Estatística I
Aula 3
Prof.: Patricia Maria Bortolon, D. Sc.
Estatística: Prof. André Carvalhal
Dados quantitativos: medidas numéricas
Propriedades
Numéricas
Tendência
Central
Dispersão
Formato
Média
Amplitude
Mediana
Variância
Moda
Desvio Padrão
Quantis
Assimetria
Coeficiente de Variação
Estatística: Prof. Luis Araujo
Propriedades Numéricas dos Dados
Tendência Central
(Localização)
Variação
(Dispersão)
Forma
Estatística: Prof. Luis Araujo
Notação
Medida
Média
Desvio Padrão
Amostra
População
x
µ
S
σ
2
Variância
S
Tamanho
n
σ
2
N
Medidas de tendência central
• Média Aritmética
x=
soma dos valores de x
∑x
=
número de observações
n
– Propriedades da média:
• Centro de gravidade
• Mais informativa no caso de distribuições aproximadamente
simétricas
• A soma dos desvios em relação a média é igual a zero
∑ (x − x) = 0
i
• É influenciada por valores extremos.
Medidas de tendência central
Média Amostral
∑
x=
n
x
i =1 i
n
x = estatística
Média Populacional
∑
µ=
N
x
i =1 i
N
µ = parâmetro
Exemplo 1
• Se as lâmpadas de uma amostra duram 967, 949, 952, 940 e 922
horas de uso continuado, o que podemos concluir sobre a
duração média das 40.000 lâmpadas do lote?
• Solução:
967 + 949 + 952 + 940 + 922
x=
= 946 horas
5
• Supondo que os dados são de uma amostra que represente a
população de lâmpadas podemos estimar que a duração média
das 40.000 lâmpadas é de µ = 946 horas
• Para dados não-negativos, a média não só descreve o meio do
conjunto de dados, mas impõe uma limitação ao seu tamanho.
Se multiplicarmos por n ambos os lados da equação x = ∑n x ,
veremos que ∑ x = n.x e, portanto, que nenhuma parte, ou
subconjunto dos dados, pode exceder n. x .
Exemplo 2
• Se o salário anual médio pago a três jogadores de
basquete nos EUA na temporada 2001-2002 foi de
3.650.000 dólares, pode
– (a) algum deles ter recebido 6.000.000 dólares?
– (b) dois deles terem recebido, cada um, 6.000.000 dólares?
• Solução:
– Como n * x = 3 * 3.650.000 = 10.950.000
– (a) se um deles recebeu seis milhões, restariam 10.950.000 –
6.000.000 = 4.950.000 para os outros dois, de modo que é
possível.
– (b) se dois deles receberam, cada um, seis milhões, isso
necessitaria de 2(6.000.000)=12.000.000 dólares. Como isso
necessitaria mais do que o total pago aos três jogadores, não
teria sido possível.
Exemplo 3
• A editora de um livro precisa de um número para a
quantidade de calorias de uma fatia de pizza de
calabresa grande. Solicitando a um laboratório que
faça o serviço com um calorímetro, ela recebe os
seguintes números para uma fatia de pizza de seis
fornecedores diferentes: 265, 332, 340, 225, 238 e
346.
– (a) calcule a média, que a editora irá utilizar em seu livro
– (b) suponha que, ao calcular a média, a editora cometa o erro de
digitar 832, em vez de 238, em sua calculadora. Qual será o
tamanho do erro no número que ela utilizará em seu livro?
Exemplo 3
• Solução:
– (a) a média correta é
265 + 332 + 340 + 225 + 238 + 346
6
= 291
x=
– (b) a média errada é
265 + 332 + 340 + 225 + 832 + 346
x=
6
= 390
– E o erro será um desastroso 390 – 291 = 99 calorias
Medidas de Tendência Central
• Média Ponderada
– Útil quando as grandezas em jogo não têm a mesma importância
w1.x1 + w2 .x2 + ... + wn .xn
=
xw =
w1 + w2 + ... + wn
– xi são as observações da amostra
– wi são os pesos de cada observação
∑
∑
n
i =1 i i
n
i =1 i
w .x
w
Exemplo 4
• Numa turma de psicologia, há 14 calouros, 25 alunos
de segundo e 16 alunos de terceiro ano. Dado que
num exame os calouros obtiveram a média 76, os
alunos do segundo ano a média 83 e alunos de
terceiro ano a média 89, qual é a grande média pra
toda a classe?
