TIPO DE PROVA: A
Questão 1
Uma escola paga, pelo aluguel anual do ginásio de esportes de um clube A, uma taxa
fixa de R$ 1.000,00 e mais R$ 50,00 por aluno. Um clube B cobraria pelo aluguel anual
de um ginásio equivalente uma taxa fixa de
R$ 1.900,00, mais R$ 45,00 por aluno. Para
que o clube B seja mais vantajoso economicamente para a escola, o menor número N de
alunos que a escola deve ter é tal que:
a) 100 ≤ N < 150
b) 75 ≤ N < 100
c) 190 ≤ N < 220
d) 150 ≤ N < 190
e) 220 ≤ N < 250
alternativa D
Sendo x o número de alunos da escola, o valor a
ser pago, em reais, para o clube A é 1 000 + 50x
e o valor a ser pago, em reais, para o clube B é
1 900 + 45x.
Assim, o clube B é mais vantajoso economicamente se, e somente se, 1 900 + 45x < 1 000 + 50x ⇔
⇔ x > 180. Logo N =181 e 150 ≤ N < 190.
Questão 2
Cada um dos 15 quartos da ala pediátrica de
um hospital tem 40m2 de paredes a serem
pintadas. Trabalhando 8 horas de um sábado
e mais 4 horas do domingo, 5 voluntários decidem pintar todos os quartos, pintando, cada
um, o mesmo número de m2 . Supondo que todos trabalhem numa mesma velocidade, e
que a velocidade de trabalho no domingo seja
2
da velocidade do sábado, a área, em m2 , a
3
ser pintada, por voluntário, no domingo, será:
b) 20 m2
c) 35 m2
a) 15 m2
2
2
d) 25 m
e) 30 m
alternativa E
Sendo 15 quartos com 40 m 2 de paredes a serem
pintadas, cada um dos 5 voluntários vai pintar
15 ⋅ 40
= 120 m 2 .
5
Seja V a área, em m 2 , pintada por um voluntário
em uma hora. Assim, cada voluntário vai pintar
2
8V m 2 no sábado e
⋅ 4V m 2 no domingo e, des3
2
45 2
se modo, 8V +
m .
⋅ 4V = 120 ⇔ V =
3
4
Portanto a área a ser pintada no domingo por vo2
45
luntário é
⋅4 ⋅
= 30 m 2 .
3
4
Questão 3
Uma empresa de telefonia faz, junto a seus
clientes, a seguinte promoção: a cada 2 minutos de conversação, o minuto seguinte, na
mesma ligação, é gratuito. Se o custo de cada
segundo de ligação é R$ 0,01, o valor, em
reais, de uma ligação de 16 minutos, durante
a promoção, é:
a) 5,80
b) 6,00
c) 6,60
d) 7,20
e) 6,40
alternativa C
Como 16 = 5 ⋅ 3 + 1, temos que em cada um dos
5 intervalos de 3 minutos, apenas 2 são cobrados,
totalizando 5 ⋅ 2 + 1 = 11 minutos cobrados. Portanto o valor da ligação foi de 11 ⋅ 60 ⋅ 0,01 =
= R$ 6,60.
Questão 4
Um fazendeiro comprou vacas de duas raças
diferentes, a um custo total de R$ 10.000,00.
Se cada vaca de uma das raças custou
R$ 250,00 e cada uma da outra raça custou
R$ 260,00, o total de vacas compradas pelo
fazendeiro foi:
a) 25
b) 30
c) 32
d) 41
e) 39
alternativa E
Sendo x e y as quantidades de vacas compradas
por R$ 250,00 e R$ 260,00, respectivamente:
y
250x + 260y = 10 000 ⇔ x + y = 40 −
25
Como x , y ∈ N ∗ , temos que a única possibilidade
é y = 25 e, assim, x + y = 39.
Portanto foram compradas 39 vacas.
matemática 2
y
Questão 5
Dados os complexos z e w, tais que 2z + w = 2
1 + 2i 2
e z + w =
, i = −1, o módulo de w é
i
igual a:
a) 5
c) 3
b) 2 2
d) 6
1
_
2
0
x
1
e) 3 3
alternativa B
b) −3
a) 2
2z + w = 2
⇔
1 + 2i
1
z +w =
=
+ 2 = −i + 2
i
i
z =i
.
