XXVII Olimpı́ada de Matemática da Unicamp
Instituto de Matemática, Estatı́stica e Computação Cientı́fica
Universidade Estadual de Campinas
Sugestões de Questões para a OMU – Nı́vel Alfa
1
XXVII Olimpı́ada de Matemática da Unicamp
Instituto de Matemática, Estatı́stica e Computação Cientı́fica
Universidade Estadual de Campinas
Questão 1 Os comprimentos dos lados de um determinado retângulo são números inteiros positivos. Determine os comprimentos desses lados de modo que o perı́metro e a área desse retângulo sejam expressos
pelo mesmo número.
Questão 2 Claudina deseja comprar um chapéu que custa 59 reais, entretanto Claudina tem somente
notas de 2 reais e o caixa da loja tem somente notas de 5 reais. Nessas condições, será possı́vel pagar a
compra e o caixa devolver o troco?
Questão 3 José trabalha em duas empresas diferentes. Na primeira empresa tem um salário de R$ 1.500, 00
e teve um aumento salarial de 14 %. Na segunda empresa tem um salário de R$ 2.000, 00 e teve um aumento
salarial de 12 %. Determine a porcentagem do aumento do rendimento mensal do José.
Questão 4 Um carpinteiro possui uma prancha de madeira com 80 cm de comprimento e 30 cm de
largura. Determine como deverá cortar essa peça em duas peças iguais de modo que juntas formem uma
peça com 120 cm de comprimento e 20 cm largura.
Questão 5 Um revestimento cerâmico retangular que possui 20 cm de largura por 30 cm de comprimento
é vendido somente em caixas com 20 peças cada uma. Determine o números mı́nimo de caixas que devem
ser compradas para cobrir o piso de uma cozinha que possui 3, 6 m de largura por 4, 2 m de comprimento,
lembrando que devemos comprar sempre 10 % a mais que o necessário.
Questão 6 Determine dois números naturais de modo que a soma deles seja igual a 600 e a diferença
2
entre eles seja igual a
do menor.
3
Questão 7 Um carpinteiro deseja cortar uma ripa de 1, 20 m de comprimento em duas partes, de maneira
que uma parte tenha 10 cm a mais que a outra. Determine as medidas de cada uma das partes.
Questão 8 Um jardim que possui uma forma quadrada tem em cada um de seus vértices um poste de
iluminação. Determine como podemos reformar esse jardim mantendo a sua forma quadrada com o dobro
de área do original e sem retirar os postes de iluminação de seus lugares. Primeiramente faça uma ilustração
da situação descrita no problema.
Questão 9 As pessoas que participaram de uma reunião apertaram–se as mãos. Uma delas notou que no
total foram 120 cumprimentos. Quantas pessoas participaram dessa reunião?
Questão 10 Um jardim retangular tem em sua volta uma calçada de dois metro de largura. Se a área desta
calçada mede 80 m2 , determine o perı́metro do jardim. Primeiramente faça uma ilustração da situação
descrita no problema.
Questão 11 Considere um triângulo em que o menor ângulo é a metade do maior ângulo, e o menor ângulo
mais o maior ângulo é duas vezes o terceiro ângulo. Determine os ângulos desse triângulo.
2
XXVII Olimpı́ada de Matemática da Unicamp
Instituto de Matemática, Estatı́stica e Computação Cientı́fica
Universidade Estadual de Campinas
Questão 12 Considere um quadrado com 0, 25 m2 de área, do qual retiramos um pequeno quadrado com
lado medindo x cm, como mostra a figura abaixo.
x
Determine quanto mede o lado do quadradinho retirado se a nova figura tem:
(a) um perı́metro de 2, 5 m.
(b) um perı́metro menor do que 2 m.
(c) um perı́metro que pode estar entre 2 m e 3 m.
(d) uma área de 0, 16 m2 .
Questão 13 Uma urna contém 6 bolas idênticas, 3 pretas e 3 brancas. Quais são as possı́veis maneiras de
se retirar 4 bolas?
Questão 14 Estime o volume, em centı́metros, de uma lata de um litro azeite.
Questão 15 Ouve-se dos meteorologistas a frase: Hoje choveu 100mm. O que você entende por esta frase.
Questão 16 Escreva os números 0, 1, 2, 3 e 4 utilizando apenas os algarismos 2, 0, 0 e 1, aparecendo nessa
ordem, intercalando convenientemente apenas as operações de soma, subtração, multiplicação e divisão.
Questão 17 Considere um triângulo equilátero ABC de lados `. Mostre que ao duplicarmos um dos ângulos
internos, mantendo dois lados iguais a `, obtemos um triângulo isósceles. Calcule o terceiro lado do triângulo
isósceles.
