A problemática das decisões financeiras:
Decisão em incerteza
. Em que medida a incerteza influencia as
decisões?
. Qual a atitude do investidor face ao risco?
. Como modelizar a incerteza?
. Quais os princípios de dominância
estocástica?
INCERTEZA
A INCERTEZA É UMA SITUAÇÃO EM QUE O AGENTE
ECONÓMICO VÊ AS CONSEQUÊNCIAS DAS SUAS
DECISÕES DEPENDER DE FACTORES EXÓGENOS
CUJOS ESTADOS DA NATUREZA NÃO PODEM SER
PREVISTOS COM CERTEZA
REPRESENTAÇÃO DAS PREFERÊNCIAS E O
PROBLEMA DE AVERSÃO AO RISCO:
As preferências de um indivíduo têm uma
representação da utilidade esperada se existir
uma função u tal que um consumo aleatório x é
preferível a um consumo aleatório y se e só se :
E [u(x) ≥ E [u(y)]
Onde E[.] é a expectativa de acordo com a
probabilidade subjectiva de cada indivíduo.
REPRESENTAÇÃO DAS PREFERÊNCIAS E O
PROBLEMA DE AVERSÃO AO RISCO
Plano de investimento é uma variável aleatória cujas
propriedades são especificadas em P.
Podemos interpretar o plano de investimento como uma
lotaria cujos prémios são definidos em Z. A probabilidade
de obtenção de um resultado z é p(z).
REPRESENTAÇÃO DAS PREFERÊNCIAS
Três axiomas (necessários e suficientes) para uma
relação binária definida em P ter uma
representação da utilidade esperada:
Axioma 1 ≥ é uma relação de preferência em P
Axioma 2 (axioma de substituição ou de
independência):
Para todo p,q,r € P e a € [0,1], p > q implica que
ap + (1-a)r > aq +(1-a)r
Axioma 3 (axioma de arquimedes) : para todo
p,q,r €P, se p>q>r então existirá a,b€(0,1) tal que
ap+(1-a)r>q>bq+(1-b)r
Formalização do risco
A decisão do investidor é subjectiva
Existem linhas de acção a tomar
O resultado futuro é função dos estados de natureza
considerados no momento da decisão.
Os estados da natureza deverão ser mutuamente
exclusivos e exaustivos
Os estados da natureza encontram-se fora do controle do
decisor.
Para cada linha de acção existe uma consequência
Existe uma matriz de resultados (payoff matrix)
Payoff matrix
Estados da natureza
E1
E2
C11
C21
C12
C22
E3 …..
Ej ……… En
Linhas de acção
A1
A2
.
.
.Ai
.
.
.
Am
Ci1
Ci2
C13 …… C1j ……….C1n
C23 …… C2j ……….C2n
Ci3 …… Cij ……….Cin
Cm1
Cm2
……….Cmn
Cm3 …… Cmj
Aversão ao risco, exemplo…
Suponha que a um agente económico é dada a escolha de uma das
seguintes hipóteses:
Escollha 1: obter certo $1,000,000
• Esolha 2: Mandar uma moeda ao ar
• Se sair cara, ganhar $3,000,000
• Se sair coroa, não ganhar nada
Cálculo da utilidade esperada:
• EU(escolha1) = $1,000,000
• EU(escolha2) = 0.5 * $0 + 0.5 * $3,000,000 = $1,500,000
Porque muita gente prefere a escolha 1?
04-11-2015
Economia Financeira MEMBF
Aversão ao risco
Porque a maior parte das pessoas são “avessas ao risco”
As funções de utilidade poderão ser :
• Para o primeiro milhão U($1M) = 10
• Para o segundo milhão U($2M) = 15 (Não 20)
• Para o terceiro milhão U($3M) = 18 (Não 30)
• ….
