Transformações Conformes de Algumas Regiões Duplamente
Conexas em Anel ∗
Ludmila Bourchtein,
Jaime B. Ripoll,
Adriana N. de Oliveira†,
Depto de Matemática, Estatı́stica e Computação, UFPel, 96010-900, Capão do Leão, RS
Depto de Matemática Pura e Aplicada, UFRGS, 91509-900, Av. Bento Gonçalves, 9500, Porto Alegre, RS
E-mail: [email protected], [email protected],
Uma das teorias importantes da matemática
é a das transformações conformes, que possui
várias aplicações na fı́sica. A investigação das
transformações conformes de regiões multiplamente
conexas teve começo na primeira metade do século
XX nos trabalhos de Köbe, Carathéodory, Gilbert,
Grunsky, Goluzin, Schiffer e outros. O seu problema principal é construir, de forma concreta, uma
composição de funções que faça a transformação
conforme de uma região dada em uma região
canônica.
Existem diferentes teoremas que garantem a existência de tais transformações [1, 2], mas não é
dito como elaborá-las concretamente. Por isso,
neste trabalho vamos construir de forma concreta
transformações conformes de algumas regiões. As
regiões com que trabalharemos são as duplamente
conexas que possuem algum tipo de simetria e as
regiões canônicas são anéis. Para resolver este problema utilizamos as funções elementares e suas propriedades [1, 4], os princı́pios básicos das transformações conformes [4, 5] e o princı́pio de simetria
de Riemann-Schwarz [4, 5]. Além disso, também,
utilizamos a transformação de Schwarz-Christoffel
(integral elı́ptica de 1a espécie de Legendre) [1, 4, 5],
que tem a forma
Z z
dt
p
, 0 < k < 1.
w = F (z, k) =
2
(1 − t )(1 − k 2 t2 )
0
Ela transforma, biunivocamente, o semiplano superior do plano z em um retângulo no plano w, de tal
forma que os pontos do eixo real −1/k, −1, 1, 1/k
passem nos pontos −K +iK 0 , −K, K, K +iK 0 , respectivamente, que são os vértices do retângulo em
questão. Os números reais K e K 0 tem a seguinte
forma
Z 1
dt
p
K = K(k) =
,
2
(1 − t )(1 − k 2 t2 )
0
Z 1/k
dt
0
0
p
K = K (k) =
= K(k 0 ),
2
(t − 1)(1 − k 2 t2 )
1
2
02
onde k + k = 1. Eles podem ser encontrados,
também, em tabelas [3] sabendo, apenas, o valor de
k ou vice-versa.
∗ Apoio
FAPERGS
de Iniciação Cientı́fica PIBIC/FAPERGS
† bolsista
adriana [email protected].
A integral de Schwarz-Christoffel e o princı́pio de
simetria permitem ampliar a classe das regiões para
as quais é possı́vel construir, de forma concreta, a
sua transformação conforme. Abaixo, apresentamos algumas regiões duplamente conexas para as
quais construı́mos a sua transformação conforme em
um anel.
Z
i
i
e
-1
4
1
-i
Figura 1
Z
i 2n
2e
i
2e n
1
2
Figura 2
Referências
[1] C. Carathéodory, “Conformal Representation”, Dover Pub., New York, 1998.
[2] G. M. Goluzin, “Teoria Geométrica das
Funções de Variável Complexa”, Nauka,
Moscou, 1968.
[3] E. Jahnke, F. Emde, F. Lösch, “Tables of
Higher Functions”, McGraw-Hill, New York,
1960.
[4] Z. Nehari, “Conformal Mapping” , Dover Pub.,
New York, 1997.
[5] W. Rudin, “Real and Complex Analysis”,
McGraw-Hill, New York, 1987.