⇔
w = 2 − 2i
Temos
Assim, |w | = 2 2 + ( −2) 2 = 2 2 .
Questão 6
c) −
4
3
d)
8
5
e)
5
2
alternativa C
Do gráfico, 0 e −2 são raízes do polinômio de
terceiro grau p(x). Assim, sendo m a outra
raiz de p(x) e p(x) de coeficiente dominante 1,
p(x) = (x − 0)(x − (−2))(x − m) = x(x + 2)(x − m).
2
Como p(1) = 1, 1 = 1 ⋅ (1 + 2) ⋅ (1 − m) ⇔ m = .
3
Portanto a soma das raízes de p(x) é
2
4
0 + (−2) + = − .
3
3
Considere as matrizes A e B, tais que
⎛1
A=⎜
⎝3
2⎞
⎛4 1 8⎞
⎟.
⎟ e A.B = ⎜
5⎠
⎝11 3 21⎠
Questão 8
A soma dos elementos da primeira coluna da
matriz B é igual a:
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5
alternativa C
Três ilhas A, B e C aparecem num mapa, em
escala 1:10 000, como na figura. Das alternativas, a que melhor aproxima a distância entre as ilhas A e B é:
B
⎛a b c ⎞
Seja B = ⎜
⎟ a matriz de ordem 2 × 3.
⎝d e f ⎠
30°
Assim, podemos escrever:
a + 2d = 4
a = 4 − 2d
a=2
⇔
⇔
3a + 5d = 11
12 − 6d + 5d = 11
d =1
105°
Logo a soma dos elementos da primeira coluna
da matriz B é 3.
Questão 7
Se na figura temos o esboço do gráfico da função y = p(x) = x 3 + ax2 + bx + c, a soma das
raízes de p(x) é:
A
a) 2,3 km
d) 1,4 km
12 cm
b) 2,1 km
e) 1,7 km
C
c) 1,9 km
alternativa E
$ =180o − (105 o + 30o ) = 45 o .
Temos que m (BCA)
Pela lei dos senos:
matemática 3
AC
AB
=
⇔
$
$
sen(ABC)
sen(BCA)
⇔
12
sen 30o
=
AB
sen 45 o
dias, as opções de ministrar 4, 6 ou 8 aulas. O
número de diferentes distribuições possíveis
dessas 20 aulas, nos 3 dias, é:
a) 7
b) 6
c) 4
d) 10
e) 8
⇔
AB
12
=
⇔ AB = 12 2 cm, que na escala
1
2
2
2
1 : 10 000 equivalem a 1,2 2 km.
⇔
Utilizando a aproximação 2 ≅ 1,41, a distância
entre as ilhas A e B é 1,2 ⋅ 1,41 ≅ 1,7 km.
alternativa B
O número 20, nas condições dadas, pode ser obtido somando-se 4, 8 e 8 ou então 6, 6 e 8.
O número de maneiras de se distribuir 4, 8 e 8 au3!
las nos 3 dias consecutivos é
= 3 . E para a
2!
distribuição 6, 6 e 8, também temos 3 maneiras.
Portanto há 3 + 3 = 6 distribuições possíveis.
Questão 9
Num retângulo de lados 1 cm e 3 cm, o seno
do menor ângulo formado pelas diagonais é:
4
3
1
1
2
a)
b)
c)
d)
e)
5
5
5
3
3
alternativa B
Seja ABCD, com AB = 1 cm e BC = 3 cm, o retângulo dado e α = m (AP$B) o menor ângulo formado
pelas diagonais.
