Progressão Geométrica
Resposta da questão 67:
Passado um mês o valor depositado é igual a 1,01x, sendo x o valor da aplicação fixa. No
segundo mês, serão depositados 1,0201x reais, o que implica que se trata de uma progressão
geométrica de razão 1,01.
Como o valor da soma de todas as parcelas deve ser igual a 1000000, então:
1,01
1,01 1
1000000
1,01 1
1,01
. 1,01 1,01
1000000
0,01
1,01 1,01
10000
36x – 1,01x = 10000
34,99x = 10000
x 285,79 ≅ 286 reais
Resposta da questão 68:
Observando a figura, temos que a área restante a cada etapa é ¾ da área anterior. Assim,
temos que as áreas restantes a cada etapa formam uma progressão geométrica de razão q =
¾ e cujo primeiro termo vale a1 = 10² = 100. Dessa forma, calculamos a área restante na sexta
etapa pela fórmula do termo geral:
. . 100. Resposta da questão 69:
Distância = 10 + 1 + 1/10 + 1/100 + ...
q = 0,1 → - 1 < q < 1
10
10
100
1
1 0,1 0,9
9
Letra D
Resposta da questão 70:
a) Tomando as áreas que não estão preenchidas no quadrado, temos a formação de uma
progressão geométrica cujo primeiro termo é a área não preenchida no passo 1, a1 = S/2, onde
“S” é a área do quadrado original, e cuja razão é q = ½. Assim, calcula-se a área não
preenchida no passo 4:
. 1 1
. . 2 2
2 8
16
A área preenchida será: S – S/16 = 15.S/16
Cálculo do percentual:
15. 16 100 1500 93,75%
16
preenchida, ou seja: % 0,001. Assim, calcula-se “n”, que corresponde ao número de passos:
,
b) Se 99,9% do quadrado original é preenchido, então 0,1% corresponde à área não
1 1 1 1 . 10 . 10 2 2
2 2
2
&'(2 3 ). &'(2 3 0,3) ) 10
. 0,001 . 10 2 &'(10
São necessários, no mínimo, 10 passos.
Resposta da questão 71:
a) As distâncias percorridas pela tartaruga formam uma progressão geométrica cujo primeiro
termo é 2 e cuja razão é 4/5. A distância percorrida pela tartaruga após 3 minutos é a soma dos
3 primeiros termos da progressão:
4 64
2
*1
,
2. 1 5
1 61
125
2.
.5
4
1
1 125
1
5
5
122
-./0'1
25
b) Aplicando a fórmula da soma geral dos termos, temos a distância percorrida após “n”
minutos:
4 4 2
2
21
21
3
1 4 5
5 3
10. *1 ,
4
1
1 5
1
5
5
S a
2
2
S S S 10metros
4
1
1q
1
5
5
c) Aplicando a fórmula da soma dos infinitos termos da PG, temos:
4 4 4 = 9 10. *1 , = 9 10 10 = 9 10 = 1
5
5
5
4
1
4
4
>
> 10 &'( > &'(10 )&'(4 &'(5 > 1
5
10
5
5
10
?
) &'(2 &'( > 1 )@2&'(2 &'(10 &'(2A > 1
2
)2.0,3 1 B 0,3 > 1 0,1) > 1 ) = 10
d) A distância total percorrida pela tartaruga será maior que 9 metros, temos:
n = 11minutos
Resposta da questão 72:
a) PG (1,20A; 1,20²A; 1,20³A;...)
n
V = A.1,20
Valorização:
1,20 . C 1,20 . C 1,20 . C1,20 1 1,20 . 0,2C
?
