Gabarito para Versão A
Seção 1.
Múltipla escolha (8× 0,6= 4,8 pontos)
1. Marque a opção que indica quais das afirmativas abaixo
estão CORRETAS.
I. A frequência do som emitido pela sirene de uma ambulância em movimento depende da direção do movimento em relação ao observador.
2. A figura abaixo mostra as linhas de corrente do escoamento em regime estacionário de um fluido incompressı́vel
através de uma tubulação cilı́ndrica de seção reta de área
constante.
II. Você está no concerto ao ar livre com o vento soprando a 10m/s dos músicos até você. O som que
você escuta sofre desvio devido ao efeito Doppler.
Somente I.
(b)
Somente II.
(c)
Somente III.
(d)
Somente I e II.
(e)
Somente I e III.
I. O perı́odo permanecerá o mesmo pois só depende da
massa do bloco e da constante elástica da mola.
II. A mola, na sua nova posição de equilı́libro irá se esticar de um comprimento menor em Marte do que
na Terra.
III. O perı́odo irá dimimuir pois é proporcional à raiz
quadrada de g.
5. Considere que um sistema massa-mola de frequência natural ω0 e coeficiente de amortecimento γ esteja submetido a
uma força externa periódica de frequência ω. Após um intervalo de tempo suficientemente longo, podemos afirmar
que o sistema massa-mola:
(a)
está em repouso definitivo.
(b)
oscila com a frequência natural ω0 .
(c)
oscila com a frequência da força externa ω.
(d)
oscila com uma frequência múltipla inteira de ω.
(e)
oscila com uma frequência igual a ω0 + ω.
(f)
executa um movimento caótico.
Quais das afirmações acima são verdadeiras?
III. Um chicote estala porque a sua extremidade livre
pode se mover mais rápido que o som no ar.
(a)
3. Um bloco suspenso em uma mola ideal se desloca com
pequenas oscilações para cima e para baixo com perı́odo
igual a 10s na Terra. Se você levar o bloco para Marte
onde a aceleração da gravidade (g) é 40% da aceleração
na Terra, considere as seguintes afirmações:
Baseado na figura, considere as seguintes afirmações:
I. Uma vez que as linhas de corrente estão mais concentradas na região central do cilindro, a pressão
deve ser mı́nima próximo à superfı́cie lateral da tubulação.
(a)
somente I.
(b)
somente II.
(c)
somente III.
(d)
somente I e II.
(e)
somente I e III.
II. As linhas de corrente na figura representam o escoamento estacionário de um fluido com viscosidade
desprezı́vel.
III. A velocidade de escoamento do fluido é maior para
as camadas de fluido mais próximas ao eixo do cilindro do que para as mais próximas à superfı́cie lateral
da tubulação.
São VERDADEIRAS as afirmativas:
(a)
somente I.
6. Em uma corda ideal é produzida a seguinte perturbação:
2
2
y(x, t) = (e−(x/b) e2xt/b e−t )a
4. Um corpo oscila no plano horizontal ao longo de um eixo
(Ox) sob ação de uma força restauradora. Tome a origem
das coordenadas no ponto O onde a força restauradora é
nula. Considere as seguintes situações, observadas em três
tempos diferentes:
,
onde o eixo x é horizontal e aponta para a direita e a
e b são constantes positivas. Podemos afirmar que esta
perturbação
(a)
não representa uma onda em propagação
(b)
é a superposição de duas ondas que se propagam
em sentidos opostos
(b)
somente II.
(c)
somente III.
(d)
somente I e II.
II. vx > 0 e ax < 0
(c)
é uma onda que se propaga para a direita com velocidade v = a
(e)
somente I e III.
III. vx < 0 e ax > 0
(d)
(f)
somente II e III.
(g)
todas são verdadeiras
é uma onda que se propaga para a esquerda com
velocidade v = a
é uma onda que se propaga para a direita com velocidade v = b
é uma onda que se propaga para a esquerda com
velocidade v = b
I. vx > 0 e ax > 0
onde vx e ax são, respectivamente, a velocidade e a aceleração do corpo. Em quais situações o deslocamento x do
corpo é positivo :
(a)
somente I.
(b)
somente II.
(c)
somente III.
(d)
somente I e II.
(e)
somente I e III.
(e)
(f)
(g)
é uma onda que se propaga para a direita com velocidade v = a/b
(h)
é uma onda que se propaga para a esquerda com
velocidade v = a/b
7. A figura abaixo mostra um gráfico de posição versus
tempo de um oscilador harmônico simples.
x (m )
t (s)
A função x(t) que melhor descreve o movimento do oscilador harmônico mostrado no gráfico acima é dada por:
(a)
x(t) = 15 cos(0.1t + π/2)
(b)
x(t) = 15 cos(0.1t − π/2)
(c)
x(t) = 15 cos(0.2πt + π/2)
(d)
x(t) = 15 cos(0.2πt − π/2)
(e)
x(t) = 30 cos(0.1t + π/2)
(f)
x(t) = 30 cos(0.1t − π/2)
(g)
x(t) = 30 cos(0.2πt + π/2)
(h)
x(t) = 30 cos(0.2πt − π/2)
8. Enquanto a corda de uma guitarra está vibrando, você
toca levemente em um ponto que se situa na metade da
corda para garantir que a corda não vibra naquele ponto.
Que modos normais NÃO podem estar presentes na corda
enquanto você a segura assim?
(a)
Todos os modos vão estar presentes.
(b)
Todos os modos com número par de nodos.
(c)
Todos os modos com número ı́mpar de nodos.
(d)
Somente o modo fundamental pois tem nodo no
centro.
(e)
Somente o terceiro modo pois não tem nodo no
centro.
Seção 2. Questões discursivas (2×2,6 = 5,2 pontos)
1. [2,6 pontos] Considere uma corda sujeita a uma tensão T , sobre a qual se encontra uma formiga em x = xf = constante.
A massa mf da formiga é muito menor que a massa do segmento da corda em que ela se encontra. Uma onda harmônica
y(x, t) = A cos(kx − ωt + δ) é gerada na corda.
a) Calcule a velocidade da formiga.
b) Calcule a potência instantânea da onda a partir de sua definição.
c) Determine o valor máximo da amplitude da onda para que a formiga permaneça presa à corda em qualquer instante
de tempo (desconsidere a força com que a formiga se agarra à corda).
d) Deduza a relação entre a velocidade v da onda, o número de onda e a sua frequência angular.
Resolução:
a)[0,8pt] A velocidade da formiga é a velocidade de deslocamento do segmento da corda em que ela se encontra (x = xf ):
vy =
∂y
(xf , t) = ωAsen(kxf − ωt + δ)
∂t
b)[1,0pt] A potência da onda é a taxa de variação do trabalho da força resultante na direção y
P =
∂y
∂y ∂y
dW
= Fy vy = Fy
= −T
dt
∂t
∂x ∂t
P = −T [−Aksen(kx − ωt + δ)][Aωsen(kx − ωt + δ)]
P = T A2 kωsen2 (kx − ωt + δ)
c) [0,5pt] Na situação extrema, apenas o peso é responsável pela aceleração da formiga:
mg + m
∂2y
|max = 0
∂t2
⇒ g − ω 2 Amax = 0
Amax =
d) [0,3pt]
v = λf =
g
ω2
2π ω
ω
=
k 2π
k
!
