UNIDADE 2 complementos
. Modelos de aversão ao risco
. Dominância estocástica de
primeira e segunda ordem
unidade 2-complem
Carlos Arriaga Costa
Um-EEG - Mestrado em Economia
- Economia Financeira
O que estudámos e o que vamos
estudar

Teoria do consumidor
– Preferências  utilidade
– Maximização da utilidade  Curvas de procura
Extensões à teoria do consumidor
- Escolha inter-temporal
- Escolha em incerteza
 Aplicações às Finanças

– Escolha de Portfolio, CAPM, CCAPM, preço de
opções
unidade 2-complem
Carlos Arriaga Costa
Um-EEG - Mestrado em Economia
- Economia Financeira
Consumo em incerteza



Lotaria simples:
Define-se lotaria simples como o conjunto
L=(p1…pn) com pn0 para todo o n e , onde
pn é a probabilidadede ocorrência da lotaria.
Lotaria composta (lotarias de lotarias) :
Dadas as lotarias simples K , K=1…k e um
conjunto de probabilidades associada à
ocorrência de Lk, define-se lotaria composta
como o risco alternativo que dá Lk com
probabilidade.
unidade 2-complem
Carlos Arriaga Costa
Um-EEG - Mestrado em Economia
- Economia Financeira
Lotarias




Exemplo:
Preço=100E
Lotaria composta A:
L1=(100,0,0) ocorre com probabilidade 1/3
L2=(100*1/4, 100* 3/8, 100*3/8) ocorre com probabilidade 1/3
L3=(100*1/4, 100* 3/8, 100*3/8) ocorre com probabilidade 1/3
Lotaria composta B:
L1=(100*1/2, 100*1/2, 0) ocorre com probabilidade ½
L2=(100*1/2, 0, 100*1/2) ocorre com probabilidade ½
Prefere A or B?
Quando consideramos três lotarias alternativas L1, L2 e L3,
o consumidor não pode consumir L1 e L2 conjuntamente ou
L1 e L3 conjuntamente etc. mas tem de escolher entre
alternativas mutuamente exclusivas.
unidade 2-complem
Carlos Arriaga Costa
Um-EEG - Mestrado em Economia
- Economia Financeira
Lotarias reduzidas
 Considere
duas lotarias :
L1   p11 ....p1n 
L2   p12 ....pn2 
 Cada
lotaria ocorre com uma
determinada probabilidade . O que é
uma lotaria reduzida?
L   L  L
 Uma lotaria reduzida é
1 1
unidade 2-complem
Carlos Arriaga Costa
Um-EEG - Mestrado em Economia
- Economia Financeira
2
2
Lotarias Reduzidas


Da lotaria composta pode-se compor a lotaria
reduzida,, i.e. a lotaria simples L=(p1…pn) que
gera uma distribuição final de resultados
(pagamentos).
Considere por exemplo um resultado 1. Sabe-se
que este resultado pode ser realizado com uma
probabilidade certa sobre um conjunto de lotarias
Lk , na qual cada uma ocorre com uma
determinada probabilidade. A probabilidade de
ocorrencia do resultado 1 é:

p1  1 p11   2 p12  3 p13.... k p1k
unidade 2-complem
Carlos Arriaga Costa

Um-EEG - Mestrado em Economia
- Economia Financeira
Preferências sobre lotarias
compostas
 Desde
que o consumidor se preocupe
apenas com a distribuição do
resultado final, ele encontra-se-á
indiferente entre lotarias compostas
que se reconvertam na mesma
lotaria reduzida.
unidade 2-complem
Carlos Arriaga Costa
Um-EEG - Mestrado em Economia
- Economia Financeira
Lotaria e aversão ao risco
Em incerteza os indivíduos mostram um
grau maior ou menor de aversão ao risco.
 Quais as causas da aversão ao risco?
 Isto é, qual a propriedade da função de
utilidade (utilidade esperada) implica
aversão ao risco?
 Considere a utilidade sobre lotarias de
valor monetário. Seja x um valor certo
que um indivíduo recebe.

