Lista 5 - Álgebra Linear
Transformações Lineares II
a) Seja T ∈ L (P3 (R) , P3 (R)) dada por T (p) = p0 . Encontre a matriz de T com relação
às bases canônicas de P3 (R) e P2 (R).
b) Seja T : R3 → R3 a transformação linear dada por
1—
T (x, y, z) = (x + z, y + z, x + y + 2z).
Encontre as matrizes de T com relação à base canônica, C, e com relação à base B formada
pelos vetores
u = (1, 1, 2), v = (−1, 1, 0), w = (−1, −1, 1).
2 — Seja T ∈ L (P2 (R) , R) dada por T (p) =
bases canônicas de P2 (R) e R.
3—
a)
b)
c)
d)
R1
0
p(x)dx Encontre as matrizes de T com relação às
Determinar o núcleo das transformações lineares abaixo e descreva-os geometricamente.
T : R2 → R, T (x, y) = y + 2x, (x, y) ∈ R2 .
T : R3 → R, T (x, y, z) = z − 2x, (x, y, z) ∈ R3 .
T : R2 → R2 , T (x, y) = (2x + 2y, x + y), (x, y) ∈ R2 .
T : R3 → R3 , T (x, y, z) = (z − x, z − 2x, z − 3x), (x, y, z) ∈ R3 .
4 — Determinar bases para núcleo e para a imagem das transformações que sejam lineares do
exercı́cio 1 da lista 5.
5 — Seja T : R3 → R3 um operador linear tal que
T (e1 ) = (2, 3, 1), T (e1 + e2 ) = (5, 2, 7) e T (e1 + e2 + e3 ) = (−2, 0, 7).
a)
b)
c)
d)
Encontre T (x, y, z) para (x, y, x) ∈ R3 .
T é sobrejetora? Justifique sua resposta.
T é injetora? Justifique sua resposta.
T é bijetora? Justifique sua resposta.
6 — Seja T : P2 (R) → P2 (R) um operador linear tal que
(T (p0 )) (t) = 1 + t, (T (p1 )) (t) = t + t2 e (T (p2 )) (t) = 1 + t − t2 ,
onde pi (t) = ti , i = 0, 1, 2.
a) Encontre T (p) para p ∈ P2 (R).
b) T é sobrejetora? Justifique sua resposta.
c) T é injetora? Justifique sua resposta.
d) T é bijetora? Justifique sua resposta.
7 — Determinar as matrizes das transformações lineares do exercı́cio (8) em relação as bases
canônicas dos respectivos espaços vetoriais.
8 — Seja T : R2 → R2 um operador linear cuja matriz em relação à base B = {(1, 0), (1, 4)} é
1 1
[T ]B =
. Determinar a matriz de T em relação à base canônica de R2 .
5 1
9 — Seja B = {e1 , e2 , e3 } uma base de um espaço vetorial V . Se T, S : V → V são operadores
lineares em V tais que
T (e1 ) = 2e1 − 3e2 + e3 , T (e2 ) = e1 + e2 , T (e3 ) = e2 + e3
e
S(e1 ) = 3e1 + 2e2 , S(e2 ) = e1 − e2 − e3 , S(e3 ) = e1 + e2 − 2e3 .
Determine as seguintes matrizes [T ]B , [S]B , [S ◦ T ]B , S 2 + I B e T 3 − S 2 B .
10 — Seja U = R3 , V = R2 , B = {e1 , e2 , e3 } e C = {(1, 0), (0, 1)} bases de U e V respectivamente.
Encontrar T ∈ L (U, V ) tal que [T ]B
C seja a matriz;
a)
1 2 3
,
4 5 1
b)
0 0 1
0 1 0
.
Matriz mudança de base:
11 — Sejam B1 = {(1, 0), (0, 1)}, B2 = {(1, 1), (2, 3)} e B3 = {(−1, 2), (−2, 1)}. Exiba as matrizes
de mudança de base:
a) da base B2 para a base B1 .
b) da base B1 para a base B3 .
c) da base B2 para a base B3 .
12 — Quais são as coordenadas do vetor v = (2, −3) em relação às bases B1 , B2 e B3 ?
a) As coordenadas de um vetor w em relação à base B2 são dadas por:
0
[w]B2 =
3
Quais são as coordenadas de w em relação às bases B1 e B3 ?
2
13 — Considere as bases B1 = {6 + 3x, 10 + 2x} e B2 = {2, 3 + 2x} de P1 .
a) Encontre a matriz de mudança da base B2 para a base B1 e a matriz de mudança da base B1
para a base B2 .
b) Encontre as coordenadas de v = 4 + x na base B1 .
14 — Seja V um espaço vetorial real e seja B uma base ordenada de V . Qual a matriz de mudança
da base B para a base B?
15 — Seja V = M2×2 (R). Sejam
B1 =
e
B2 =
1 0
0 1
0 1
0 0
,
,
0 0
1 1
1 0
0 0
1 1
1 1
,
,
0 0
0 1
duas bases de V = M2×2 (R). Encontre a matriz de mudança da base B2 para a base B1 .
16 — Sendo T dada na questão 10 e as bases canônicas ξ = {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)} e ξ 0 =
{(1, 0), (0, 1)}, escreva [T ]ξξ0 . Mostre que os vetores de R2 formados pelas colunas de [T ]ξξ0 são LD.
Qual é o posto de [T ]ξξ0 ? Esse número é igual a dim(Im(T ))? Quanto vale a nulidade de [T ]ξξ0 (no
de colunas menos o posto)? Esse número é igual a dim(ker(T ))? Utilizando α = {(2, 0), (1, 1)} e
β = {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (− 21 , 1, 1)}, calcule [T ]αβ . Qual a relação entre o vetor (− 21 , 1, 1) em β e kerT ?
(Ou, o que a coluna de zeros significa?)
17 — Seja o sistema linear (compare com a