04-11-2015
Economia Financeira MEMBF
Aversão ao risco
25
Utility
20
15
10
5
0
0
1M
2M
Money
EU(Escolha1) = U($1M) = 10
EU(Escolha 2) = 0.5*U(0) + 0.5*U($3M =18) = 9
Preferimos com certeza $1M
04-11-2015
Economia Financeira MEMBF
3M
4M
Funções de utilidade e de aversão ao risco (Modelo de
Arrow (1970) e de Pratt (1964) - 1
U’(R) : mede a utilidade marginal da riqueza
U’’ (R) : mede a variação da utilidade marginal em relação
à variação da riqueza
Π = ½ σ2z (- U’’ (R) / U’(R) ) em que Π é o prémio de risco
em relação a uma dada riqueza.
ARA : Absolute Risk Aversion:
(- U’’ (R) / U’(R) )
Medindo a aversão ao risco
U(W)
tangent lines
U(Y+h)
U[0.5(Y+h)+0.5(Y-h)]
0.5U(Y+h)+0.5U(Y-h)
U(Y-h)
Y-h
Y
Y+h
Função de utilidade estritamente concâva
W
Medidas de aversão ao risco de Arrow-Pratt
(i) Aversão absoluta ao risco
U" (Y)
= R A (Y)
U' (Y)
(ii) Aversão relativa ao risco
Y U" (Y)
= R R (Y)
U' (Y)
-AAR:
-Se o investidor aumenta o montante investido em ativos com risco, quando
a sua riqueza aumenta, então o investidor exibe uma aversão absoluta ao
risco decrescente.
-- Se o investidor mantém o montante investido em ativos com risco,
quando a sua riqueza aumenta , então o investidor tem uma aversão
absoluta ao risco constante.
-- Se o investidor diminui o montante investido em activos com risco,
quando a sua riqueza aumenta, então o investidor exibe uma aversão ao
risco crescente.
ARR:
-R(W) = - W.U’’(W) / U’(W)
-- Se a percentagem de riqueza investida em activos com risco aumenta,
quando risco do a riqueza aumenta, então o investidor exibe uma aversão
relativa decrescente.
-- Se a percentagem de riqueza investida em activos com risco se mantém
constante, quando a riqueza aumenta, então o investidor exibe uma aversão
relativa constante.
-Se a percentagem de riqueza investida em activos com risco diminui,
quando a riqueza aumenta, então o investidor exibe uma aversão relativa
crescente.
(i) Aversão absoluta ao risco
p
Y+h
1-p
Y-h
Y
p(Y,h)  ½ + ¼ h RA (Y)
U" (Y)
= R A (Y)
U' (Y)
(ii) Aversão relativa ao risco
p
Y(1+q)
=-
Y
1-p
p(Y,q) 
1
2 +
Y U" (Y)
 R R (Y)
U' (Y)
Y(1-q)
1
4
q R R (Y)
Nivel de aversão relativa ao risco de um
investidor
1- 
(Y  CE )
1- 
Y=0
Y=100,000
(Y  50,000)1 -  12 (Y  100,000)1 - 
=
+
1- 
1- 
1
2
=0
CE = 75,000 (neutralidade ao risco)
=1
CE = 70,711
=2
CE = 66,246
=5
CE = 58,566
 = 10
CE = 53,991
 = 20
CE = 51,858
 = 30
CE = 51,209
=5
CE = 66,530 equivalente certo
Dominação estocástica
PROBLEMA: Em que condições podemos dizer
sem ambiguidade que um indivíduo prefere um
activo com risco a um outro activo com risco?
(partindo da hipótese que o indivíduo é
“nonsatiable” e com aversão ao risco)
Está associado com a dominação estocástica e
com o conceito de menor risco entre os activos
com risco
Dominação estocástica de primeiro grau
Dois activos com risco (A e B)
Um activo (A é dominante sobre outro activo B (A ≥FSD B) se todos os indivíduos
possuirem uma função de utilidade em riqueza que seja contínua e crescente
preferem A a B ou se mostrem indiferentes a A e B
O domínio encontra-se dependente dos retornos esperados face a cada estado de
natureza considerado:
Z
0
1 /2
1
FA(z)
¼
¾
1
FB(z)
½
4/5
1
PA(0) = ¼
PB (1) 1/5
PA(0) e PB(1) = ¼ * 1/5 = 1/20
Dominação estocástica
conceitos
Postulados da utilidade esperada levam-nos a definir dois
conceitos de dominação alternativos que são mais fracos
e de mais ampla utilização que o conceito de dominação
em cada estado da natureza.
