UNIVERSIDADE DO EXTREMO SUL CATARINENSE - UNESC
CURSO DE PÓS-GRADUAÇÃO ESPECIALIZAÇÃO EM EDUCAÇÃO
MATEMÁTICA
ADRIANA CONCEIÇÃO DE BONA
AS DIFICULDADES DOS ALUNOS DA PRIMEIRA SÉRIE DO ENSINO MÉDIO
COM A FÓRMULA BHASKARA
CRICIÚMA, DEZEMBRO DE 2006
ADRIANA CONCEIÇÃO DE BONA
AS DIFICULDADES DOS ALUNOS DA PRIMEIRA SÉRIE DO ENSINO
MÉDIO COM A FÓRMULA BHASKARA
Monografia apresentada à Diretoria de PósGraduação da Universidade do Extremo Sul
Catarinense – UNESC, como um dos requisitos
para a obtenção do título em Especialista em
Educação Matemática.
Orientador: Prof. Dr. Ademir Damazio
CRICIÚMA, DEZEMRO DE 2006
Dedico este trabalho a todos os educadores
que mantém a esperança de lutar por uma
escola pública de qualidade.
AGRADECIMENTOS
A Deus fonte da vida e inspiração.
Aos meus pais, por terem dado-me a vida e ajudado a chegar nessa fase
da minha existência profissional, familiar e social.
A meu esposo Adenilson Ghisi pelo companheirismo e apoio moral e
espiritual.
A todos os meus professores, desde as séries primárias até a pósgraduação que, com carinho, fizeram-me crescer em conhecimento e como pessoa.
Em especial, ao Dr. Ademir Damazio que, com paciência e dedicação, orientou na
elaboração desta monografia.
Aos colegas do curso de Especialização em Educação Matemática pelo
companheirismo, amizade.
A minha comadre Marcia Carrador Marcelino De Bona que com carinho
auxiliou-me em parte da digitação.
A Gislaine Marcolino, que muito contribuiu com sua crítica para a melhoria
do texto.
“O
olho
do
observador
interfere
no
objeto
observado. Só um fantasma se embrulha no seu
passado, explicando a si próprio com autodefinições baseadas numa vida já vivida. Você é
aquilo que escolhe ser hoje, não o que escolheu
antes.” (Autor desconhecido)
RESUMO
O presente trabalho tem como problema as dificuldades encontradas pelos alunos
da primeira série do ensino médio quando aplicam fórmula de Bhaskara para
resolução de equações do 2º grau e em problemas matemáticos. Sendo o objetivo,
analisar as dificuldades manifestadas pelos alunos quando aplicam a fórmula de
Bhaskara para resolução de equação e de problemas matemáticos. As atividades,
equações e problemas do segundo grau, foram desenvolvidas por 38 alunos da
primeira série do ensino médio de duas escolas, uma particular e uma estadual. Os
erros que os alunos cometem são fortemente relacionados aos cálculos básicos das
operações aritméticas e, aos sinais numéricos de relatividade. São manifestações de
dificuldades, conseqüentemente, conforme Vergnaud de obstáculos para
aprendizagem.
Palavras-Chave: Dificuldades, Equação do segundo grau, fórmula de Bhaskara.
