Universidade da Beira Interior
Departamento de Matemática
Álgebra Linear - 06/02/2009 - Duração 150 min
Nome :
Número:
Curso:
Observações e recomendações:
• Apresente TODOS os cálculos e justificações na folha de teste;
• resolva as questões em folhas de teste e escreva as respostas finais na folha do enunciado;
• entregue as folhas de teste com os cálculos efectuados e a folha de enunciado com as respostas assinaladas;
• identifique todas as folhas.
Considere as matrizes

1 2
A= 2 1
2 2
1. a) Se α =
9
8
eβ=
1
2
e β 6=
1
2
e β 6=
1
2







−2α
x
1
1
−2α  , X =  y  , B =  β  e D =  1 
−3
z
1
1
o sistema AX = B é
porque
b) Se α =
;
9
8
o sistema AX = B é
porque
c) Se α 6=
;
9
8
o sistema AX = B é o sistema AX = B é
porque
;
Seja C a matriz obtida a partir de A considerando α = 0.
d) O determinante da matriz C 3 é
.
e) Complete

C
−1


=


− 31
2
3
− 13
2
9
2
9
0



0 
.

f) Utilizando a regra de Cramer, o valor da incógnita y no sistema CX = D é
g) O polinómio caracterı́stico da matriz C é:
p (λ) = −λ3 − λ2 + 9λ + 9 p (λ) = −λ3 + λ2 + 9λ + 9 .
p (λ) = −λ3 − λ2 + 9λ − 9
h) Sabendo que um dos valores próprios da matriz C é λ = −3, os restantes são:
{−1, 3}
{−3, 1}
−9, 31
i) Uma base do espaço dos vectores próprios associados ao valor próprio λ = −3 é
{(1, 0, 0) , (0, 1, 0)} {(0, 0, 2)}
{(4, −2, 0)}
2. Considere a transformação linear T :
R3 −→ R3 definida por
T (x, y, z) = (x + y, x − 3z, y + 3z)
e considere a base canónica de
R3, E e a base B = {(1, 2, 3) , (1, 2, 0) , (1, 0, 0)}.
a) Caracterize N uc (T ),
N uc (T ) = (x, y, z) ∈
dim N uc (T ) =

é

c) A transformação T

não é
R3 :
e dim Img (T ) =
b) Complete:
.
sobrejectiva pois
.
d) A matriz de mudança (ou de passagem) da base B para a base E.



M (Id : B, E) = 




e) A matriz que representa a transformação linear T em relação às bases B (base de partida) e em relação à base
canónica E(base de chegada).



M (T : B, E) = 

3. Considere no plano de Argand o domı́nio S = {z ∈



C : |z − (4 − 3i)| = 5}.
a) O transformado de S mediante a transformação homográfica
w=
i
z − (4 − 3i)
é
S ′ = {z ∈
C:
}.
b) Represente os conjuntos S e S ′ .
Conjunto S
Conjunto S ′
3
3
2
2
1
1
0
-3
-2
-1
0
0
1
2
3
-3
-2
-1
0
-1
-1
-2
-2
-3
-3
1
2
3
3b)
1,5
4a)
1.0
4. Considere o plano π de equação π : x + y − 2z = 0 e o ponto P0 (1, 1, −2).
a) Indique a equação da recta r perpendicular ao plano π à qual pertence o ponto P .
b) Determine a equação de um plano π1 , paralelo a π ao qual pertence o ponto P .
c) Qual a distância entre os planos π e π1 ?
1a)
0,75
1b)
0,75
Assinatura:
1c)
0,75
1d)
0,75
1e)
1.0
1f)
1.0
1g)
1.0
1h)
1.0
1i)
1.0
2a)
1.5
2b)
1.0
2c)
0.5
2d)
1.5
2e)
1.5
3a)
1,5
4b)
1.0
4c)
1.0