• Solução:
14 ⋅ 76 + 25 ⋅ 83 + 16 ⋅ 89
x=
= 82,96
14 + 25 + 16
Medidas de tendência central
• Mediana (Md)
– Em um conjunto de observações ordenadas de forma crescente é o
elemento que ocupa a posição central.
– É o valor do elemento do meio se n é impar, e a média dos dois valores
do meio se n é par.
– Não é afetado por valores extremos.
Dados de produção:
Mês
Produção: Dados ordenados:
Jan
210
180
Fev
180
180
Mar
205
185
Abr
195
190
Mai
205
195
Jun
220
198 <== Mediana =(198 + 200) / 2 = 199
Jul
185
200 <==
Ago
190
205
Set
200
205
Out
180
205
Nov
205
210
Dez
198
220
soma =
média =
2.373
197,75
Medidas de tendência central
• Mediana (Md)
– Variável discreta em tabela de frequências
xi
fi
Total de elementos = 23
2
1
5
4
Então o termo central ocupa a posição
de no. 12
8
10
10
6
12
2
Como localizar o 12o. elemento?
R: construindo a frequência acumulada
Medidas de tendência central
• Mediana (Md)
– Variável discreta em tabela de frequências
xi
fi
Fi
Total de elementos = 23
2
1
1
5
4
5
Então o termo central ocupa a posição
de no. 12
8
10
15
10
6
21
12
2
23
Como localizar o 12o. elemento?
R: construindo a frequência acumulada
O elemento que ocupa a 12a. posição vale
8, então, podemos afirmar que a mediana
vale 8!!
Medidas de tendência central - posição
• Quartis
– Dividem um conjunto de dados dispostos em ordem crescente
em quatro partes com dimensões iguais.
Mínimo
1o. Q
2o. Quartil
= Mediana
3o. Q
– 25% dos dados são inferiores ao 1o. Q
– 50% dos dados são inferiores ao 2o. Q ou mediana
– 75% dos dados são inferiores ao 3o. Q
Máximo
Medidas de tendência central - posição
• Decis
– Dividem um conjunto de dados dispostos em ordem crescente
em dez partes com dimensões iguais.
– 10% dos dados são inferiores ao 1o. Decil
• Percentis
– Dividem um conjunto de dados dispostos em ordem crescente
em cem partes com dimensões iguais.
– 1% dos dados são inferiores ao 1o. Percentil
Medidas de tendência central
• Média – valores agrupados
xF
∑
x=
i
i
n
Amostra:
18
29
37
44
54
Média =
20
30
37
45
54
20
30
37
45
56
21
31
37
45
58
22
31
38
46
62
24
32
38
47
65
25
33
38
48
25
34
40
49
26
35
41
50
27
36
43
51
29
36
44
53
38,32
14
Intervalos
das classes
18 - 25
25 - 32
32 - 39
39 - 46
46 - 53
53 - 60
60 - 67
Total
Média =
12
Fi
6
10
13
8
6
5
2
50
38,50
xi
21,5
28,8
35,5
42,5
49,5
56,5
63,5
xiFi
129,0
288,0
461,5
340,0
297,0
282,5
127,0
1925,0
10
8
6
4
2
0
21,5
28,8
35,5
42,5
49,5
56,5
63,5
Medidas de tendência central