2. [2,6 pontos] O medidor de Venturi é utilizado para obter a velocidade de escoamento estacionário de um fluido não viscoso
em uma tubulação. Considere um fluido incompressı́vel, de densidade ρf , que escoa em uma tubulação com área de seção
transversal A1 . Na região de estrangulamento, a área é reduzida para A2 , e um tubo manométrico é instalado como mostrado
abaixo (vide figura). Suponha que o lı́quido do manômetro também seja incompressı́vel e que possua densidade ρl . NÃO
despreze termos com y2 − y1 .
a) Obtenha a diferença de pressão entre os pontos 1 e 2 em termos dos dados e da velocidades no ponto 1 v1 .
b) Determine a altura h lida no medidor em função da diferença de pressão entre os pontos 1 e 2.
c) Determine a velocidade de escoamento v1 em termos dos dados do problema e das respostas anteriores.
e, portanto:
h=
p1 − p2 + ρf g(y1 − y2 )
(ρl − ρf )g
(7)
(c)[0,6pt] Determine a velocidade de escoamento v1 em termos dos dados do problema e das respostas anteriores.
Igualando as diferenças de preesão obtidas em (a) e (b):
p1 − p2 =
A2
1
ρf v12 ( 21 − 1) + ρf g(y2 − y1 ) = ρf g(y2 − y1 − h) + ρl gh
2
A2
A2
1
ρf v12 ( 21 − 1) = (ρl − ρf )gh
2
A2
(8)
(9)
e, portanto:
v1 = A2
!
FIM
Resolução:
(a)[1,0pt] Obtenha a diferença de pressão entre os pontos 1 e 2 em termos dos dados e da velocidades no ponto 1 v1 . Sugestão:
Aplique a equação de Bernouilli para os pontos 1 e 2 dentro da tubulação (na mesma linha de corrente e indicados na figura).
Os pontos 1 e 2 estão na mesma linha de corrente
logo:
1
1
p1 + ρf v12 + ρf gy1 = p2 + ρf v22 + ρf gy2
2
2
(1)
1
p1 − p2 = ρf (v22 − v12 ) + ρf g(y2 − y1 )
2
(2)
Pela equação da continuidade: A1 v1 = A2 v2 Assim:
1
A2
p1 − p2 = ρf v12 ( 21 − 1) + ρf g(y2 − y1 )
2
A2
(3)
(b)[1,0pt] Determine a altura h lida no medidor em função da diferença de pressão entre os pontos 1 e 2.
A pressão em y = 0 é a mesma no lado esquerdo (fronteira em contato entre o fluido e o lı́quido do medidor) e do lado
direito. Do lado esquerdo vale:
pe = p1 + ρf gy1
(4)
e do lado direito
pd = p2 + ρf g(y2 − h) + ρl gh
(5)
p1 − p2 = −ρf gy1 + ρf g(y2 − h) + ρl gh
(6)
Assim, como pe = pd :
!
2(ρl − ρf )gh
ρf (A21 − A22 )
(10)
Gabarito para Versão B
Seção 1.
Múltipla escolha (8× 0,6= 4,8 pontos)
1. Considere que um sistema massa-mola de frequência natural ω0 e coeficiente de amortecimento γ esteja submetido a
uma força externa periódica de frequência ω. Após um intervalo de tempo suficientemente longo, podemos afirmar
que o sistema massa-mola:
(a)
está em repouso definitivo.
(b)
oscila com a frequência natural ω0 .
(c)
oscila com a frequência da força externa ω.
(d)
oscila com uma frequência múltipla inteira de ω.
(e)
oscila com uma frequência igual a ω0 + ω.
(f)
executa um movimento caótico.
3. Marque a opção que indica quais das afirmativas abaixo
estão CORRETAS.
I. A frequência do som emitido pela sirene de uma ambulância em movimento depende da direção do movimento em relação ao observador.
II. Você está no concerto ao ar livre com o vento soprando a 10m/s dos músicos até você. O som que
você escuta sofre desvio devido ao efeito Doppler.
III. Um chicote estala porque a sua extremidade livre
pode se mover mais rápido que o som no ar.
(a)
2. A figura abaixo mostra um gráfico de posição versus
tempo de um oscilador harmônico simples.
4. A figura abaixo mostra as linhas de corrente do escoamento em regime estacionário de um fluido incompressı́vel
através de uma tubulação cilı́ndrica de seção reta de área
constante.
Somente I.
(b)
Somente II.
(c)
Somente III.
(d)
Somente I e II.
(e)
Somente I e III.
Baseado na figura, considere as seguintes afirmações:
I. Uma vez que as linhas de corrente estão mais concentradas na região central do cilindro, a pressão
deve ser mı́nima próximo à superfı́cie lateral da tubulação.
II. As linhas de corrente na figura representam o escoamento estacionário de um fluido com viscosidade
desprezı́vel.
5. Em uma corda ideal é produzida a seguinte perturbação:
2
2
y(x, t) = (e−(x/b) e2xt/b e−t )a
,
onde o eixo x é horizontal e aponta para a direita e a
e b são constantes positivas. Podemos afirmar que esta
perturbação
(a)
não representa uma onda em propagação
(b)
é a superposição de duas ondas que se propagam
em sentidos opostos
(c)
é uma onda que se propaga para a direita com velocidade v = a
(d)
é uma onda que se propaga para a esquerda com
velocidade v = a
é uma onda que se propaga para a direita com velocidade v = b
é uma onda que se propaga para a esquerda com
velocidade v = b
(e)
(f)
(g)
é uma onda que se propaga para a direita com velocidade v = a/b
(h)
é uma onda que se propaga para a esquerda com
velocidade v = a/b
III. A velocidade de escoamento do fluido é maior para
as camadas de fluido mais próximas ao eixo do cilindro do que para as mais próximas à superfı́cie lateral
da tubulação.
x (m )
São VERDADEIRAS as afirmativas:
(a)
t (s)
A função x(t) que melhor descreve o movimento do oscilador harmônico mostrado no gráfico acima é dada por:
(a)
x(t) = 15 cos(0.1t + π/2)
(b)
x(t) = 15 cos(0.1t − π/2)
(c)
x(t) = 15 cos(0.2πt + π/2)
(d)
x(t) = 15 cos(0.2πt − π/2)
(e)
x(t) = 30 cos(0.1t + π/2)
(f)
x(t) = 30 cos(0.1t − π/2)
(g)
x(t) = 30 cos(0.2πt + π/2)
(h)
x(t) = 30 cos(0.2πt − π/2)
somente I.
