Lista 5 - Termodinâmica - F 320 - 2.o sem 2015
Marcus V. S. Bonança
1. Transformações de Legendre - I. Sabendo que a entalpia H é a transformada de
Legendre da energia interna U (S, V ) em relação a V , encontre quais são as variáveis
independentes da função H. Feito isso, calcule sua diferencial e obtenha as primeiras
derivadas de H e as respectivas relações de Maxwell.
2. Transformações de Legendre - II. Sabendo que a energia livre de Helmholtz,
F (T, V, n), é a transformada de Legendre da energia interna U (S, V, n) com relação
a T , encontre as primeiras derivadas de F e as relações de Maxwell correspondentes.
3. Transformações de Legendre - III. Sabendo que a energia livre de Gibbs,
G(T, p, n), é a transformada de Legendre da energia interna U (S, V, n) com relação
a T e V , encontre as primeiras derivadas de G e as relações de Maxwell correspondentes.
4. Energias livre do gás ideal. A partir da expressão da energia interna U (S, V )
para um gás ideal, calcule H, F e G realizando as transformações de Legendre
correspondentes.
5. Energias livre do gás de fótons. A partir da expressão da energia interna U (S, V )
para um gás de fótons, calcule H, F e G realizando as transformações de Legendre
correspondentes.
6. Potencial quı́mico. Calcule o potencial quı́mico do gás ideal e do gás de fótons,
como função de T , p e n, a partir das respectivas energias livre de Gibbs e compare
os resultados. Arrisque uma interpretação para o que foi obtido.
7. Equilı́brio - I. Dois gases ideais diferentes estavam, inicialmente, em equilı́brio
com o mesmo reservatório térmico e de pressão mas isolados um do outro. Esses
gases são então colocados em contato. (a) Se o contato entre eles se dá por meio de
uma parede diatérmica móvel mas impermeável, qual o novo estado de equilı́brio?
(b) Fazendo com que a parede seja agora permeável, encontre o novo estado de
equilı́brio.
8. Equilı́brio - II. Considere dois gases de fótons que estavam, inicialmente, em
equilı́brio com o mesmo reservatório térmico mas isolados um do outro. Esses gases
são então colocados em contato por meio de uma parede diatérmica móvel. Qual o
novo estado de equilı́brio?
9. Relações de Maxwell - I. Sabendo que o coeficiente de expansão volumétrica
α, a incompressibilidade isotérmica κT e as capacidade térmicas são dados pelas
expressões
1 ∂V
∂S
∂S
1 ∂V
, κT = −
, Cp = T
, CV = T
,
α=
V ∂T p
V ∂p T
∂T p
∂T V
1
derive a relação
Cp = CV +
T V α2
,
κT
(1)
usando a relação de Maxwell (∂S/∂p)T = −(∂V /∂T )p (verifique que ela vem da
diferencial dG) e as expressões
∂S
∂S
∂S
∂p
=
+
,
(2)
∂T V
∂T p
∂p T ∂T V
e
∂p
∂T
V
∂T
∂V
p
∂V
∂p
= −1 .
(3)
T
Lembre que as equações (2) e (3) derivam das relações da Lista 1. Obs.: veja que a
Eq. (1) permite concluirmos que Cp ≥ 0 se CV ≥ 0 e κT ≥ 0.
10. Relações de Maxwell - II. Derive agora a expressão
T V α2
1 ∂V
κT = κS +
, onde κS = −
,
Cp
V ∂p S
(4)
é a incompressibilidade adiabática. Siga os mesmos passos e sugestões do exercı́cio
anterior. Além disso, obtenha a relação Cp /CV = κT /κS a partir dos resultados
obtidos nesses dois últimos exercı́cios. Obs.: veja que a Eq. (4) permite concluirmos
que κT ≥ 0 se κS ≥ 0 e Cp ≥ 0.
11. Estabilidade. Sabendo que o Princı́pio de Energia Mı́nima exige que as derivadas
segundas (não cruzadas) da função U (S, V, n) sejam positivas, mostre qual deve
ser o sinal das derivadas segundas (não cruzadas) das energias livre F (T, V, n) e
G(T, p, n).
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