FGV Raciocínio Matemático 11 de Novembro / 2001 01. a) Uma urna contém 5 bolinhas numeradas de 1 a 5. Uma bolinha é sorteada, tem observado seu número, e é recolocada na urna. Em seguida, uma segunda bolinha é sorteada e tem observado seu número. Qual a probabilidade de que a soma dos números sorteados seja superior a 7 ? b) Uma urna contém n bolinhas numeradas de 1 a n. Sorteandose duas bolinhas sucessivamente com reposição, e observandose os números do 1o e do 2o sorteios, quantos resultados são possíveis? Qual seria a resposta se não houvesse reposição ? Resolução: a) Os casos em que a soma é superior a 7 são: 1a bola 2a bola Probabilidade 1 1 1 . = 3 5 5 5 25 1 2 2 . = 4 4 ou 5 5 5 25 1 3 3 . = 5 3 ou 4 ou 5 5 5 25 1 2 3 6 + + = Assim, temos: 25 25 25 25 6 A probabilidade pedida é . 25 b) 1o) Com reposição: 2o) Sem reposição: Freqüência 30 60 10 σ2 = ⇒ σ2 = i =1 ( ) 0 b) Qual o domínio da função f(x) = i 0,2 iV 2 2x – 3x + 1 . Resolução: a) Temos que se x ≥ 0 então f(x) = x2 – 3x + 2 e se x < 0 então f(x) = x2 + 3x + 2 x –2 –1 2 100 x –1 b) f (x) = 2 2x – 3x + 1 2 = 900 x N D F 0++ 1 2 2 e CE: 1 2 1 ––– 1 x –1 2x 2 – 3x + 1 ≥ 0 D = 2x2 – 3x + 1 N = x – 1 n Desvio padrão = σ2 = σ ⇒ σ = 30 A variância é 900 e o desvio padrão é R$ 30,00 FGV2aFASE2001 V 2 30 (50 – 90 ) + 60 (100 – 90 ) + 10 (150 – 90 ) 2 L y a) Qual a média dos salários das 100 pessoas ? b) Qual a variância dos salários? Qual o desvio padrão dos salários? Resolução: 30 . 50 + 60 . 100 + 10 . 150 ⇒ x = 90,00 a) Média = 30 + 60 + 10 n 2 A média é de R$ 90,00. ∑ xi – x σ2 b) iV = 0,1 (por simetria) ou L máximo b xV = – = 0,1 2a Lucro máximo para i = 10% a.a. x –1 02. Numa pequena ilha, há 100 pessoas que trabalham na única empresa ali existente. Seus salários (em moeda local) têm a seguinte distribuição de freqüências: b) Variância = a) Se i = 5% a.a. ⇒ Lucro = 1000 . 0,05 – 5000 . (0,05)2 Lucro = 50 – 12,5 = 37,5 unidades monetárias 04. a) Esboce o gráfico da função f(x) = x2 – 3 | x | + 2. n . n = n2 n . (n – 1) = n2 – n Salários R$ 50,00 R$ 100,00 R$ 150,00 03. Um banco capta dinheiro de aplicadores, pagando a eles uma taxa anual de juros igual a i. O prazo das aplicações é de 1 ano. O dinheiro captado é emprestado a empresas, por 1 ano, à taxa de 20% ao ano. Sabe-se que o dinheiro captado é dado por C = 5 000 . i unidades monetárias. Desprezando-se outros custos: a) qual o lucro do banco, se a taxa i for igual a 5% ao ano ? b) qual a taxa i que dá ao banco o máximo lucro ? Resolução: Após um ano. Montante captado: C = 5000 i (1 + i) Montante emprestado: V = 5000 i . 1,2 = 6000 i Lucro = V – C Lucro = 6000 i – 5000 i (1 + i) = 1000 i – 5000 i2 x 1 ++0 – – – 0++ x 1 –––––0++ ++0––0++ – ∃/ + ∃/ + D = {x ∈ IR | x > 1/2 e x ≠ 1} 1 2 FGV NOVEMBRO / 2001 – 2a FASE 08. Um investidor aplicou R$ 5 000,00 a juros simples, à taxa de 40% a.a. a) Qual o montante, se o prazo da aplicação for de 5 meses? b) Qual o gráfico do montante em função do prazo n da aplicação, expresso em trimestres ? Resolução: C = 5000; t = 5 meses a) M = C + j e j = C . i . t ⇒ 40 i = 40% a.a. = 12 % a.m. 40 j = 5000 . . 