(b)
somente II.
(c)
somente III.
(d)
somente I e II.
(e)
somente I e III.
(f)
somente II e III.
(g)
todas são verdadeiras
6. Enquanto a corda de uma guitarra está vibrando, você
toca levemente em um ponto que se situa na metade da
corda para garantir que a corda não vibra naquele ponto.
Que modos normais NÃO podem estar presentes na corda
enquanto você a segura assim?
(a)
Todos os modos vão estar presentes.
(b)
Todos os modos com número par de nodos.
(c)
Todos os modos com número ı́mpar de nodos.
(d)
Somente o modo fundamental pois tem nodo no
centro.
(e)
Somente o terceiro modo pois não tem nodo no
centro.
7. Um bloco suspenso em uma mola ideal se desloca com
pequenas oscilações para cima e para baixo com perı́odo
igual a 10s na Terra. Se você levar o bloco para Marte
onde a aceleração da gravidade (g) é 40% da aceleração
na Terra, considere as seguintes afirmações:
I. O perı́odo permanecerá o mesmo pois só depende da
massa do bloco e da constante elástica da mola.
II. A mola, na sua nova posição de equilı́libro irá se esticar de um comprimento menor em Marte do que
na Terra.
III. O perı́odo irá dimimuir pois é proporcional à raiz
quadrada de g.
Quais das afirmações acima são verdadeiras?
(a)
somente I.
(b)
somente II.
(c)
somente III.
(d)
somente I e II.
(e)
somente I e III.
8. Um corpo oscila no plano horizontal ao longo de um eixo
(Ox) sob ação de uma força restauradora. Tome a origem
das coordenadas no ponto O onde a força restauradora é
nula. Considere as seguintes situações, observadas em três
tempos diferentes:
Seção 2. Questões discursivas (2×2,6 = 5,2 pontos)
1. [2,6 pontos] Considere uma corda sujeita a uma tensão T , sobre a qual se encontra uma formiga em x = xf = constante.
A massa mf da formiga é muito menor que a massa do segmento da corda em que ela se encontra. Uma onda harmônica
y(x, t) = A cos(kx − ωt + δ) é gerada na corda.
I. vx > 0 e ax > 0
II. vx > 0 e ax < 0
a) Calcule a velocidade da formiga.
b) Calcule a potência instantânea da onda a partir de sua definição.
c) Determine o valor máximo da amplitude da onda para que a formiga permaneça presa à corda em qualquer instante
de tempo (desconsidere a força com que a formiga se agarra à corda).
III. vx < 0 e ax > 0
onde vx e ax são, respectivamente, a velocidade e a aceleração do corpo. Em quais situações o deslocamento x do
corpo é positivo :
(a)
somente I.
(b)
somente II.
(c)
somente III.
(d)
somente I e II.
(e)
somente I e III.
d) Deduza a relação entre a velocidade v da onda, o número de onda e a sua frequência angular.
Resolução:
a)[0,8pt] A velocidade da formiga é a velocidade de deslocamento do segmento da corda em que ela se encontra (x = xf ):
vy =
∂y
(xf , t) = ωAsen(kxf − ωt + δ)
∂t
b)[1,0pt] A potência da onda é a taxa de variação do trabalho da força resultante na direção y
P =
∂y
∂y ∂y
dW
= Fy vy = Fy
= −T
dt
∂t
∂x ∂t
P = −T [−Aksen(kx − ωt + δ)][Aωsen(kx − ωt + δ)]
P = T A2 kωsen2 (kx − ωt + δ)
c) [0,5pt] Na situação extrema, apenas o peso é responsável pela aceleração da formiga:
mg + m
∂2y
|max = 0
∂t2
⇒ g − ω 2 Amax = 0
Amax =
d) [0,3pt]
v = λf =
g
ω2
2π ω
ω
=
k 2π
k
!
2. [2,6 pontos] O medidor de Venturi é utilizado para obter a velocidade de escoamento estacionário de um fluido não viscoso
em uma tubulação. Considere um fluido incompressı́vel, de densidade ρf , que escoa em uma tubulação com área de seção
transversal A1 . Na região de estrangulamento, a área é reduzida para A2 , e um tubo manométrico é instalado como mostrado
abaixo (vide figura). Suponha que o lı́quido do manômetro também seja incompressı́vel e que possua densidade ρl . NÃO
despreze termos com y2 − y1 .
a) Obtenha a diferença de pressão entre os pontos 1 e 2 em termos dos dados e da velocidades no ponto 1 v1 .
b) Determine a altura h lida no medidor em função da diferença de pressão entre os pontos 1 e 2.
c) Determine a velocidade de escoamento v1 em termos dos dados do problema e das respostas anteriores.
e, portanto:
h=
p1 − p2 + ρf g(y1 − y2 )
(ρl − ρf )g
(7)
(c)[0,6pt] Determine a velocidade de escoamento v1 em termos dos dados do problema e das respostas anteriores.
Igualando as diferenças de preesão obtidas em (a) e (b):
p1 − p2 =
A2
1
ρf v12 ( 21 − 1) + ρf g(y2 − y1 ) = ρf g(y2 − y1 − h) + ρl gh
2
A2
A2
1
ρf v12 ( 21 − 1) = (ρl − ρf )gh
2
A2
(8)
(9)
e, portanto:
v1 = A2
!
FIM
Resolução:
(a)[1,0pt] Obtenha a diferença de pressão entre os pontos 1 e 2 em termos dos dados e da velocidades no ponto 1 v1 . Sugestão:
Aplique a equação de Bernouilli para os pontos 1 e 2 dentro da tubulação (na mesma linha de corrente e indicados na figura).
Os pontos 1 e 2 estão na mesma linha de corrente
logo:
1
1
p1 + ρf v12 + ρf gy1 = p2 + ρf v22 + ρf gy2
2
2
(1)
1
p1 − p2 = ρf (v22 − v12 ) + ρf g(y2 − y1 )
2
(2)
Pela equação da continuidade: A1 v1 = A2 v2 Assim:
1
A2
p1 − p2 = ρf v12 ( 21 − 1) + ρf g(y2 − y1 )
2
A2
(3)
(b)[1,0pt] Determine a altura h lida no medidor em função da diferença de pressão entre os pontos 1 e 2.
A pressão em y = 0 é a mesma no lado esquerdo (fronteira em contato entre o fluido e o lı́quido do medidor) e do lado
direito. Do lado esquerdo vale:
pe = p1 + ρf gy1
(4)
e do lado direito
pd = p2 + ρf g(y2 − h) + ρl gh
(5)
p1 − p2 = −ρf gy1 + ρf g(y2 − h) + ρl gh
(6)
Assim, como pe = pd :
!
2(ρl − ρf )gh
ρf (A21 − A22 )
(10)
Gabarito para Versão C
Seção 1.