Questão 11
Uma padaria faz sanduíches, segundo a escolha do cliente, oferecendo 3 tipos diferentes
de pães e 10 tipos diferentes de recheios. Se o
cliente pode escolher o tipo de pão e 1, 2 ou 3
recheios diferentes, o número de possibilidades de compor o sanduíche é:
a) 525
b) 630
c) 735
d) 375
e) 450
alternativa A
As diagonais AC e BD têm medida 12 + 3 2 =
= 10 cm, e como se cruzam em seus respecti10
cm.
vos pontos médios, AP = BP =
2
Aplicando a lei dos co-senos ao triângulo APB,
⎛ 10 ⎞
⎟
12 = ⎜
⎝ 2 ⎠
2
⎛ 10 ⎞
⎟
+⎜
⎝ 2 ⎠
⋅ cos α ⇔ cos α =
2
−2 ⋅
10
10
⋅
⋅
2
2
Questão 12
O valor real de x, tal que
4
.
5
⎛4⎞
E da relação fundamental, sen 2 α + ⎜ ⎟
⎝5 ⎠
3
.
⇔ senα =
5
O cliente pode escolher o pão de 3 maneiras.
Ele pode escolher 1, 2 ou 3 recheios dife⎛10 ⎞
⎛10 ⎞ 10 ⋅ 9
⎛10 ⎞
rentes de ⎜ ⎟ = 10, ⎜ ⎟ =
= 45 e ⎜ ⎟ =
⎝1 ⎠
⎝2 ⎠
⎝3 ⎠
2
10 ⋅ 9 ⋅ 8
=
= 120 maneiras, respectivamente.
3 ⋅ 2 ⋅1
Portanto o número de possibilidades de compor o
sanduíche é 3 ⋅ (10 + 45 + 120) = 525.
2
=1 ⇔
Questão 10
Um professor deve ministrar 20 aulas em 3
dias consecutivos, tendo, para cada um dos
log 5x + 1 − log(1 − 5x) = 0, é um número:
a) racional maior que zero.
b) irracional maior que zero.
c) inteiro.
d) racional menor que zero.
e) irracional menor que zero.
alternativa C
log 5x + 1 − log (1 − 5x) = 0 ⇔
⇔ log 5x + 1 = log (1 − 5x) ⇔
matemática 4
5x + 1 = (1 − 5x) 2
5x + 1 = 1 − 5x
⇔
⇔
⇔
1
1 − 5x > 0
x <
5
3⎞
⎛
⎜ x = 0 ou x = ⎟
25x 2 − 15x = 0
⎝
5⎠
⇔
⇔
⇔
1
1
x <
x <
5
5
⇔ x = 0, um número inteiro.
Questão 15
Considere uma pirâmide cuja base é um polígono convexo. Se a soma das medidas dos ângulos internos de todas as suas faces é 3600o,
o número de lados da base dessa pirâmide é
igual a:
a) 11
b) 12
c) 9
d) 10
e) 8
alternativa A
Questão 13
Se log
a2
5 + log
5 =
a3
5
, então o valor
12
Sendo a base da pirâmide um n-ágono, as suas
demais n faces são triângulos e a soma das medidas dos ângulos internos de todas as suas faces
é tal que (n − 2) ⋅ 180o + n ⋅ 180o = 3 600o ⇔
⇔ 2n − 2 = 20 ⇔ n = 11.
de a é:
a) 5
b) 52
c)
1
5
d) 5
e)
5
5
alternativa D
log
⇔
a2
5 + log
a3
5 =
5
⇔
12
Questão 16
Na figura, ABCDEF é um hexágono regular
de lado 1 cm. A área do triângulo BCE, em
cm2 , é:
1
1
5
⋅ log a 5 +
⋅ log a 5 =
⇔
2
3
12
1
⇔ log a 5 =
1
1
⇔ a2 = 5 2 ⇔a = 5
2
0 < a ≠1
Questão 14
Se os inteiros x e y satisfazem a equação
3x + 1 + 2y = 2y + 2 − 3x , então o valor de 3x é:
1
1
a) 1
b)
c)
d) 3
e) 9
3
9
alternativa D
3 x +1 + 2 y = 2 y + 2 − 3 x ⇔
⇔ 3 x +1 + 3 x = 2 y + 2 − 2 y ⇔
⇔ 3 x ⋅ (31 + 1) = 2 y ⋅ (2 2 − 1) ⇔
⇔ 3 x ⋅ 2 2 = 2 y ⋅ 31 ⇔
⇔ 3 x −1 = 2 y − 2
Como x e y são inteiros, utilizando a fatoração
única em primos, a igualdade ocorre se, e somente se:
x −1 = 0
x =1
⇔
y −2 =0
y =2
Portanto 3 x = 31 = 3 .
