9a Lista de Exercı́cios
Álgebra Linear
1) Determine os valores próprios e os vectores próprios da transformação linear T : R2 → R2
representada em relação à base canónica de R2 pela matriz
1 −2
A=
−2
4
Verifique que a soma dos valores próprios é igual à soma dos elementos da diagonal
principal de A e que o produto dos valores próprios é igual ao determinante de A.
2) Para cada uma das seguintes alı́neas, determine uma matriz não-singular C tal que
C −1 AC é uma matriz diagonal, ou explique porque é que não existe uma tal matriz C.
1 0
1 2
2 1
2 1
a) A =
b) A =
c) A =
d) A =
1 3
5 4
−1 4
−1 0
3) Determine os valores próprios e calcule a dimensão e uma base dos respectivos espaços
próprios da seguinte matriz:


1
0 0
1 0 
A =  −7
4 −3 1
Diga, justificando, se a matriz é diagonalizável e em caso afirmativo indique uma matriz
diagonalizante S e diga também qual é a correspondente matriz diagonalizada S −1 AS.
4) Determine os valores próprios e calcule a dimensão e uma base dos respectivos espaços
próprios da seguinte matriz:


2 3 1
B =  3 20 3 
1 3 2
Diga, justificando, se a matriz é diagonalizável e em caso afirmativo indique uma matriz
diagonalizante S e diga também qual é a correspondente matriz diagonalizada S −1 BS.
5) Determine os valores próprios e calcule a dimensão e uma base dos respectivos espaços
próprios da seguinte matriz:


4
2 −1
3 
C =  −6 −4
−6 −6
5
Diga, justificando, se a matriz é diagonalizável e em caso afirmativo indique uma matriz
diagonalizante S e diga também qual é a correspondente matriz diagonalizada S −1 CS.
6) Considere a matriz B = A − 17I, onde A é a matriz do Ex. 1). Como é que os valores
próprios e vectores próprios da transformação linear U : R2 → R2 representada em
relação à base canónica de R2 pela matriz B se relacionam com os de A?
7) Suponha que u é um vector próprio de uma transformação linear invertı́vel T : Rn → Rn
associado com um valor próprio λ. Prove que u também é vector próprio de T −1 e
determine o valor próprio de T −1 que lhe está associado.
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9a Lista de Exercı́cios
Álgebra Linear
8) Suponha que T : V → V é uma transformação linear tal que T 2 tem um valor próprio
não-negativo λ2 . Prove que ou λ ou −λ é um valor próprio de T .
9) Prove que A e AT têm os mesmos valores próprios, para qualquer matriz quadrada A.
10) Mostre que o conjunto formado pelas funções fa : R → R definidas por fa (x) = senh(ax)
para cada a ∈ R+ é linearmente independente em RR . (Sugestão: comece por mostrar
que as funções fa são vectores próprios do operador de segunda derivação D2 : C 2 (R) →
C 0 (R).)
11) Suponha que A e B são matrizes n × n diagonalizáveis. Prove que AB = BA se e só se
A e B são diagonalizáveis pela mesma transformação de base, i.e., se existe S tal que
Λ1 = S −1 AS e Λ2 = S −1 BS são matrizes diagonais.
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