FIS-26 — Lista-08 — Abril/2013
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1. Desprezando os efeitos de tensão superficial, pode-se mostrar que ondas na superfı́cie da água, com
comprimento de onda λpmuito menor que a profundidade da água, propagam-se com velocidade de
fase vφ dada por vφ = gλ/(2π), onde g é a aceleração da gravidade. Mostre que a velocidade de
grupo correspondente é vg = vφ /2.
2. Duas cordas muito longas, bem esticadas, de densidades lineares µ1 e µ2 , estão ligadas uma à
outra. Toma-se a posição de equilı́brio como eixo dos x e a origem O no ponto de junção, sendo
y o deslocamento tranversal da corda (Figura seguinte). Uma onda harmônica progressiva, yi =
A1 cos(k1 x − ωt), viajando na corda 1 (x < 0), incide sobre o ponto de junção, fazendo-o oscilar com
frequência angular ω. Isto produz na corda 2 (x > 0) uma onda progressiva de mesma frequência,
yt = A2 cos(k2 x − ωt) (onda transmitida), e dá origem na corda 1, a uma onda que viaja em sentido
contrário, yr = B1 cos(k2 x + ωt) (onda refletida). Dada a onda incidente yi , de amplitude A1 ,
desejam-se obter a amplitude de reflexão ρ = B1 /A1 , e a amplitude de transmissão τ = A2 /A1 .
(a) Dada a tensão T da corda, calcule as velocidades de propagação v1 e v2 nas cordas 1 e 2, bem
como os respectivos números de onda k1 e k2 . O deslocamento total na corda 1 é yi + yr , e na
corda 2 é yt .
(b) Mostre que, no ponto de junção x = 0, deve-se ter yi + yr = yt .
(c) Aplicando a terceira lei de Newton ao ponto de junção x = 0, mostre que nesse ponto deve-se
∂
∂
(yi + yr ) = ∂x
yt
ter também ∂x
(d) Calcule ρ e τ em função das velocidades v1 e v2 . Discuta o sinal de ρ.
(e) Definindo r como a refletividade da junção (que é igual à razão da intensidade da onda refletida e
da intensidade da onda incidente) e t como a transmissividade (que é igual à razão da intensidade
da onda transmitida e da intensidade da onda incidente), mostre que r + t = 1 e interprete esse
resultado.
3. Considere uma corda de comprimento L presa nas extremidades, como mostra a Figura seguinte.
Supondo que a corda é abandonada do repouso da posição mostrada em t = 0, obtenha a função
y(x, t) para t > 0. A velocidade de progagação de ondas elásticas na corda é c.
4. Obtenha a série de Fourier para as funções seguintes no intervalo [−π, π]:
1
(a) f (x) = x.
(b) f (x) = x2 .
5. À frequência de 1kHz, o limiar de audição do ouvido humano corresponde a uma onda cuja pressão
oscila com amplitude de 2 × 10−5 Pa (observe o valor diminuto desta pressão).
(a) Qual é a amplitude do deslocamento do ar nesse limiar?
(b) Qual é a intensidade desse som?
6. Um radar que emite microondas na frequência 34,3 GHz recebe a onda refletida por um carro que
se aproxima.
(a) A onda recebida revela um desvio de 0,83 kHz na sua frequência. Qual é a velocidade do carro?
(b) O detector de frequência tem precisão (erro máximo) de 100Hz. Com que precisão ele é capaz
de medir a velocidade de um veı́culo?
7. Considere uma corda de comprimento L, esticada com força de tensão F , com extremidades fixas,
e seus modos normais de comprimentos de onda λn = 2L/n. Mostre que, quando a corda vibra no
modo normal n com amplitude A, sua energia mecânica é U = π 2 F n2 A2 /(2L).
8. O tubo de Kundt, que costumava ser empregado para medir a velocidade do som em gases, é um
tubo de vidro que contém o gás, fechado numa extremidade por uma tampa M que se faz vibrar com
uma frequência f conhecida (por exemplo, acoplando-a a um alto-falante) e na outra por um pistão
P que se faz deslizar, variando o comprimento do tubo. O tubo contém um pó fino (serragem, por
exemplo). Ajusta-se o comprimento do tubo com o auxı́lio do pistão até que ele entre em ressonância
com a frequência f , o que se nota pelo reforço da intensidade sonora emitida. Observa-se então que
o pó fica acumulado em montı́culos igualmente espaçados, de espaçamento ∆l (ver Figura seguinte)
que se pode medir.
(a) A que correspondem as posições dos topos dos montı́culos?
(b) Qual é a relação entre f , ∆l e a velocidade do som no gás?
(c) Com o tubo cheio de CO2 a 20◦ C e f = 880Hz, o espaçamento médio medido é de 15,2 cm.
Qual é a velocidade do som no CO2 a 20◦ C?
9. Dois trens viajam em sentidos opostos, sobre trilhos, com velocidades de mesma magnitude. Um
deles vem apitando. A frequência do apito percebida por um passageiro do outro trem varia entre os
valores de 348 Hz, quando estão se aproximando, e 259 Hz, quando estão se afastando. A velocidade
do som no ar é de 340 m/s.
(a) Qual é a velocidade dos trens (em km/h)?
(b) Qual é a frequência do apito?
10. Mostre que se pode obter o efeito Doppler a partir da transformação de Galileu.
(a) Considere primeiro uma onda sonora harmônica em uma dimensão, para uma fonte sonora
(emitindo na frequência f0 ) em repouso no meio. Escreva a expressão da onda num referencial
num ponto x no instante t, para um referencial S do meio. Considere agora um observador
que se desloca com velocidade u em relação a S, na direção θ. Relacione x com a coordenada
2
x0 do observador, no referencial S 0 que se desloca com ele. Substitua na expressão da onda e
interprete o resultado.
(b) Considere agora o caso em que o observador se move com velocidade ~u numa direção qualquer.
Generalize o resultado de (a), usando a transformação de Galileu.
11. Um avião a jato supersônico está voando a Mach 2,00.
(a) Qual é o ângulo de abertura do cone de Mach?
(b) 2,50 s depois de o avião ter passado diretamente acima de uma casa, a onda de choque causada
pela sua passagem atinge a casa, provocando um estrondo sônico. Qual é a altitude do avião
em relação à casa? A velocidade do som no ar é de 340 m/s.
3
Respostas
1.
2. (a) vi =
p
T /µi e ki = ω/vi (i = 1, 2).
(b)
(c)
(d) r = (v2 − v1 )/(v1 + v2 ), τ = 2v2 /(v1 + v2 ).
(e) r = [(v1 − v2 )/(v1 + v2 )]2 , t = 4v1 v2 /(v1 + v2 )2 . Interpretação: conservação da energia.
∞
nπx nπ nπct
9y0 X 1
sin
cos
.
3. y(x, t) = 2
sin
π n=1 n2
3
L
L
4. (a) f (x) =
∞
X
2
(−1)n+1 sin(nx).
n
n=1
∞
π2 X
4
(b) f (x) =
+
(−1)n 2 cos(nx).
3
n
n=1
5. (a) 8 × 10−12 m.
(b) 5 × 10−13 W/m2 .
6. (a) 130 km/h.
(b) 1,6 km/h.
7.
8. (a) Aos nós da onda estacionária de deslocamento.
(b) v = 2f ∆l.
(c) 268 m/s.
9. (a) 90,0 km/h.
(b) 300 Hz.
10.
11. (a) 30,0◦ .
(b) 981 m.
4