Nome:
3ºANO / CURSO
TURMA:
DATA: 06 / 02 / 2015
Professor: Paulo
Disciplina: Matemática
1. (Pucrj 2014) Vamos empilhar 5 caixas em ordem crescente de altura.
A primeira caixa tem 1m de altura, cada caixa seguinte tem o triplo da
altura da anterior. A altura da nossa pilha de caixas será:
a) 121 m b) 81 m c) 32 m d) 21 m e) 15 m
2. (Pucrj 2014) A Copa do Mundo, dividida em cinco fases, é disputada
por 32 times. Em cada fase, só metade dos times se mantém na disputa
pelo título final. Com o mesmo critério em vigor, uma competição com
64 times iria necessitar de quantas fases?
a) 5 b) 6
c) 7 d) 8
e) 9
A soma dos perímetros dos triângulos dessa sequência infinita é
a) 9
b) 12
c) 15
d) 18
e) 21
3. (Unesp 2013) Uma partícula em movimento descreve sua trajetória
sobre semicircunferências traçadas a partir de um ponto P0 , localizado
8. (Fgv 2013) Uma mercadoria é vendida com entrada de R$500,00
mais 2 parcelas fixas mensais de R$576,00. Sabendo-se que as parcelas
embutem uma taxa de juros compostos de 20% ao mês, o preço à vista
dessa mercadoria, em reais, é igual a
a) 1.380. b) 1.390. c) 1.420. d) 1.440. e) 1.460.
em uma reta horizontal r, com deslocamento sempre no sentido
horário. A figura mostra a trajetória da partícula, até o ponto P3 , em r.
9. (Uepb 2012) Na figura abaixo, temos parte do gráfico da função
Na figura, O, O1 e O2 são os centros das três primeiras
2
f(x)    e uma sequência infinita de retângulos associados a esse
3
semicircunferências traçadas e R, R/2, R/4seus respectivos raios.
x
gráfico.
A trajetória resultante do movimento da partícula será obtida
repetindo-se esse comportamento indefinidamente, sendo o centro e o
raio da n-ésima semicircunferência dados por On e R  R ,
n
2n
respectivamente, até o ponto Pn, também em r. Nessas condições, o
comprimento da trajetória descrita pela partícula, em função do raio R,
quando n tender ao infinito, será igual a
a) 22  π  R.
b) 23  π  R.
d)  7   π  R.
4
e) 2  π  R.
 