São conceitos interessantes na medida em que descrevem
situações em que os rankings entre alternativas de risco
são preference-free, i.e., podem ser definidos
independentemente dos trade-offs específicos (entre
retorno, risco e outras características das distribuições de
probabilidade) representadas pela função de utilidade de
um agente.
Dominação estocástica de primeiro grau e segundo
grau- definições
DEF 1 : Um activo A domina um activo B, estocásticamente de
primeiro grau, se e sòmente se, para toda a U(.), independente
dos estados da natureza , com u’>0, Eu(A(z~)) ≥ Eu(B(y~))
DEf 2: Um Activo A domina um activo B
estocásticamente de segundo grau se, toda a pessoa com
aversão ao risco e para toda a U(.), com u’>0 , continua excepto
num subconjunto [0,1] e u’’<0 , Eu(A(z~)) ≥ Eu(B(y~)), prefira o
activo A.
E (z~) = E(y~) mas
S(x)= ⌡x0(FA(z) – FB(z))dz <=0 todo x ε[0,1]
Exemplo de alternatives de investimento
Estados da
natureza
Probabilidades
Investmento
Z1
Investmento
Z2
1
2
3
.4
10
.4
100
.2
100
10
100
2000
EZ1 = 64, z = 44
EZ2 = 444, z = 779
1
2
Pr obability
F1
1.0
0.9
F2
0.8
0.7
0.6
0.5
F 1 and F 2
0.4
0.3
0.2
0.1
Payoff
0
10
100
2000
~
F
(
Definição : Considere FA (~
e
x ) B x ) a distribuição
acumulada de duas
funções de duas variáveis aleatórias (cash
payoffs) que, sem perda de generalidade, assumem
valores no intervalo a, b.
Dizemos que FA (~
x ) domina estocasticamente em
primeira ordem (FSD) FB (~x) se e somente se FA(x) 
FB(x) para todo o X.
 a, b
Teorema1- FSD : Considere FA (~
x ), FB (~
x ) , duas
distribuições de probabilidade acumuladas
referente aos resultados aleatórios ~
x  a, b
x ) se e só se
Então FA (~
x ) FSD FB (~
EA U(~
x)  EBU(~
x) para todas as funções de utilidade
não decrescentes U( )
1
0.9
0.8
FB
0.7
FA
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
X
First Order Stochastic Dominance: A More General Representation
13
14
Table 3-2 Two Independent Investments
Investment 3
Payoff
4
5
12
Investment 4
Prob.
0.25
0.50
0.25
Payoff
1
6
8
Prob.
0.33
0.33
0.33
1
0.9
0.8
0.7
0.6
investment 4
0.5
0.4
0.3
0.2
investment 3
0.1
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
Figure 3-6 Second Order Stochastic Dominance Illustrated
Dominação estocástica
2ª ordem
Suponha que pode alterar uma função F(.) de
modo a manter a média mas alterando a
variância. Suponha que G(.) é a função que se
obtém desta transformação, isto é, G(.) é uma
média preservada da dispersão de F(.)
Ex: F(.) é tal com a probabilidade p=1/2 Obtem 2,
p ex, com prob p=1/2, obtem 3 cuja media de
pagamento será 5/2
Seja G(.) com probabilidade p=1/4, obterá
(1,2,3,4) com média também de 5/2
Qual prefere F(.) ou G(.)?
Dominação estocástica
Se for avesso ao risco preferirá F(.) a G(.).
Pode provar que F(.) domina estocasticamente em segunda ordem G(.)
 u x dF x    u x dG x 
Dominação estocástica
2ª ordem
Resultado: se G(.) é uma media preservada de F(.), então
F(.) domina estocasticamente em segunda ordem G(.)