Questão 18 Quantos pares de arestas paralelas tem um cubo?
Questão 19 Em um triângulo ABC, as medianas que partem dos vértices A e B são perpendiculares.
Se BC = 8 e AC = 6, determine o comprimento do lado AB.
Questão 20 Considere um ponto P interior ao retângulo ABCD e tal que
P C = 5. Determine o comprimento do segmento P D.
3
PA = 3,
PB = 4
e
XXVII Olimpı́ada de Matemática da Unicamp
Instituto de Matemática, Estatı́stica e Computação Cientı́fica
Universidade Estadual de Campinas
Questão 21 Na figura abaixo, ABCD é um quadrado de lado L e CEF é um triângulo equilátero.
Determine o comprimento do lado do triângulo equilátero em função do comprimento do lado do quadrado.
Dr
Cr
E r
r
F
r
A
r
B
Questão
22 Na figura abaixo, ABCD é um quadrado e CEF é um triângulo equilátero de área igual a
√
3. Determine a área do quadrado.
Dr
Cr
E r
r
A
r
F
r
B
Questão 23 Claudina, Samuel e Adolfo foram a uma pizzaria comemorar o final do projeto M 3 – Matemática Multimı́dia. Como Adolfo esqueceu de levar a carteira e o cartão de crédito, Samuel e Claudina
pagaram a conta da pizzaria. Claudina gastou R$ 45, 80 e Samuel gastou R$ 36, 40. Quantos reais Adolfo
deve devolver para Claudina ?
Questão 24 Determine três números naturais consecutivos tais que o quadrado do segundo números seja
igual ao produto dos outros dois mais um.
Questão 25 Num determinado produto farmacêutico a concentração do princı́pio ativo é de 100 (mg/ml).
Se a receita médica prescreve 30 ml do remédio três vezes ao dia, quantas gramas do princı́pio ativo são
ministradas diariamente ao paciente?
4
XXVII Olimpı́ada de Matemática da Unicamp
Instituto de Matemática, Estatı́stica e Computação Cientı́fica
Universidade Estadual de Campinas
Questão 26 O custo total para a produção de um determinado produto á a soma de um valor fixo R$ 600, 00
com o custo de produção unitário de R$ 2, 00. Se o preço unitário de venda desse produto for de R$ 3, 50.
(a) Determine a quantidade mı́nima que deve ser comercializada para que essa empresa apresente lucro.
Faça uma representação gráfica da situação descrita no problema.
(b) Determine uma função que represente o lucro da empresa em termos da quantidade comercializada.
Questão 27 Determine dois números reais tais que duas vezes o primeiro mais o segundo é igual a 19, e
a soma do segundo mais 21 é igual a três vezes o primeiro número.
Questão 28 Na figura abaixo ilustramos em perspectiva o corte de uma peça maciça de cobre que é composta
por dois paralelepı́pedos, um deles com dimensões 30 cm × 20 cm × 60 cm e o outro com dimensões 20 cm ×
40 cm × 60 cm. Sabendo que o cobre tem uma densidade volumétrica igual a 8, 9 (g/cm3 ), determine quantas
gramas pesa essa peça.
5
XXVII Olimpı́ada de Matemática da Unicamp
Instituto de Matemática, Estatı́stica e Computação Cientı́fica
Universidade Estadual de Campinas
Questão 29 Na figura abaixo temos a ilustração da área construı́da de um apartamento na escala 1 : 100,
isto é, cada centı́metro da planta equivale a 100 centı́metros na construção. Determine quantos metros
quadrados tem esse apartamento.
10 cm
3 cm
3 cm
1 cm
3 cm
10 cm
2 cm
4 cm
....
...
... 45o
...
.
Questão 30 Determine as dimensões de um retângulo com 48 cm2 de área e com 28 cm de perı́metro.
y
x
6
XXVII Olimpı́ada de Matemática da Unicamp
Instituto de Matemática, Estatı́stica e Computação Cientı́fica
Universidade Estadual de Campinas
Questão 31 Na figura abaixo temos a ilustração de uma região R inscrita num quadrado com lado medindo
10 cm.
(a) Determine a área dessa região em função da variável x que aparece na ilustração, e também o maior
intervalo que essa variável pode pertencer.
(b) Determine quantos centı́metros quadrados tem a maior região possı́vel.
(c) Determine quantos centı́metros quadrados tem a menor região possı́vel.
x
2x
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
5 cm
Z
Z
Z
Z
Z
H
HH
HH
H
HH
H
HH H
2x
R
Questão 32 Mostre que a área do trapézio é dada por:
A =
h
( L1 + L2 ) ,
2
onde L1 é o comprimento da base maior, L2 é o comprimento da base menor e h é a altura do trapézio.