SUMÁRIO
1 JUSTIFICATIVA, A PROBLEMÁTICA E OBJETIVOS DA PESQUISA ................. 9
1.1 Problema ........................................................................................................... 11
1.2 Objetivos ........................................................................................................... 11
1.3 QUESTÕES NORTEADORAS........................................................................... 12
2
REFERÊNCIAL TEÓRICO................................................................................ 13
2.1 As dificuldades dos alunos no contexto do ensino da Matemática............. 13
2.2 História da equação do segundo grau............................................................ 21
3 METODOLOGIA.................................................................................................... 31
4 AS DIFICULDADES DOS ALUNOS COM A FÓRMULA DE BÁSKARA............. 35
4.1 A percepção dos professores ......................................................................... 35
4.2 Os alunos do ensino médio:: seus erros e dificuldades com a fórmula de
Bhaskara ................................................................................................................. 39
4.2.1 Resoluções das equações completas do 2º grau....................................... 40
4.2.2 Equação: ax2 + bx + c = 0, ou seja, x2 +7x + 10 = 0 ..................................... 41
4.2.3 Equação: – ax2 – bx – c = 0, ou seja, – x2 – 7x – 10 = 0 .............................. 41
4.2.4 Equação: – ax2 + bx + c = 0, ou seja, – 2x2 + 2x + 24 = 0 ............................ 44
4.2.5 Equação: ax2 – bx – c = 0, ou seja, – x2 – 3x – 40 = 0.................................. 46
4.2.6 Equação: ax2 – bx + c = 0, onde ∆ = 0, ou seja, 4x 2 – 12x + 9 =0.............. 47
4.2.7 Equação: ax2 – bx + c = 0, onde ∆ < 0........................................................... 49
4.2.8 Equação com coeficiente fracionário .......................................................... 51
4.2. 9 Resolução das equações incompletas. ...................................................... 51
4.2.10 Resolução dos problemas .......................................................................... 52
5. ANÁLSE CONSIDERAÇÕES FINAIS.................................................................. 53
REFERÊNCIAS ........................................................................................................ 57
ANEXO..................................................................................................................... 59
LISTA DE ANEXOS
Anexo 1: Questionário para obtenção de dados das escolas
Anexo 2: Roteiro de entrevista com os professores
Anexo 3: Atividades desenvolvidas pelos alunos
9
1 JUSTIFICATIVA, A PROBLEMÁTICA E OBJETIVOS DA PESQUISA
Na atualidade é perceptível a perda de determinados valores da ética e
cidadania (mesmo havendo várias atividades sociais, para resgatá-las), não é tão
simples fazer um estudo referente ao processo ensino-aprendizagem. Com isso, não
quero dizer que o ensino e aprendizagem estejam ausentes em suas formas
sistemáticas, formalizadas. Pelo contrário, é uma prática social que delega à escola
tal tarefa. Entretanto, na educação básica, em que se considera o ser humano em
processo de maturação biológica e intelectual, tem-se observado na convivência
diária nas escolas, que estão esvaecendo os conceitos de: respeito, dignidade, autoestima. Conceitos estes que devem ser desenvolvidos pela família e escola, sendo
tão importantes para a formação humana quanto às necessidades básicas de
alimentação, agasalho e auto-estima. A convicção, neste momento, mesmo que
poça parecer ingênua, é de que eles são elementos fundamentais que interferem no
processo de aprendizagem dos “conteúdos escolares” que também contribuirão na
formação do aluno.
Mesmo com a aversão que a maioria das pessoas que freqüentam ou
passaram pela escola detêm com relação à matemática, é possível perceber suas
idéias presentes no cotidiano. Quem nunca: Observou a hora no relógio? Contou ou
medio algo? Fez compras? Conferiu troco?... Esses fatos são exemplos de situações
matemáticas presentes nos afazeres diários.
Na escola, os questionamentos que mais se escuta dos alunos e colegas, que
lecionam outras disciplinas, dizem respeito aos conceitos algébricos: Onde vou usar
esses x e y? A concepção que eles têm em relação à matemática é simplesmente
como sendo algo para ser usado e depois descartado. Está muito longe de ser
10
entendida como linguagem humana produzida historicamente em busca da
compreensão do mundo e, das relações que neles se estabelecem.
Porém, entre tantos efeitos da matemática escolar, sempre fica algo daquilo
que é ensino/aprendido por parte dos alunos. Afinal, com ojeriza ou empatia pela
matemática, ela é uma disciplina constante do currículo da Educação Básica e,
conseqüentemente, as dificuldades para uns, facilidades para outros, é uma
característica do processo de aprendizagem.
Nesse contexto, na oitava série do ensino fundamental e se prolonga ao
ensino médio, um aspecto da matemática sobressai para os alunos: a fórmula de
Bhaskara.
No entanto, quando chegam na primeira série do ensino médio, os
professores de Matemática e Física têm reclamado que, mesmo conhecendo o
significado das incógnitas que aparecem na fórmula referida, os alunos apresentam
dificuldades em sua aplicabilidade.
As causas podem ser diversas, entre as quais conjetura-se: dificuldades em
sua aplicação, o não entendimento da explicação do professor, falta de interesse em
aprender, o não domínio da fórmula, falta de atenção, esquecimento de seu
significado, nervosismo, “branco”...
