LIMITES
O desenvolvimento do cálculo foi estimulado por dois problemas geométricos:
achar as áreas de regiões planas e as retas tangentes à curva. Esses problemas requerem
um “processo de limite” para sua solução. Entretanto, o processo de limites ocorre em
muitas outras aplicações, sendo o alicerce sobre o qual todos os outros conceitos do
cálculo estão baseados (Anton, 2000).
Para iniciarmos o estudo de limites, analisemos os seguintes exemplos de
sucessões numéricas:
(1) 1, 2, 3, 4, 5, 6, ...............
1 2 3 4 5
(2) , , , , , ...............
2 3 4 5 6
(3) 1, 0, -1, -2, -3, ...............
3
5
7
(4) 1, , 3, , 5, , 7 ..........
2
4
6
1 1 1 1
(5) , , ,
, ..............
5 10 15 20
Na sucessão (1), os termos tornam−se cada vez maiores sem atingir um limite.
Dado um número real, por maior que seja, podemos sempre encontrar na sucessão um
termo maior. Dizemos então que os termos desta sucessão tendem para o infinito ou que
o limite da sucessão é infinito. Denota−se x → +∞.
Na sucessão (2) os termos crescem, mas não ilimitadamente. Os números se
aproximam cada vez mais de 1, sem nunca atingirem este valor. Dizemos que x → 1.
De maneira análoga na sucessão (3), x → - ∞.
Em (4) os termos da sucessão oscilam sem tender para um limite e em (5), os
termos diminuem e dizemos que x → 0.
1 − Limite de uma função
O uso básico de limites é para descrever como uma função se comporta quando a
variável independente x tende a um dado valor. Por exemplo, examinemos o
comportamento da função f(x) = 2x + 4 próximo ao ponto x = 1:
y
aproximação pelo lado direito de x = 1 (ou x → 1+)
6
x
f(x)
1
x
−
aproximação pelo lado esquerdo de x = 1 (ou x → 1 )
x
f(x)
Isto nos leva a seguinte idéia geral:
Seja L o valor da função f(x) no ponto x = a. Se os valores de f(x) puderem ser
tomados tão próximos quanto quisermos de L, fazendo x suficientemente próximo de
a, mas não necessariamente igual a a, então podemos escrever
ou f(x) → L quando x → a
lim f(x) = L
x→a
No nosso exemplo temos:
lim 2x + 4 = 6
x →1
ou
2x + 4 → 6 quando x → 1
Exercícios:
Determine o limite das seguintes funções e esboce os gráficos:
1 - f(x) = 4x, quando x → 2
2 - g(x) = x2 − x + 1, quando x → ±∞
3 - h(x) =
1
,
x
quando x → ± ∞
Derivadas
1- Introdução
Muitos fenômenos físicos envolvem grandezas que variam (a velocidade, a inflação
da moeda, o número de bactérias em uma cultura, a intensidade de terremotos, a
voltagem de um sistema elétrico, e assim por diante). A derivada é uma ferramenta
matemática usada para estudar taxas nas quais variam as grandezas físicas. Veremos
agora, a estreita relação que existe entre taxas de variação e retas tangentes a gráficos.
2- A Reta Tangente
Muitos dos problemas importantes do Cálculo envolvem a determinação da reta
tangente a uma curva dada, em um determinado ponto dela. O problema de encontrar a
reta tangente em um ponto P(x1,y1) da curva consiste, basicamente, na determinação da
inclinação da reta procurada.
Seja y = f(x) uma curva definida no intervalo (a,b).
Sejam P(x1, y1) e Q(x2, y2) dois pontos distintos desta curva e s a reta secante que
passa por estes pontos.
Considerando o triângulo retângulo formado por PMQ mostrado na figura abaixo,
temos que a inclinação da reta s (ou o coeficiente angular da reta s) é dada por:
msec = tg α =
y 2 − y1 ∆y
=
x 2 − x1 ∆x
(1)
Obs.1: A velocidade média durante um intervalo de tempo, denotada por vm, é
vm =
d1 − d 0
f (t1 ) − f (t 0 )
=
que é exatamente a inclinação da reta secante.
t1 − t 0
t1 − t 0
y
Q(x2, y2)
P(x1, y1)
∆y
M
∆x
x
Suponhamos que mantendo P fixo, Q se mova sobre a curva em direção a P. À
medida que Q se aproxima de P, a inclinação da reta secante s varia cada vez menos,
tendendo para um valor limite constante. Este valor limite dos dá a inclinação da reta
tangente à curva no ponto P, que é dada por:
f ( x 2 ) − f ( x1 )
∆y
= lim
Q → P ∆x
Q→ P
x 2 − x1
mtg = lim
(2)
quando o limite existir.