unidade 2-complem
Carlos Arriaga Costa
Um-EEG - Mestrado em Economia
- Economia Financeira
Escolhas em situação de risco
Exemplos:
 Seguros
 Investimento num activo de risco
 Comparação de diferentes
pagamentos:
Suponha que enfrenta uma escolha em
que tem de comparar diversos activos
com risco.
Que tipo de estatística deverá utilizar de
modo a escolher entre os investimentos
propostos?

unidade 2-complem
Carlos Arriaga Costa
Um-EEG - Mestrado em Economia
- Economia Financeira
Lotaria e aversão ao risco





Outros conceitos associados:
Equivalente certo = Valor certo em valores monetários
que um indivíduo deseja aceitar em vez da lotaria.
Prémio probablístico = O excesso em termos
probabilísticos que torna um indíviduo indiderente
entre um valor certo e a lotaria.
Se um indivíduo tem aversão ao risco então:
O valor certo em dinheiro que ele está disposto a
aceitar em vez da lotaria deverá ser menor que o
valor esperado de dinheiro que ele obteria da lotaria.
(Para evitar o risco prefere menos a mais)
unidade 2-complem
Carlos Arriaga Costa
Um-EEG - Mestrado em Economia
- Economia Financeira
Lotaria e aversão ao risco
E
u(x) a utilidade associada a x. A
aversão ao risco resulta da
concavidade de u(x).
 A função de utilidade é única?
 Não, pois toda a transformação
monótona representa as mesmas
preferências.
unidade 2-complem
Carlos Arriaga Costa
Um-EEG - Mestrado em Economia
- Economia Financeira
Função de utilidade
Função de utilidade concâva
unidade 2-complem
Carlos Arriaga Costa
Um-EEG - Mestrado em Economia
- Economia Financeira
Medidas da aversão ao risco
Como medir a aversão ao risco?
Como a aversão ao risco se encontra associada á concavidade da
função de utilidade, dever-se-á utilizar u’’(x) como medida….
PProblema: Não é invariante às transformações lineares
crescentes…
Medida 1: coeficiente de aversão absoluta ao risco ( Arrowu ' ' ( x)
Pratt index) rA  x   u ' ( x)
unidade 2-complem
Carlos Arriaga Costa
Um-EEG - Mestrado em Economia
- Economia Financeira
Medindo a aversão ao risco
U(W)
tangent lines
U(Y+h)
U[0.5(Y+h)+0.5(Y-h)]
0.5U(Y+h)+0.5U(Y-h)
U(Y-h)
Y-h
Y
Y+h
Função de utilidade estritamente concâva
unidade 2-complem
Carlos Arriaga Costa
Um-EEG - Mestrado em Economia
- Economia Financeira
W
State 2
Consumption
I1
I2
c *2
( c *2  c 2 ) 2
EU(c)=k 2
c2
EU(c)=k 1
c 1*
( c 1*  c 1) 2
c1
Curvas de indiferença
unidade 2-complem
Carlos Arriaga Costa
Um-EEG - Mestrado em Economia
- Economia Financeira
State 1
Consumption
Escolhas perante o risco
 Nível
de retorno (média)
 Dispersão
dos retornos
A
função de didistribuição,se
conhecida, poderá servir para
comparar lotarias
unidade 2-complem
Carlos Arriaga Costa
Um-EEG - Mestrado em Economia
- Economia Financeira
Medidas de aversão ao risco
Comparação entre níveis de riqueza diferentes: terão os pobres
mais aversão ao risco que os ricos?
u ' ' ( x)