Assim busca-se na literatura explicação para tais suposições, contudo não se
encontrou estudos que tratam dessa especificidade. Assim, com o objetivo de
estudar as dificuldades quanto à aplicabilidade da fórmula de Bhaskara, por parte
dos alunos, identificar-se-á essas dificuldades, como também analisar os motivos
que as produzem.
Assim sendo, a pretensão no presente estudo foi transformar as percepções
empíricas em objeto de estudo. O pressuposto é de que o entendimento das
dificuldades dos alunos nas aplicações da referida fórmula dará subsídios para o
11
professor propor ações de ensino que os levem ao aprendizado e ao
desenvolvimento intelectual. Sendo um processo fundamental que o aluno, não só
precisa interpretar, aplicar e desenvolver tal fórmula. Mas, entender a lógica que o
caracteriza. Com isso, propiciaria o uso de outras fórmulas que aparecem no
decorrer de seus estudos, desenvolvendo outros aspectos como: raciocínio lógico,
interesse pela disciplina, facilidade no aprendizado. A partir dessas considerações é
necessário estudar as dificuldades de raciocínio referente à fórmula da Bhaskara
tanto para resolver equações do segundo grau sem contexto de aplicação como em
problemas matemáticos.
1.1 Problema
Quais dificuldades são encontradas pelos alunos da primeira série do ensino
médio quando aplicam fórmula de Bhaskara para resolução de equações do
segundo grau e em problemas matemáticos?
1.2 Objetivos
1.2.1 Analisar as dificuldades manifestadas pelos alunos quando aplicam a
fórmula de Bhaskara para resolução de equação e de problemas
matemáticos.
1.2.2 Identificar as dificuldades dos alunos que se dispuseram a resolver as
atividades propostas ao aplicar a fórmula de Bhaskara.
1.2.3 Compreender o processo de diferentes procedimentos matemáticos
relacionados à fórmula de Bhaskara.
1.2.4 Verificar quais as ações propostas pelos professores com vistas à
superação das dificuldades dos alunos no emprego da fórmula Bhaskara.
12
1.3 QUESTÕES NORTEADORAS
ϖ Por que os alunos encontram dificuldades na compreensão da fórmula
de Bhaskara?
ϖ Que procedimentos metodológicos de ensino são adotados pelos
professores de matemática no estudo da fórmula de Bhaskara e no
momento da aplicação por parte dos alunos?
ϖ Quais medidas tomadas quando o aluno não consegue aplicar a
fórmula matemática para a resolução de equação e situaçõesproblema do segundo grau?
13
2
REFERÊNCIAL TEÓRICO
2.1 As dificuldades dos alunos no contexto do ensino da Matemática.
Na sociedade, mola mestra na formação de um individuo, encontram-se
diferentes classes: sociais, raciais e econômicas; conduzindo o individuo por
caminhos nem sempre por ele almejados. Entretanto, nem todos têm acesso ao
ensino superior devido às condições financeiras para pagar as Universidades
particulares e, contraditoriamente, as Universidades Federais oportunizam acesso
apenas pessoas com maior poder aquisitivo, por freqüentarem cursinhos e saírem-se melhor no vestibular, avaliação de seleção para a inclusão na Universidade.
A sociedade hoje está delegando à escola responsabilidades que antes não
eram de sua competência como, por exemplo, solucionar problemas afetivo-familiar,
fazendo com que ela fuja, muitas vezes, de seu real objetivo, que é a mediação do
processo de aquisição de conhecimento científico, para que os alunos entendam os
valores éticos e o sentido de cidadania que, conseqüentemente, ajudam para a
formação de boa conduta, inclusive no processo de aprendizagem escolar.
No contexto escolar, há diferentes concepções sobre as dificuldades dos
alunos no processo ensino-aprendizagem nas diferentes áreas do conhecimento. Na
área da matemática, uma delas aponta que os alunos não possuem raciocínio lógico
matemático desenvolvido, mas a usam no seu dia-a-dia, ao ver a hora, repartir,
comprar, vender, devolver troco em dinheiro... Nesse sentido, Caraça (sd, XIII) diz:
A matemática geralmente considerada uma ciência à parte, desligada da
realidade, vivendo na penumbra de um gabinete fechado, onde não entram
ruídos do mundo exterior, nem sol, nem os clamores do homem. Porém,
isso só em parte é verdadeiro.