Fazendo x2 = x1 +∆x podemos reescrever (2) na forma:
m( x1 ) = lim
∆x →0
f ( x1 + ∆x) − f ( x1 )
∆x
(3)
Assim, tendo o coeficiente angular e um ponto P de tangencia pode−se encontrar
a equação da reta tangente neste ponto P.
O denominador ∆x é a variação de x enquanto o numerador ∆y é a variação de y.
o quociente ∆y por ∆x nos dá a taxa de variação.
Obs.2: A velocidade instantânea, no instante t0, denotada por vi, é
vi = lim v m = lim
t1→t
0
t1→t
0
f (t1 ) − f (t 0 )
t1 − t 0
que pode ser interpretada como a inclinação da
reta tangente à curva de posição no ponto (t0, f(t0)) quando t1 → t0.
Pode-se obter aproximações cada vez mais precisas da inclinação ou coeficiente
angular da reta tangente, escolhendo-se uma seqüência de pontos cada vez mais
próximos do ponto de tangência. Esta discussão leva-nos à seguinte definição:
Seja f uma função definida em um intervalo aberto contendo x1. Caso o limite
lim msec = lim
∆x →0
∆x →0
f (x1 + ∆x ) − f ( x1 )
∆y
= lim
=m
∆
x
→
0
∆x
∆x
exista, chamaremos de reta tangente ao gráfico de f no ponto (x1, f(x1)), a reta
que passa por este ponto, tem inclinação m e equação dada por: y– f(x1) = m (x
– x 1)
3 - A Derivada de uma Função
O limite que usamos para definir a inclinação da reta tangente também é usado para
definir uma das duas operações fundamentais do Cálculo – a diferenciação.
A derivada de f em x é dada por
f ′( x ) = lim
∆x → 0
f ( x + ∆x ) − f ( x )
∆x
desde que o limite exista.
O processo de encontrar a derivada de uma função é chamado de diferenciação.
Uma função é dita diferenciável em x, se sua derivada existe em x, e é diferenciável em
um intervalo aberto (a,b) se for diferenciável em todos os pontos do intervalo.
Além de f ′(x ) , que se lê “f linha de x”, usam-se outras notações para derivada de
y = f ( x ) . As mais comuns são
f ′(x ) ,
Lê-se a notação
limites, tem-se
dy
d
, y′ ,
[ f (x )], D x [ y ]
dx
dx
dy
como “a derivada de y em relação a x”. Usando a notação de
dx
dy
∆y
f ( x + ∆x ) − f ( x )
= f ′( x )
= lim
= lim
x
x
∆
→
0
∆
→
0
dx
∆x
∆x
Ex.1: Encontre a derivada de f(x) = x2+2x
Ex.2: Dada a função f(x) = 2x2 –3, determine:
(a) f’(x)
(b) f’(x) em x = -1
Ex.3: Encontre a derivada de f(x) = x -1
3 - Regras de Diferenciação
Como o processo de encontrar a derivada de uma função pela definição é um
processo usualmente demorado, precisamos de alguns teoremas que nos possibilitem
encontrá-la mais facilmente.
3.1 - A Derivada de Uma Constante
Teorema: A derivada de uma constante é zero .
d
[c] = 0 , c uma constante
dx
Exemplos:
(a) Se f(x) = - π , então f ′( x ) =
dy
(b) Se y = 7, então
=
dx
3.2 - A Derivada de Uma Função Potência
Teorema: Se n é qualquer número real, então
d n
x = nx n −1
dx
[ ]
Exemplos:
(a) Se f(x) = x 8 , então f’(x) =
1
dy
(b) *Se y = 2 , então
=
dx
x
(c) Se g(y) = y , então g’(x) =
(d) Se h (x) = x, então h’(x) =
3.3 − A Derivada de Uma Constante, vezes Uma Função
Teorema: Se f é uma função diferenciável e c é uma constante, então
d
[cf (x )] = cf ′(x )
dx
*
Escrever a função em uma outra é o primeiro passo em muitos problemas de diferenciação.