Múltipla escolha (8× 0,6= 4,8 pontos)
1. Considere que um sistema massa-mola de frequência natural ω0 e coeficiente de amortecimento γ esteja submetido a
uma força externa periódica de frequência ω. Após um intervalo de tempo suficientemente longo, podemos afirmar
que o sistema massa-mola:
(a)
2. A figura abaixo mostra as linhas de corrente do escoamento em regime estacionário de um fluido incompressı́vel
através de uma tubulação cilı́ndrica de seção reta de área
constante.
está em repouso definitivo.
(b)
oscila com a frequência natural ω0 .
(c)
oscila com a frequência da força externa ω.
(d)
oscila com uma frequência múltipla inteira de ω.
(e)
oscila com uma frequência igual a ω0 + ω.
(f)
executa um movimento caótico.
3. Um bloco suspenso em uma mola ideal se desloca com
pequenas oscilações para cima e para baixo com perı́odo
igual a 10s na Terra. Se você levar o bloco para Marte
onde a aceleração da gravidade (g) é 40% da aceleração
na Terra, considere as seguintes afirmações:
I. O perı́odo permanecerá o mesmo pois só depende da
massa do bloco e da constante elástica da mola.
II. A mola, na sua nova posição de equilı́libro irá se esticar de um comprimento menor em Marte do que
na Terra.
III. O perı́odo irá dimimuir pois é proporcional à raiz
quadrada de g.
Quais das afirmações acima são verdadeiras?
Baseado na figura, considere as seguintes afirmações:
I. Uma vez que as linhas de corrente estão mais concentradas na região central do cilindro, a pressão
deve ser mı́nima próximo à superfı́cie lateral da tubulação.
II. As linhas de corrente na figura representam o escoamento estacionário de um fluido com viscosidade
desprezı́vel.
III. A velocidade de escoamento do fluido é maior para
as camadas de fluido mais próximas ao eixo do cilindro do que para as mais próximas à superfı́cie lateral
da tubulação.
São VERDADEIRAS as afirmativas:
(a)
(b)
somente I.
somente II.
(c)
somente III.
(d)
somente I e II.
(e)
somente I e III.
(f)
somente II e III.
(g)
todas são verdadeiras
(a)
somente I.
(b)
somente II.
(c)
somente III.
(d)
somente I e II.
(e)
somente I e III.
5. Um corpo oscila no plano horizontal ao longo de um eixo
(Ox) sob ação de uma força restauradora. Tome a origem
das coordenadas no ponto O onde a força restauradora é
nula. Considere as seguintes situações, observadas em três
tempos diferentes:
I. vx > 0 e ax > 0
II. vx > 0 e ax < 0
III. vx < 0 e ax > 0
onde vx e ax são, respectivamente, a velocidade e a aceleração do corpo. Em quais situações o deslocamento x do
corpo é positivo :
(a)
somente I.
(b)
somente II.
(c)
somente III.
(d)
somente I e II.
(e)
somente I e III.
4. Em uma corda ideal é produzida a seguinte perturbação:
2
2
y(x, t) = (e−(x/b) e2xt/b e−t )a
,
onde o eixo x é horizontal e aponta para a direita e a
e b são constantes positivas. Podemos afirmar que esta
perturbação
(a)
não representa uma onda em propagação
(b)
é a superposição de duas ondas que se propagam
em sentidos opostos
(c)
é uma onda que se propaga para a direita com velocidade v = a
(d)
é uma onda que se propaga para a esquerda com
velocidade v = a
é uma onda que se propaga para a direita com velocidade v = b
é uma onda que se propaga para a esquerda com
velocidade v = b
(e)
(f)
6. Enquanto a corda de uma guitarra está vibrando, você
toca levemente em um ponto que se situa na metade da
corda para garantir que a corda não vibra naquele ponto.
Que modos normais NÃO podem estar presentes na corda
enquanto você a segura assim?
(a)
Todos os modos vão estar presentes.
(b)
Todos os modos com número par de nodos.
(c)
Todos os modos com número ı́mpar de nodos.
(g)
é uma onda que se propaga para a direita com velocidade v = a/b
(d)
Somente o modo fundamental pois tem nodo no
centro.
(h)
é uma onda que se propaga para a esquerda com
velocidade v = a/b
(e)
Somente o terceiro modo pois não tem nodo no
centro.
7. Marque a opção que indica quais das afirmativas abaixo
estão CORRETAS.
8. A figura abaixo mostra um gráfico de posição versus
tempo de um oscilador harmônico simples.
1. [2,6 pontos] Considere uma corda sujeita a uma tensão T , sobre a qual se encontra uma formiga em x = xf = constante.
A massa mf da formiga é muito menor que a massa do segmento da corda em que ela se encontra. Uma onda harmônica
y(x, t) = A cos(kx − ωt + δ) é gerada na corda.
x (m)
I. A frequência do som emitido pela sirene de uma ambulância em movimento depende da direção do movimento em relação ao observador.
Seção 2. Questões discursivas (2×2,6 = 5,2 pontos)
a) Calcule a velocidade da formiga.
II. Você está no concerto ao ar livre com o vento soprando a 10m/s dos músicos até você. O som que
você escuta sofre desvio devido ao efeito Doppler.
b) Calcule a potência instantânea da onda a partir de sua definição.
c) Determine o valor máximo da amplitude da onda para que a formiga permaneça presa à corda em qualquer instante
de tempo (desconsidere a força com que a formiga se agarra à corda).
III. Um chicote estala porque a sua extremidade livre
pode se mover mais rápido que o som no ar.
d) Deduza a relação entre a velocidade v da onda, o número de onda e a sua frequência angular.
t (s)
(a)
Somente I.
(b)
Somente II.
(c)
Somente III.
(d)
Somente I e II.
(a)
x(t) = 15 cos(0.1t + π/2)
(e)
Somente I e III.
(b)
x(t) = 15 cos(0.1t − π/2)
A função x(t) que melhor descreve o movimento do oscilador harmônico mostrado no gráfico acima é dada por:
(c)
x(t) = 15 cos(0.2πt + π/2)
(d)
x(t) = 15 cos(0.2πt − π/2)
(e)
x(t) = 30 cos(0.1t + π/2)
(f)
x(t) = 30 cos(0.1t − π/2)
(g)
x(t) = 30 cos(0.2πt + π/2)
(h)
x(t) = 30 cos(0.2πt − π/2)
Resolução:
a)[0,8pt] A velocidade da formiga é a velocidade de deslocamento do segmento da corda em que ela se encontra (x = xf ):
vy =
∂y
(xf , t) = ωAsen(kxf − ωt + δ)
∂t
b)[1,0pt] A potência da onda é a taxa de variação do trabalho da força resultante na direção y
P =
∂y
∂y ∂y
dW
= Fy vy = Fy
= −T
dt
∂t
∂x ∂t
P = −T [−Aksen(kx − ωt + δ)][Aωsen(kx − ωt + δ)]
P = T A2 kωsen2 (kx − ωt + δ)
c) [0,5pt] Na situação extrema, apenas o peso é responsável pela aceleração da formiga:
mg + m
∂2y
|max = 0
∂t2
⇒ g − ω 2 Amax = 0
Amax =
d) [0,3pt]
v = λf =
g
ω2
2π ω
ω
=
k 2π
k
!