L2
@
h
@
@
@
@
@
L1
Questão 33 Um jardim retangular com 8 m de comprimento por 4 m de largura tem em sua volta uma
calçada de x metros de largura. Se o perı́metro do retângulo formado pelo jardim com a calçada é duas
vezes maior que o perı́metro do jardim, determine a largura da calçada. Primeiramente faça uma ilustração
da situação descrita no problema.
7
XXVII Olimpı́ada de Matemática da Unicamp
Instituto de Matemática, Estatı́stica e Computação Cientı́fica
Universidade Estadual de Campinas
Questão 34 Determine a área e o perı́metro da figura abaixo.
2 cm
...............................................
........
..........
.....
.......
.
.
.
.
....
.
.
.
.
..
.
.
.
.
....
...
..
..
a
.....
...
...
...
...
...
..
9 cm
6 cm
8
XXVII Olimpı́ada de Matemática da Unicamp
Instituto de Matemática, Estatı́stica e Computação Cientı́fica
Universidade Estadual de Campinas
Definição 1 Vamos considerar um quadrado com uma orientação na enumeração dos seus vértices, como
ilustra a figura abaixo,
4q
3q
q
1
q
2
e as seguintes transformações realizadas sobre esse quadrado:
1. A transformação X representa uma rotação do 180o em torno da origem no sentido anti–horário.
2. A transformação Y representa uma reflexão em torno de um eixo horizonte que passa pela origem.
3. A transformação Z representa uma reflexão em torno de um eixo vertical que passa pela origem.
4. Denotamos por I a transformação identidade, isto é, a transformação I deixa o quadrado na sua
posição original.
Na figura abaixo temos as ilustrações das transformações descritas acima.
2q
1q
1q
2q
3q
4q
q
4
q
3
q
4
q
2
q
1
q
q
3
X
Y
9
Z
XXVII Olimpı́ada de Matemática da Unicamp
Instituto de Matemática, Estatı́stica e Computação Cientı́fica
Universidade Estadual de Campinas
Questão 35 Considerando as transformações sobre o quadrado dadas pela Definição 1 e a operação de composição de transformações, denotada por ◦, complete a tabela abaixo.
◦
I
X
Y
Z
I
Questão 36 Considere as seguintes matrizes:
1 0
0 1
I =
, X =
0 1
1 0
X
,
Y =
Y
−1
0
Z
0
−1
e
Z =
0
−1
−1
.
0
Considerando a operação de multiplicação de matrizes, que denotamos por ∗, complete a tabela abaixo.
∗
I
X
Y
Z
I
X
10
Y
Z
XXVII Olimpı́ada de Matemática da Unicamp
Instituto de Matemática, Estatı́stica e Computação Cientı́fica
Universidade Estadual de Campinas
Definição 2 Vamos considerar um triângulo equilátero com uma orientação na enumeração dos seus vértices,
como ilustra a figura abaixo,
3r
r
1
r
2
e as seguintes transformações realizadas sobre esse triângulo.
1. A transformação X representa uma rotação do 120o em torno do centro no sentido anti–horário.
2. A transformação Y representa uma reflexão em torno de um eixo vertical que passa pelo ponto médio
do lado oposto ao vértice 3 do triângulo original.
3. Denotamos por I a transformação identidade, isto é, a transformação I deixa o triângulo na sua
posição original.
Na figura abaixo temos as ilustrações das transformações descritas acima
2r
3r
r
r
3
r
1
X
r
2
r
1
Y
11
XXVII Olimpı́ada de Matemática da Unicamp
Instituto de Matemática, Estatı́stica e Computação Cientı́fica
Universidade Estadual de Campinas
Questão 37 Considere a transformação X sobre o triângulo equilátero dada pela Definição 2 e a operação
de composição de transformações, denotada por ◦, complete a tabela abaixo.
◦
I
X
X2
I
X2
X
onde X 2 = X ◦ X representa duas rotações de 120o em torno do centro do triângulo no sentido anti–
horário.
Questão 38 Considerando as transformações X e Y sobre o triângulo equilátero dadas pela Definição 2
e a operação de composição de transformações, denotada por ◦, complete a tabela abaixo.
◦
I
X
X2
Y
I
X2
X
Y
onde X 2 = X ◦ X representa duas rotações de 120o em torno do centro do triângulo no sentido anti–
horário.