14
Lobachevsky, matemático russo, contribui quando afirma: “Não há ramo da
matemática, por abstrato que seja, que não possa um dia vir a ser aplicado aos
fenômenos do mundo real”.
Também, Castrucci, Giovanni e JR (1998, p. 3) dizem:
Pode parecer, a princípio, que alguns temas da matemática não têm
aplicação imediata no mundo em que vivemos; isso pode gerar certo
desapontamento. Na verdade, a aplicação da matemática no cotidiano
ocorre como resultado do desenvolvimento e do aprofundamento de certos
conceitos nela presentes
Algumas teorias de aprendizagem afirmam que o indivíduo quando nasce é
desprovido de quase todo o conhecimento. Este é construído gradativamente em
seu desenvolvimento e convívio com a sociedade. O primeiro ambiente é família,
que propicia as condições para o início do aprendizado da cultura humana e dos
conceitos, dentre os quais a matemática que gera medo nas pessoas por acharemse impossibilitadas para apreensão de tais conhecimentos. Não sabem elas que o
convívio social confere a vivência noções numéricas e vivência de espacialidade. Na
escola, vão usar apreender os conhecimentos de forma sistematizada, aumentando
seu grau de abstração com o passar dos anos. Entretanto, conforme Medeiros (sd,
p. 22), “a abstração pode parecer não estar a seu alcance nas situações de sala de
aula”.
Por isso, de acordo com o construtivismo e proposta de etnomatemática
(D’Ambrósio, sd) a importância de se ensinar a matemática a partir da realidade e
do convívio social da criança, para tornar-se um adulto capaz de: pensar, sentir e
agir a matemática, sem tê-la como um obstáculo em seu dia-a-dia e realizações
pessoais.
15
A educação matemática se preocupa, principalmente, em buscar novas formas
de proporcionar aos alunos uma melhor compreensão da disciplina, seja por meio da
história, da informática, ou mesmo da etnomatemática, citando apenas algumas
abordagens.
Outra forma indicada por algumas tendências em educação matemática é que,
no processo ensino-aprendizagem, o ponto de partida, seja o cotidiano do aluno,
conhecendo a sua forma de pensar, sabendo o que lhe atrai a atenção quando não
está na escola. Rosseau, citado por Abraão (1977) já advertia que '
'
o educador deve
conhecer a criança''
.
Nesse sentido, os PCNs a atenção:
É importante destacar que a Matemática deverá ser vista pelo aluno como
um conhecimento que pode favorecer o desenvolvimento do seu raciocínio,
de sua sensibilidade expressiva, de sua sensibilidade estética e de sua
imaginação. (PCN'
s, 1997).
A Proposta Curricular do Estado de Santa Catarina, mais especificamente no
caderno Tempo de Aprender explicita sua concepção de aprendizagem e ensino:
Segundo Leontiev a atividade conceitual não ocorre porque o aluno domina
o conceito, mas ao contrário, quando ele aprender a atuar conceitualmente
dominará o conceito, o que ocorrerá no processo de desenvolvimento de
uma atividade de Aprendizagem. (SANTA CATARINA, 2002, p. 14).
Isso significa dizer que todos são providos de grande capacidade neuro e
psico-motora para a aprendizagem. Para isso, é necessário estímulo e convívio
sócio-cultural. Pois, quanto mais convive-se em ambientes ricos em interações
sociais teremos mais oportunidades para aprender.
16
Em seu livro “A Criança Incompreendida” (1984, p. 29) Larry B. Silver
descreve que, para a aprendizagem ocorrer, primeiramente ela deve ser: recebida,
integrada, memorizada, sair e ser recebida por meio dos nervos e músculos.
