20. Estima-se que 1350 m2 de terra sejam necessários para fornecer alimento para
uma pessoa. Admite-se, também, que há 30 x 1350 bilhões de m2 de terra arável no
mundo e que, portanto, uma população máxima de 30 bilhões de pessoas pode ser
sustentada, se não forem exploradas outras fontes de alimento. A população mundial,
no início de 1987, foi estimada em 5 bilhões de habitantes. Considerando que a
população continua a crescer, a uma taxa de 2% ao ano, e usando as aproximações
ln 1,02 = 0,02; ln 2 = 0,70 e ln 3 = 1,10, determine em quantos anos, a partir de 1987,
a Terra teria a máxima população que poderia ser sustentada.
Resposta: 90
Fazendo 5 bilhões = 5 e 30 bilhões = 30
f(x) = 5.(1,02)x
30 = 5.(1,02)x
6 = 1,02x
ln 6 = ln 1,02x
ln (2.3) = x.ln 1,02
ln 2 + ln 3 = x.ln 1,02
0,70 + 1,10 = x.0,02
x = 1,80/0,02 = 90 anos
21. Um professor propôs aos seus alunos o seguinte exercício: "Dada a função
f : R+* → R determine a imagem de x = 1024" e f(x) = log2 64x3. Qual não foi sua
surpresa quando, em menos de um minuto, um aluno respondeu corretamente que a
imagem era:
a) 30
b) 32
c) 33
d) 35
e) 36
Resposta: E
f(x) = log2 64x3
f(1024) = log2 64(1024)3
f(1024) = log2 26(210)3
f(1024) = log2 26.230
f(1024) = log2 236
f(1024) = 36.log2 2 = 36.1 = 36
22. Dada a expressão S = log 0,001 + log 100, o valor de S é:
1
a) -3
b) -2
c) -1
d) 0
e) 1
Resposta: C
S = log 0,001 + log 100
S = log 10-3 + log 102
S = -3.log 10 + 2.log 10
S=-3+2=-1
23. Observe a figura.
Nessa figura, está representado o gráfico de f(x) = logn x.
O valor de f(128) é:
a) 5/2
b) 3
c) 7/2
d) 7
Resposta: C
f(x) = logn x
2 = logn 16
n2 = 16
n=4
f(x) = log4 x
f(128) = log4 128 = y
4y = 128
22y = 27
2y = 7
y = 7/2
2
24. Se log3 n = 6, então 2 n + 3(3 n ) é igual a:
a) 36
b) 45
c) 54
d) 81
Resposta: D
log3 n = 6
n = 36
2 n + 3(3 n ) =
2 36 + 3.3 36 =
2 .3 3 + 3 .3 2 =
2.27 + 3.9 =
54 + 27 = 81
25. Se log (2x - 5) = 0, então x vale:
a) 5.
b) 4.
c) 3.
d) 7/3.
e) 5/2.
Resposta: C
log (2x - 5) = 0
2x – 5 = 100
2x - 5 = 1
2x = 6
x=3
26. Em que base o logaritmo de um número natural n, n>1, coincide com o próprio
número n?
a) nn.
b) 1/n.
c) n2.
d) n.
3
e)
n
n.
Resposta: E
log x n = n
xn = n
x=n n
27. Supondo que exista, o logaritmo de a na base b é
a) o número ao qual se eleva a para se obter b.
b) o número ao qual se eleva b para se obter a.
c) a potência de base b e expoente a.
d) a potência de base a e expoente b.
e) a potência de base 10 e expoente a.
Resposta: B
logb a = x
bx = a
x é o número ao qual se eleva b para se obter a.
28. Em 2002, um banco teve lucro de um bilhão de reais e, em 2003, teve lucro de
um bilhão e duzentos milhões de reais. Admitindo o mesmo crescimento anual para
os anos futuros, em quantos anos, contados a partir de 2002, o lucro do banco
ultrapassará, pela primeira vez, um trilhão de reais?
(Obs.: use as aproximações ln 1000 = 6,907, ln 1,2 = 0,182.)
Resposta: 38
1 bilhão = 109
1 trilhão = 1012
f(x) = 109.(1,20)x
1012 = 109.(1,20)x
103 = 1,20x
ln 103 = ln 1,20x
ln 1000 = x.ln 1,2
6,907 = x.0,182
x = 6,907/0,182 = 37,9 = 38 anos
29. Em uma cidade, a população que vive nos subúrbios é dez vezes a que vive nas
favelas. A primeira, porém, cresce 2% ao ano, enquanto a segunda cresce 15% ao
ano.
4
Admita que essas taxas de crescimento permaneçam constantes nos próximos anos.
a) Se a população que vive nas favelas e nos subúrbios hoje é igual a 12,1 milhões
de habitantes, calcule o número de habitantes das favelas daqui a um ano.
b) Essas duas populações serão iguais após um determinado tempo t, medido em
anos. Se t = 1/logx, determine o valor de x.