a)
2
3
b)
3
2
c) 3 2
d) 2 3
e) 3
alternativa B
Seja O o centro do hexágono. A partir das figuras
a seguir, podemos concluir que a área dos triângulos BOC e COE é igual a um sexto da área do
hexágono ABCDEF.
matemática 5
Assim, observando ainda que O pertence a BE, a
1
12 3
área do triângulo BCE é 2 ⋅ ⋅ 6 ⋅
=
6
4
3
cm 2 .
=
2
Questão 17
Se f(x) =
3x − 2
3
, x ≠
, tem-se f(x) ≥ f(1)
4x − 3
4
alternativa C
Sejam V1 e V2 os volumes do copo e do cone
abaixo da camada de espuma, respectivamente.
3
V1
64
⎛ 20 − 4 ⎞
.
=⎜
⎟ =
⎝ 20 ⎠
V2
125
Logo a porcentagem do volume do copo ocupada
pela espuma é:
V1 − V2
V
64
=1− 2 =1−
= 0,488 ≅ 50%
125
V1
V1
Então
para:
a) −2 < x < −1
3
c) −1 ≤ x <
4
3
e)
< x ≤1
4
b) −3 ≤ x < −2
d) x > 1
Questão 19
A base do cesto reto da figura é um quadrado de lado 25 cm. Se a parte lateral externa
e o fundo externo do cesto devem ser forrados com um tecido que é vendido com 50 cm
de largura, o menor comprimento de tecido
necessário para a forração é:
alternativa E
3x − 2
3 ⋅1 − 2
≥
⇔
4x − 3
4 ⋅1 − 3
−x + 1
≥1 ⇔
≥0 ⇔
4x − 3
3⎞
⎛
⋅ ⎜x − ⎟ ≤ 0
⎝
3
4⎠
⇔
< x ≤1
4
f(x) ≥ f(1) ⇔
⇔
3x − 2
4x − 3
(x − 1)
⇔
x ≠
3
4
50 cm
Questão 18
Uma mistura de leite batido com sorvete é
servida em um copo, como na figura. Se na
parte superior do copo há uma camada de espuma de 4 cm de altura, então a porcentagem
do volume do copo ocupada pela espuma está
melhor aproximada na alternativa:
4 cm
20 cm
a) 1,115 m
d) 1,250 m
b) 1,105 m
e) 1,125 m
c) 1,350 m
alternativa E
Supondo que o cesto é um paralelepípedo
reto-retângulo, as faces laterais são retângulos de
base 25 cm e altura 50 cm. Logo a área de tecido
necessária para a forração é 4 ⋅ 25 ⋅ 50 + 25 2 =
= 5 625 cm 2 . Como o tecido é vendido com 50 cm
de largura, o menor comprimento necessário é
5 625
= 112,5 cm = 1,125 m.
50
Questão 20
Uma partícula desliza sobre a curva
y = x2 − 3x − 4 , a partir de um ponto P, de
a) 65%
b) 60%
c) 50%
d) 45%
e) 70%
ordenada 14, até chegar a um ponto Q, de
ordenada −4. A diferença, em valor absoluto,
matemática 6
entre as abscissas de P e de Q pode ser igual
a:
a) 6
b) 4
c) 5
d) 7
e) 8
alternativa A
Os possíveis valores da abscissa x de P são tais
que x 2 − 3x − 4 = 14 ⇔ x 2 − 3x − 18 = 0 ⇔
⇔ x = 6 ou x = −3 e os possíveis valores da abscissa x de Q são tais que x 2 − 3x − 4 = −4 ⇔
⇔ x 2 − 3x = 0 ⇔ x = 0 ou x = 3 .
Assim, a diferença, em módulo, entre as abscissas de P e Q pode ser |6 − 0 | = 6, |6 − 3 | = 3 ,
|−3 − 0 | = 3 ou |−3 − 3 | = 6.