5 = 833,33 12 . 100 05. a) Represente os pontos (x,y) do plano cartesiano que satisfazem a relação | 3x – 2y | = 6 b) Qual a área da figura determinada pelos pontos (x, y) do plano cartesiano que satisfazem simultaneamente as relações: y s x 2 + y 2 ≤ 9 r x + y ≥ 3 3 Resolução: –2 2 a) | 3x – 2y | = 6 ⇒ x ⇒ 3x – 2y = 6 (r) ou 3x – 2y = – 6 (s) M = 5000 + 833,33 –3 S = 40 % = 10% ao trimestre 4 M = C + j = 5000 + 5000 . 0,1 . n ⇒ M = 5000 + 500 n y 9 ( ð 2) π .32 3.3 – = 4 4 2 b) i = 40% a.a. = 3 2 2 b) x + y ≤ 9 ⇒ S = Ssetor – S∆ x + y ≥ 3 –3 3 M x 10 000 –3 5 000 06. a) Resolva a equação log (x – 2) + log (x + 2) = 2 b) Quais as raízes da equação xlog x = 100 x ? Resolução: x > 2 a) log (x – 2) + log (x + 2) = 2 CE ⇒ x>2 x > – 2 log [ (x – 2) . (x + 2) ] = 2 ⇒ (x – 2) (x + 2) = 100 ⇒ 10 09. No conjunto dos números complexos: a) Resolva a equação z4 = 1 b) Obtenha o número z, tal que z . (1+ i) = 3 – i, onde i é a unidade imaginária. Resolução: a) z4 = 1 ⇔ z4 – 1 = 0 ⇔ (z2 + 1) (z2 – 1) = 0 ⇔ S = { 2 26 } b) xlog x = 100 x CE: x > 0 log xlog x = log 100 x ⇒ log x . log x = log 100 + log x log x = – 1 ou (log x)2 – log x – 2 = 0 ⇒ log x = 2 Então, x = 1/10 ou x = 100 ∴ S = { 1/10; 100 } z 2 = 1 ⇒ z = 1 ou z = – 1 ∴ ∴ S = { 1, –1, i, –i } 2 z = – 1 ⇒ z = i ou z = – i 07. a) No plano cartesiano, qual o gráfico dos pontos (x, y) que satisfazem a relação x2 – y2 = 0 ? b) No plano cartesiano, qual a equação da circunferência de raio 3, com centro pertencente à reta x – y = 0 e tangente à reta y 3x + 4y = 0 ? Resolução: a) x2 – y2 = 0 ⇒ y = x (biss. quadr. ímpares) ou y = – x (biss. quadr. pares) O gráfico é a união das bissetrizes dos quadrantes pares e ímpares. 45º x – S: x + 2 2 3 +4 2 = 3 ⇒ | 7α | = 15 ⇒ α = ± 2 15 15 + y – =9 7 7 2 2 15 15 + y + =9 7 7 3x + 4y = 0 15 7 (r) 3 b) z . (1 + i) = 3 – i ) 0 (s y= x– α, α) C (α ⇒ 3–i z = 1+ i ⇒ 2 – 4i (3 – i) (1 – i) ⇒ z = (1 + i) (1 – i) ⇒ z = ⇒ z = 1 – 2i 2 x b) Como o centro pertence à reta x – y = 0 então C (α, α). | 3(α) + 4(α) | n (trimestre) Supondo que a variação do montante é uma função contínua na variável n, então o gráfico é a semi-reta indicada. Caso o montante somente se realize ao final de cada trimestre, o gráfico será constituído por pontos isolados. x = + 2 26 ⇒ x2 – 4 = 100 ⇒ x2 = 104 ⇒ x = – 2 26 (não convém) Temos: dCr = 3 ⇒ ⇒ M = 5 833,33 ⇒ R$ 5 833,33 10. a) Para que valores de m, a equação na incógnita x, 2 sen x – 1 = 3m admite solução ? b) Dois lados de um triângulo medem 10 cm cada um. Qual a medida do ângulo formado por esses lados, de modo que resulte em um triângulo de área máxima ? Resolução: 3m + 1 a) De 2 sen x – 1 = 3m, obtemos: sen x = 2 3m + 1 Como –1 ≤ sen x ≤ 1, devemos ter: –1 ≤ ≤1 2 Daí: –2 ≤ 3m + 1 ≤ 2 ⇒ –3 ≤ 3m ≤ 1 ⇒ –1 ≤ m ≤ 1/3 S = {m ∈ IR | –1 ≤ m ≤ 1/3 } b) A área do triângulo é dada por: 1 S= . 10 . 10 . sen α = 50 sen α 2 10 α Temos Smáx para sen α = 1 ∴ α = 90º FGV2aFASE2001 10