• Moda (Mo)
– É o valor mais frequente (a maior barra do histograma)
Intervalos
das classes
18 - 25
25 - 32
32 - 39
39 - 46
46 - 53
53 - 60
60 - 67
Total
Fi
6
10
13
8
6
5
2
50
xi
21,5
28,8
35,5
42,5
49,5
56,5
63,5
xiFi
129,0
288,0
461,5 <== Classe Modal
340,0
297,0
282,5
14
127,0
12
1925,0
10
Média =
38,50
8
6
4
2
0
21,5
28,8
35,5
42,5
49,5
56,5
63,5
Medidas de tendência central
14
12
10
Moda
Mediana (627)
Média
8
6
4
2
Std. Dev = 114,73
Mean = 658,6
N = 100
0
500,0
550,0
600,0
650,0
700,0
750,0
800,0
850,0
900,0
525,0
575,0
625,0
675,0
725,0
775,0
825,0
875,0
925,0
Estatística: Prof. André Carvalhal
Dados quantitativos: medidas numéricas
Propriedades
Numéricas
Tendência
Central
Dispersão
Formato
Média
Amplitude
Mediana
Variância
Moda
Desvio Padrão
Quantis
Assimetria
Coeficiente de Variação
Estatística: Prof. André Carvalhal
Dados quantitativos: medidas numéricas
Propriedades
Numéricas
Dispersão
Amplitude
Variância
Desvio Padrão
Coeficiente de Variação
Por que avaliar medidas de dispersão?
• Exemplo: um médico observa a variação nos
batimentos cardíacos por minuto de dois pacientes.
Veja os resultados:
– Paciente A:
– Paciente B:
72
72
76
91
74
59
– Os dois pacientes têm média de batimentos iguais a 74 mas a
variação é muito diferente!!
Amplitude
• É a diferença entre o maior e o menor valor
• Mede a dispersão total no conjunto de dados
• Mas tem um problema....
7 8 9
Balança A
10
11
12
13
7 8 9
Balança C
7 8 9
Balança B
10
11
12
10
11
12
13
Não é apropriada quando há observações extremas
13
Variância e Desvio Padrão
• A amplitude não descreve como os valores se distribuem em
torno da média, não mostra se há valores extremos...
• ... poderíamos então avaliar os desvios em torno da média
x1 − x , x2 − x , x3 − x ,..., xn − x
• ... mas a soma destes desvios é sempre igual a zero!!
• Como não nos interessa se as diferenças são positivas ou
negativas trabalhamos com os quadrados das diferenças
• Uma alternativa, pouco utilizada, é usar os desvios absolutos,
calculando o Desvio Médio Absoluto
1 n
DMA = ∑i =1 xi − x
n
Variância Amostral
• É a soma das diferenças ao quadrado, em torno da
média aritmética, dividindo-a pelo tamanho da
amostra, menos um:
∑ (x
n
−x
i
S2 =
)
2
i =1
n −1
• E a variância da população é igual a:
∑ (x
N
i
σ x2 =
−µ
i =1
N
)
2
Desvio Padrão Amostral
• É a raiz quadrada da variância.
• É a medida de dispersão mais utilizada. Está na
mesma unidade dos dados originais.