O autor, Silver, acrescenta que a aprendizagem pode ser recebida por vários
recursos como: visual, auditivo, olfativo, auditivo-visual, motor (fazendo, tocando,
experimentando, ... ). Ocorrendo esse processo, os neurônios se encarregam de
levar a mensagem até o cérebro que, ao processá-lo, interpreta o estímulo recebido
e o armazena em determinada área conforme sua especificidade; acontecendo o
que chamamos de memória, enviando depois respostas para o nervo e músculos,
efetivando a aprendizagem. Com outros aspectos, mas ressaltando as mesmas
abordagens de Silver, também Ruth Caribe da Rocha Drouet fala dos órgãos dos
sentidos e sua importância para o processo ensino-aprendizagem. Diz que uma
deficiência sensorial constituirá um problema de aprendizagem.
Dessa forma, para ocorrer à aprendizagem, é primordial que haja a motivação
e o interesse pela mesma. Pois aprende-se somente quando têm-se despertado um
estímulo psicomotor. De acordo com Drouet, é necessário que a criança não tenha
distúrbios nos órgãos dos sentidos, principais porta de entrada para o aprendizado.
Deficiência ou perca em um dos sentidos também acarretará deficiência na
aprendizagem; mas não impede que a mesma ocorra.
... todas as perturbações do estado físico geral do indivíduo são
consideradas causas físicas. São portanto, perturbações orgânicas, que
envolvem a saúde.. apesar de não estarem diretamente ligadas a
aprendizagem , essas perturbações orgânicas ou somáticas (do corpo)
podem causar, inúmeros problemas de saúde, tanto na criança, quanto no
professor, afetando o processo de ensino-aprendizagem (DROUET, 1990,
p. 106)
17
Outro fator gerador da dificuldade de aprendizagem é a concentração e
abstração. Abstração: “capacidade de deduzir o significado geral correto de uma
determinada palavra ou símbolo” (SILVER, 1984, p.33)
Como já citado anteriormente, mas com outras palavras, uma das condições
para haver uma boa aprendizagem a criança ao adulto deve estar bem em todos os
seus aspectos: emocionais, físicos e motor.
Segundo Smit e Rivera (1991), essas dificuldades não são geradas por
problemas mentais e nem falta de escolarização ou inadequação da mesma. Mas,
para Keleer e Sutton (1991), citados por Garcia (1998, p. 211) assim se denominam
devido à alteração ou deterioração considerada dos rendimentos na escola ou em
sua vida cotidiana.
Segundo Piaget, para que a aprendizagem ocorra, é necessário amar,
pois: “Só se Ama o que se Conhece” (1989, p. 68). Para ele, o conhecimento é
assimilação do objeto pessoal, ou seja, o sujeito tenha passado por um processo de
desiquilibração, atingindo a acomodação.
Nessa perspectiva construtivista, a aprendizagem da matemática ocorre,
segundo Dienes (1975, p. 71 e 72), em seis etapas, sendo elas:
A primeira etapa apresenta o indivíduo ao meio, construído especialmente
para que certas estruturas matemáticas possam ser dele extraídas. A
primeira adatação a este meio chama-se "jogo livre" (jogos infantis). Em
segundo lugar, vem a etapa dos jogos estruturados. As regularidades,
descobertas pela criança no seu meio, levam-na à possibilidade de
examinar jogos. Terceira etapa — Aqui, o indivíduo percebe a estrutura
comum dos jogos estruturados já realizados. Quarta etapa —O indivíduo
torna-se capaz de preencher a representação vazia com os estados e os
operadores particulares de um jogo particular da estrutura em questão.
Quinta etapa — Aqui, estudamos as propriedades da representação, isto é,
as propriedades da abstração conquistada. Sexta etapa — Dado que todas
as propriedades não podem ser descritas em uma descrição, tomamos um
número mínimo (axiomas) e inventamos um procedimento para dele
deduzirmos outras. O procedimento para deles deduzir outros chama-se
18
demonstração, e as propriedades posteriores chamam-se teoremas. A
manipulação de um sistema como esse, chamado sistema formal, é o
objetivo final da aprendizagem matemática de uma estrutura. Na pedagogia
tradicional, trabalha-se exatamente em sentido inverso. Introduz-se um
sistema formal, por meio de símbolos. (...) Assim, no ensino tradicional, a
direção da aprendizagem é exatamente contrária à proposta.
Vê-se, neste aspecto, a importância de primeiro trabalhar o lúdico e o
concreto para depois o abstrato com a apresentação dos teoremas e toda as
questões axiomáticas, características da matemática.