2. [2,6 pontos] O medidor de Venturi é utilizado para obter a velocidade de escoamento estacionário de um fluido não viscoso
em uma tubulação. Considere um fluido incompressı́vel, de densidade ρf , que escoa em uma tubulação com área de seção
transversal A1 . Na região de estrangulamento, a área é reduzida para A2 , e um tubo manométrico é instalado como mostrado
abaixo (vide figura). Suponha que o lı́quido do manômetro também seja incompressı́vel e que possua densidade ρl . NÃO
despreze termos com y2 − y1 .
a) Obtenha a diferença de pressão entre os pontos 1 e 2 em termos dos dados e da velocidades no ponto 1 v1 .
b) Determine a altura h lida no medidor em função da diferença de pressão entre os pontos 1 e 2.
c) Determine a velocidade de escoamento v1 em termos dos dados do problema e das respostas anteriores.
e, portanto:
h=
p1 − p2 + ρf g(y1 − y2 )
(ρl − ρf )g
(7)
(c)[0,6pt] Determine a velocidade de escoamento v1 em termos dos dados do problema e das respostas anteriores.
Igualando as diferenças de preesão obtidas em (a) e (b):
p1 − p2 =
A2
1
ρf v12 ( 21 − 1) + ρf g(y2 − y1 ) = ρf g(y2 − y1 − h) + ρl gh
2
A2
A2
1
ρf v12 ( 21 − 1) = (ρl − ρf )gh
2
A2
(8)
(9)
e, portanto:
v1 = A2
!
FIM
Resolução:
(a)[1,0pt] Obtenha a diferença de pressão entre os pontos 1 e 2 em termos dos dados e da velocidades no ponto 1 v1 . Sugestão:
Aplique a equação de Bernouilli para os pontos 1 e 2 dentro da tubulação (na mesma linha de corrente e indicados na figura).
Os pontos 1 e 2 estão na mesma linha de corrente
logo:
1
1
p1 + ρf v12 + ρf gy1 = p2 + ρf v22 + ρf gy2
2
2
(1)
1
p1 − p2 = ρf (v22 − v12 ) + ρf g(y2 − y1 )
2
(2)
Pela equação da continuidade: A1 v1 = A2 v2 Assim:
1
A2
p1 − p2 = ρf v12 ( 21 − 1) + ρf g(y2 − y1 )
2
A2
(3)
(b)[1,0pt] Determine a altura h lida no medidor em função da diferença de pressão entre os pontos 1 e 2.
A pressão em y = 0 é a mesma no lado esquerdo (fronteira em contato entre o fluido e o lı́quido do medidor) e do lado
direito. Do lado esquerdo vale:
pe = p1 + ρf gy1
(4)
e do lado direito
pd = p2 + ρf g(y2 − h) + ρl gh
(5)
p1 − p2 = −ρf gy1 + ρf g(y2 − h) + ρl gh
(6)
Assim, como pe = pd :
!
2(ρl − ρf )gh
ρf (A21 − A22 )
(10)
5. Um corpo oscila no plano horizontal ao longo de um eixo
(Ox) sob ação de uma força restauradora. Tome a origem
das coordenadas no ponto O onde a força restauradora é
nula. Considere as seguintes situações, observadas em três
tempos diferentes:
Gabarito para Versão D
Seção 1.
Múltipla escolha (8× 0,6= 4,8 pontos)
1. Enquanto a corda de uma guitarra está vibrando, você
toca levemente em um ponto que se situa na metade da
corda para garantir que a corda não vibra naquele ponto.
Que modos normais NÃO podem estar presentes na corda
enquanto você a segura assim?
(a)
Todos os modos vão estar presentes.
(b)
Todos os modos com número par de nodos.
(c)
Todos os modos com número ı́mpar de nodos.
(d)
Somente o modo fundamental pois tem nodo no
centro.
(e)
Somente o terceiro modo pois não tem nodo no
centro.
3. Marque a opção que indica quais das afirmativas abaixo
estão CORRETAS.
I. A frequência do som emitido pela sirene de uma ambulância em movimento depende da direção do movimento em relação ao observador.
II. Você está no concerto ao ar livre com o vento soprando a 10m/s dos músicos até você. O som que
você escuta sofre desvio devido ao efeito Doppler.
7. A figura abaixo mostra as linhas de corrente do escoamento em regime estacionário de um fluido incompressı́vel
através de uma tubulação cilı́ndrica de seção reta de área
constante.
I. vx > 0 e ax > 0
II. vx > 0 e ax < 0
III. vx < 0 e ax > 0
onde vx e ax são, respectivamente, a velocidade e a aceleração do corpo. Em quais situações o deslocamento x do
corpo é positivo :
(a)
somente I.
III. Um chicote estala porque a sua extremidade livre
pode se mover mais rápido que o som no ar.
(b)
somente II.
(c)
somente III.
(a)
Somente I.
(d)
somente I e II.
(b)
Somente II.
(e)
somente I e III.
(c)
Somente III.
(d)
Somente I e II.
(e)
Somente I e III.
Baseado na figura, considere as seguintes afirmações:
I. Uma vez que as linhas de corrente estão mais concentradas na região central do cilindro, a pressão
deve ser mı́nima próximo à superfı́cie lateral da tubulação.
II. As linhas de corrente na figura representam o escoamento estacionário de um fluido com viscosidade
desprezı́vel.
III. A velocidade de escoamento do fluido é maior para
as camadas de fluido mais próximas ao eixo do cilindro do que para as mais próximas à superfı́cie lateral
da tubulação.
4. A figura abaixo mostra um gráfico de posição versus
tempo de um oscilador harmônico simples.
x (m)
São VERDADEIRAS as afirmativas:
2. Um bloco suspenso em uma mola ideal se desloca com
pequenas oscilações para cima e para baixo com perı́odo
igual a 10s na Terra. Se você levar o bloco para Marte
onde a aceleração da gravidade (g) é 40% da aceleração
na Terra, considere as seguintes afirmações:
(a)
somente I.
(b)
somente II.
I. O perı́odo permanecerá o mesmo pois só depende da
massa do bloco e da constante elástica da mola.
(e)
somente I e III.
(f)
somente II e III.
(g)
todas são verdadeiras
II. A mola, na sua nova posição de equilı́libro irá se esticar de um comprimento menor em Marte do que
na Terra.
III. O perı́odo irá dimimuir pois é proporcional à raiz
quadrada de g.
