Mecânica e Ondas
Série 7
Docentes da disciplina: Orfeu Bertolami, Ana M. Martins e Mario J. Pinheiro
Licenciaturas em Eng. Mecânica e Naval∗
Departmento de Fı́sica e Instituto de Plasmas e Fusão Nuclear,
Instituto Superior Técnico, Av. Rovisco Pais,
& 1049-001 Lisboa, Portugal
Phone: 351.1.21.841.93.22
351.1.21.846.44.55†
(Dated: June 18, 2008)
I.
MOVIMENTOS OSCILATÓRIOS
1) Um corpo de massa m = 2 kg move-se sem atrito sobre um plano horizontal preso a duas molas iguais de
comprimento próprio L = 0.4 m e constante elástica K = 10 N/m, conforme mostra a Fig. 1. A distância d entre os
pontos A e B é de 1.0 m.
a) Escreva a equação diferencial do movimento para a função x(t) que representa o afastamento do corpo relativamente à sua posição de equilı́brio (ponto médio do segmento AB);
b) Determine a frequência da oscilação;
c) Se no instante inicial o corpo se encontrar na origem com uma velocidade de 0.5 m/s, qual vai ser a amplitude e
fase inicial da oscilação?
2. Uma massa m presa a uma mola elástica de constante K realiza oscilações de amplitude A na direcção horizontal.
No instante t = 0 a mola encontra-se na sua posição de equilı́brio.
a) Escreva a forma explı́cita das funcções x(t) e ẋ(t) que descrevem a posição da massa m (relativamente à posição
de equilı́brio) e a sua velocidade. Identifique o perı́odo da oscilação;
b) Determine, a partir da definição, o trabalho da força elástica no trajecto entre a posição de equilı́brio e o valor
máximo da oscilação. Compare com os valores da energia cinética do corpo quando passa pela posição de equilı́brio
e com a energia potencial elástica da mola no ponto de elongação máxima;
c) Calcule o trabalho da força elástica entre os instantes t = 0 e t = T /8;
d) Qual é o trabalho da força elástica durante um perı́odo?
3. Uma esfera de massa m = 5 kg e raio R = 25 cm oscila verticalmente suspensa numa das extremidades de uma
mola elástica de constante K = 200 N/m e comprimento próprio l = 0.5 m.
a) Escreva a equação de Newton para o movimento e determine a posição de equilı́brio da massa;
b) Escreva a solução geral dessa equaçãao;
FIG. 1: Prob.1
∗ Electronic
† versão
1.0
address: [email protected]
2
c) Qual é o perı́odo da oscilação?
d) Sabendo que no instante t = 0 a mola se encontra na posição de equilı́brio com uma velocidade v0 = 1.5 m/s
dirigida para baixo, encontre o valor das constantes de integração que surgem na solução geral.
4. Considere que o sistema descrito no problema anterior é imerso em água a 20o C (densidade d = 1.00, viscosidade
η = 1.005 × 10−3 kg/ms) e o factor de forma de uma esfera é κ = 6πR.
a) Escreva a equação do movimento para este sistema;
b) Dê a solução geral da equação e identifique a frequência angular da oscilação.
c) Quanto tempo leva a amplitude da oscilação a reduzir-se a um décimo do valor inicial?
5. Um bloco de gelo com a forma de um cubo de aresta a = 2 m e densidade dg = 0.92 flutua no Oceano Glacial
Ártico, cuja água salgada tem uma densidade média da = 1.06. Sobre o bloco de gelo encontra-se em repouso uma
foca de massa 100 kg.
a) Determine o volume de gelo imerso e a sua altura;
b) A foca abandona lentamente o bloco de gelo. Escreva a equação do movimento oscilatório que se segue (despreze
o atrito). Qual a frequência e a amplitude das oscilações?
6. Duas massas, de valor m1 e m2 , ligadas entre si por uma mola elástica de constante K e comprimento próprio lo ,
caem verticalmente de uma altura h À lo .
a) Escreva as equações do movimento para a posição z1 e z2 de cada uma das massas relativamente ao solo;
b) Escreva as equações do movimento para a posição do centro de massa Z, e para a coordenada relativa z (que dá
a posição de uma partı́cula relativamente à outra). Qual a vantagem de usar estas coordenadas em lugar de z1 e z2 ?
c) Por integração das equações do movimento deduzidas em b), encontre as funções Z(t) e z(t) que descrevem o
movimento do centro de massa e o movimento relativo entre as massas.
7. O sistema de amortecedores de um automóvel de 1000 kg de massa pode ser assimilado a uma mola elástica
de constante K = 105 N/m. O automóvel roda por uma estrada cheia de lombas cujo perfil é aproximadamente
uma sinusoide, sendo a distância entre dois máximos consecutivos de 10m. Desprezando os efeitos dos atritos nos
amortecedores, determine a velocidade do automóvel para a qual o sistema entra em ressonância.
8. Uma partı́cula de massa m oscila em torno do mı́nimo do potencial representado por:
V (x) = A(1 − cos x), comx²[−π/2, +π/2].