Os problemas na aprendizagem matemática interferem em diversas
atividades.
Estas incluem habilidades 'lingüísticas' (como a compreensão e o emprego
da nomenclatura matemática, a compreensão ou denominação de
operações matemáticas e a codificação de problemas representados com
símbolos matemáticos), habilidades 'perceptivas' (como o reconhecimento
ou a leitura de símbolos numéricos ou sinais aritméticos, e o agrupamento
de objetos em conjuntos), habilidades de 'atenção' (como copiar figuras
corretamente nas operações matemáticas básicas, recordar o número que
'transportamos' e que devemos acrescentar a cada passo, e observar os
sinais das operações) e as habilidades 'matemáticas' (como o seguimento
das seqüências de cada passo nas operações matemáticas, contar objetos
e aprender as tabuadas de multiplicar). ( GARCÍA, 1998, p. 211).
Por envolver o conjunto dessas diferentes habilidades, é possível dizer que a
matemática desenvolve o raciocínio lógico e ajuda o indivíduo a compreender, de
maneira mais significativa, outras áreas do conhecimento. O pressuposto é de que o
indivíduo ao compreender os conceitos de forma inter-relacionada passa entender o
que se passa a sua volta, despertando o interesse para novas aprendizagens.
Nesse processo contínuo, busca novos desafios tornando-se ação incessante, pois
sempre
quer
mais
e
mais
saber,
definindo-se
uma
pessoa
Conseqüentemente, supera desafios que ele próprio julga não ser capaz.
intelectual.
19
Para Garcia (1998), o conhecimento e as habilidades matemáticas fazem
parte da vida cotidiana, desde idades tenras, relacionadas às tarefas habituais e
com a atividade trabalho, como também, nas demandas sociais.
Quanto às dificuldades de aprendizagem da matemática:
Como se dava muita importância às tarefas lingüísticas e, concretamente, à
leitura, a presença de dificuldades na matemática era considerada "algo
normal", posto que a matemática sempre foi "difícil", com o que os
professores não estavam conscientes de que estavam frente a um
transtorno específico (MORRISON e SIEGEL, apud GARCIA,1998, p. 217).
Quando ocorrem dificuldades na aprendizagem matemática, para ajudar na
sua superação, ou para que haja aprendizagem, Garcia (1988) sugere que se
busque entender como o indivíduo aprende.
Segundo Sergio Lorenzato1, a aprendizagem ocorre com a vivência prática,
criando suspiro e emoções, com as descobertas realizadas e a prática em sala de
aula. Esse aprendizado é duradouro, e, não momentâneo, com o objetivo de
conseguir uma nota para obter aprovação no final do ano letivo.
Da
mesma
forma
é
pertinente
a
compreensão
dos
processos
neuropsicológicos e neuroanatômicos das dificuldades de aprendizagem da
matemática (GARCIA, 1998, p. 214)
Outro aspecto a considerar é que o problema não está apenas no interesse
pela busca ou não de novos conhecimentos, da saúde física e mental. Mas, também
na forma como se ensina, pois, é o processo em que apresenta novos conceitos ao
1 Meu professo de Geometria no curso de Pós Graduação em Educação Matemática, na
UNESC, no ano de 2006. É licenciado em matemática (unesp/rio Claro), mestre em educação
(UnB/ Brasília), doutor em educação (unicamp/ Campinas) e pós-doutor em educação
matemática (Université Laval/Canadá).
20
aluno. Grando (1995) diz que, em matemática, as dificuldades se manifestam, por
exemplo, quando o aluno conhece as operações básicas de adição, subtração,
multiplicação e divisão mas, não sabe o significado de situações como:
ϖ adição: quando se soma a unidade e esta ultrapassa a casa das dezenas, se
diz, vai um.
ϖ Subtração: quando a unidade que se vai subtrair é menor, diz-se empresta
um.
ϖ multiplicação: quando se multiplica o algarismo da dezena, deixa-se um
espaço com o sinal de menos ou com o sinal de igual na unidade. Ou, tem-se
a idéia de que multiplicar é aumentar a quantidade, mas, isso não ocorre
quando multiplicamos um número fracionário por um número inteiro.