Informalmente, este teorema diz que as constantes podem ser fatoradas para fora do
processo de diferenciação.
d
[cf (x )] = c d [Οf (x )] = cf ′(x )
dx
dx
Essa regra é esquecida muitas vezes, especialmente quando a constante aparece no
denominador.
 1 d
d  f ( x )  d  1 
1
=
  f ( x ) =   [Οf (x )] =   f ′( x )



dx  c  dx  c 
c
  c  dx
É útil saber que os dois últimos teoremas podem ser combinados.
A regra para a combinação é Dx [cx n ] = cnx n−1 .
Exemplos:
(a) Se g(x) = 3πx , então g’(x) =
(b) Se f(x) =
2
9x 3
, então f’(x) =
2
4t
, então f’(t) =
5
2
(d) Se H(s) = , então H’(s) =
s
1
dy
(e) Se y =
, então
=
3 2
dx
2 x
(c) Se f(t) =
3.4 - A Derivada da Soma ou Diferença de Duas Funções11
Teorema: A derivada da soma (ou diferença) de duas funções diferenciáveis é a soma
(ou diferença) de suas derivadas.
d
[ f (x ) + g (x )] = f ′(x ) + g ′(x )
dx
d
[ f (x ) − g (x )] = f ′(x ) − g ′(x )
dx
11
Regra para a soma
Regra para a subtração
As regras para somas e subtrações podem ser estendidas para qualquer número finito de funções. Por
exemplo, se F (x ) = f (x ) + g ( x ) − h( x ) − k ( x ) então, F ′(x ) = f ′(x ) + g ′(x ) − h ′(x ) − k ′(x )
Exemplos :
(a) Se f(s) = s 3 − 4s + 5 , então f ′(s ) =
(b) Se g(x) = −
x4
+ 3 x 3 − 2 x , então g ′( x ) =
2
3.5 - A Derivada do Produto de Duas Funções12
Teorema: O produto de duas funções diferenciáveis f e g é diferenciável. Além disso, a
derivada do produto é a primeira função vezes a derivada da segunda mais
a segunda, vezes a derivada da primeira.
d
[ f (x )g (x )] = f (x )g ′(x ) + g (x ) f ′(x )
dx
Exemplos: Encontre a derivada de:
(
)
(a) f ( x ) = 3 x − 2 x 2 (5 + 4 x )
(
(b) y = 1 + x
−1
)(x − 1)
3.6 - A Derivada do Quociente de Duas Funções
f
de duas funções diferenciáveis f e g é diferenciável em
g
f
todos os pontos x para os quais g ( x ) ≠ 0 . Além disso, a derivada de
é
g
dada pela derivada do numerador vezes o denominador menos o numerador
vezes a derivada do denominador, tudo isso dividido pelo denominador ao
quadrado;
Teorema: O quociente
d  f ( x ) f ′(x )g ( x) − f ( x )g ′( x )
, g (x ) ≠ 0
=
dx  g ( x ) 
[g (x )]2
12
Note que a derivada de um produto de duas funções não é (em geral) o produto das derivadas das duas
funções.
Exemplos: Encontre a derivada de:
(1) f ( x ) =
(2) h( z ) =
(3) y =
5x − 2
x2 +1
z 2 + 3z
6
9
5x 2
(4) f(x) =
1
x
1
3− 
 x
(5) y =
x+5
Ex.6: Uma partícula move−se na direção positiva de um eixo de tal forma que, após t
minutos, a sua distância é de d = 6t4 centímetros de sua origem.
(a) Ache a velocidade média da partícula no intervalo [2,4]. R: 720 cm/min
(b) Ache a velocidade instantânea em t = 2. R: 192 cm/min
Ex.7: Durante os 40 segundos iniciais de vôo, um foguete é disparado diretamente para
cima, de tal forma que a altura atingida em t segundos é de s = 5t3 pés.
