50 minutos, o tempo necessário para Ana terminar a digitação da apostila é:
a) 120 minutos
b) 90 minutos
c) 95 minutos
d) 105 minutos
e) 110 minutos
TIPO DE PROVA: A
Questão 1
Um mapa está numa escala 1:20 000 000, o
que significa que uma distância de uma unidade, no mapa, corresponde a uma distância
real de 20 000 000 de unidades. Se no mapa a
distância entre duas cidades é de 2 cm, então
a distância real entre elas é de:
a) 2 400 km
b) 2 400 000 cm
c) 400 000 cm
d) 400 km
e) 40 000 m
alternativa D
A distância real entre as duas cidades é
20 000 000 ⋅ 2 cm = 40 000 000 cm = 400 km.
Questão 2
O valor de
x4 − y4
para x = 111
3
x − x2 y + xy2 − y 3
e y = 112 é:
a) 215
b) 223
d) −1
c) 1
e) 214
alternativa B
alternativa D
5
5 1
5
da
h, Paula digita
⋅
=
6
6 2
12
5
7
da
apostila. Logo Ana digitará os 1 − −
=
12
12
7
7
h = 105 min.
apostila restantes em 3 ⋅
=
12
4
Em 50 min =
Questão 4
Num grupo de 400 pessoas, 70% são não fumantes. O número de fumantes que devemos
retirar do grupo, para que 80% das pessoas
restantes sejam não fumantes, é:
a) 35
b) 40
c) 45
d) 50
e) 55
alternativa D
No grupo, há 400 ⋅ 0,7 = 280 não fumantes. Retirando x fumantes do grupo, a porcentagem de
280
não fumantes torna-se
, assim devemos
400 − x
280
ter
= 0,8 ⇔ x = 50 .
400 − x
Nas condições do problema:
x4 − y 4
x 3 − x 2 y + xy 2 − y 3
=
=
(x 2 − y 2 )(x 2 + y 2 )
x 2 (x − y) + y 2 (x − y)
(x − y)(x + y)(x 2 + y 2 )
(x − y)(x
2
2
+y )
Questão 5
=
Se x > 1 e f(x) =
=
x
, então f(f(x + 1)) é
x −1
igual a:
= x +y
Como x = 111 e y = 112, o valor da expressão é
111 + 112 = 223.
a) x + 1
d)
x
x −1
1
x −1
x+1
e)
x −1
b)
c) x − 1
alternativa A
Questão 3
Paula digita uma apostila em 2 horas,
enquanto Ana o faz em 3 horas. Se Paula
iniciar o trabalho, digitando nos primeiros
x +1
x +1
. Portanto
=
(x + 1) − 1
x
x +1
 x +1
x
f(f(x + 1)) = f 
=
= x + 1.

x +1
 x 
−1
x
Temos f(x + 1) =
matemática 2
c)
Questão 6
d)
A figura mostra o gráfico da função
f(x) = ax2 + bx + c, sendo −1 o seu mínimo.
Se g(x) = 3x − f(x), então f(3) + g(2) vale:
e)
alternativa C
Temos
a) −6
c) −3
b) 2
d) 6
e) 9
alternativa E
Como 0 e 2 são as raízes de f(x), f(x) =
= a(x − 0)(x − 2) = ax(x − 2). Temos ainda que
o vértice da parábola é
0 + 2

