Planificação de Superfı́cies e Confecção de Mapas
Edir Júnior Ferreira Leite
Edson Agustini
Faculdade de Matemática, Universidade Federal de Uberlândia
CEP 38400-902, Uberlândia, MG
E-mail: [email protected], [email protected],
RESUMO
Neste trabalho estudamos o problema do mapeamento isométrico de uma superfı́cie regular
em outra. Em particular, o problema da planificação isométrica do globo terrestre foi estudado
com detalhes, desde seus primórdios históricos, até a conclusão definitiva da impossibilidade
do mapeamento por meio da prova de Leonard Euler e da generalização advinda do Teorema
Egrégio de Gauss:
“A curvatura Gaussiana de uma superfı́cie regular é invariante por isometrias locais”.
Portanto, a Primeira Forma Quadrática, que está vinculada à geometria intrı́seca das superfı́cies regulares, é preservada por isometrias locais. Notemos que esse teorema fornece
condições para o estudo das superfı́cies regulares que podem ser mapeadas isometricamente
sobre uma outra superfı́cie regular. No caso do plano e da esfera temos a inexistência de uma
isometria local entre partes dessas superfı́cies devido ao fato de suas curvaturas Gaussianas
serem distintas (no caso do plano é nula o no caso da esfera é constante e positiva).
Também é importante ressaltar que, historicamente, o problema de se representar em uma
escala fiel a superfı́cie terrestre sobre uma superfı́cie plana foi um problema matemático, filosófico, geográfico e sócio-cultural, tendo em vista que grande parte dos mapas construı́dos
ao longo dos tempos visou atender às mais diversas necessidades humanas e, assim sendo, tem
estimulado o estudo dos mais diversos tipos de projeções ao longo destes dois últimos milênios
[1] e [5]. Como exemplo do uso de tais projeções, temos o chamado Mapa de Mercator, que é
um dos mapas mais utilizados atualmente e que desempenhou papel importante na época dos
grandes descobrimentos. Com relação a este mapa, estudamos com detalhes sua origem, sua importância, sua classificação quanto a natureza da transformação geométrica utilizada - projeção
cilı́ndrica equatorial conforme - e a explicação matemática de sua construção. Abaixo, segue
um resumo de suas principais propriedades:
(i) Os meridianos e os paralelos do globo são mapeados em retas horizontais e verticais
perpendiculares;
(ii) É uma aplicação conforme, ou seja, os ângulos são preservados e, portanto, o aspecto
dos continentes e ilhas são fiéis à realidade;
(iii) As linhas de rumo, ou seja, curvas que formam ângulo constante com paralelos e meridianos são mapeadas em linhas retas. Essa propriedade foi extremamente importante para a
navegação em alto mar;
(iv) As escalas de distância e área aumentam à medida que distanciamos do equador em
direção aos pólos. Com isso, temos um grande acréscimo de comprimentos e àreas nas faixas
próximas aos pólos. Por exemplo, neste mapa a área visual da ilha de Groenlândia parece ser
maior que a área do Brasil quando, na verdade, este último é cerca de quatro vezes maior que
a referida ilha;
(v) cı́rculos máximos, ou seja, geodésicas do globo, exceto o equador e os meridianos, são
mapeados em linhas curvas.
As principais transformações geométricas estudadas neste trabalho foram:
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(1) ortográfica: projeção ortogonal de um hemisfério esférico aberto H no plano Π.
(2) gnomônica: projeção a partir do centro de um hemisfério esférico aberto H no plano Π.
(3) estereográfica: projeção a partir do pólo norte N de E − {N } no plano Π, sendo E esfera.
(4) cilı́ndrica: projeção a partir do centro de E − {N, S} no plano Π, sendo E uma esfera e N
e S pólos norte e sul de E.
(5) cônica: projeção a partir do centro de E − C no plano Π, sendo C uma calota esférica de E.
q
a(P)
N
P
O
P
p(P)
O
O
S g(P)
s(P)
O
P
P
P
S
O
b(P)
S
p: Projeção
Ortográfica
g: Projeção
Gnomônica
s: Projeção
Estereográfica
(hemisfério tangente
ao plano no pólo sul)
(hemisfério tangente
ao plano no pólo sul)
(esfera tangente
ao plano no pólo sul)
a: Projeção
Cilíndrica
(esfera tangente ao
cilindro no equador)
b: Projeção
Cônica
(esfera secante ao cone
em dois paralelos)
O estudo supracitado permite várias conclusões acerca do estudo de transformações geométricas. Na verdade, há vários caminhos a seguir quando estamos no campo de tais transformações.
Por exemplo, o estudo de transformações que preservam apenas áreas é bastante rico, como pode
ser constado na dissertação [6], e pode ser empregado parcialmente na confecção de mapas. De
modo análogo, transformações que preservam apenas ângulos e transformações que preservam
apenas comprimentos também tem interesse na cartografia. Também é importante ressaltar que
as transformações vinculadas à cartografia estão ligadas de maneira bastante forte à Geometria
Diferencial, sendo que esta é originada da junção do Cálculo Diferencial e Integral com a Geometria Analı́tica e que teve influência, de certo modo, de ciências aplicadas, principalmente da
cartografia, de onde herdou parte de sua terminologia como geodésicas, meridianos, paralelos,
cartas, atlas, etc.
Palavras-chave: Cartografia, Mapa, Projeção, Superfı́cie Regular, Teorema Egrégio.
Referências
[1] V. L. V. Camargo, “Trajetórias sobre o Globo Terrestre: Um Estudo da Geometria da Esfera
nos Mapas Cartográficos”, Dissertação de Mestrado Profissional. Universidade Estadual de
Campinas - SP. 2009.
[2] M. P. do Carmo, “Geometria Diferencial de Curvas e Superfı́cies”, Rio de Janeiro: SBM Sociedade Brasileira de Matemática. (Coleção Textos Universitários). 2005.
[3] P. A Duarte, “Fundamentos de Cartografia”, 3a . ed. - Florianópolis: Editora da UFSC, 2008.
208 p.
[4] R. L. F Marinho, “O Torema Egregium de Gauss e a Confecção de Mapas Cartográficos”,
Monografia de conclusão de curso. Universidade Estadual de Santa Cruz - Ilhéus - BA. 2003.
[5] A. P.Miguens, “Navegação: A Ciência e a Arte: volume I - Navegação Costeira, Estimada e
em Águas Restritas”, Niterói: Diretoria de Hidrografia e Navegação da Marinha do Brasil.
1993.
[6] F. S. Costa, “Áreas e Contornos”, Dissertação de Mestrado Profissional em Matemática.
Universidade Estadual de Campinas - SP. 2008.
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