Oficina de Matemática/EF
Material do MONITOR
Oficina – Geoplano
1. Introdução
O objetivo desta oficina é trabalhar com os alunos alguns conceitos ligados a medidas de
comprimento e área de figuras planas, bem como investigar o Teorema de Pitágoras.
As atividades apresentadas têm o objetivo de desenvolver as seguintes habilidades:
 H21 – Aplicar o conceito de área de figuras geométricas para solucionar problemas.
 H23 – Aplicar o conceito de perímetro de uma figura geométrica plana para solucionar
problemas.
 H31 – Utilizar o teorema de Pitágoras para resolver situações apresentadas em diferentes
contextos.
 H34 – Relacionar a unidade de medida com a grandeza envolvida.
Para isso, serão desenvolvidas atividades com o geoplano – um material didático bastante simples,
mas muito rico, que permite ao aluno, por meio de manipulações, explorar diversos conceitos
geométricos. Ele consiste em uma superfície retangular com pontos (normalmente marcados com
pregos) que formam uma malha quadriculada, como mostra a figura abaixo. Usando barbantes, os
alunos constroem as figuras geométricas e investigam suas propriedades.
Caso a escola não disponha do geoplano, é possível fazer um com uma tábua e pregos, isopor e
tachinhas/alfinetes ou, em último caso, com lápis e papel.
Vale mencionar que as possibilidades de uso do geoplano são muitas, assim como os conceitos
matemáticos que podem ser estudados através delas.
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2. Medidas de comprimento e área
Discussão inicial
Primeiramente, falar aos alunos que o trabalho na oficina envolverá figuras geométricas planas,
então é interessante começar discutindo o que é um plano. Provavelmente os alunos conseguem
identificar um plano, mas terão dificuldades para dizer o que ele é. E essa dificuldade não é só deles.
Na verdade, nem os matemáticos conseguem definir o que é um plano. É o que na Matemática se
chama de “conceito primitivo” – conceitos relativamente óbvios para quase todas as pessoas mas
que não podem ser definidos. Dizer que plano é um tipo de superfície “lisa”, “reta”, sem “dobras”,
sem ondulações. Dar o exemplo de uma toalha – uma toalha esticada forma uma superfície plana. Já
uma toalha embolada forma uma superfície não-plana. Boa parte dos nossos estudos de geometria
aborda as figuras planas.
Após essa discussão, apresentar o geoplano aos alunos, mostrando algumas figuras que podemos
formar nele.
Em seguida, mostrar que há dois “tipos de tamanho” que podemos determinar em uma figura plana:
um é o tamanho de linhas e outro é o tamanho de superfícies. Perguntar se eles sabem os nomes
destes tamanhos. Conduzir a discussão para os conceitos de comprimento como a medida do
tamanho de uma linha e da área como a medida do tamanho de uma superfície.
Significado de uma medida
Questionar os alunos sobre o significado de medir alguma coisa. Conduzir a discussão para o
conceito de medida como a comparação com um padrão, denominado unidade: medir uma
grandeza de um objeto significa determinar quantas vezes essa grandeza no objeto é maior ou
menor do que a mesma grandeza no objeto-padrão. Quando se fala em grandeza, isso significa
qualquer coisa que possa ser quantificada: peso, temperatura, comprimento, área, volume etc.
Dar o exemplo de uma medida simples da grandeza “comprimento” feita com a régua. Quando
posicionamos a régua sobre o livro do Telecurso e verificamos que a medida de sua largura vale
20,5 cm, isso significa que a largura do livro tem um comprimento 20,5 vezes maior do que o
comprimento-padrão de 1 cm. As divisões da régua existem para facilitar a determinação desse
número.
Voltar ao geoplano. Propor aos alunos a criação de duas unidades convenientes para medir
comprimentos e áreas de figuras no geoplano:
- Unidade de medida de comprimento: segmento de reta entre dois pregos adjacentes (atenção,
adjacentes na horizontal ou vertical, não na diagonal).
Unidade de comprimento
Unidade de comprimento
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- Unidade de medida de área: superfície quadrada delimitada por quatro pregos, como mostra a
figura.
Unidade de área
Nas atividades a seguir, trabalharemos com o uso dessas unidades para medir comprimentos
(perímetros) e áreas de algumas figuras.
Atividades
Atividade 1: Pedir que os alunos montem com barbantes as figuras abaixo e determinem suas áreas
e perímetros, em termos das unidades definidas acima.
a)
Resposta:
Área = 6 unidades
Perímetro = 10 unidades
Comentário: Este exemplo é bastante simples. Se contornarmos o retângulo, verificaremos que ele é
formado por 10 segmentos como aquele que foi definido como unidade de comprimento. Também
podemos verificar que nesse retângulo cabem 6 quadrados como aquele definido como unidade de
área.
b)
Resposta:
Área = 6 unidades
Perímetro = 12 unidades
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Comentário: Este exemplo traz duas dificuldades em relação ao anterior. Para a medida da área
desse triângulo, não há mais um número inteiro de quadrados para contar. Entretanto, se
observarmos que esse triângulo resulta da divisão ao meio de um retângulo “3 por 4” (como mostra
a figura abaixo), concluiremos que sua área vale metade da área do retângulo, o seja, metade de 12.