∑ (x
n
i
S=
−x
)
2
i =1
n −1
• E desvio padrão da população é igual a:
∑ (x
N
i
σx =
−µ
i =1
N
)
2
Desvio Padrão Amostral
• Para calcular o desvio padrão de uma amostra
devemos:
–
–
–
–
–
–
Calcular a média da amostra
Obter a diferença entre cada observação e a média
Elevar ao quadrado essas diferenças
Somar os quadrados das diferenças
Dividir o somatório por (n-1) você aqui obteve a variância
Extrair a raiz quadrada do somatório obtido
Exemplo 5
• Calcule o desvio padrão da seguinte amostra:
Amostra
Dados (Xi) :
10
12
n=8
14
15
17
18
18
24
Média = x = 16
S=
(10 − X ) 2 + (12 − X ) 2 + (14 − X ) 2 + L + (24 − X ) 2
n −1
=
(10 − 16) 2 + (12 − 16) 2 + (14 − 16) 2 + L + (24 − 16) 2
8 −1
=
126
7
=
4.2426
É uma medida da
dispersão “média” dos
dados em torno de sua
média
Desvio Padrão Amostral
• Organize seus cálculos:
x=
xi
=
(xi − x )2
xi − x
total
∑ (x
n
i
σx =
−x
i =1
n −1
)
2
Desvio Padrão Amostrais
Comparando Desvios - Padrão
Dados A
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20 21
Média = 15.5
S = 3.338
20
Média = 15.5
S = 0.926
Dados B
11
21
12
13
14
15
16
17
18
19
Dados C
11
12
13
14
Média = 15.5
S = 4.570
15
16
17
18
19
20 21
Desvio Padrão Amostrais
Comparando Desvios - Padrão
Pequeno desvio padrão
Grande desvio padrão
Fórmula alternativa
• Fórmula alternativa para o Desvio Padrão Amostral
S=
σ xx
n −1
(
x)
∑
−
n
onde σ xx = ∑ x
n
2
i =1 i
2
i =1 i
n
• Vantagem desse cálculo: não é preciso calcular a
média nem os desvios em relação a média
Entendendo a Variação nos Dados
• Quanto mais espalhados ou dispersos estiverem os
dados, maiores serão a amplitude, a variância e o
desvio padrão
• Quanto mais concentrados, ou homogêneos, forem
os dados, menores serão a variância e o desvio
padrão
• Se as observações forem todas iguais (de forma que
não exista nenhuma variação nos dados), a
amplitude, a variância e o desvio padrão serão todos
iguais a zero
• Nenhuma das medidas de variação pode ser
negativa
Entendendo a Variação nos Dados
• Você é apresentado ao desvio padrão dos retornos
mensais nos últimos três anos de três fundos de
investimentos
– S = 7,71
– S = 17,66
– S = 23,17
– O que você pode dizer sobre a variação dos
retornos?
– Você pode dizer qual o fundo com maior risco?
Aplicações do Desvio Padrão
• São usados nos problemas de inferência que
veremos adiante
• A dispersão, e o desvio padrão, são pequenos se os
dados estão concentrados em torno da média e
grandes se os mesmos são muito dispersos
• O teorema de Tchebichev expressa formalmente
essa idéia...
Teorema de Tchebichev
• Para qualquer conjunto de dados (população ou
amostra) e qualquer constante k maior do que 1, a
proporção dos dados que devem estar a menos de k
desvios-padrão de qualquer um dos dois lados da
média é pelo menos
1
1− 2
k
Exemplo 6
•
•
Você está avaliando a rentabilidade das empresas do setor varejista. A
média da rentabilidade sobre os ativos em 2009 foi de 10% com desvio
padrão de 3%. Faça estimativas para a distribuição dos dados pelo
Teorema de Tchebychev para k igual a 2 e 3.
Solução:
para k = 2 :
1 3
= = 75% ⇒
2
2
4
10% − 2 ⋅ 3% ≤ pelo menos 75% das rentabilidades ≤ 10% + 2 ⋅ 3%
4% ≤ pelo menos 75% das rentabilidades ≤ 16%
para k = 3 :
1 8
1 - 2 = = 88,9% ⇒
3
9
10% − 3 ⋅ 3% ≤ pelo menos 88,9% das rentabilidades ≤ 10% + 3 ⋅ 3%
1% ≤ pelo menos 88,9% das rentabilidades ≤ 19%
1-
Teorema de Tchebichev
• O problema do Teorema de Tchebichev é que ele diz
apenas “pelo menos qual proporção” dos dados deve
estar entre certos limites. É um limite inferior para a
verdadeira proporção, tem poucas aplicações
práticas.
• Para distribuições em forma de sino podemos fazer as
seguintes afirmações muito mais fortes.
Cerca de 68% dos valores estão a menos de um desvio-padrão da
média, isto é, entre x − σ x e x + σ x
Cerca de 95% dos valores estão a menos de dois desvios-padrão da
média, isto é, entre x − 2σ x e x + 2σ x
Cerca de 99,7% dos valores estão a menos de três desvios-padrão da
média, isto é, entre x − 3σ x e x + 3σ x
Fórmula de conversão para unidades padronizadas
• Em um curso de francês um aluno obteve nota 66
em vocabulário e 80 em gramática.