4. (Espm 2013) Para que a sequência (9,  5, 3) se transforme numa
c) 2n  π  R.
progressão geométrica, devemos somar a cada um dos seus termos um
certo número. Esse número é:
a) par
b) quadrado perfeito
c) primo
d) maior que 15
e) não inteiro
5. (Espcex (Aman) 2013) Um fractal é um objeto geométrico que pode
ser dividido em partes, cada uma das quais semelhantes ao objeto
original. Em muitos casos, um fractal é gerado pela repetição indefinida
de um padrão. A figura abaixo segue esse princípio. Para construí-la,
inicia-se com uma faixa de comprimento m na primeira linha. Para
obter a segunda linha, uma faixa de comprimento m é dividida em três
partes congruentes, suprimindo-se a parte do meio. Procede-se de
maneira análoga para a obtenção das demais linhas, conforme indicado
na figura.
A soma das áreas de todos os retângulos desta sequência infinita em
unidade de área é
a) 3
b) 1/2
c) 1
d) 2
e) 4
10. (Ulbra 2012) João percebeu que, ao abrir a torneira ligada ao
reservatório de água, por 5 minutos, o volume diminuía para 1/5 da
sua capacidade remanescente. Depois de 20 minutos com a torneira
3
aberta, o volume do reservatório era de 0,12 m . Qual é a capacidade
total da caixa d’água?
a) 15 000 litros.
b) 50 000 litros.
c) 30 000 litros.
d) 75 000 litros.
e) 60 000 litros.
2
11. (Fuvest 2015) Dadas as sequências an  n2  4n  4, bn  2n ,
b
cn  an1  an e dn  n1 , definidas para valores inteiros positivos
bn
de n, considere as seguintes afirmações:
I. an é uma progressão geométrica;
II. bn é uma progressão geométrica;
III. c n é uma progressão aritmética;
IV. dn é uma progressão geométrica.
São verdadeiras apenas
a) I, II e III.
b) I, II e IV.
Se, partindo de uma faixa de comprimento m, esse procedimento for
efetuado infinitas vezes, a soma das medidas dos comprimentos de
todas as faixas é
a) 3m
b) 4m
c) 5m
d) 6m
e) 7m
c) I e III.
d) II e IV.
12. (Espcex (Aman) 2015) Na figura abaixo temos uma espiral formada
pela união de infinitos semicírculos cujos centros pertencem ao eixo
das abscissas. Se o raio do primeiro semicírculo (o maior) é igual a 1 e o
raio de cada semicírculo é igual à metade do semicírculo anterior, o
comprimento da espiral é igual a
6. (Pucrj 2013) A sequência (2, x, y, 8) representa uma progressão
geométrica. O produto xy vale:
a) 8
b) 10
c) 12
d) 14
e) 16
7. (Ufrgs 2013) A sequência representada, na figura abaixo, é formada
por infinitos triângulos equiláteros. O lado do primeiro triângulo mede
1, e a medida do lado de cada um dos outros triângulos é 2/3 da
medida do lado do triângulo imediatamente anterior.
e) III e IV.
a) 
b) 2 
www.colegiowr.com.br
c) 3 
d) 4 
e) 5 
13. (Uece 2014) Se a sequência de números reais positivos
x1, x2, x3 , ..., xn, ... . é uma progressão geométrica de razão igual a
19. (Esc. Naval 2013) Sabendo que b  cos  π  π  π  ...  então o
 3 6 12


q, então a sequência y1, y2 , y3 , ..., yn, ... definida para todo n
valor de log2 b é
a) 1
b) 0
natural por yn  logxn é uma progressão
a) aritmética cuja razão é igual a logq.
b) aritmética cuja razão é igual a q.logq.
c) geométrica cuja razão é igual a logq.
d) geométrica cuja razão é igual a q.logq.
c) -1
d) -2

