Matemática e suas Tecnologias –
Matemática
Ensino Médio,
Resolver a equação do 2º grau a partir
da técnica de completar quadrados
TÉCNICA DE COMO RESOLVER A EQUAÇÃO DE 2º
GRAU COMPLETANDO O QUADRADO.
http://www.youtube.com/watch?v=n9sWta9ngDs&feature=related
Fórmula da equação do 2º grau
 b  b ²  4ac
x
2a
As equações do 2º grau possuem a seguinte lei
de formação:
ax²+bx+c=0 com a,b e c números reais e a
0.

HISTÓRICO
A fórmula de Bhaskara é um dos métodos mais
conhecidos para se resolver Equações quadráticas, mas não é o
único.
Os problemas que envolvem a resolução de equações
quadráticas é muito antigo . Alguns dos primeiros datam de mais
de quatro mil anos, propostos pelos antigos babilônios, que
tinham por finalidade encontrar dois números conhecidos. Sua
soma e seu produto, ou seja, semi-perímetro e sua área.
REGRA DITADA EM VERSO
Eleve ao quadrado a metade da soma, subtraia o produto e
extraia a raiz quadrada da diferença. Some ao resultado a
metade da soma. Isso dará o maior dos números procurados.
Subtraia-o da soma para obter o outro número (1).
Alguns povos, como os japoneses, não utilizavam a fórmula
de Bhaskara – a qual alguns historiadores acreditam não ter sido
criada por ele – isso porque, para encontrar as raízes, eles utilizam
outro método, chamado completamente de quadrados.
Observe seguinte equação do 2º grau:
X²-5x+6=0
Se substituirmos x por 1 não encontraremos a
solução.
O que acontece se substituirmos x por 2 ?
2² -5.2 +6 =0
4 -10 +6=0
Será que existem outras soluções?
Como exemplo, podemos ver a seguinte raiz quadrada:
4x² -3=0
Resolução:
4x²=3
4/4x²=3/4
Observe que ambos os lados foram divididos por 4.
x²=3/4
Concluímos que a raiz quadrada de uma fração é igual à
raiz
quadrada do numerador dividida pela raiz quadrada do
denominador.
Como resultado obtemos x=3.
Para resolver equações do 2º grau, completando
quadrados, poderemos construir uma caixa de cartolina,
como veremos a seguir:
CONSTRUÇÃO DA CAIXA
A proposta de construir
uma caixa como na figura
ao lado: sem tampa, de
base quadrada e altura 2dm
e cuja área valha 9dm². Para
fazer esse material se
gastará 9dm² de cartolina
na sua confecção. Os
alunos,
então,
são
convidados a pesquisar
quais devem ser as
dimensões
da
caixa,
observando-se
que
1dm=10cm.
• Modelo da caixa
• Planificação da caixa
MOLDE PARA A CAIXA
Para abordar o problema
convém desenhar um
molde para a caixa,
conforme o da figura ao
lado.
Em princípio, não conhecemos a medida da área da base, a
qual denotaremos por X. Queremos, então, encontrar X, tal
que a soma das áreas dos quatro retângulo a iguais (cada
um com área 2X) com a área do quadrado que aparece no
centro 9esta vale x²),
no total 9. Assim precisamos
encontrar soluções para a equação:
X²+8x=9.
Vamos ver como essa equação é resolvida pelo método grego
de, literalmente, completar quadrados.
Juntando-se 4 quadrados, cada um com lado 2
(portanto, área 4) a um molde que originalmente possuía área
9, formamos um quadrado grande (ver figura), cuja área é
16+9=25.
Como o lado desse quadrado é (x+4), concluímos que:
(x+4)²=25.
4
2x
4
2
X+4
2x
X²
2x
X
2
4
2x
4
Os números que, elevados ao quadrado dão 25, são 5 ou -5. Para
x+4 resultar em 5, vemos que, de fato, se x=1, essa é uma das
soluções para a equação. Fazendo um retrospecto, vemos que, de
fato, se x=1, a área da base vale 1, e como cada uma das 4 faces
laterais possui área 2, logo, a área total da caixa é realmente 9,
como queríamos. A outra solução dessa equação é obtida
resolvendo-se x+4, da qual se conclui que x=-9. Este valor
soluciona a equação, mas não o problema proposto.