– 1a. Conclusão: melhor nota em gramática que vocabulário
• E se você agora souber que a média e o desvio
padrão da turma em vocabulário foram,
respectivamente, 51 e 12. Em gramática média e
desvio padrão das notas da turma foram,
respectivamente, 72 e 16. Como sua resposta se
altera?
– Em vocabulário a nota do aluno está (66-51)/12 = 1,25 desvios
padrão acima da média e em gramática (80-72)/16 = 0,50
desvios padrão acima da média da turma.
– Comparado com o resto da turma o aluno está melhor em
vocabulário do que em gramática.
Fórmula de conversão para unidades padronizadas
x−x
z=
S
ou
z=
x−µ
σ
• z nos diz quantos desvios-padrão um valor está
acima ou abaixo da média do conjunto de dados ao
qual pertence.
Exemplo 7
• A Sra. Santos pertence a uma faixa etária na qual o
peso médio é de 56kg, com desvio-padrão de 6kg, e
seu marido, o Sr. Santos, pertence a uma faixa etária
na qual o peso médio é de 82kg, com desvio-padrão
de 9kg. Se a Sra. Santos pesa 66kg e o Sr. Santos
pesa 96kg, qual dos dois, relativamente ao peso
médio de sua faixa etária, está com maior excesso
de peso?
Exemplo 7
• Solução:
– O peso do Sr. Santos está 96 – 82 = 14kg acima da média e o
peso da Sra. Santos está “somente” 66 – 56 = 10kg acima da
média, mas em unidades padronizadas obtemos (96-82)/9=1,55
para o Sr. Santos e (66-56)/6=1,66 para a Sra. Santos. Assim,
relativamente ao peso médio de sua faixa etária, a Sra. Santos
está mais acima do peso do que o Sr. Santos.
Coeficiente de Dispersão
• O desvio padrão depende das unidades de medida
• O Coeficiente de Dispersão é uma medida relativa
de variação
• Expresso na forma de percentagem e não em
termos das unidades dos dados específicos
• Permite comparações quando as variáveis têm
unidades de medida diferentes
σ
S
V = ⋅100% ou V = ⋅100%
x
µ
Coeficiente de Dispersão
• Exemplo: o gerente de um serviço de entregas está
avaliando a compra de uma nova frota de
caminhões. Quando as encomendas são carregadas
nos caminhões, no preparo para entrega, dois
importantes parâmetros são considerados: peso (em
kg) e o volume (em m3) para cada item. Suponha que
numa amostra de 200 encomendas, o peso médio
seja de 26kg com um desvio padrão de 3,9kg, e o
volume médio para cada encomenda seja 8,8m3 com
um desvio padrão de 2,2m3. Como podem as
variações de peso e volume ser comparadas?
Coeficiente de Dispersão
• Solução:
– para o peso o coeficiente de variação
V=3,9/26x100%=15%;
– para o volume V=2,2/8,8x100%=25%.
– logo, em relação à média aritmética, o volume de
uma encomenda é muito mais variável do que seu
peso.
Formato
Estatística: Prof. André Carvalhal
• 1.
Descreve como os dados estão distribuídos
• 2.
Medida: assimetria
Assimétrica
à esquerda
Simétrica
Assimétrica
à direita
MediaMediana
Media
Mediana Moda Media
Media=
= Mediana
Mediana=
= Moda Moda Mediana Media
Negativamente
Assimétrica
Simétrica
Positivamente
Assimétrica
Formato
• Coeficiente de Assimetria de Pearson
3(média − mediana)
SK =
desvio − padrão
MediaMediana
Media
Mediana Moda Media
Media=
= Mediana
Mediana=
= Moda Moda Mediana Media
Negativamente
Assimétrica
Simétrica
Positivamente
Assimétrica