Planificação de Superfı́cies e Confecção de Mapas Edir Júnior Ferreira Leite Edson Agustini Faculdade de Matemática, Universidade Federal de Uberlândia CEP 38400-902, Uberlândia, MG E-mail: [email protected], [email protected], RESUMO Neste trabalho estudamos o problema do mapeamento isométrico de uma superfı́cie regular em outra. Em particular, o problema da planificação isométrica do globo terrestre foi estudado com detalhes, desde seus primórdios históricos, até a conclusão definitiva da impossibilidade do mapeamento por meio da prova de Leonard Euler e da generalização advinda do Teorema Egrégio de Gauss: “A curvatura Gaussiana de uma superfı́cie regular é invariante por isometrias locais”. Portanto, a Primeira Forma Quadrática, que está vinculada à geometria intrı́seca das superfı́cies regulares, é preservada por isometrias locais. Notemos que esse teorema fornece condições para o estudo das superfı́cies regulares que podem ser mapeadas isometricamente sobre uma outra superfı́cie regular. No caso do plano e da esfera temos a inexistência de uma isometria local entre partes dessas superfı́cies devido ao fato de suas curvaturas Gaussianas serem distintas (no caso do plano é nula o no caso da esfera é constante e positiva). Também é importante ressaltar que, historicamente, o problema de se representar em uma escala fiel a superfı́cie terrestre sobre uma superfı́cie plana foi um problema matemático, filosófico, geográfico e sócio-cultural, tendo em vista que grande parte dos mapas construı́dos ao longo dos tempos visou atender às mais diversas necessidades humanas e, assim sendo, tem estimulado o estudo dos mais diversos tipos de projeções ao longo destes dois últimos milênios [1] e [5]. Como exemplo do uso de tais projeções, temos o chamado Mapa de Mercator, que é um dos mapas mais utilizados atualmente e que desempenhou papel importante na época dos grandes descobrimentos. Com relação a este mapa, estudamos com detalhes sua origem, sua importância, sua classificação quanto a natureza da transformação geométrica utilizada - projeção cilı́ndrica equatorial conforme - e a explicação matemática de sua construção. Abaixo, segue um resumo de suas principais propriedades: (i) Os meridianos e os paralelos do globo são mapeados em retas horizontais e verticais perpendiculares; (ii) É uma aplicação conforme, ou seja, os ângulos são preservados e, portanto, o aspecto dos continentes e ilhas são fiéis à realidade; (iii) As linhas de rumo, ou seja, curvas que formam ângulo constante com paralelos e meridianos são mapeadas em linhas retas. Essa propriedade foi extremamente importante para a navegação em alto mar; (iv) As escalas de distância e área aumentam à medida que distanciamos do equador em direção aos pólos. Com isso, temos um grande acréscimo de comprimentos e àreas nas faixas próximas aos pólos. Por exemplo, neste mapa a área visual da ilha de Groenlândia parece ser maior que a área do Brasil quando, na verdade, este último é cerca de quatro vezes maior que a referida ilha; (v) cı́rculos máximos, ou seja, geodésicas do globo, exceto o equador e os meridianos, são mapeados em linhas curvas. As principais transformações geométricas estudadas neste trabalho foram: 896 (1) ortográfica: projeção ortogonal de um hemisfério esférico aberto H no plano Π. (2) gnomônica: projeção a partir do centro de um hemisfério esférico aberto H no plano Π. (3) estereográfica: projeção a partir do pólo norte N de E − {N } no plano Π, sendo E esfera. (4) cilı́ndrica: projeção a partir do centro de E − {N, S} no plano Π, sendo E uma esfera e N e S pólos norte e sul de E. (5) cônica: projeção a partir do centro de E − C no plano Π, sendo C uma calota esférica de E. q a(P) N P O P p(P) O O S g(P) s(P) O P P P S O b(P) S p: Projeção Ortográfica g: Projeção Gnomônica s: Projeção Estereográfica (hemisfério tangente ao plano no pólo sul) (hemisfério tangente ao plano no pólo sul) (esfera tangente ao plano no pólo sul) a: Projeção Cilíndrica (esfera tangente ao cilindro no equador) b: Projeção Cônica (esfera secante ao cone em dois paralelos) O estudo supracitado permite várias conclusões acerca do estudo de transformações geométricas. Na verdade, há vários caminhos a seguir quando estamos no campo de tais transformações. Por exemplo, o estudo de transformações que preservam apenas áreas é bastante rico, como pode ser constado na dissertação [6], e pode ser empregado parcialmente na confecção de mapas. De modo análogo, transformações que preservam apenas ângulos e transformações que preservam apenas comprimentos também tem interesse na cartografia. Também é importante ressaltar que as transformações vinculadas à cartografia estão ligadas de maneira bastante forte à Geometria Diferencial, sendo que esta é originada da junção do Cálculo Diferencial e Integral com a Geometria Analı́tica e que teve influência, de certo modo, de ciências aplicadas, principalmente da cartografia, de onde herdou parte de sua terminologia como geodésicas, meridianos, paralelos, cartas, atlas, etc. Palavras-chave: Cartografia, Mapa, Projeção, Superfı́cie Regular, Teorema Egrégio. Referências [1] V. L. V. Camargo, “Trajetórias sobre o Globo Terrestre: Um Estudo da Geometria da Esfera nos Mapas Cartográficos”, Dissertação de Mestrado Profissional. Universidade Estadual de Campinas - SP. 2009. [2] M. P. do Carmo, “Geometria Diferencial de Curvas e Superfı́cies”, Rio de Janeiro: SBM Sociedade Brasileira de Matemática. (Coleção Textos Universitários). 2005. [3] P. A Duarte, “Fundamentos de Cartografia”, 3a . ed. - Florianópolis: Editora da UFSC, 2008. 208 p. [4] R. L. F Marinho, “O Torema Egregium de Gauss e a Confecção de Mapas Cartográficos”, Monografia de conclusão de curso. Universidade Estadual de Santa Cruz - Ilhéus - BA. 2003. [5] A. P.Miguens, “Navegação: A Ciência e a Arte: volume I - Navegação Costeira, Estimada e em Águas Restritas”, Niterói: Diretoria de Hidrografia e Navegação da Marinha do Brasil. 1993. [6] F. S. Costa, “Áreas e Contornos”, Dissertação de Mestrado Profissional em Matemática. Universidade Estadual de Campinas - SP. 2008. 897