(a) Qual é a altura atingida em 40 s ? R: 320.000 pés
(b) Qual é a velocidade média do foguete durante os primeiros 40 s ? R:8.000 pés/s
(c) Qual é a velocidade instantânea ao fim dos 40 segundos ? R: 24.000 pés/s
Aplicações envolvendo Derivadas
Entre os problemas a seguir, estão alguns que tratam de funções marginais. Os economistas
freqüentemente utilizam o adjetivo marginal para denotar uma derivada.
Função Marginal: Dada uma função f(x), costuma-se utilizar o conceito de função
marginal para avaliar o efeito causado, em f(x), por uma pequena variação de x. Por
exemplo, chamamos de custo marginal a derivada da função custo, que é aproximadamente
igual à variação do custo decorrente da produção de uma unidade adicional , a partir
de x unidades já produzidas.
Ex. 1: Sejam as funções Receita e Custo dadas por R(x) = – x3+30x2 e C (x) = 75x + 1250,
determine:
a) a função Lucro;
b) a função Receita Marginal;
c) a função Custo Marginal;
d) a função Lucro Marginal.
Ex. 2: Suponha que o faturamento obtido com a produção (e venda) de x unidades de um
produto seja dado por R(x) = 3x - 0,01x2 dólares.
a) Se o faturamento é de US$ 225, quantas unidades foram produzidas?
b) Encontre o faturamento marginal quando o nível de produção está em 20 unidades.
{R.:a) x=150 u; R’(20)=2,6u.m. é o faturamento para a prod. e venda da 20ªunid.}
Ex. 3: Dada a função demanda p(x) = 20 – 2x , obtenha:
a) o valor de x que maximiza a receita.
b) o preço que maximiza a receita.
c) a receita máxima.
{R.: x=5; p=10u.m.; R=50u.m.}
Ex. 4: Suponha que a equação de demanda de um monopolista seja p(x) = 100 – 0,01x e
que a função custo seja C(x) = 50x + 10.000. Encontre o valor de x que maximiza o lucro,
determine o preço correspondente e o lucro total para este nível de produção.
{R.: x=2.500; p=75u.m.; L=52.500u.m.}
Ex. 5: Suponha que o faturamento obtido com a produção (e venda) de x unidades de um
produto seja dado por R(x) = 6x – 0,02x2 dólares.
a) Encontre o faturamento marginal quando o nível de produção está em 30 unidades.
{R: U$4,8}
b) Encontre em termos de produção quando o faturamento é de US$ 400.
{R: 100 e 200 unidades}
PARÁBOLA
Por que as antenas que captam sinais do espaço são parabólicas? Por que os espelhos
dos telescópios astronômicos são parabólicos?
Nos dois exemplos acima, os sinais que recebemos (ondas de rádio ou luz) são
muito fracos. Por isso é necessário captá-los em uma área relativamente grande e
concentrá-los em um único ponto para que sejam naturalmente amplificados. Portanto, a
superfície da antena (ou do espelho) deve ser tal que todos os sinais recebidos de uma
mesma direção sejam direcionados para um único ponto após a reflexão.
A parábola possui exatamente essa propriedade e, por isso, as antenas e os espelhos
são parabólicos.
Parábolas serão o objeto de estudo dessa área.
Definição
Dados uma reta d e um ponto F (F ∉ d), de um plano α , chamamos de
parábola o conjunto de pontos do plano α eqüidistantes de F e d.
Assim, sendo, por exemplo, F, P, Q e R pontos de um plano α e d uma reta desse
mesmo plano, de modo que nenhum ponto pertença a d, temos:
Observações:
1ª) A parábola é obtida seccionando-se obliquamente um cone circular reto.
2ª) Os telescópios refletores mais simples têm espelhos com secções planas parabólicas.
3ª) As trajetórias de alguns cometas são parábolas, sendo que o Sol ocupa o foco.
4ª) A superfície de um líquido contido em um cilindro que gira em torno de seu eixo
com velocidade constante é parabólica.
Elementos
Observe a parábola representada a seguir. Nela, temos os seguintes elementos:
•
•
•
•
foco: o ponto F
diretriz: a reta d
vértice: o ponto V
parâmetro: p
Então, temos que:
•
o vértice V e o foco F ficam numa mesma reta, o eixo de simetria e.