Questão 39 Considerando as transformações X e Y sobre o triângulo equilátero dadas pela Definição 2 e
a operação de composição de transformações, denotada por ◦, faça a ilustração de uma nova transformação
definida por X ◦ Y ◦ X 2 , onde X 2 = X ◦ X representa duas rotações de 120o em torno do centro no
sentido anti–horário.
r
r
r
r
12
XXVII Olimpı́ada de Matemática da Unicamp
Instituto de Matemática, Estatı́stica e Computação Cientı́fica
Universidade Estadual de Campinas
Definição 3 Vamos considerar um quadrado com uma orientação na enumeração dos seus vértices, como
ilustra a figura abaixo,
4q
3q
q
1
q
2
e as seguintes transformações realizadas sobre esse quadrado:
1. A transformação X representa uma rotação do 90o em torno da origem no sentido anti–horário.
2. A transformação Y representa uma reflexão em torno de um eixo que passa pelos vértices 1 e 3 do
quadrado original.
3. A transformação Z representa uma reflexão em torno de um eixo que passa pelos vértices 2 e 4 do
quadrado original.
4. Denotamos por I a transformação identidade, isto é, a transformação I deixa o quadrado na sua
posição original.
Na figura abaixo temos as ilustrações das transformações descritas acima.
3q
2q
2q
3q
4q
1q
q
1
q
1
q
4
q
3
q
2
q
q
4
X
Y
13
Z
XXVII Olimpı́ada de Matemática da Unicamp
Instituto de Matemática, Estatı́stica e Computação Cientı́fica
Universidade Estadual de Campinas
Questão 40 Considerando as transformações X , Y e Z sobre o quadrado dadas pela Definição 3 e a
operação de composição de transformações, denotada por ◦, faça a ilustração das transformações definidas
abaixo:
(a)
Y ◦Z = Z ◦Y.
(b)
X ◦ Y ◦ Z, e verifique que essa transformação é igual a X 3 .
(c)
X ◦ Y ◦ X, e verifique que essa transformação é igual a Z .
onde X 2 = X ◦ X que representa duas rotações de 90o e X 3 = X ◦ X 2 representa três rotações de 90o
em torno do centro do quadrado no sentido anti–horário.
Questão 41 Considerando as transformações X , Y e Z sobre o quadrado dadas pela Definição 3 e a
operação de composição de transformações, denotada por ◦, complete a tabela abaixo.
◦
I
X
X2
X3
Y
Z
I
X2
X
X3
Y
Z
onde X 2 = X ◦ X que representa duas rotações de 90o e X 3 = X ◦ X 2 representa três rotações de 90o
em torno do centro do quadrado no sentido anti–horário.
Questão 42 Considerando as transformações X , Y e Z sobre o quadrado dadas pela Definição 3 e a
operação de composição de transformações, denotada por ◦, faça a ilustração de uma nova transformação
definida por Y ◦ X 3 ◦ Z, onde X 3 = X ◦ X 2 representa três rotações de 90o em torno do centro do
quadrado no sentido anti–horário.
q
q
q
q
q
14
XXVII Olimpı́ada de Matemática da Unicamp
Instituto de Matemática, Estatı́stica e Computação Cientı́fica
Universidade Estadual de Campinas
Questão 43 Determine um número natural com dois dı́gitos cuja soma dos dı́gitos seja igual a dez e que o
número seja igual a dezesseis vez a sua unidade.
Questão 44 Determine três números ı́mpares consecutivos cuja soma seja igual a 51.
Questão 45 Escreva o número natural 2011 como a soma de dois números naturais de modo que o maior
deles seja igual a três vezes o menor mais três.
Questão 46 A sombra de uma palmeira mede 4, 5 m no mesmo instante em que uma vara vertical de 2 m
colocada próxima ao local tem uma sombra de 90 cm. Qual é a altura da palmeira?
Questão 47 Uma engrenagem com cinqüenta dentes faz girar uma outra engrenagem com quarenta dentes.
Quantas voltas realiza a primeira engrenagem enquanto a segunda realiza cem voltas?
Questão 48 Um texto formatado com vinte e cinco linhas em cada página são necessárias 300 páginas
para a sua impressão. Se forem colocadas vinte linhas (do mesmo comprimento) em cada página, quantas
páginas terá o texto impresso?
Questão 49 A soma de dois números naturais é 124. Dividindo–se o maior pelo menor o quociente é 3
e o resto 8. Quais são os números?
Questão 50 Sérgio e seu filho André possuem juntos uma propriedade tendo direito a partes iguais. Sérgio
além de André tem outros dois filhos, Lı́via e Eduardo, e pretende dividir sua parte igualmente entre os três
filhos. No total, que fração da propriedade caberá a cada um dos filhos?