e) 3
20. (Epcar (Afa) 2013) A sequência  x, 6, y, y  8  é tal, que os três

3
primeiros termos formam uma progressão aritmética, e os três últimos
formam uma progressão geométrica. Sendo essa sequência crescente,
a soma de seus termos é
14. (Espm 2014) A figura abaixo mostra a trajetória de um móvel a
partir de um ponto A, com BC  CD, DE  EF, FG  GH, HI  IJ e
assim por diante.
a) 92
b) 89
c) 86
d) 83
3
3
3
3
21. (Uel 2014) Leia o texto a seguir.
Van Gogh (1853-1890) vendeu um único quadro em vida a seu irmão,
por 400 francos. Nas palavras do artista: “Não posso evitar os fatos de
que meus quadros não sejam vendáveis. Mas virá o tempo em que as
pessoas verão que eles valem mais que o preço das tintas”.
Considerando infinita a quantidade desses segmentos, a distância
horizontal AP alcançada por esse móvel será de:
a) 65 m b) 72 m c) 80 m d) 96 m e) 100 m
(Disponível em: http://www.naturale.med.br/artes/4_Van_Gogh.pdf>. Acesso
em: 2 out. 2013.)
15. (Uerj 2014) Um feirante vende ovos brancos e vermelhos. Em
janeiro de um determinado ano, do total de vendas realizadas, 50%
foram de ovos brancos e os outros 50% de ovos vermelhos. Nos meses
seguintes, o feirante constatou que, a cada mês, as vendas de ovos
brancos reduziram-se 10% e as de ovos vermelhos aumentaram 20%,
sempre em relação ao mês anterior. Ao final do mês de março desse
mesmo ano, o percentual de vendas de ovos vermelhos, em relação ao
número total de ovos vendidos em março, foi igual a:
a) 64%
b) 68%
c) 72%
d) 75%
A mercantilização da cultura impulsionou o mercado de artes nos
grandes centros urbanos. Hoje, o quadro Jardim das Flores, de Van
Gogh, é avaliado em aproximadamente 84 milhões de dólares.
Supondo que há 61 anos essa obra custasse 84 dólares e que sua
valorização até 2013 ocorra segundo uma PG, assinale a alternativa
que apresenta, corretamente, o valor dessa obra em 2033,
considerando que sua valorização continue conforme a mesma PG.
16. (Ufrgs 2014) Considere o padrão de construção representado pelos
desenhos abaixo.
e) 420,00  107 dólares.
a) 1,68  109 dólares.
7
c) 84,00  10 dólares.
b) 125 .
c) 625 .
2187
729
23. (Unicamp 2012) Para construir uma curva “floco de neve”, dividese um segmento de reta (Figura 1) em três partes iguais. Em seguida, o
segmento central sofre uma rotação de 60º, e acrescenta-se um novo
segmento de mesmo comprimento dos demais, como o que aparece
tracejado na Figura 2. Nas etapas seguintes, o mesmo procedimento é
aplicado a cada segmento da linha poligonal, como está ilustrado nas
Figuras 3 e 4.
d) 625 . e) 625 .
729
2187
6561
Texto para próxima questão:
A sequência de figuras acima ilustra três passos da construção de um
fractal, utilizando-se como ponto de partida um triminó: o nível I é
constituído de uma peça formada por três quadrados de 1cm de lado
cada, justapostos em forma de L. No segundo passo, substitui-se cada
quadrado do fractal de nível I por um triminó, que tem os
comprimentos dos lados de seus quadrados adequadamente ajustados
à situação, de forma a se obter o fractal de nível II, conforme ilustrado
acima. No terceiro passo, obtém-se, a partir do fractal de nível II,
também substituindo-se cada um de seus quadrados por um triminó
com os lados de seus quadrados ajustados, o fractal de nível III. O
processo continua dessa forma, sucessiva e indefinidamente, obtendose os fractais de níveis n  I, II, III, ... .
Se o segmento inicial mede 1 cm, o comprimento da curva obtida na
sexta figura é igual a
a)  6!  cm


 4!3! 
17. (Upf 2014) Uma vez que n representa o nível do fractal, a área do
fractal de nível n é:
n
n
a) 3   1 
2
 
b)  3 
2
 
n
c) 3n1   1 
 
4
18. (Uepb 2013) Sendo S  1  1 
n
d) 3   3 
4
 
n 1
e) 3n  2
(1n)
1 onde n é um número
,
3n
natural não nulo, o menor valor de n para o qual Sn  4 é:
9
3
a) 3
b) 2
c) 4
9
d) 5
d) 168,00  106 dólares.
22. (Ufsj 2013) Sabendo que a soma do 2º, 3º e 4º termos de uma
progressão geométrica (PG) é igual a 140 e que a soma dos 8º, 9º e 10º
termos é 8960, é CORRETO afirmar que
a) a razão dessa PG é 10.
b) seu primeiro termo é 14.
c) a razão dessa PG é 2.
d) o quinto termo dessa PG é 320.
Na etapa 1, há um único quadrado com lado 1. Na etapa 2, esse
quadrado foi dividido em nove quadrados congruentes, sendo quatro
deles retirados, como indica a figura. Na etapa 3 e nas seguintes, o
mesmo processo é repetido em cada um dos quadrados da etapa
anterior. Nessas condições, a área restante, na etapa 5, é
a) 125 .
b) 8,40  109 dólares.