r
x

se i
u ' ( x) é decrescente em x, então um indivíduo sera
menos avesso ao risco se ficar mais rico.
O coeficiente de aversão absoluta ao risco mede a attitude do
indivíduo perante o risco perante um ganho/perda em termos
absolutos. Contudo poder-se-a estar interessado em medir a
attitude perante o risco em percentagem da riqueza dos
indivíduos.
u ' ' ( x)


r
x

x
Medida 2: coeficiente de aversão relative ao R
u ' ( x)
unidade 2-complem
Carlos Arriaga Costa
Um-EEG - Mestrado em Economia
- Economia Financeira
Observem que embora todos os indivíduos podem ter aversão
Medidas de aversão ao risco de ArrowPratt
(i) Aversão absoluta ao risco
U" (Y)
= R A (Y)
U' (Y)
(ii) Aversão relativa ao risco
Y U" (Y)
= R R (Y)
U' (Y)
unidade 2-complem
Carlos Arriaga Costa
Um-EEG - Mestrado em Economia
- Economia Financeira
(i) Aversão absoluta ao risco
p
Y+h
1-p
Y-h
Y
U" (Y)
= R A (Y)
U' (Y)
p(Y,h)  ½ + ¼ h RA (Y)
unidade 2-complem
Carlos Arriaga Costa
Um-EEG - Mestrado em Economia
- Economia Financeira
(ii) Aversão relativa ao risco
p
Y(1+q)
=-
Y
1-p
Y(1-q)
p(Y,q)  1 2 + 14 q RR (Y)
unidade 2-complem
Carlos Arriaga Costa
Um-EEG - Mestrado em Economia
- Economia Financeira
Y U" (Y)
 R R (Y)
U' (Y)
U(Y)
U( Y0 + Z 2 )
~
U( Y0 + E( Z))
~
EU( Y0 + Z)
U( Y0 + Z1)
~
CE( Z)
Y0
Y0 + Z1
P
~
~
CE( Y0 + Z) Y0 + E(Z)
Equivalente certo e prémio de risco
unidade 2-complem
Carlos Arriaga Costa
Um-EEG - Mestrado em Economia
- Economia Financeira
Y0 + Z 2
Y
Nivel de aversão relativa ao risco de um
investidor
Y=0
1- 
1- 
1- 
1
1
(
Y

50,000
(
Y

100,000
( Y  CE)
)
)
=2
+2
1- 
1- 
1- 
=0
CE = 75,000 (neutralidade
ao risco)
=1
CE = 70,711
=2
CE = 66,246
=5
CE = 58,566
 = 10
CE = 53,991
 = 20
CE = 51,858
 = 30
CE = 51,209
Y=100,000
unidade 2-complem
Carlos Arriaga Costa
=5
CE = 66,530
Um-EEG - Mestrado em Economia
- Economia Financeira
Dominação estocástica
conceitos
Postulados da utilidade esperada levam-nos a
definir dois conceitos de dominação
alternativos que são mais fracos e de mais
ampla utilização que o conceito de dominação
em cada estado da natureza.
 São conceitos interessantes na medida em que
descrevem situações em que os rankings entre
alternativas de risco são preference-free, i.e.,
podem ser definidos independentemente dos
trade-offs específicos (entre retorno, risco e
outras características das distribuições de
unidadeprobabilidade)
2-complem
Um-EEG
- Mestrado em Economia
representadas
pela função de
Carlos Arriaga Costa
- Economia Financeira

Exemplo de alternatives de investimento
Estados da
natureza
Probabilidades
Investmento
Z1
Investmento
Z2
1
2
3
.4
10
.4
100
.2
100
10
100
2000
EZ1 = 64, z = 44
EZ2 = 444, z = 779
1
Pr obability
2
F1
1.0
0.9
F2
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
F 1 and F 2
0.3
0.2
0.1
Payoff
unidade 2-complem 0
Carlos Arriaga Costa
10 Um-EEG - Mestrado
100 em Economia
- Economia Financeira
2000
x ) e FB (~
Definição : Considere FA (~
x) a
distribuição acumulada de duas
funções de duas variáveis aleatórias
(cash payoffs) que, sem perda de
generalidade assumem valores no
intervalo a, b .
 Dizemos que FA ( ~
x ) domina
estocasticamente
em
primeira
ordem
~
F
(
x)
B
(FSD)
se e somente se FA(x) 
FB(x) for all x  a, b
.

