Superfícies
Quádricas
Superfícies Quádricas
Notamos que uma equação de segundo grau
ax2  bxy  cy 2  dx  ey  f  0
representa uma seção cônica (possivelmente degenerada).
A análoga desta equação em um sistema de coordenada xyz.
é
ax2  by 2  cz 2  dxy  exz  fyz  gx  hy  iz  j  0
a qual é chamada de equação de segundo grau em xyz.
Os gráficos de tais equações são chamados de superfícies
quádricas ou, às vezes, quádricas.
Alguns tipos
de
Superfícies Quádricas
Elipsóide
x2 y 2 z 2
 2  2 1
2
a
b
c
para a  0, b  0, c  0
O traço nos planos coordenados são elipses,
como também são elipses os traços em planos
paralelos aos planos coordenados, que
interceptam a superfície em mais de um
ponto.
Hiperbolóide de uma folha
x2 y 2 z 2
 2  2 1
2
a
b
c
para a  0, b  0, c  0
O traço no plano xy é uma elipse, como são os traços nos
planos paralelos ao plano xy. Os traços nos planosyz e xz
são hipérboles, bem como os traços nos planos paralelos
a eles que não passam pelos interceptos x e y . Nestes
interceptos, os traços são pares de retas concorrentes.
Hiperbolóide de duas folha
2
2
2
x
y
z
 2  2 1
2
a
b
c
para a  0, b  0, c  0
Não há traço no plano xy . Em planos paralelos ao
plano xy que interceptam a superfície em mais que
um ponto os traços são elipses. Nos planos yz , xz e
nos planos paralelos a eles que interceptam a superfície
em mais de um ponto, os traços são hipérboles.
Cone Elíptico
2
2
x
y
z2  2  2
a
b
para a  0, b  0
O traço no plano xy é um ponto (a origem) e os
traços em planos paralelos ao plano xy são elipses. Os
traços nos planos yz e xy são pares de retas que se
interceptam na origem. Os traços em planos paralelos a
estes são hipérboles.
Parabolóide elíptico
x2 y 2
z 2 2
a
b
para a  0, b  0
O traço no plano xy é um ponto (a origem) e os
traços em planos paralelos e acima dele são
elipses. Os traços nos planos yz e xy , bem
como em planos paralelos a eles são
parábolas.
Parabolóide Hiperbólico
y 2 x2
z 2  2
b
a
para a  0, b  0
O traço no plano xy é um par de retas que se
cruzam na origem. Os traços em planos paralelos
ao plano xy são hipérboles. As hipérboles acima
do plano xy abrem se na direção de y e as
abaixo na direção de x .Os traços nos planos yz e xz
são parábolas, assim como os traços nos planos
paralelos a estes.
Exemplo 1: Esboce o elipsóide
2
2
2
x
y
z

 1
4 16 9
z
y
x
Exemplo 2: Esboce o gráfico do hiperbolóide de uma folha
2
z
x2  y 2   1
4
z
y
x
Exemplo 3: Esboce o gráfico do hiperbolóide de duas folhas
2
y
z 2  x2 
1
4
z
y
x
Exemplo 4: Esboce o gráfico do cone elíptico
2
y
z 2  x2 
4
z
y
x
Exemplo 5: Esboce o gráfico do parabolóide elíptico
2
2
z
x
y
z 
4
9
y
x
Exemplo 6: Esboce o gráfico do parabolóide hiperbólico
2
2
y
x
z

4
9
z
y
x
Translação de Superfícies Quádricas
Vimos que uma cônica no sistema de coordenadas xy pode
ser transladada substituindo x  h por x e y  k por y em sua
equação. Para entender como isso funciona, considere os eixos
como fixos e considere o plano como uma folha transparente de
plástico na qual todos os gráficos são desenhados. Quando as
coordenadas dos pontos são modificadas substituindo. ( x  h, y  k )
Por ( x, y ), o efeito geométrico é transladar a folha de plástico ( em
conseqüência todas as curvas), tal que o ponto sobre o plástico que
estava inicialmente em (0,0) foi movido para o ponto ( h, k ) .
y
.
(0,0)
.
( h, k )
x
Para o análogo no espaço tridimensional, considere os
eixos xyz como fixos e considere o espaço 3  D como um bloco
transparente de plástico na qual todas as superfícies estão
embutidas. Quando as coordenadas dos pontos são modificadas
substituindo ( x  h, y  k , z  l ) por ( x, y, z ) , o efeito geométrico
é transladar o bloco da plástico (e, por conseqüência, todas as
superfícies ) tal que o ponto no bloco de plástico que estava
inicialmente em (0,0,0) é movido para o ponto (h, k , l ) .
z
.
x
.
( h, k , l )
y
Exemplo 7: Descreva a superfície z  ( x  1)2  ( y  2) 2  3
Exemplo 8: Descreva a superfície
4 x 2  4 y 2  z 2  8 y  4 z  4
Técnicas para identificar
Superfícies Quádricas
Equações
Características
Classificação
Nenhum sinal de menos.
Elipsóide
Um sinal de menos.
Hiperbolóide de uma
folha
Dois sinais de menos.
Hiperbolóide de duas
folha
2
2
x
y
z2  2  2  0
a b
Nenhum termo linear.
Cone elíptico
x2 y 2
z 2  2 0
a
b
Um termo linear; dois termos
quadráticos com o mesmo sinal.
Parabolóide elíptico
Um termo linear; dois termos
quadráticos com sinais opostos.
Parabolóide hiperbólico
x2 y 2 z 2
 2  2 1
2
a
b
c
2
2
2
x
y
z
 2  2 1
2
a b c
z 2 x2 y 2
 2  2 1
2
c a b
y 2 x2
z 2  2 0
b
a