Para a medida do perímetro, surge a segunda dificuldade. Dois dos lados (o vertical - 3 unidades - e o
horizontal - 4 unidades) são facilmente mensuráveis – basta contar os segmentos. Entretanto, o lado
diagonal não é. Neste caso particular, porém, se o aluno pegar o barbante que formou o triângulo e
esticá-lo ao longo de linhas horizontais ou verticais do geoplano, verificará que o lado diagonal mede
exatamente 5 unidades e que o barbante inteiro mede exatamente 12 unidades de comprimento (3 +
4 + 5). Posteriormente, veremos que esse resultado poderia ter sido calculado pelo teorema de
Pitágoras, sem necessidade de medir o barbante.
É muito importante deixar que os alunos tentem resolver sozinhos (ou nos grupos) o problema de
determinar a área e o perímetro, isto é, não dar a resposta “logo de cara”!
c)
Resposta:
Área = 4 unidades
Perímetro  8,5 unidades
Comentário: Neste exemplo, para calcular a área, deve-se novamente usar o recurso de identificar
algumas partes da figura (neste caso um paralelogramo) como “metades de um retângulo”. Na figura
abaixo, fica claro que a área do paralelogramo vale 4 unidades (1 + 2 + 1).
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A área deste triângulo vale
metade da área de um
retângulo de área 2, ou
seja, vale 1 unidade.
A área deste triângulo vale
metade da área de um
retângulo de área 2, ou
seja, vale 1 unidade.
A área deste retângulo
vale 2 unidades.
Já a medida do perímetro deve ser feita novamente esticando o barbante ao longo de uma linha ou
coluna de pontos do geoplano. Fazendo isso, verifica-se que o barbante fica praticamente na metade
entre 8 e 9 unidades de comprimento, ou seja, o perímetro vale aproximadamente 8,5 unidades.
d)
Resposta:
Área = 10 unidades
Perímetro  20,1 unidades
Comentário: Os procedimentos de determinação da área e do perímetro são exatamente os mesmos
do exemplo anterior.
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Atividade 2: Pedir aos alunos que formem dois retângulos, com as seguintes condições:
- ambos devem ter perímetro de 10 unidades de comprimento
- ambos devem ter formatos diferentes, isto é, devem ser retângulos com diferentes proporções
entre base e altura.
O fato de duas figuras terem o mesmo perímetro significa que elas têm a mesma área?
Resposta: os dois únicos retângulos possíveis são os apresentados a seguir (evidentemente eles
podem ser girados para “ficar na vertical”, mas neste caso seriam retângulos semelhantes).
Em relação à pergunta, o fato dos perímetros serem iguais NÃO significa que as áreas são iguais. No
exemplo, o retângulo de cima tem área = 4 e o de baixo tem área = 6, ambos com perímetro = 10.
3. Teorema de Pitágoras
Para finalizar a oficina, os alunos farão uma breve atividade de investigação do Teorema de
Pitágoras.
Discutir com os alunos que o teorema de Pitágoras é apresentado normalmente com o enunciado
“Em um triângulo retângulo, a soma dos quadrados dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa”,
acompanhado de uma figura e da sentença algébrica que o traduz.
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b
c
a
a2 = b2 + c2
Mostrar aos alunos que uma interpretação geométrica desse teorema identifica os termos a2, b2 e c2
como as áreas de quadrados cujos lados são os lados do triângulo retângulo. Veja no desenho:
Área = b2
Área = c2
b
c
a
Área = a2
Nessa interpretação, o teorema de Pitágoras diz que a área do quadrado maior é igual à soma das
áreas dos quadrados menores (a2 = b2 + c2).
A atividade com o geoplano tem o objetivo de fazer os alunos explorarem essa igualdade de áreas.
- Pedir para os alunos montarem com o barbante um triângulo retângulo com lados 2 e 3;
- Em seguida, pedir para eles montarem os 3 quadrados “adjacentes” aos lados;
- Por último, pedir que eles determinem as áreas de cada um dos quadrados, pelo mesmo
procedimento descrito na atividade 1, e verifiquem que a soma das áreas dos dois menores é igual à
do maior.
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Resposta:
Área = 13
Área = 4
Área = 9
Assim, podemos verificar, nesse caso, o teorema de Pitágoras: a soma das áreas dos quadrados
adjacentes aos catetos (4 + 9) é igual à área do quadrado adjacente à hipotenusa (13).
Veja na figura abaixo como podemos concluir que a área do quadrado maior vale 13 unidades:
Área = 3
Área = 3
Área=1
Área = 3
Área = 3
Área do quadrado maior = 3 + 3 + 3 + 3 + 1 = 13
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Os alunos podem fazer essa verificação com outros triângulos. Veja o exemplo abaixo com um
triângulo de base 2 e altura 5.
Área=5
Área=5
Área=9
Área=5
Área = 25
Área=5
Área=4
25 + 4 = 5 + 5 + 5 + 5 + 9
A última atividade consiste em uma verificação do teorema de Pitágoras na forma algébrica. Pedir
para os alunos que calculem o valor de x no triângulo retângulo abaixo:
8
6
x
Solução:
x2 = 8 2 + 6 2
x2 = 64 + 36
x2 = 100
x = √100
x = 10
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Após o cálculo, pedir que os alunos montem no geoplano o triângulo retângulo com catetos 6 e 8,
marquem a medida da hipotenusa e verifiquem que esse comprimento vale exatamente 10
unidades. Observe na figura abaixo.
Os alunos devem formar esse triângulo
com o barbante. Em seguida, devem
marcar no barbante a medida da
hipotenusa. Por último, devem pegar o
pedaço de barbante correspondente à
hipotenusa e alinhá-lo na horizontal ou
vertical, verificando que ele mede 10
unidades
de
comprimento
(10
espaçamentos entre pregos).
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