Probabilidade II
Departamento de Estatística
Universidade Federal da Paraíba
Prof. Tarciana Liberal (UFPB)
Aula Valor esperado como solução do problema do menor erro quadrático médio e Quantis
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Valor esperado como solução do problema do menor erro
quadrático médio
Proposição 20.1:Seja X integrável, µ = E (X ). Então µ minimiza E (X − c )2 ,
c ∈ R, isto é,
Var (X ) = E (X − µ)2 = min E (X − c )2 .
DEMONSTRAÇÃO:
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Valor esperado como solução do problema do menor erro
quadrático médio
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Mediana
A Mediana é o valor xmed para o qual P (X ≤ xmed ) = P (X ≥ xmed ) = 21 .
No caso de uma distribuição contínua, a mediana corresponde a uma ordenada
que separa a curva de densidade em duas partes, cada uma delas com área
igual a 1/2.
No caso de uma distribuição discreta, a mediana pode não ser única.
Por outro lado, a moda é o valor que ocorre com maior frequência, ou seja, o valor
que tem maior probabilidade de ocorrência. Para tal valor xmo , f (xmo ) é máxima.
Caso hajam duas, três ou mais modas, a distribuição será bimodal, trimodal ou
multimodal, respectivamente.
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Mediana
Exercício 1: Uma variável aleatória discreta tem função de probabilidade
p(x ) = 1/2x , com x = 1, 2, . . .. Determine (a) a moda, (b) a mediana e (c )
compare-as com a média.
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Mediana
Exercício 2: Uma variável aleatória contínua tem função densidade
f (x ) = 4x (9 − x 2 )/81 para 0 ≤ x ≤ 3 e 0 caso contrário. Determine (a) a moda,
(b) a mediana e (c ) compare-as com a média.
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Mediana
Exercício 3: Seja F a função de distribuição acumulada de um modelo
exponencial com parâmetro λ. Obtenha m tal que F (m) = 1/2.
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Mediana
Exercício 4: Uma variável aleatória contínua tem função densidade f (x ) = e−x
para x ≥ 0 e 0 caso contrário. Determine (a) a moda, (b) a mediana e (c )
compare-as com a média.
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Mediana
Exercício 5: Uma variável aleatória discreta assume os valores X = 2 com
probabilidade 1/3 e X = −1 com probabilidade 2/3. Determine (a) a moda, (b) a
mediana e (c ) compare-as com a média.
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Percentis
Pode ser de interesse dividir a área sob a curva de densidade por meio de
ordenadas de tal modo que a área à esquerda de cada ordenada represente
determinada porcentagem da área total unitária.
Os valores correspondentes a essas áreas chamam-se percentis.
Por exemplo, a área à esquerda de x0.10 seria 10% e se designaria como décimo
percentil, ou também primeiro decil.
A mediana é o quinquagésimo percentil (ou quinto decil).
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Percentis
Exercício 6: Determine o (a) o 10o , (b) o 25o e (c ) o 75o percentil da distribuição
do Problema 2.
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Percentis
Exercício 7: Uma variável aleatória X tem densidade exponencial com parâmetro
1. Prove que o percentil de ordem p tem o valor −ln(1 − p), com 0 ≤ p < 1.
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Percentis
Exercício 8: Suponha que X tem densidade normal N (µ, σ2 ). Obtenha o quartil
superior de X .
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Percentis
Exercício 9: Suponha que um número bastante grande de partículas radioativas
idênticas tenha tempo de desintegração que se distribua exponencialmente com
um certo parâmetro λ. Se a metade das partículas se desintegram no primeiro
segundo, quanto tempo levará para 75% das partículas se desintegrarem?
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Percentis
Exercício 10: Seja X o tempo até a desintegração de alguma partícula radioativa
com densidade exponencial de parâmetro λ. Suponha que P (X ≥ 0.01) = 1/2.
Obtenha um número t tal que P (X ≥ t ) = 0.9.
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