Quais das afirmações acima são verdadeiras?
t (s)
A função x(t) que melhor descreve o movimento do oscilador harmônico mostrado no gráfico acima é dada por:
6. Considere que um sistema massa-mola de frequência natural ω0 e coeficiente de amortecimento γ esteja submetido a
uma força externa periódica de frequência ω. Após um intervalo de tempo suficientemente longo, podemos afirmar
que o sistema massa-mola:
(a)
x(t) = 15 cos(0.1t + π/2)
(b)
x(t) = 15 cos(0.1t − π/2)
(c)
x(t) = 15 cos(0.2πt + π/2)
(a)
está em repouso definitivo.
(a)
somente I.
(d)
x(t) = 15 cos(0.2πt − π/2)
(b)
oscila com a frequência natural ω0 .
(b)
somente II.
(e)
x(t) = 30 cos(0.1t + π/2)
(c)
oscila com a frequência da força externa ω.
(c)
somente III.
(f)
x(t) = 30 cos(0.1t − π/2)
(d)
(d)
somente I e II.
(g)
x(t) = 30 cos(0.2πt + π/2)
(e)
oscila com uma frequência múltipla inteira de ω.
oscila com uma frequência igual a ω0 + ω.
(e)
somente I e III.
(h)
x(t) = 30 cos(0.2πt − π/2)
(f)
executa um movimento caótico.
(c)
somente III.
(d)
somente I e II.
8. Em uma corda ideal é produzida a seguinte perturbação:
2
2
y(x, t) = (e−(x/b) e2xt/b e−t )a
,
onde o eixo x é horizontal e aponta para a direita e a
e b são constantes positivas. Podemos afirmar que esta
perturbação
(a)
não representa uma onda em propagação
(b)
é a superposição de duas ondas que se propagam
em sentidos opostos
(c)
é uma onda que se propaga para a direita com velocidade v = a
(d)
é uma onda que se propaga para a esquerda com
velocidade v = a
é uma onda que se propaga para a direita com velocidade v = b
é uma onda que se propaga para a esquerda com
velocidade v = b
(e)
(f)
Seção 2. Questões discursivas (2×2,6 = 5,2 pontos)
1. [2,6 pontos] Considere uma corda sujeita a uma tensão T , sobre a qual se encontra uma formiga em x = xf = constante.
A massa mf da formiga é muito menor que a massa do segmento da corda em que ela se encontra. Uma onda harmônica
y(x, t) = A cos(kx − ωt + δ) é gerada na corda.
a) Calcule a velocidade da formiga.
b) Calcule a potência instantânea da onda a partir de sua definição.
c) Determine o valor máximo da amplitude da onda para que a formiga permaneça presa à corda em qualquer instante
de tempo (desconsidere a força com que a formiga se agarra à corda).
d) Deduza a relação entre a velocidade v da onda, o número de onda e a sua frequência angular.
Resolução:
a)[0,8pt] A velocidade da formiga é a velocidade de deslocamento do segmento da corda em que ela se encontra (x = xf ):
vy =
∂y
(xf , t) = ωAsen(kxf − ωt + δ)
∂t
FIM
b)[1,0pt] A potência da onda é a taxa de variação do trabalho da força resultante na direção y
P =
∂y
∂y ∂y
dW
= Fy vy = Fy
= −T
dt
∂t
∂x ∂t
P = −T [−Aksen(kx − ωt + δ)][Aωsen(kx − ωt + δ)]
2
2
P = T A kωsen (kx − ωt + δ)
Resolução:
(a)[1,0pt] Obtenha a diferença de pressão entre os pontos 1 e 2 em termos dos dados e da velocidades no ponto 1 v1 . Sugestão:
Aplique a equação de Bernouilli para os pontos 1 e 2 dentro da tubulação (na mesma linha de corrente e indicados na figura).
Os pontos 1 e 2 estão na mesma linha de corrente
c) [0,5pt] Na situação extrema, apenas o peso é responsável pela aceleração da formiga:
∂2y
mg + m 2 |max = 0
∂t
2
⇒ g − ω Amax = 0
logo:
Amax =
g
ω2
1
1
p1 + ρf v12 + ρf gy1 = p2 + ρf v22 + ρf gy2
2
2
(1)
1
p1 − p2 = ρf (v22 − v12 ) + ρf g(y2 − y1 )
2
(2)
Pela equação da continuidade: A1 v1 = A2 v2 Assim:
d) [0,3pt]
v = λf =
2π ω
ω
=
k 2π
k
1
A2
p1 − p2 = ρf v12 ( 21 − 1) + ρf g(y2 − y1 )
2
A2
!
2. [2,6 pontos] O medidor de Venturi é utilizado para obter a velocidade de escoamento estacionário de um fluido não viscoso
em uma tubulação. Considere um fluido incompressı́vel, de densidade ρf , que escoa em uma tubulação com área de seção
transversal A1 . Na região de estrangulamento, a área é reduzida para A2 , e um tubo manométrico é instalado como mostrado
abaixo (vide figura). Suponha que o lı́quido do manômetro também seja incompressı́vel e que possua densidade ρl . NÃO
despreze termos com y2 − y1 .
a) Obtenha a diferença de pressão entre os pontos 1 e 2 em termos dos dados e da velocidades no ponto 1 v1 .
b) Determine a altura h lida no medidor em função da diferença de pressão entre os pontos 1 e 2.
c) Determine a velocidade de escoamento v1 em termos dos dados do problema e das respostas anteriores.
(3)
(b)[1,0pt] Determine a altura h lida no medidor em função da diferença de pressão entre os pontos 1 e 2.
A pressão em y = 0 é a mesma no lado esquerdo (fronteira em contato entre o fluido e o lı́quido do medidor) e do lado
direito. Do lado esquerdo vale:
pe = p1 + ρf gy1
(4)
e do lado direito
pd = p2 + ρf g(y2 − h) + ρl gh
(5)
p1 − p2 = −ρf gy1 + ρf g(y2 − h) + ρl gh
(6)
Assim, como pe = pd :
Universidade Federal do Rio de Janeiro – Instituto de Fı́sica – Fı́sica II–
2013.1
Primeira Prova: 03/06/2013
Versão: E
e, portanto:
h=
p1 − p2 + ρf g(y1 − y2 )
(ρl − ρf )g
(7)
(c)[0,6pt] Determine a velocidade de escoamento v1 em termos dos dados do problema e das respostas anteriores.
Igualando as diferenças de preesão obtidas em (a) e (b):
p1 − p2 =
A2
1
ρf v12 ( 21
2
A2
Seção 1.
− 1) + ρf g(y2 − y1 ) = ρf g(y2 − y1 − h) + ρl gh
A2
1
ρf v12 ( 21 − 1) = (ρl − ρf )gh
2
A2
(8)
(9)
e, portanto:
v1 = A2
!
2(ρl − ρf )gh
ρf (A21 − A22 )
(10)
Múltipla escolha (8× 0,6= 4,8 pontos)
1. Marque a opção que indica quais das afirmativas abaixo
estão CORRETAS.
I. A frequência do som emitido pela sirene de uma ambulância em movimento depende da direção do movimento em relação ao observador.