b) 3A = A.1,20
log 3 = n . log
n
log 3 = n . log (log 4.3 – log 10)
log 3 = n. (2log 2 + log 3 - 1)
0,48 = n. (0,6 + 0,48 - 1)
0,48 = n.0,08
n = 6 anos
Resposta da questão 73
a)
Como a cada mês o banco cobra 10% de juros sobre o saldo devedor, temos que a cada mês
o saldo devedor é multiplicado por 1,1. Assim, calculamos o saldo devedor após 4 meses:
1000 . 1,1 D$ 1464,00
b)
Durante os dois primeiros meses, foi aplicada uma taxa de 10%, então o saldo devedor foi
multiplicado por 1,1:
1000 . 1,1? D$ 1210,00
Sobre o novo valor, foi aplicada uma taxa de 5% ao mês durante dois meses, entãoo saldo
devedor foi multiplicado por 1,05 a cada mês:
1210 . 1,05? D$ 1334,03
Resposta da questão 74:
Subúrbios → 10x
Favelas → x
a)
10x + x = 12,1 milhões
11x = 12,1 milhões
x = 1,1 milhões
Daqui a um ano: 1,1x1,15 = 1,265 milhões
b)
10x. 1,02G x1,15G log10. 1,02G log1,15G log10 B log1,02G t. log1,15
115
1
115
t. log1,15 – log1,02 1 t. log
1 t
x
115
102
102
log 102
Resposta da questão 75:
Temos uma progressão geométrica cujo primeiro termo é 69º20’ (4160’), cuja razão é ½, e cujo
n-ésimo termo é 1º5’ (65’). Assim, calcula-se “n”:
. 1 65
1 1
1 65 4160. 2
4160
2
64
2
1 1 )16 ) 7
2
2
Se o ângulo 1º5’ corresponde ao 7º termo da progressão, então ele é obtido após 6 divisões.
Resposta da questão 76:
a) O total de tábuas da pilha após 9 operações corresponde ao 9º termo da progressão
geométrica, onde a1 = 1 e q = 2:
. K . K K 1. 2L K 256 /áNO1
b) Se uma tábua tem 0,5cm de espessura, uma pilha com 256 tábuas terá uma altura de:
256.0,5 = 128cm = 1,28
Resposta da questão 77:
PA → x5 = x1 + 4r
x5 = 6 + 4.6
x5 = 30
4
PG → x5 = x1.q
4
x5 = 6.2
x5 = 96
Resposta da questão 78:
2
P2 B
1
1
2
√2 B B 2 R 0 R 2
- 2 + (- 1) = - 3
Letra C
Resposta da questão 79:
Com exceção da altura máxima “H”, todas as demais alturas são percorridas duas vezes, e
as alturas constituem uma progressão geométrica de razão q = 2/3. Assim, a altura total
percorrida é dada por:
2H 2H 4H 4H
HB
B
B
B
B … 23,70
3
9
9
3
2H 4H
a
B
B U S 2H B
3
3
9
1q
2H 2H 4H 4H
HHBHB
B
B
B
B … 23,70
3
3
9
9
B V 23,70 2 V 23,70 2.
2H
H 23,70 2
1
3
H = 4,74m
a
H 23,70
1q
2H
H 23,70 6H H 23,70 5H 23,70
1
3
Resposta da questão 81:
PG (0,85x; 0,85²x; ...)
. 0,25
0,85
. 0,85 0,85 0,25
85 5
0,85
100
17
5
85 &'( log 5 log 17 ) 1&'(85 &'(100
17
100
0,7 1,2 ) 1log 5.17 2 0,5 ) 1log 5 B &'(17 2
0,5 ) 10,1
5)1 ) 6
&'(
Letra C
Resposta da questão 82:
PG (1;
1
2
1
1
1 2
½; ¼,...) → q = ½ → -1 < q < 1
Letra B
Resposta da questão 83:
Das 51x10³ bases nitrogenadas são retiradas 10³ e 10.10³ (x e y citados no texto), assim,
restam 51x10³ - 10³ - 10x10³ = 40x10³.
Se o primeiro termo é 10³ e o terceiro 10x10³, o quinto deve ser 100x10³. Como restaram
apenas 40x10³, para atingir 100x10³ devemos adicionar 60x10³.
Letra C
Resposta da questão 84:
a1 = x; a2 = 2x → q = 2
1
. 2 1
2325 2325 31
75 0.W1
1
21
Letra A
Resposta da questão 86:
Durante os oito primeiros meses (janeiro a agosto) a fábrica vendeu um total de 96
camisetas (8.12). Devido ao verão, entre setembro e dezembro a produção seguiu a
seguinte progressão: 36, 108, 324 e 972.
Dessa forma, o total de camisetas vendidas nesse último quadrimestre foi de 1440.
A média de vendas por mês é quociente gerado na divisão do número de camisetas
vendidas em um ano (1440+96) pelo número de meses (12).
Média = 1536/12 = 128.
Letra B