e) 6
2
b)  5!  cm


 4!3! 
5
c)  4  cm
3
 
6
d)  4  cm
3
 
Gabarito:
 2 4
3  1  
 3 9
Resposta da questão 1:
[A]

1
 9.
  3
2

1
3
A altura da pilha é igual a 1  3  9  27  81  121m.
Resposta da questão 8:
[A]
Resposta da questão 2:
[B]
O preço à vista da mercadoria é igual a
500 
O número de times em cada fase corresponde aos termos da
progressão geométrica (64, 32, , 2). Logo, sendo n o número de
576
576

 500  480  400
1,2 (1,2)2
 R$ 1.380,00.
fases pedido, temos:
n1
 1
2  64   
2
Resposta da questão 9:
[D]
 21n  25  n  6.
Como a medida da base de cada um dos retângulos é igual a 1, seguese que a soma pedida é dada por
Resposta da questão 3:
[E]
2
Seja Cn o comprimento da trajetória.
f(1)  f(2)  f(3) 
Temos
Cn  π  R  π 
R
R
 π 
2
4
 π
R
2n

,
que corresponde à soma dos termos de uma progressão geométrica
infinita.
Resposta da questão 10:
[D]
Portanto,
lim Cn 
n
3
2 2
2
    
3 3
3
2
3

2
1
3
 2.

Seja V a capacidade da caixa d’água.
Supondo que o reservatório encontra-se inicialmente cheio, segue que:
π R
 2  π  R.
1
1
2
4
 1
3
   V  0,12  V  625  0,12  75 m  75.000 L.
5
Resposta da questão 4:
[C]
Resposta da questão 11:
[E]
Seja x o número procurado.
[I] Falsa. Tem-se que an1  (n  2)2 . Logo, como a razão
Temos
2
( 5  x)2  ( 9  x)  (3  x)  25  10x  x 2  27  6x  x 2
 x  13,
an1 (n  3)2 
1 

 1 

2
an

n

2
(n  2)
ou seja, um primo ímpar menor do que 15.
não é constante, segue que an não é uma progressão geométrica.
[II] Falsa. De fato, a razão
Resposta da questão 5:
[A]
2
2
2
bn1 2(n1)

 2n 2n1n  22n1
2
bn
2n
Os comprimentos das faixas constituem uma progressão geométrica
infinita, sendo a1  m o primeiro termo q 
2
a razão.
3
não é constante. Daí, podemos concluir que bn não é uma
Portanto, a soma dos comprimentos de todas as faixas é dada por
progressão geométrica.
m
lim Sn 
 3m.
2
x 
1
3
[III] Verdadeira. A diferença entre quaisquer dois termos consecutivos
da sequência c n é
an1  an  (n  1)2  4(n  1)  4  (n2  4n  4)
Resposta da questão 6:
[E]
 n2  2n  1  4n  4  n2  4n  4
 2n  1.
Sabendo que o produto de termos equidistantes dos extremos é igual a
uma constante, temos que x  y  2  8  16.
Desse modo, c n é uma progressão aritmética de primeiro termo
3 e razão igual a 2.
Resposta da questão 7:
[A]
A soma pedida é igual a
3
[IV] Verdadeira. De (II), temos dn  22n1, que é uma progressão
 5  5 2  5 3  5 4
 1, ,   ,   ,   ,
 9 9 9 9

geométrica de primeiro termo 8 e razão igual a 4.
4
625
5
  6561.
9
Resposta da questão 12:
[B]
O quinto termo é 
Comprimento de uma semicircunferência de raio r :
2πr
 π r
2
Resposta da questão 17:
[D]
Logo, a soma pedida será dada por:
De acordo com o texto as áreas formam uma P.G. de razão 3/4,
representada pela sequência abaixo:
S  π  1  π  2  π  4  π  8  ...
S  π  (1  2  4  8  ...)
 9 27 81 243 
,
,
, ...
 3, ,
 4 16 64 256 
1
S  π
1