Demonstração:
Considere x uma lotaria com distribuição de acordo com
F(.). Suponha que tornaremos aleatório x de forma a que o
pagamento final seja x+z onde z se encontra distribuido de
acordo com a função H(z) com média zero. Por outro lado,
x+z tem a mesma média mas com variância diferente.
Definimos G(.) como uma lotaria final reduzida, i.e. a função
que tem uma probabilidade associada a cada x utilizando a
transformação de F(.). G(.) é uma média preservada com
outra variância de F(.).
Teorema SSD (Rothschild&Stiglitz)
Seja F e G com mesma média e considere T(x) 
0.
Todo o indivíduo com aversão ao risco (U’>0 e
U”<0) prefere F a G:
EFU(x)  EGU(x)
Distribuição da média com maior ou menor
risco
~
xB  ~
xA  ~
z
(3.8)
fA x
f B x
   x fA xdx   x f B xdx
Figure 3-7 Mean Preserving Spread
~
x , Payoff
Prémio de risco e equivalência certa
Teorema 3.1 (Desigualdade de Jensen):
Seja g( ) uma função concâva no intervalo [a,b], e uma variável
aleatória ~x tal que
Pr ob(~
x  a, b)  1
Suponha que as expectativas E(~x) e Eg( ) existem; Então
Eg(~
x )  gE(~
x )
Por outro lado, se g( ) é estritamente concava, então a
desigualdade é estrita.
Que tipo de jogo prefere?
Jogo A
Jogo B
90 reds to win $96
05 blues to win $14
05 whites to win $12
85 reds to win $96
05 blues to win $90
10 whites to win $12
70% preferiram B
Que tipo de jogo prefere?
Jogo C
Jogo D
85
05
05
05
85
05
05
05
reds to win $96
greens to win $96
blues to win $14
whites to win $12
reds to win $96
greens to win $90
blues to win $12
whites to win $12
90% preferem C a D
Conceitos finais de aplicação:
Default (Crédito) e Prémio de risco
6-2C
O prémio de default é uma compensação extra efetuado aos
investidores por suportarem um risco adicional que incorrem é um
incentivo para que os investidores avessos ao risco participem.
Se se repetir um investmento infinitamente, a média d epagamento de
default seria 0. Haverá um pagamento positivo se tudo correr bem e um
pagamento negativo em situação de default (falência).
• Devemos distinguir o prémio de default do risco de prémio. O primeiro é uma
compensação extra e o segundo um custo de oportunidade!
37
6-2.C
Generalização
Numa situação de risco neutral :
Taxa de juro do mercado ≥ Taxa de juro esperada
Taxa de juro do mercado = Prémio temporal +
Prémio de Default
Taxa de juro experada =Prémio temporal
(sem considerar o prémio de risco, prémio d eliquidez,
taxa de imposto, prémio de contrato etc…
38
Important:
6-2C
O val em situação de incerteza :
(Cash Flow)
1  (Discount Rate)
Assim como em incerteza a taxa TIR
deverá ser uma taxa a obter através
dos cash flows esperados.
39
TPC
1 Considere que a função de utilidade da riqueza (w) de um
indivíduo é dada pela seguinte expressão:
U(w) = 50W-0,5W2
Considere também os seguintes projectos de investimento:
X
Valor monetário
10
40
25
Y
Probabilidade
0,1
0,2
0,7
Valor monetário
20
45
40
Probabilidade
0,05
0,05
0,9
a. Caracterize o comportamento do indivíduo face ao risco
b. Diga qual dos projectos o indivíduo escolheria
c. Qual o prémio de risco associado a cada um dos projectos
Conclusão
O mercado financeiro permitiu dissociar o consumo
da produção.
Mas a decisão em incerteza veio acrescentar à
decisão uma função de utilidade perante a riqueza
É possível fazer escolhas atendendo à aleatoriedade
dos ativos, mas podem acontecer situações de
dominância estocástica.
. Construir portefólio eficientes e decidir de acordo
com a aversão ao risco do investidor… (unidade 3)