫e
−
s2
2
ds
−∞
P ( a ≤ Z ≤ b ) = Φ (b ) − Φ ( a )
Os valores de Φ(z), para -3 ≤ z ≤ 3 estão tabelados.
1
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Distribuição Normal
Distribuição Normal
Tabulação da Distribuição Normal reduzida
Característica da distribuição N(0, 1)
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Distribuição Normal
Distribuição Normal
Então para determinar a probabilidade P(a ≤ X ≤ b), basta
proceder da seguinte maneira.
Se X =N(µ, σ2) então Z = (X - µ)/σ terá distribuição N(0, 1).
Portanto:
P(a ≤ X ≤ b) = P(
a−µ
= P(
σ
a−µ
σ
≤
X −µ
σ
≤Z ≤
≤
b−µ
b−µ
σ
σ
)
)
1
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Distribuição Normal
USO DA TABELA NORMAL PADRÃO
P(Z ≤ z)
Obs.: P(Z > z) = P(Z < -z)
P(Z > z) = 1 - P(Z < z).
P(Z < -z) = 1-P(Z < z).
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Distribuição Normal
Distribuição normal: valores de P(Z≤z)=Φ(z), z≥0
z
0,0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
1,1
1,2
1,3
1,4
1,5
1,6
1,7
1,8
1,9
2,0
2,1
2,2
2,3
2,4
2,5
2,6
2,7
2,8
2,9
3,0
3,1
3,2
3,3
3,4
3,5
3,6
3,7
3,8
3,9
0,00
0,500000
0,539828
0,579260
0,617911
0,655422
0,691462
0,725747
0,758036
0,788145
0,815940
0,841345
0,864334
0,884930
0,903199
0,919243
0,933193
0,945201
0,955435
0,964070
0,971284
0,977250
0,982136
0,986097
0,989276
0,991802
0,993790
0,995339
0,996533
0,997445
0,998134
0,998650
0,999032
0,999313
0,999517
0,999663
0,999767
0,999841
0,999892
0,999928
0,999952
Prof. Tarciana Liberal (UFPB)
0,01
0,503989
0,543795
0,583166
0,621719
0,659097
0,694974
0,729069
0,761148
0,791030
0,818589
0,843752
0,866500
0,886860
0,904902
0,920730
0,934478
0,946301
0,956367
0,964852
0,971933
0,977784
0,982571
0,986447
0,989556
0,992024
0,993963
0,995473
0,996636
0,997523
0,998193
0,998694
0,999064
0,999336
0,999533
0,999675
0,999776
0,999847
0,999896
0,999930
0,999954
0,02
0,507978
0,547758
0,587064
0,625516
0,662757
0,698468
0,732371
0,764238
0,793892
0,821214
0,846136
0,868643
0,888767
0,906582
0,922196
0,935744
0,947384
0,957284
0,965621
0,972571
0,978308
0,982997
0,986791
0,989830
0,992240
0,994132
0,995603
0,996736
0,997599
0,998250
0,998736
0,999096
0,999359
0,999550
0,999687
0,999784
0,999853
0,999900
0,999933
0,999956
0,03
0,511966
0,551717
0,590954
0,629300
0,666402
0,701944
0,735653
0,767305
0,796731
0,823814
0,848495
0,870762
0,890651
0,908241
0,923641
0,936992
0,948449
0,958185
0,966375
0,973197
0,978822
0,983414
0,987126
0,990097
0,992451
0,994297
0,995731
0,996833
0,997673
0,998305
0,998777
0,999126
0,999381
0,999566
0,999698
0,999792
0,999858
0,999904
0,999936
0,999958
0,04
0,515953
0,555670
0,594835
0,633072
0,670031
0,705401
0,738914
0,770350
0,799546
0,826391
0,850830
0,872857
0,892512
0,909877
0,925066
0,938220
0,949497
0,959071
0,967116
0,973810
0,979325
0,983823
0,987455
0,990358
0,992656
0,994457
0,995855
0,996928
0,997744
0,998359
0,998817
0,999155
0,999402
0,999581
0,999709
0,999800
0,999864
0,999908
0,999938
0,999959
Aula Distribuição Normal
0,05
0,519939
0,559618
0,598706