unidade 2-complem
Carlos Arriaga Costa
Um-EEG - Mestrado em Economia
- Economia Financeira

Teorema1- FSD : Considere FA (~
x ) , FB (~
x)
, duas distribuições de probabilidade
~
acumuladas referente aos resultados x  a, b
aleatórios
x ) se e só se
x ) FSD FB (~
Então FA (~
para todas as funções
EA U(~
x)  EBU(~
x)
de utilidade não decrescentes U( )
unidade 2-complem
Carlos Arriaga Costa
Um-EEG - Mestrado em Economia
- Economia Financeira
1
0.9
0.8
FB
0.7
FA
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
X
First Order Stochastic Dominance: A More General Representation
unidade 2-complem
Carlos Arriaga Costa
Um-EEG - Mestrado em Economia
- Economia Financeira
13
14
Table 3-2 Two Independent Investments
Investment 3
Payoff
4
5
12
Investment 4
Prob.
0.25
0.50
0.25
Payoff
1
6
8
Prob.
0.33
0.33
0.33
1
0.9
0.8
0.7
0.6
investment 4
0.5
0.4
0.3
0.2
investment 3
0.1
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
Figure 3-6 Second Order Stochastic Dominance Illustrated
unidade 2-complem
Carlos Arriaga Costa
Um-EEG - Mestrado em Economia
- Economia Financeira
Dominação estocástica
2ª ordem
Suponha que pode alterar uma função F(.)
de modo a manter a média mas alterando
a variância. Suponha que G(.) é a função
que se obtém desta transformação, isto é,
G(.) é uma média preservada da dispersão
de F(.)
 Ex: F(.) é tal com a probabilidade p=1/2
Obtem 2, p ex, com prob p=1/2, obtem 3
cuja media de pagamento será 5/2
 Seja G(.) com probabilidade p=1/4,
obterá (1,2,3,4) com média também de
5/2
 Qual prefere F(.) ou G(.)?
unidade 2-complem

Carlos Arriaga Costa
Um-EEG - Mestrado em Economia
- Economia Financeira
Dominação estocástica
 Se
for avesso ao risco preferirá F(.) a
G(.).
 Pode provar que F(.) domina
estocasticamente em segunda ordem
G(.)
 u x dF x    u x dG x 
unidade 2-complem
Carlos Arriaga Costa
Um-EEG - Mestrado em Economia
- Economia Financeira
Dominação estocástica
2ª ordem
Resultado: se G(.) é uma media preservada de
F(.), então F(.) domina estocasticamente em
segunda ordem G(.)
 Demonstração:
 Considere x uma lotaria com distribuição de
acordo com F(.). Suponha que tornaremos
aleatório x de forma a que o pagamento final
seja x+z onde z se encontra distribuido de acordo
com a função H(z) com média zero. Por outro
lado, x+z tem a mesma média mas com variância
diferente. Definimos G(.) como uma lotaria final
reduzida, i.e. a função que tem uma
probabilidade associada a cada x utilizando a
transformação de
F(.). G(.) é uma média
unidade 2-complem
Um-EEG - Mestrado em Economia
Carlos
Arriaga Costa
- Economia
Financeira
presrvada
com outra
variância
de F(.).