3. A figura abaixo mostra as linhas de corrente do escoamento em regime estacionário de um fluido incompressı́vel
através de uma tubulação cilı́ndrica de seção reta de área
constante.
II. Você está no concerto ao ar livre com o vento soprando a 10m/s dos músicos até você. O som que
você escuta sofre desvio devido ao efeito Doppler.
!
III. Um chicote estala porque a sua extremidade livre
pode se mover mais rápido que o som no ar.
(a)
Somente I.
(b)
Somente II.
(c)
Somente III.
(d)
Somente I e II.
(e)
Somente I e III.
Baseado na figura, considere as seguintes afirmações:
I. Uma vez que as linhas de corrente estão mais concentradas na região central do cilindro, a pressão
deve ser mı́nima próximo à superfı́cie lateral da tubulação.
II. As linhas de corrente na figura representam o escoamento estacionário de um fluido com viscosidade
desprezı́vel.
III. A velocidade de escoamento do fluido é maior para
as camadas de fluido mais próximas ao eixo do cilindro do que para as mais próximas à superfı́cie lateral
da tubulação.
São VERDADEIRAS as afirmativas:
2. Considere que um sistema massa-mola de frequência natural ω0 e coeficiente de amortecimento γ esteja submetido a
uma força externa periódica de frequência ω. Após um intervalo de tempo suficientemente longo, podemos afirmar
que o sistema massa-mola:
(a)
está em repouso definitivo.
(b)
oscila com a frequência natural ω0 .
(c)
oscila com a frequência da força externa ω.
(d)
oscila com uma frequência múltipla inteira de ω.
(e)
oscila com uma frequência igual a ω0 + ω.
(f)
executa um movimento caótico.
(a)
somente I.
(b)
somente II.
(c)
somente III.
(d)
somente I e II.
(e)
somente I e III.
(f)
somente II e III.
(g)
todas são verdadeiras
Seção 2. Questões discursivas (2×2,6 = 5,2 pontos)
Gabarito para Versão E
1. [2,6 pontos] Considere uma corda sujeita a uma tensão T , sobre a qual se encontra uma formiga em x = xf = constante.
A massa mf da formiga é muito menor que a massa do segmento da corda em que ela se encontra. Uma onda harmônica
y(x, t) = A cos(kx − ωt + δ) é gerada na corda.
a) Calcule a velocidade da formiga.
b) Calcule a potência instantânea da onda a partir de sua definição.
c) Determine o valor máximo da amplitude da onda para que a formiga permaneça presa à corda em qualquer instante
de tempo (desconsidere a força com que a formiga se agarra à corda).
d) Deduza a relação entre a velocidade v da onda, o número de onda e a sua frequência angular.
2. [2,6 pontos] O medidor de Venturi é utilizado para obter a velocidade de escoamento estacionário de um fluido não viscoso
em uma tubulação. Considere um fluido incompressı́vel, de densidade ρf , que escoa em uma tubulação com área de seção
transversal A1 . Na região de estrangulamento, a área é reduzida para A2 , e um tubo manométrico é instalado como mostrado
abaixo (vide figura). Suponha que o lı́quido do manômetro também seja incompressı́vel e que possua densidade ρl . NÃO
despreze termos com y2 − y1 .
Seção 1.
Múltipla escolha (8× 0,6= 4,8 pontos)
1. Marque a opção que indica quais das afirmativas abaixo
estão CORRETAS.
I. A frequência do som emitido pela sirene de uma ambulância em movimento depende da direção do movimento em relação ao observador.
3. A figura abaixo mostra as linhas de corrente do escoamento em regime estacionário de um fluido incompressı́vel
através de uma tubulação cilı́ndrica de seção reta de área
constante.
II. Você está no concerto ao ar livre com o vento soprando a 10m/s dos músicos até você. O som que
você escuta sofre desvio devido ao efeito Doppler.
III. Um chicote estala porque a sua extremidade livre
pode se mover mais rápido que o som no ar.
(a)
Somente I.
(b)
Somente II.
(c)
Somente III.
(d)
Somente I e II.
(e)
Somente I e III.
Baseado na figura, considere as seguintes afirmações:
I. Uma vez que as linhas de corrente estão mais concentradas na região central do cilindro, a pressão
deve ser mı́nima próximo à superfı́cie lateral da tubulação.
II. As linhas de corrente na figura representam o escoamento estacionário de um fluido com viscosidade
desprezı́vel.
III. A velocidade de escoamento do fluido é maior para
as camadas de fluido mais próximas ao eixo do cilindro do que para as mais próximas à superfı́cie lateral
da tubulação.
São VERDADEIRAS as afirmativas:
a) Obtenha a diferença de pressão entre os pontos 1 e 2 em termos dos dados e da velocidades no ponto 1 v1 .
2. Considere que um sistema massa-mola de frequência natural ω0 e coeficiente de amortecimento γ esteja submetido a
uma força externa periódica de frequência ω. Após um intervalo de tempo suficientemente longo, podemos afirmar
que o sistema massa-mola:
b) Determine a altura h lida no medidor em função da diferença de pressão entre os pontos 1 e 2.
(a)
c) Determine a velocidade de escoamento v1 em termos dos dados do problema e das respostas anteriores.
(b)
oscila com a frequência natural ω0 .
(c)
oscila com a frequência da força externa ω.
(d)
oscila com uma frequência múltipla inteira de ω.
FIM
está em repouso definitivo.
(e)
oscila com uma frequência igual a ω0 + ω.
(f)
executa um movimento caótico.
(a)
somente I.
(b)
somente II.
(c)
somente III.
(d)
somente I e II.
(e)
somente I e III.
(f)
somente II e III.
(g)
todas são verdadeiras
4. Em uma corda ideal é produzida a seguinte perturbação:
−(x/b)2 2xt/b −t2 a
y(x, t) = (e
e
e
)
,
onde o eixo x é horizontal e aponta para a direita e a
e b são constantes positivas. Podemos afirmar que esta
perturbação
6. Enquanto a corda de uma guitarra está vibrando, você
toca levemente em um ponto que se situa na metade da
corda para garantir que a corda não vibra naquele ponto.
Que modos normais NÃO podem estar presentes na corda
enquanto você a segura assim?
(a)
Todos os modos vão estar presentes.
(a)
não representa uma onda em propagação
(b)
Todos os modos com número par de nodos.
(b)
é a superposição de duas ondas que se propagam
em sentidos opostos
(c)
Todos os modos com número ı́mpar de nodos.
(d)
(c)
é uma onda que se propaga para a direita com velocidade v = a
Somente o modo fundamental pois tem nodo no
centro.
(e)
(d)
é uma onda que se propaga para a esquerda com
velocidade v = a
é uma onda que se propaga para a direita com velocidade v = b
é uma onda que se propaga para a esquerda com
velocidade v = b
Somente o terceiro modo pois não tem nodo no
centro.