0,636831
0,673645
0,708840
0,742154
0,773373
0,802337
0,828944
0,853141
0,874928
0,894350
0,911492
0,926471
0,939429
0,950529
0,959941
0,967843
0,974412
0,979818
0,984222
0,987776
0,990613
0,992857
0,994614
0,995975
0,997020
0,997814
0,998411
0,998856
0,999184
0,999423
0,999596
0,999720
0,999807
0,999869
0,999912
0,999941
0,999961
0,06
0,523922
0,563559
0,602568
0,640576
0,677242
0,712260
0,745373
0,776373
0,805106
0,831472
0,855428
0,876976
0,896165
0,913085
0,927855
0,940620
0,951543
0,960796
0,968557
0,975002
0,980301
0,984614
0,988089
0,990863
0,993053
0,994766
0,996093
0,997110
0,997882
0,998462
0,998893
0,999211
0,999443
0,999610
0,999730
0,999815
0,999874
0,999915
0,999943
0,999963
0,07
0,527903
0,567495
0,606420
0,644309
0,680822
0,715661
0,748571
0,779350
0,807850
0,833977
0,857690
0,878999
0,897958
0,914656
0,929219
0,941792
0,952540
0,961636
0,969258
0,975581
0,980774
0,984997
0,988396
0,991106
0,993244
0,994915
0,996207
0,997197
0,997948
0,998511
0,998930
0,999238
0,999462
0,999624
0,999740
0,999821
0,999879
0,999918
0,999946
0,999964
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Exemplo 1: Seja Z ~ N (0; 1), calcular
a) P(Z ≤ 0,32)
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Distribuição Normal
Encontrando o valor na Tabela N(0;1):
z
0
1
2
0,0
0,5000
0,5039
0,5079
0,1
0,5398
0,5437
0,5477
0,2
0,5792
0,5831
0,5870
0,3
0,6179
0,6217
0,6255
M
M
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M
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M
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Distribuição Normal
Exemplo 1: Seja Z ~ N (0; 1), calcular
a) P(Z ≤ 0,32)
P(Z ≤ 0,32) = Φ(0,32)=0,6255.
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b) P(Z ≥ 1,5)
P(Z ≥ 1,5) = 1 – P(Z < 1,5) = 1 – Φ(1,5) = 1 – 0.9332 =
0,0668.
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Distribuição Normal
c) P(0 < Z ≤ 1,71)
P(0 < Z ≤ 1,71) = P(Z ≤ 1,71) – P(Z < 0) = Φ(1,71) – Φ(0) = 0,9564 –
0,5 = 0,4564
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Distribuição Normal
d) P(-1,5 ≤ Z ≤ 1,5)
P(–1,5 ≤ Z ≤ 1,5) = P(Z ≤ 1,5) – P(Z ≤ –1,5) = Φ(1,5) – Φ(1,5) =
0,9332 – 0,0668 = 0,8664
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Distribuição Normal
Exemplo 2: Seja X ~ N(10 ; 64)
Calcular: (a) P(6 ≤ X ≤ 12)
(b) P( X ≤ 8 ou X > 14)
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Distribuição Normal
A tabela da normal pode ser utilizada no sentindo inverso, isto é,
dado uma certa probabilidade, desejamos obter o valor que a
originou.
Como encontrar o valor z da distribuição N(0;1) tal que:
(i) P(Z ≤ z) = 0,975
z
Z
z é tal que A(z) = 0,975.
Pela tabela, z = 1,96.
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Distribuição Normal
(ii) Qual o valor de z tal que P(0 ≤ Z≤
≤ z)= 0,4975 ?
P(0 < Z ≤ z) = 0,4975
z
Z
P(Z ≤ z) – P(Z < 0) = 0,4975
Φ(z) – Φ(0) = 0,4975
Φ(z) – 0,5 = 0,4975
Φ(z) = 0,9975
z é tal que A(z) = 0,5 + 0,4975 = 0,9975.
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Pela tabela z = 2,81.