Teorema SSD (Rothschild&Stiglitz)
Seja F e G com mesma média e considere
T(x)  0.
 Todo o indivíduo com aversão ao risco
(U’>0 e U”<0) prefere F a G:
 EFU(x)  EGU(x)

unidade 2-complem
Carlos Arriaga Costa
Um-EEG - Mestrado em Economia
- Economia Financeira

x)
Teorema2- SSD : ConsidereFA (~
, duas
x ) F,B (~
distribuições de probabilidade acumuladas
referente aos resultados aleatórios, ~
x  a, b
~
~
Então FA(x ) SSD FB ( x ) se e só se
EA U(~
x)  EBU(~
x)
para todas as funções de
utilidade não decrescentes e concâvas U( )
unidade 2-complem
Carlos Arriaga Costa
Um-EEG - Mestrado em Economia
- Economia Financeira

Dominação estocástica de 2ª ordem (SSD).
Considere FA (~
x ) , FB (~
x ) , duas distribuições
de probabilidade acumuladas referente aos
resultados aleatórios situados no intervalo
a, b . Dizemos que FA (~x) domina
estocasticamente em 2ª ordem (SSD) FB (~
x)
se e só se para todo o valor de x :
x

-
 FB (t) - FA (t)  dt  0
(Com estrita desigualdade para alguns
intervalos significativos de t).
unidade 2-complem
Carlos Arriaga Costa
Um-EEG - Mestrado em Economia
- Economia Financeira
Teorema SSD (Rothschild&Stiglitz)
FoFormalizando:
 u x dG x     u x  z dH ( z )dF ( x)
Por causa da concavidade de u ( E[u(x)]

u[E(x)])
  ux  z dH z dF x    u  ux  z dH z dF x    ux dF x 
Então
 u x dF x    u x dG x  CQD.
unidade 2-complem
Carlos Arriaga Costa
Um-EEG - Mestrado em Economia
- Economia Financeira
Distribuição da média com maior ou
menor risco
~
xB  ~
xA  ~
z
(3.8)
fA x
f B x
   x fA xdx   x f B xdx
unidade 2-complem
Carlos Arriaga Costa
Figure
3-7 -Mean
Preserving
Spread
Um-EEG
Mestrado
em Economia
- Economia Financeira
~
x , Payoff
Prémio de risco e equivalência certa
Teorema 3.1 (Desigualdade de Jensen):

Seja g( ) uma função concâva no intervalo
[a,b], e uma variável aleatória ~x tal que
Pr ob(~
x  a, b)  1

~x
Suponha que as expectativas E( ) e Eg( )
existem; Então
Eg(~
x )  gE(~
x )
Por outro lado, se g( ) é estritamente concava,
então a desigualdade é estrita.
unidade 2-complem
Carlos Arriaga Costa
Um-EEG - Mestrado em Economia
- Economia Financeira
(a)
))
(b)
unidade 2-complem
Carlos Arriaga Costa
EU(Y + ) = U(Y +
~
Z
= U(Y +E
CE(Y,
~
Z
~ P(Y, ~ ))
-Z
Z
Um-EEG - Mestrado em Economia
- Economia Financeira
Conceitos analisados
 Medidas
de aversão aboluta e
relativa ao risco
 Equivalência certa e prémio de risco
 Dominação estocástica
unidade 2-complem
Carlos Arriaga Costa
Um-EEG - Mestrado em Economia
- Economia Financeira
Que tipo de jogo prefere?
Gamble A
Gamble B
90 reds to win $96
05 blues to win $14
05 whites to win $12
85 reds to win $96
05 blues to win $90
10 whites to win $12
70% of undergrads chose B
unidade 2-complem
Carlos Arriaga Costa
Um-EEG - Mestrado em Economia
- Economia Financeira
Which of these gambles would
you prefer to play?
Gamble C
Gamble D
85
05
05
05
85
05
05
05
reds to win $96
greens to win $96
blues to win $14
whites to win $12
reds to win $96
greens to win $90
blues to win $12
whites to win $12
90% choose C over D
unidade 2-complem
Carlos Arriaga Costa
Um-EEG - Mestrado em Economia
- Economia Financeira