Questão 51 Um pintor utiliza de uma lata de tinta para pintar uma parede quadrada de lado 2 metros.
Quanto gastará de tinta para pintar uma parede retangular de 6 metros de comprimento e 3 metros de
altura.
Questão 52 Susana sabe que precisa de 3600 ladrilhos de 1 dm2 cada um para ladrilhar um piso de
sua casa. Entretanto, ela gostou de um tipo de ladrilho que tem 1, 2 dm2 . Quantos ladrilhos desse tipo ela
precisa comprar?
Questão 53 No perı́odo da manhã em uma escola a terça parte do total de alunos tem menos de 12 anos,
a metade tem de 12 a 13 anos e 50 alunos têm mais de 13 anos. Quantos alunos estudam no perı́odo
da manhã na escola?
Questão 54 Encontre dois múltiplos consecutivos de 11 que somados seja igual a 319.
Questão 55 Encontre três múltiplos consecutivos de 7 que somados seja igual a 336.
Questão 56 Quais conjuntos de números que somados dão 10 e multiplicados dão o maior valor possı́vel?
Questão 57 Quais são os números que divididos por 5 têm resto 4 e divididos por 3 têm resto 2?
15
XXVII Olimpı́ada de Matemática da Unicamp
Instituto de Matemática, Estatı́stica e Computação Cientı́fica
Universidade Estadual de Campinas
Questão 58 Em um relógio de ponteiros, em alguns momentos, o ponteiro de minutos fica exatamente em
cima do ponteiro de horas.
(a) Que momentos são esses?
(b) Expresse seus resultados em frações de horas e em horas, minutos e segundos.
Questão 59 Qual é o menor número que tem exatamente 14 divisores?
Questão 60 Quantos triângulos retângulos existem que tenham os comprimentos dos três lados dados em
números naturais (de unidades de comprimento) e que nenhum lado exceda 100 unidades de comprimento?
Questão 61 Cinco números somados dois a dois fornecem os seguintes resultados:
0, 2, 4, 4, 6, 8, 9, 11, 13, 15 .
Quais são esses cinco números?
Questão 62 Um construtor pavimenta o centro de um grande pátio com peças quadradas de uma cerâmica
especial. A área pavimentada é quadrada. Ao terminar a pavimentação, o proprietário gostou da cerâmica
e solicita que aumente a área pavimentada com esta cerâmica. Para tanto o construtor diz que devem ser
compradas mais 100 peças da cerâmica. Quantas peças no total a nova área pavimentada vai possuir?
Questão 63 Considere um quadrado fixo de lado 10 cm e outro quadrado similar, mas que pode se mover
em torno do quadrado fixo, conquanto mantenha sempre um lado encostado ao quadrado fixo e não possa
ser girado. Agora considere um ponto fixo em algum lugar do quadrado móvel. Calcule o comprimento
do percurso possı́vel que esse ponto pode fazer se o quadrado móvel fizer uma volta completa em torno do
quadrado fixo?
Questão 64 Considere números naturais de dois dı́gitos, 47 por exemplo. Usando as quatro operações,
explique como obter o número com os números invertidos, 74 no exemplo. Desenvolva a explicação em
geral, não apenas no exemplo.
Questão 65 Consideres o seguinte quadrado de lado unitário. Qual é a área da cerâmica quadrada no
centro?
16
XXVII Olimpı́ada de Matemática da Unicamp
Instituto de Matemática, Estatı́stica e Computação Cientı́fica
Universidade Estadual de Campinas
Questão 66 Um historiador em 2100 descobre uma tabela de resultados de um turno de campeonato estadual de futebol de 1987. No entanto a tabela tem várias informações apagadas pelo tempo. Mesmo assim
ele recupera todos os dados sabendo que os quatro times se enfrentariam um ao outro uma vez nesse turno,
cada vitória dava 3 pontos ao vencedor e 1 ponto para cada time em caso de empate. Complete a tabela
abaixo.
Tabela 1: Campeonato Tapajara
Time
A
B
C
D
Jogos
Vitórias
Empates
Derrotas
Gols a favor
Gols contra
4
5
4
0
0
4
3
Pontos
7
2
0
Questão 67 Complete a pirâmide de forma que cada número acima é resultado dos dois que o suportam.
(a) Complete a pirâmide com os números que faltam:
(b) Encontre uma relação entre os pares de números x e y.
Questão 68 Uma sugestão de treino para a iniciação em corridas de rua é alternar uma caminhada de
quatro minutos com uma leve corrida de um minuto e meio, iniciando o treino com a caminhada. Uma
pessoa realiza esse treino durante trinta e sete minutos, quantas fases de corrida serão feitas?
17