(1)
a) Escreva a equação dopmovimento da partı́cula. Mostre que, para pequenas oscilações, isto é, x ¿ 1, a frequência
da oscilaçõao é dada por A/m;
b) Qual a energia total da partı́cula nas condições referidas?
c) Admitindo que iria ainda actuar uma força de atrito proporcional à velocidade, qual teria de ser o coeficiente de
amortecimento para que a amplitude das oscilações se reduzisse a metade do seu valor inicial ao fim de 10 s?
9. Um pêndulo, de 1 m de comprimento, é largado sem velocidade inicial de um ângulo de 5o . Tendo-se verificado que
a amplitude das suas oscilações se reduziu a metade ao fim de 5 minutos. Use a aproximação das pequenas oscilações.
a) Escreva a sua equação do movimento;
b) Escreva a sua solução geral;
c) Calcule o coeficiente de amortecimento;
d) Calcule a frequência do movimento;
e) Particularize a solução geral para este caso;
f) Qual a frequência exterior que se deve aplicar ao sistema para que ele entre em ressonância.
A.
Ondas
10. Ondas transversais numa corda vibrante. −
→
Considere uma corda sujeita a uma tensão T , na qual se desloca um dos seus pontos perpendicularmente ao seu
comprimento. Sabendo que a corda tem secção S e massa especı́fica ρ, determine:
a) A velocidade de propagação das ondas transversais na corda;
b) As soluções de onda que verificam a equação de onda obtida na alı́nea anterior;
c) As frequências dos modos próprios de vibração, no caso de uma corda de comprimento L;
−
→
d) A variação das frequências dos modos próprios quando aumentamos para o dobro: a amplitude da tensão T ; o
raio da corda; o comprimento da corda.
e) Particularize para a uma corda com comprimento L = 1 m, raio R = 0.25 mm, massa especı́fica ρ = 5 × 10−3
−
→
g/mm3 e sujeita a uma tensão de módulo | T |= 10 N.
Resolução
3
−
→
10. a) Considere uma corda sujeita a uma tensão T , na qual se desloca um dos seus pontos perpendicularmente ao
comprimento. Num troço de comprimento dl ' dx que foi deslocado de uma distância dy da sua posição de equilı́brio,
−
→
existe uma força tangencial T em cada uma das extremidades, uma produzida pela parte restante da corda à sua
esquerda e outra produzida pela parte restante da corda à sua direita. As duas forças não são opostas devido à
curvatura do fio.
As componentes verticais da tensão nas extremidades são iguais a
Ty = −T sin α
Ty0 = T sin α0
(2)
A força vertical resultante que se exerce sobre este troço é:
T (sin α0 − sin α).
(3)
Se as curvaturas não forem muito grandes, os ângulos α e α0 são pequenos e podem ser substituı́dos pelas tangentes
T (tan α0 − tan α) = T ∆(tan α)
(4)
e, portanto,
dFy = T d(tan α) = T
∂
(tan α)dx.
∂x
(5)
Usamos aqui a derivada parcial porque tan α depende tanto da posição x, como do tempo t. Ora, tan α é o grau de
inclinação do troço da corda, pelo que se tem também
tan α =
∂y
∂x
(6)
e, portanto,
dFy = T
∂
∂x
µ
∂y
∂x
¶
dx = T
∂2y
dx.
∂x2
(7)
De acordo com a 2a lei de Newton, esta força é igual à massa do troço da corda (dl ' dx) a multiplicar pela aceleração
vertical
∂2y
∂t2
(8)
dm = ρSdx,
(9)
dFy = dm
com
sendo ρ a massa especı́fica da corda e S a sua secção. Igualando as duas express.oes para dFy , obtém-se:
T
∂2y
∂2y
dx = ρS 2 dx
2
∂x
∂t
(10)
e, portanto,
∂2y
ρS ∂ 2 y
−
= 0.
2
∂x
T ∂t2
(11)
1 ∂2y
∂2y
− 2 2 =0
2
∂x
v ∂t
(12)
A equação
é a equação de propagação de um onda transversal na corda, sendo
s
T
v=
ρS
(13)
4
a velocidade de propagação.
b) A equação da onda admite como solução uma função do tipo
y(x, t) = y1 (x − vt) + y2 (x + vt),
(14)
u1 = x − vt
u2 = x + vt
(15)
como se pode provar.
Fazendo
tem-se
∂y
∂t
∂2y
∂t2
dy1 ∂u1
dy2
du1 ∂t + du2
2
= dduy21 (−v)2 +
1
=
dy1
dy2
∂u2
∂t = du1 (−v) + du2 (v)
2
2
2
d y2 2
v = v 2 ( dduy21 + dduy22 )
du22
1
2
(16)
enquanto que
∂2y
d2 y1
d2 y2
=
+
∂x2
du21
du22
(17)
∂2y
∂2y
= v2 2 .
2
∂x
∂x
(18)
e, portanto,
A solução da equação de onda tem assim dois termos
y(x, t) = y1 (x.vt) + y2 (x + vt).