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Distribuição Normal
(iii) P(Z ≥ z) = 0,3
z
Z
z é tal que A(z) = 0,7.
Pela tabela, z = 0,53.
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Distribuição Normal
(v) P(– z ≤ Z ≤ z) = 0,80
–z
z
Z
z é tal que P(Z ≤ –z) = P(Z ≥ z) = 0,1.
Isto é, P(Z ≤ z) = 0,90 e assim, pela tabela, z = 1,28.
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Distribuição Normal
No exemplo 2, obtenha k tal que P( X ≤ k) = 0,025
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Distribuição Normal
Exemplo 3: O tempo gasto no exame vestibular de uma
universidade tem distribuição Normal, com média 120 min e
desvio padrão 15 min.
a) Sorteando um aluno ao acaso, qual é a probabilidade que ele termine o
exame antes de 100 minutos?
X: tempo gasto no exame vestibular ⇒ X ~ N(120; 152)
Z
 X − µ 100 − 120 
= P ( X < 100) = P
<
 = P ( Z < −1,33) = 0,0918
15
 σ

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Distribuição Normal
b) Qual deve ser o tempo de prova de modo a permitir que 95% dos vestibulandos
terminem no prazo estipulado?
X: tempo gasto no exame vestibular ⇒ X ~ N(120; 152)
x − 120 

P ( X < x ) = 0,95 ⇒ P  Z ≤
 = 0,95 .
15 

z = ? tal que A(z) = 0,95.
Pela tabela z = 1,64.
Z
Então ,
⇒x = 120 +1,64 ×15
x − 120
= 1,64
⇒ x = 144,6 min.
15
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Distribuição Normal
c) Qual é o intervalo central de tempo, tal que 80% dos estudantes gastam para
completar o exame?
X: tempo gasto no exame vestibular ⇒ X ~ N(120, 152)
x − 120 
 x − 120
P( x 1 ≤ X ≤ x 2 ) = 0,80 ⇒ P  1
≤Z ≤ 2
 = 0,80 .
15 
 15
z = ? tal que A(z) = 0,90
Pela tabela, z = 1,28.
Z
x 1 − 120
= − 1, 28 ⇒ x1= 120 - 1, 28 × 15 ⇒ x1 = 100,8 min.
15
x 2 − 120
= 1,28 ⇒ x2 = 120 +1,28 × 15 ⇒ x2 = 139,2 min.
15
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Exemplo 5: O tempo gasto com todas as etapas da produção de um novo produto
tem distribuição Normal, com média 6 minutos e desvio padrão 1,5 minutos.
a) Uma empresa estuda a possibilidade de gratificar seus funcionários quando o
tempo total gasto com a produção do produto não ultrapassar 5 minutos.
Qual a probabilidade de um funcionário receber essa gratificação ao executar
essa tarefa?
b) Ao mesmo tempo a empresa pretende penalizar os funcionários com tempo
total gasto com a produção superior a 7 minutos. Qual a probabilidade de um
funcionário ser penalizado ao executar essa tarefa?
c) Um dos funcionários da empresa sugeriu ao diretor da empresa que
estabelece-se um intervalo de tempo satisfatório para executar tal tarefa
entre 4 e 8 minutos. Qual a probabilidade de um funcionário executar essa
tarefa no intervalo de tempo sugerido?
d) Qual é o tempo que o diretor da empresa deveria estipular tal que 20% dos
funcionários recebessem a gratificação?
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Distribuição Normal
Exemplo 6: Doentes, sofrendo de certa moléstia, são submetidos a
um tratamento intensivo cujo tempo de cura foi modelado por uma
distribuição normal, com média 15 e desvio padrão 3 (em dias).
a) Que proporção desses pacientes demora mais de 17 dias para se
recuperar?
b) Qual a probabilidade de um paciente, escolhido ao acaso,
apresentar tempo de cura inferior a 20 dias?
c) Qual o tempo máximo necessário para a recuperação de 25% dos
pacientes?
d) Considere um grupo de 100 pacientes escolhidos ao acaso, qual
seria o número esperado de doentes curados em menos de 11
dias?
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