COMENTÁRIOS 1:
Quando perguntados se 5 é raiz da equação (x+1) x (x5)=0, muitos alunos aplicam a propriedade distributiva para
usar a fórmula de Bhakara, e concluem corretamente que 5
é raiz da equação.
Utilizando o conceito de raiz, bastaria substituir 5 na
equação, obtendo (5+1).(5-5)=0, e contanto que 5, de fato,
é raiz da equação.
COMENTÁRIO 2:
Muitos alunos jamais fariam tal substituição, por
desconhecerem que a raiz de uma equação, quando
substituída na mesma, deveria satisfazer a igualdade.
Para evitar esse equivoco, o estudo pode ser iniciado
com equações simples, com formatos privilegiados, que
possam ser resolvidos por tentativas. Assim, os alunos
se concentrarão em compreender o que significa
resolver uma equação, antes de aprenderem uma regra
para encontrar a sua solução mecanicamente.
EXEMPLO:
Para encontrarmos as raízes de x²= 16, buscamos os
números elevados ao quadrado que dão 16 e vemos
que x=4 ou x=-4 são as soluções. Com relação à
equação (x+1)²=9, percebemos inicialmente que tanto 3
como -3 elevados ao quadrado dão como resultado 9.
Para obtermos o 3, x deve valer 2, e para obtermos o -3,
X deve valer 2, e para obtermos o -3, x deve valer -4.
Em uma equação como (x+3) x (x-1) =0,
salientamos que, obrigatoriamente um dos fatores seria
nulo, seguindo-se que x=3 ou x=1. Esse exemplo é muito
rico, pois o aluno incentivado a utilizar seus conhecimentos
anteriores, vai saber que, se o produto de dois números
reais é zero, um deles é zero.
Em seguida, o problema que originalmente era de
uma quação de 2º grau recai em solucionar duas equações
de 1º grau.
SUGESTÕES:
Alguns jogos podem ser utilizados para estimular a resolução
de equações de 2º grau, através do cálculo mental. Nessas
atividades lúdicas devem ser utilizados apenas exemplos simples,
que não envolvam contas elaboradas. Os alunos internalizam as
ideias novas quando os exemplos que as acompanham não
envolvem contas que considerem cansativas.
Como o objetivo aqui é enfatizar o significado conceitual de
resolução de equações, a atenção dos alunos deve ser direcionada
para esse aspecto, sem ser desviada pelo trabalho excessivo de
contas. Por isso, atividades com contas mais elaboradas devem ser
adiadas.
TIPO DE JOGO: jogo pares fora
O jogo consta de 28 cartas,
que devem
ser
distribuídas igualmente entre quatro jogadores e um deles
dará início ao jogo, comprando uma carta do adversário à sua
direita.
Antes de comprá-la, o aluno que iniciou deve descartar
todos os pares, sendo que um par consiste de uma equação e
sua respectiva solução. O jogador do qual foi retirada uma
carta, após descartar seus pares, deve então comprar uma
carta que deve estar à sua direita, e assim sucessivamente,
até que algum jogador fique sem nenhuma carta. Este será o
vencedor.
As cartas do jogo
X²=25
X=5 ou
X=-5
(x+2).(x-9)=0
X=-2 ou x=9
(x+4)²=25
X=1 ou
X=-9
(x-1)²=25
X=6 ou
X=-4
(x+3)²=16
X=1 ou
X=-7
(x-1)²=36
X=7 ou x= -5
(x+1)²= 4
X= 3 ou
X= -1
(x+5) (x-2) = 0
X²= 25
X= 5 ou
X= -5
(x-1)²= -3
Não há solução
(x+2)²= 16
X= 2 ou
X= -6
(x-7)² = 0
X= 7
X² = 3
x 3
ou
x 3
(X – 1)² = 4
X= -5 ou
X= 2
x = 1 ou
x = -3