Resposta:
f(s) = p0.(1,02)s
f(f) = p0.(1,15)f
a)
s + f = 12,1
10f + f = 12,1
11f = 12,1
f = 1,1 milhões
f(1) = 1,1.(1,15)1
f(1) = 1.265.000
b)
10.p0.1,02t = p0.1,15t
10 = 1,15t/1,02t
10 = (115/102)t
log 10 = t.log(115/102)
1 = t.log(115/102)
t = 1/[log115/102)]
1
log x
1
1
=
115 log x
log
102
115
log x = log
102
115
x=
102
t=
30. Em 1996, uma indústria iniciou a fabricação de 6000 unidades de certo produto e,
desde então, sua produção tem crescido à taxa de 20% ao ano. Nessas condições,
em que ano a produção foi igual ao triplo da de 1996?
(Dados: log 2 = 0,30 e log 3 = 0,48)
a) 1998
b) 1999
c) 2000
5
d) 2001
e) 2002
Resposta: E
f(x) = 6.000.(1,20)x
18.000 = 6.000.1,2x
3 = 1,2x
log 3 = log 1,2x
0,48 = x.log 1,2
0,48 = x. (log12 – log 10)
0,48 = x(log 22.3 – 1)
0,48 = x(2.log 2 + log 3 – 1)
0,48 = x(2.0,30 + 0,48 – 1)
0,48 = x.0,08
x = 0,48/0,08
x = 6 anos
1196 + 6 = 2002
31. A figura a seguir mostra parte do gráfico da função:
a) sen x
b) 2 sen (x/2)
c) 2 sen x
d) 2 sen 2x
e) sen 2x
Sendo y = a + b.sen (m.x + n);
a=0
b=2
P = 2π/m ⇒ 4π = 2π/m⇒ m = ½
n = 0, logo a função é
y = 2.sen x/2
6
32. Observe o gráfico.
Sabendo-se que ele representa uma função trigonométrica, a função y(x) é
a) -2 cos (3x).
b) -2 sen (3x).
c) 2 cos (3x).
d) 3 sen (2x).
e) 3 cos (2x).
P=
2π
m
2π 2π
=
3
m
m=3
A função apresentada é uma senóide com imagem entre -2 e 2 e como está invertida
em relação à função original deve ser multiplicada por (-2).
f(x) = -2.sen(3x)
33. Observe o gráfico da função trigonométrica y = 1 + 2 sen x, a seguir.
7
Pode-se afirmar que o seu conjunto imagem é o intervalo
a) [-2, 1]
b) [-2, 2]
c) [-1, 2]
d) [-1, 3]
e) [-1, 4]
y = 1 + 2 sen x
P/ -1:
y = 1 + 2(-1) = -1
P/ +1:
y = 1 + 2(1) = 3
Im = [-1, 3]
34. Na figura a seguir tem-se o gráfico função f, de R em R, definida por f(x) =
k.sen(mx), em que k e m são reais, e cujo período é 8π/3.
Qual o valor de f(π/3)?
P=
2π
m
8π 2π
=
3
m
8πm = 6π
m=
6 3
=
8 4
k=2
8
 3x 
f ( x) = 2.sen 
 4
 π
 3.
π
 
f   = 2.sen 3
 4
3




 = 2.sen π  = 2. 2 = 2
2

4


35. (UFAL) Se a medida de um arco, em graus, é igual a 128, sua medida em
radianos é igual a
a) (π/4) - 17
b) (64/15) π
c) (64/45) π
d) (16/25) π
e) (32/45) π
Resposta: E
180o
π
o
x
128
o
o
180 x = 128 π
x = 128o π/180o
x = 32π/45 rad.
36. Dentre os desenhos abaixo, aquele que representa o ângulo que tem medida
mais próxima de 1 radiano é
Resposta: B
180o
π
9
xo
180o = x.π
x = 180o/π
x = 180o/3,14
x = 57,3º
1
37. Dos números a seguir, o mais próximo de sen 5 é
a) 1
b) 1/2
c) 0
d) -1/2
e) -1
Resposta: E
180o
π
5
xo
5.180o = x.π
x = 900o/π
x = 900o/3,14
x = 286,6º
Dentro os números dados o 286,6º está mais próximo de 270º, cujo seno vale -1.
38. Em um jogo eletrônico, o "monstro" tem a forma de um setor circular de raio 1 cm,
como mostra a figura.
A parte que falta no círculo é a boca do "monstro", e o ângulo de abertura mede 1
radiano. O perímetro do "monstro", em cm, é:
a) π - 1.
b) π + 1.
c) 2π - 1.
d) 2π.
10
e) 2π + 1.