; −1 = (1; −1), ou seja, f(1) = −1 ⇔

 2

⇔ a ⋅ 1 ⋅ (1 − 2) = −1 ⇔ a = 1.
Portanto f(x) = x(x − 2) e f(3) + g(2) =
(x − y)(x + y) < 0 ⇔
⇔
(x − y < 0 e x + y > 0) ou
⇔
(x − y > 0 e x + y < 0)
⇔
(y > x e y > −x) ou
(y < x e y < −x)
Assim, os pontos que satisfazem (x − y)(x + y) < 0
são aqueles acima das retas dadas por y = x e
y = −x ou aqueles abaixo das retas dadas por y = x
e y = −x.
= 3(3 − 2) + 2 ⋅ 3 − 0 = 9.
Questão 7
A melhor representação gráfica dos pontos
(x, y) do plano, tais que (x − y).(x + y) < 0, é a
parte sombreada da alternativa:
a)
b)
Logo a melhor representação gráfica é a apresentada na alternativa C.
Questão 8
Se 2x = 4 y + 1 e 27 y = 3x − 9 , então y − x vale:
a) 5
b) 4
c) 2
d) −3
e) −1
matemática 3
alternativa A
2 x = 4y +1
27
⇔
y
= 3
x −9
⇔
2 x = (2 2 ) y + 1
(3 3 ) y = 3 x − 9
1
π
1
e) progressão geométrica de razão
2π
d) progressão geométrica de razão
⇔
x = 2(y + 1)
x = 2(y + 1)
⇔
⇔
3y = x − 9
3y = 2(y + 1) − 9
x = −12
⇔
⇒ y −x = 5
y = −7
Questão 9
Se logm 5 = a e logm 3 = b, 0 < m ≠ 1, então
log 1
m
3
é igual a:
5
b
a)
a
b) b − a
c) 3a − 5b
a
d)
b
e) a − b
alternativa E
Temos log 1
m
3
3
= −log m
= −(log m 3 − log m 5 ) =
5
5
alternativa C
∗
Sejam ri , i ∈ N , os raios das circunferências da
seqüência. Como os comprimentos estão em
PA de razão 2, temos 2 πri + 1 − 2 πri = 2 ⇔
1
. Portanto os raios formam uma
⇔ ri + 1 − ri =
π
1
progressão aritmética de razão .
π
Questão 12
Se P(x) = x 3 + ax2 + ax, a ≠ 0, tem apenas
uma raiz real, então o resto R da divisão de P (x) por x − 2 é tal que:
a) −2 < R < 2
b) 0 < R < 24
c) 12 < R < 48
d) 8 < R < 32
e) −32 < R < 12
alternativa D
= a − b.
O resto R da divisão de P(x) por x − 2 é P(2) =
= 2 3 + a ⋅ 2 2 + a ⋅ 2 = 6a + 8.
Ademais, P(x) = 0 ⇔ x 3 + ax 2 + ax = 0 ⇔
⇔ x(x 2 + ax + a) = 0 ⇔ x = 0 ou
Questão 10
2
logb 27 +
3
+ 2 logb 2 − logb 3, x vale:
a) 27
b) 9
c) 12
d) 6
Na igualdade logb x =
e) 3
alternativa C
2
log b 27 + 2 log b 2 − log b 3 ⇔
3
⇔ log b x = log b 27 2/3 + log b 2 2 − log b 3 ⇔
9 ⋅4
⇔ x = 12
⇔ log b x = log b
3
x 2 + ax + a = 0 .
Como P(x) tem apenas uma raiz real, o discriminante da equação x 2 + ax + a = 0 é negativo.
Desta forma, a 2 − 4 ⋅ 1 ⋅ a < 0 ⇔ 0 < a < 4 ⇔
⇔ 0 < 6a < 24 ⇔ 8 < 6a + 8 < 32 ⇔
⇔ 8 < R < 32.
log b x =
Questão 11
Os comprimentos de uma seqüência de circunferências estão em progressão aritmética
de razão 2. Os raios dessas circunferências
definem uma:
a) progressão aritmética de razão π
b) progressão aritmética de razão 2
1
c) progressão aritmética de razão
π
Questão 13
Para 0 < x < 2π, a soma das raízes da equação sec2 x = tg x + 1 é igual a:
5π
7π
9π
a)
b)
c)
d) 2π
e) 4π
2
2
2
alternativa A
Para 0 < x < 2 π,
sec 2 x = tg x + 1 ⇔ tg 2 x + 1 = tg x + 1 ⇔
⇔ tg x (tg x − 1) = 0 ⇔
tg x = 0
ou
⇔
tg x = 1
matemática 4
Questão 16
x = π
⇔
ou
x =
π
5π
ou x =
4
4
Logo a soma das raízes da equação é
5π
5π
π
.
π +
+
=
4
4
2
Considere a seqüência (2, 3, ..., 37), de números primos maiores que 1 e menores que
40. Escolhidos ao acaso dois deles, a probabilidade de serem ímpares consecutivos é:
1
5
2
1
4
b)
c)
d)
e)
a)
12
66
33
33
33
alternativa B
Questão 14
π
Se cos x +  = sen2 x, então x pode ser:

2
π
π
2π
3π
3π
b)
c)
d)
e)
a)
2
4
3
4
2
alternativa E
π

Temos cos  x +  = sen 2 x ⇔

2
Questão 17
⇔ −sen x = sen 2 x ⇔ sen x = 0 ou sen x = −1 ⇔
3π
⇔ x = kπ ou x =
+ 2kπ, k ∈ Z.
2
Dos valores apresentados, apenas
Há 12 primos na seqüência: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17,
19, 23, 29, 31 e 37. Existem 5 subconjuntos com
dois elementos ímpares consecutivos pertencentes à seqüência. Conseqüentemente a probabili5
5
dade pedida é
.
=
66
12 
 
2
3π
é solução
2
Considere a reta r que passa pelo ponto ( 3 , 1)
e é tangente à circunferência de centro na
origem e raio 2. A reta r encontra o eixo vertical num ponto de ordenada:
d) 2 3
e) 3 2
a) 4
b) 3
c) 3
da equação.
alternativa A
Questão 15
 mx + y = 0
O sistema 
 x + my = 0
a) é impossível, se m = 0
b) tem mais de uma solução, se m = −1
c) tem solução única, se m = 1
d) admite apenas solução nula, qualquer que
seja m
e) admite mais de uma solução, qualquer que
1
seja m ≠
2
Uma equação da circunferência é (x − 0) 2 +
+ (y − 0) 2 = 2 2
2
⇔
x 2 + y 2 = 4.
Como
2
( 3 ) + 1 = 4, o ponto ( 3 ; 1) pertence à circunferência.
alternativa B
O determinante da matriz dos coeficientes do sism 1
tema dado é
= 0 ⇔ m2 − 1 = 0 ⇔
1 m
⇔ m = ±1.
Assim, como o sistema é homogêneo, ele admite infinitas soluções se, e somente se, m = 1 ou
m = −1. Caso contrário, admite apenas a solução
trivial (0; 0).
A reta r é perpendicular ao raio da circunferência
que contém ( 3 ; 1). Logo r tem coeficiente angu1
lar −
= − 3 e admite equação y − 1 =
1−0
3 −0
= − 3 (x − 3 ). Portanto r intercepta a reta x = 0
quando y − 1 = − 3 (0 − 3 ) ⇔ y = 4.
matemática 5
Questão 18
Na figura temos r//r’ e s//s’. Então, para todo
a > 1, o valor da abscissa x é:
a) 7,5
b) 8,0
c) 8,5
d) 9,0
e) 9,5
alternativa D
a) 2a
d) a + 1
b) a2
e) a + 1
c) (a + 1)2
alternativa B
Como FE//BC, ∆AFE ~ ∆ABC. Sendo h a altura do
triângulo ABC relativa ao lado BC, a altura do
triângulo AFE relativa a FE é h − 3 . Portanto
h −3
h
h −3
h
=
⇔
=
⇔ h = 9.
FE
BC
3
4,5
Questão 20
Sejam os pontos A, B, C, D e E conforme a figura.
Como r//r’, temos ∆OBC ~ ∆OAD. Assim
a
OA
OD
( ∗).
=
=
1
OB
OC
Como s//s’, temos ∆OAC ~ ∆OED e, conseqüentex
OE
OD
mente,
( ∗ ∗). De ( ∗) e ( ∗ ∗) temos
=
=
a
OA
OC
x
a
=
⇔ x = a2 .
a
1
Questão 19
No triângulo ABC da figura, o lado BC mede
4,5 e o lado do quadrado DEFG mede 3. A altura do triângulo ABC, em relação ao lado
BC, mede:
Um cilindro reto C1 tem altura igual ao diâmetro da base e um cilindro C2 , também reto,
tem altura igual a oito vezes o diâmetro da
base. Se a razão entre os volumes de C1 e de
1
, então a razão entre os respectivos
C2 é
27
raios é:
1
2
1
1
2
a)
b)
c)
d)
e)
9
27
27
3
3
alternativa E
Sejam r e R os raios das bases de C1 e
C 2 , respectivamente. Logo o volume de C1 é
πr 2 ⋅ 2r = 2 πr 3 e o volume de C 2 é
πR 2 ⋅ 8 ⋅ 2R = 16 πR 3 . Assim,
⇔
r3
R
3
=
8
r
2
.
⇔
=
27
R
3
2 πr 3
16 πR 3
=
1
⇔
27