(e)
(f)
8. A figura abaixo mostra um gráfico de posição versus
tempo de um oscilador harmônico simples.
x (m)
t (s)
A função x(t) que melhor descreve o movimento do oscilador harmônico mostrado no gráfico acima é dada por:
(a)
x(t) = 15 cos(0.1t + π/2)
(b)
x(t) = 15 cos(0.1t − π/2)
(c)
x(t) = 15 cos(0.2πt + π/2)
(g)
é uma onda que se propaga para a direita com velocidade v = a/b
(d)
x(t) = 15 cos(0.2πt − π/2)
(h)
é uma onda que se propaga para a esquerda com
velocidade v = a/b
(e)
x(t) = 30 cos(0.1t + π/2)
(f)
x(t) = 30 cos(0.1t − π/2)
(g)
x(t) = 30 cos(0.2πt + π/2)
(h)
x(t) = 30 cos(0.2πt − π/2)
5. Um bloco suspenso em uma mola ideal se desloca com
pequenas oscilações para cima e para baixo com perı́odo
igual a 10s na Terra. Se você levar o bloco para Marte
onde a aceleração da gravidade (g) é 40% da aceleração
na Terra, considere as seguintes afirmações:
I. O perı́odo permanecerá o mesmo pois só depende da
massa do bloco e da constante elástica da mola.
II. A mola, na sua nova posição de equilı́libro irá se esticar de um comprimento menor em Marte do que
na Terra.
III. O perı́odo irá dimimuir pois é proporcional à raiz
quadrada de g.
Quais das afirmações acima são verdadeiras?
7. Um corpo oscila no plano horizontal ao longo de um eixo
(Ox) sob ação de uma força restauradora. Tome a origem
das coordenadas no ponto O onde a força restauradora é
nula. Considere as seguintes situações, observadas em três
tempos diferentes:
I. vx > 0 e ax > 0
II. vx > 0 e ax < 0
III. vx < 0 e ax > 0
onde vx e ax são, respectivamente, a velocidade e a aceleração do corpo. Em quais situações o deslocamento x do
corpo é positivo :
(a)
somente I.
(a)
somente I.
(b)
somente II.
(b)
somente II.
(c)
somente III.
(c)
somente III.
(d)
somente I e II.
(d)
somente I e II.
(e)
somente I e III.
(e)
somente I e III.
Seção 2. Questões discursivas (2×2,6 = 5,2 pontos)
1. [2,6 pontos] Considere uma corda sujeita a uma tensão T , sobre a qual se encontra uma formiga em x = xf = constante.
A massa mf da formiga é muito menor que a massa do segmento da corda em que ela se encontra. Uma onda harmônica
y(x, t) = A cos(kx − ωt + δ) é gerada na corda.
a) Calcule a velocidade da formiga.
b) Calcule a potência instantânea da onda a partir de sua definição.
c) Determine o valor máximo da amplitude da onda para que a formiga permaneça presa à corda em qualquer instante
de tempo (desconsidere a força com que a formiga se agarra à corda).
d) Deduza a relação entre a velocidade v da onda, o número de onda e a sua frequência angular.
Resolução:
a)[0,8pt] A velocidade da formiga é a velocidade de deslocamento do segmento da corda em que ela se encontra (x = xf ):
vy =
∂y
(xf , t) = ωAsen(kxf − ωt + δ)
∂t
FIM
b)[1,0pt] A potência da onda é a taxa de variação do trabalho da força resultante na direção y
P =
∂y
∂y ∂y
dW
= Fy vy = Fy
= −T
dt
∂t
∂x ∂t
P = −T [−Aksen(kx − ωt + δ)][Aωsen(kx − ωt + δ)]
2
2
P = T A kωsen (kx − ωt + δ)
Resolução:
(a)[1,0pt] Obtenha a diferença de pressão entre os pontos 1 e 2 em termos dos dados e da velocidades no ponto 1 v1 . Sugestão:
Aplique a equação de Bernouilli para os pontos 1 e 2 dentro da tubulação (na mesma linha de corrente e indicados na figura).
Os pontos 1 e 2 estão na mesma linha de corrente
c) [0,5pt] Na situação extrema, apenas o peso é responsável pela aceleração da formiga:
∂2y
mg + m 2 |max = 0
∂t
2
⇒ g − ω Amax = 0
logo:
Amax =
g
ω2
1
1
p1 + ρf v12 + ρf gy1 = p2 + ρf v22 + ρf gy2
2
2
(1)
1
p1 − p2 = ρf (v22 − v12 ) + ρf g(y2 − y1 )
2
(2)
Pela equação da continuidade: A1 v1 = A2 v2 Assim:
d) [0,3pt]
v = λf =
2π ω
ω
=
k 2π
k
1
A2
p1 − p2 = ρf v12 ( 21 − 1) + ρf g(y2 − y1 )
2
A2
!
2. [2,6 pontos] O medidor de Venturi é utilizado para obter a velocidade de escoamento estacionário de um fluido não viscoso
em uma tubulação. Considere um fluido incompressı́vel, de densidade ρf , que escoa em uma tubulação com área de seção
transversal A1 . Na região de estrangulamento, a área é reduzida para A2 , e um tubo manométrico é instalado como mostrado
abaixo (vide figura). Suponha que o lı́quido do manômetro também seja incompressı́vel e que possua densidade ρl . NÃO
despreze termos com y2 − y1 .
a) Obtenha a diferença de pressão entre os pontos 1 e 2 em termos dos dados e da velocidades no ponto 1 v1 .
b) Determine a altura h lida no medidor em função da diferença de pressão entre os pontos 1 e 2.
c) Determine a velocidade de escoamento v1 em termos dos dados do problema e das respostas anteriores.
(3)
(b)[1,0pt] Determine a altura h lida no medidor em função da diferença de pressão entre os pontos 1 e 2.
A pressão em y = 0 é a mesma no lado esquerdo (fronteira em contato entre o fluido e o lı́quido do medidor) e do lado
direito. Do lado esquerdo vale:
pe = p1 + ρf gy1
(4)
e do lado direito
pd = p2 + ρf g(y2 − h) + ρl gh
(5)
p1 − p2 = −ρf gy1 + ρf g(y2 − h) + ρl gh
(6)
Assim, como pe = pd :
e, portanto:
h=
p1 − p2 + ρf g(y1 − y2 )
(ρl − ρf )g
(7)
(c)[0,6pt] Determine a velocidade de escoamento v1 em termos dos dados do problema e das respostas anteriores.
Igualando as diferenças de preesão obtidas em (a) e (b):
p1 − p2 =
A2
1
ρf v12 ( 21 − 1) + ρf g(y2 − y1 ) = ρf g(y2 − y1 − h) + ρl gh
2
A2
A2
1
ρf v12 ( 21 − 1) = (ρl − ρf )gh
2
A2
(8)
(9)
e, portanto:
v1 = A2
!
!
2(ρl − ρf )gh
ρf (A21 − A22 )
(10)