Resposta: E
C = circunferência – arco + r + r
C = 2πR – 1 + 1 + 1
C = 2π + 1
39. O subir e descer das marés é regulado por vários fatores, sendo o principal deles
a atração gravitacional entre Terra e Lua. Se desprezássemos os demais fatores,
teríamos sempre o intervalo de 12,4 horas entre duas marés altas consecutivas, e
também sempre a mesma altura máxima de maré, por exemplo, 1,5 metros. Nessa
situação, o gráfico da função que relacionaria tempo (t) e altura de maré (A) seria
semelhante a este:
O fenômeno das marés pode ser descrito por uma função da forma f(t) = a.sen (b.t),
em que a é medido em metros e t em horas. Se o intervalo entre duas marés altas
sucessivas é 12,4 horas, tendo sempre a mesma altura máxima de 1,5 metros, então
a) b = (5π)/31
b) a + b = 13,9
c) a - b = π/1,5
d) a . b = 0,12
e) b = (4π)/3
Resposta: A
2π
P=
m
12,4 =
m=
2π
m
2π
2π
10 5π
=
= 2π .
=
12,4 124
124 31
10
11
40. No processo de respiração do ser humano, o fluxo de ar através da traquéia,
durante a inspiração ou expiração, pode ser modelado pela função F, definida, em
cada instante t, por F(t) = M sen wt. A pressão interpleural (pressão existente na
caixa torácica), também durante o processo de respiração, pode ser modelada pela
função P, definida, em cada instante t, por P(t) = L - F(t + a). As constantes a, L, M e
w são reais, positivas e dependentes das condições fisiológicas de cada indivíduo.
(AGUIAR, A.F.A., XAVIER, A.F.S. e RODRIGUES, J.E.M. Cálculo para Ciências
Médicas e Biológicas, ed. HARBRA Ltda. 1988.(Adaptado)
Um possível gráfico de P, em função de t, é:
Resposta: D
A função P(t) = L - F(t + a) fica sendo:
P(t) = L - M sen w(t + a), que é uma senóide.
41. Um supermercado, que fica aberto 24 horas por dia, faz a contagem do número
de clientes na loja a cada 3 horas. Com base nos dados observados, estima-se que o
número de clientes possa ser calculado pela função trigonométrica f(x) = 900 - 800
sen [(x.π)/12], onde f(x) é o número de clientes e x, a hora da observação (x é um
inteiro tal que 0 ≤ x ≤ 24).
Utilizando essa função, a estimativa da diferença entre o número máximo e o número
mínimo de clientes dentro do supermercado, em um dia completo, é igual a
a) 600.
12
b) 800.
c) 900.
d) 1.500.
e) 1.600.
Resposta: E
f(x) = 900 - 800 sen [(x.π)/12]
Mínimo = 900 – 800 = 100
Máximo = 900 – 800(-1) = 900 + 800 = 1700
1700 – 100 = 1600
42. (PUC-RIO) O valor de (cos60° + tg45°)/sen90° é:
a)
3
2
b) 2
c) 2
d)
2 +1
2
e) 0
Resposta: A
(cos60° + tg45°)/sen90° =
1
+1
3
2
=
1
2
43. O conjunto-imagem da função f definida por f(x) = sen (x) + h é [-2; 0]. O valor de
hé
a) π
b) -2
c) -1
d) 0
e) 1
Resposta: C
f(x) = sen (x) + h
P/ -1:
-1 + h = -2
h = -1
13
44. O período e a imagem da função
 x−2
f ( x) = 5 − 3 cos
 , x ∈ R, são,
 π 
respectivamente,
a) 2π e [-1, 1]
b) 2π e [2, 8]
c) 2π2 e [2, 8]
d) 2π e [-3, 3]
e) 2π2 e [-3, 3]
Resposta: C
2π 2π
P=
m
=
1
= 2π .
π
1
= 2π 2
π
Imagem:
P/ -1: 5 – 3(-1) = 8
P/ 1: 5 – 3.(1) = 2
Im = [2, 8]
45. Carlos propõe o seguinte exercício para seus alunos: Calcule o período da função
f(x) = 2 + sen(6πx + 1/2). A resposta correta é
a) 6π
b) 1/3
c) π/3
d) π
e) 2π
Resposta: B
2π 2π 1
P=
=
=
m 6π 3
46. Seja f : R → R , onde R denota o conjunto dos números reais, uma função definida
por f ( x) =
3
+ 1 . O menor e o maior valor de f(x), respectivamente, são:
4 + cos x
a) 1,6 e 2
b) 1,4 e 3
14
c) 1,6 e 3
d) 1,4 e 1,6
e) 2 e 3
Resposta: A
P/ -1:
3
3
+1 = +1 = 2
4 + (−1)
3
P/ 1:
3
3
8
+ 1 = + 1 = = 1,6
4 + (1)
5
5
15