(19)
Como a amplitude do deslocamento vertical é a mesma nos pontos onde os argumentos u = x ∓ vt se mantém
constantes, obtém-se:
i) Para a primeira solução
x − vt = C1 ⇒ x = C1 + vt,
(20)
isto é, a onda propaga-se no sentido positivo do eixo dos xx (onda progressiva), pois quando t aumenta os pontos que
apresentam o mesmo valor C1 ocorrem em posições x mais elevadas;
ii) Para o segunda solução
x + vt = C1 ⇒ x = C2 − vt,
(21)
a onda propaga-se no sentido negativo do eixo dos xx (onda regressiva).
Partem assim duas ondas em sentidos opostos a partir do ponto em que a corda é perturbada. Consideremos agora
que a corda é perturbada de uma forma periódica, sendo portanto, a solução do tipo harmónico
y(x, t) = yo1 sin(k(x − vt)) + yo2 sin(k(x + vt)).
(22)
O coeficiente k introduzido na expressão das soluções, tem dimensões de um inverso de um comprimento, de forma
ao argumento da função seno ser adimensional. Tem-se portanto
y(x, t) = yo1 sin(kx − kvt) + yo2 sin(kx + kvt).
(23)
Se fixarmos um dado instante no tempo, por exemplo, t = 0, tem-se para a onda progressiva (a análise da onda
regressiva é semelhante)
y1 (x, 0) = y01 sin(kx).
(24)
A função seno apresenta o mesmo valor quando o seu argumento varia de 2π, pelo que se tem
kλ = 2π,
(25)
5
sendo λ o comprimento de onda, e portanto
k=
2π
λ
(26)
traduz o número de comprimentos de onda que existe em 2π, e é designado por número de onda; k é assim uma
frequência espacial.
Da mesma forma, se fixarmos a análise numa dada posição x = 0, tem-se para a onda progressiva
y1 (0, t) = y01 sin(−kvt) = −y01 sin(kvt).
(27)
Mais uma vez, como a função seno apresenta o mesmo valor quando o seu argumento varia de 2π, tem-se
kvT = 2π,
(28)
sendo T o perı́odo temporal. Tem-se assim que kv é a frequência angular
kv =
2π
= ω.
T
(29)
À relação
ω = kv
(30)
chama-se relação de dispersão e substituindo nesta equação ω e k, obtém-se a seguinte relação entre o comprimento
de onda e o perı́odo
(31)
λ = vT.
c) Considere agora uma onda progressiva e uma onda regressiva harmónicas com a mesma amplitude
y(x, t) = yo sin(kx − ωt) + yo sin(kx + ωt)
(32)
A soma das duas funções permite obter
y(x, t) = yo (sin(kx) cos(−ωt) + cos(kx) sin(−ωt) + sin(kx) cos(ωt) + cos(kx) sin(ωt))
y(x, t) = 2yo sin(kx) cos(ωt)
(33)
Obtém-se uma onda estacionária, na qual uma dada dependência espacial fixa ao longo da corda, sin(kx), oscila
harmonicamente em todos os seus pontos com a mesma frequência ω.
Para que a soma das duas ondas “andantes” resulte numa onda estacionária é preciso que a fase na origem das
duas ondas seja a mesma, o que se consegue fazendo com que ao longo da corda surjam os modos de vibração que se
mostram na figura seguinte, Fig. 2.
Nas extremidades sin(kx) = 0, com x = 0 e L. Como sin(kL) = 0 para kL = nπ, tem-se
π
L
(34)
2π
2L
=
.
kn
n
(35)
kn = n
e, portanto,
λn =
As frequências angulares dos modos de vibração são dados por
s
π
ωn = kn v = n
L
T
ρS
(36)
e, em termos da frequência,
f=
ω
2π
(37)
6
FIG. 2: Corda vibrante.
tem-se
s
1
fn = n
2L
d) Da expressão anterior, vê-se facilmente que
T
.
ρS
(38)
√
T → 2T ⇒ ωn → 2ωn
R → 2R ⇒ ωn → ω2n
L → 2L ⇒ ωn → ω2n
(39)
L = 1m, R = 0.25mm, ρ = 5 × 10−3 g/mm3 , T = 10N
(40)
S = π × R2 = 0.196mm2 ,
(41)
λ = ρS = 5 × 10−3 × 0.196 = 0.98 × 10−3 g/mm ' 1.0g/m
(42)
e) Aplicando agora os valores:
A secção da corda será então:
pelo que a densidade linear de massa é
para a velocidade de propagaçãao tem-se então
r
r
T
10
v=
=
= 1.01 × 102 m/s
λ
0.98 × 10−3
para cada um dos modos de frequência tem-se
v
v
v
fn =
=
=n
λn
2L/n
2L
(43)
(44)
assim tem-se para a frequência fundamental
f1 = 1 ×
1.01 × 102
= 50Hz
2×1
(45)
fn = nf1 .
(46)
e, portanto, para os outros modos