1
2
Apresentando a fórmula do termo geral da P.G., temos:
S  2 π
3
an  3   
4
Resposta da questão 13:
[A]
n 1
, onde 3/4 é a razão da P.G.
Resposta da questão 18:
y1, y2, y3 , ..., yn, ...  logx1  logx2  logx3  logx 4  ...logxn  ...[A]
Como Sn é a soma dos n primeiros termos de uma progressão
y1, y2, y3 , ..., yn, ...  log x1  log(x1  q)  log(x1  q2 )  log(x1  q3 )  log(x1  q4 )  ...  log(x1  qn1) 1... 
1
geométrica de primeiro termo igual a , e razão também igual a ,
3
3
temos
y1, y2, y3 , ..., yn, ...  log x1  (log x1  log q)  (log x1  log q2 )  (log x1  log q3 )  ...  (log x1  log q(n1) )...
n
 1
1   q)

y1, y2, y3 , ..., yn, ...  log x1  (log x1  log q) (log x1  2  log q) (log x11 3  log
 3  ...(log x1  n  1 log q) ...
Sn  
1
3
1
A sequência y1, y2 , y3 , ..., yn, ... é uma P.A. de razão log q.
3
1 
1 
  1 
.
Resposta da questão 14:
n
2
3


[C]
Portanto,
Pelo Teorema de Pitágoras aplicado no triângulo ABC, encontramos
facilmente AC  20 m.
Os triângulos ABC, CDE, EFG,
Sn 
são semelhantes por AA. Logo,
como a razão de semelhança é igual a
CD
AB
45
m,
AC  20 m, CE  15 m, EG 
4

n
12 3
 , segue-se que
16 4
8
 1
 1   
9
3
n
 1
 1
   
3
 
3
 n  2,
constituem uma
progressão geométrica cujo limite da soma dos n primeiros termos é
dado por
n
4
1   1  4
  1     
9
2  3  9


20
 80 m.
3
1
4
isto é, o menor valor natural de n para o qual Sn 
Resposta da questão 15:
[A]
1
π π π

, ,
,  é uma P.G de razão , portanto
2
 3 6 12 
 π 


2π
1
b  cos  3   cos
 .
1
3
2
 1  
2

A sequência 
2
2
(1,2)  q  (0,9)  q
 100% 
1,44
 100%
2,25
 64%.
Resposta da questão 16:
[E]
A sequência é uma P.G. de razão
4
é n  3.
9
Resposta da questão 19:
[C]
Seja 2q a quantidade total de ovos vendidos em janeiro. Assim, o
resultado pedido é dado por
(1,2)2  q
2
Logo, log2 
5
9
1
 1.
2
Resposta da questão 20:
[C]
4
P.A. (x, 6, y)  x + y = 6  2  x = 12 – y
2
P.G. (6, y, y + 8/3)  y – 6y – 16 = 0  y = 8 ou y = –2
y=8  x=4
y = –2  x = 14 (não convém, pois a sequência é crescente).
Portanto, a soma dos elementos da sequência será:
4 + 6 + 8 + 8 + 8/3 = 86/3.
Resposta da questão 21:
[B]
Em 2013 o valor é de 84 milhões de dólares.
Admitindo que an seja o valor do quadro no ano n, temos
a2013  a1953 .q60  84  106  84  q60  q60  106  q20  102.
a2033  a2013  q20  84  106  102  8,4  109
Resposta da questão 22:
[C]
2

 a2  a3  a4  140
 a2 (1  q  q )  140

, onde q é a


2
a
(1

q

q
)

8960
a8  a9  a10  8960

 8
razão da P.G.
Dividindo a segunda equação pela primeira, temos:
q6  64  q  2.
Resposta da questão 23:
[C]
Os comprimentos das figuras formam uma P.G. de razão 4/3. Logo, o
comprimento da sexta figura será dado por: a6  1. 

5
5
4
4
 3
3
 
 
.
5