2 2
−2 5
8 1
questão 1.a da lista 3) AX = O, ou, explicitamente,
   
0
x
2
2 y  = 0 .
0
z
4
Podemos encarar a matriz A como uma transformação linear de R3 para R3 e as soluções possı́veis
como o subespaço kerA ⊂ R3 . Encontre ImA e sua dimensão.
18 — Sejam T : R2 → R3 e S : R3 → R2 , transformações lineares tais que T (1, 1) = (3, 2, 1),
T (0, −2) = (0, 1, 0), S(3, 2, 1) = (1, 1), S(0, 1, 0) = (0, −2) e S(0, 0, 1) = (0, 0). Encontre (a) T (x, y),
(b) S(x, y, z), (c) T (1, 0) e T (0, 1), (d) P : R2 → R2 tal que P = S ◦ T , (e) Q : R3 → R3 tal que
Q = T ◦ S. (Qual a relação entre T e S?) Mostre também que T é injetora mas não sobrejetora e S é
sobrejetora mas não injetora.
0
19 — Sejam T , S, P e Q da questão 18 . Encontre as matrizes de transformação [T ]ξξ0 , [S]ξξ , [P ]ξξ e
0
0
[Q]ξξ0 , relativas às bases canônicas ξ e ξ 0 de R2 e R3 , respectivamente. Verifique que [S]ξξ [T ]ξξ0 = [P ]ξξ =
0
0
I2 e [T ]ξξ0 [S]ξξ = [Q]ξξ0 .
3
20 — Sejam α = {(1,−1), (0, 2)} e β = {(1, 0, 1), (0, 1, 2), (1, 2, 0)} bases de R2 e R3 , respectiva1 0
α

mente, e [T ]β = 1 1  .
0 −1
a) Encontre T (i.e., T (x, y)).


1 0
b) Encontre uma base γ = {u1 , u2 , u3 } de R3 tal que [T ]αγ = 0 0. u2 pertence a ImT ?
0 1
c) Encontre kerT e ImT . Verifique o teorema do núcleo e da imagem.
21 — Seja o espaço vetorial dos polinômios de grau ≤ 3, P3 , e a transformação linear D : P3 → P3 ,
onde D(p) = p0 é a derivada do polinômio.
a) Mostre que P3 é um espaço vetorial de dimensão 4.
b) Mostre que D é uma transformação linear.
c) Escreva D na forma matricial usando coordenadas relativas à base canônica {t3 , t2 , t, 1} no
domı́nio e contra-domı́nio.
d) Determine kerD, ImD e encontre uma base para cada um destes subespaços. Verifique o
teorema do núcleo e da imagem.
e) Mostre que D ◦ D ◦ D ◦ D = 0, a transformação que leva qualquer polinômio para o polinômio
nulo. Faça isso de dois jeitos: (i) usando a definição da derivada e (ii) usando a representação
matricial do item (b).
22 — Dados T : U → V linear e injetora e u1 , u2 , . . . , uk , vetores LI em U , mostre que {T (u1 ), T (u2 ), . . . , T (uk )}
é LI.
23 — Para as transformações lineares da questão 1, escreva a matriz de transformação [T ]ξξ0 em
relação às bases canônicas do domı́nio ξ e contradomı́nio ξ 0 .
4