ϖ Divisão: falta o domínio de seu significado, que é dividir um todo ou parte ou
parte deste em partes iguais. Sendo esta mais complicada por necessitar do
uso de operações anteriores como a multiplicação e a subtração.
A autora exemplifica a relação entre dificuldade e obstáculo no processo de
aprendizagem da matemática:
Constata-se que a idéia de vai um e a regra simplificada vírgula embaixo de
vírgula geram dificuldades que se constituem em obstáculos para a
compreensão do algoritmo da adição de números naturais, decimais e de
frações e, conseqüentemente, da multiplicação. Segundo Vergnaud (1989),
existem aí duas concepções que precisam ser mudadas e, por isso, são
obstáculos para a aprendizagem matemática. De acordo com Brousseau
(1983) e Henry (1991), são obstáculos de origem didática, uma vez que são
idéias enfatizadas no sistema de ensino, ou seja, fazem parte de uma opção
metodológica - subjacente ao modelo educacional tradicional (GRANDO,
1995, p.113).
21
De acordo com a autora, é preciso mudar o sistema metodológico de ensino,
começando pela formação dos professores para que possam se apropriar dos
significados dos conceitos matemáticos.
Desse posicionamento, infere-se que a maneira de como se ensina tem
implicações na aprendizagem da matemática e, conseqüentemente, nas suas
dificuldades. Essa afirmação também é feita por Lorenzato (2006), ao dizer que a
metodologia de ensino empregada pelo professor é determinante para o
desempenho dos seus alunos, tanto cognitiva como afetivamente.
2.2 História da equação do segundo grau
Por volta de 4000 anos, os aprendizes de escriba da Babilônia freqüentavam
escolas para aprender 700 sinais e a efetuar cálculos matemáticos, sob severa
disciplina.
Foi um desses escribas quem inscreveu e resolveu, numa placa de argila, a
primeira equação do 2º grau completa que a História registrou. Como o
escriba resolveu totalmente em palavras essa equação? Como o modo de
escrever as equações do 2º grau foi se aperfeiçoando ao longo dos séculos,
até a descoberta da fórmula? Lendo esta história, você encontrará as
respostas a essas questões. (GUELLI, 1992, p. 6).
Os hindus, na antiguidade, tinham como entretenimento a competição de
resolução de problemas. A regra era que um competidor apresentava um problema
para outro resolver. Cada assunto era composto de um texto, chamado de sutra,
constituído de ditos populares em forma de versos, lidos pelo professor até serem
decorados. Como exemplo: “Alegravam-se os macacos divididos em dois bandos:
sua oitava parte ao quadrado no bosque brincava. Com alegres gritos, doze gritando
22
no campo estão. Sabes quantos macacos há na manada no total?” (GUELLER,
1992, p. 7).
Nos dias atuais, podemos representar e resolver facilmente este problema
recorrendo à álgebra da seguinte forma:
2
x2
x
x =   + 12 ⇒ x =
+ 12 ⇒ 64 x = x 2 + 768 ⇒ x 2 − 64 x + 768 = 0 .
64
8
Observa-se que foi determinada uma equação com o termo x2 e, por isso,
chamada de equação do 2º grau.
Levou muito tempo para os matemáticos descobrirem uma
fórmula resolutiva das equações do 2º grau. Mesmo sem
conhecer a fórmula, os bravos matemáticos da Antigüidade,
que escreviam as equações totalmente em palavras, inclusive
os números. Conseguiam resolver a maioria delas. (GUELLI,
1992, p.8).
Aryabhata (500 d.C), hindu, apresenta a equação 6x2 + 100x – 1600 = 0,
mediante a álgebra retórica, que pode ser expressa pela nossa notação da seguinte
forma:
(
16.100.6 + 100
) − 100 2
2
2
6
Pode ser expressa na forma atual:
− 100 ± 100 2 + (4.6.1600 )
12
As duas formas são idênticas, porém, Aryabhata elimina a raiz negativa.
Brahmagupta, também hindu, dá duas regras que atualmente pode ser expressa:
x=
− b − b 2 − 4a.c
a
23
(b 2 ) + ac − b 2
2
x=
2a
O método algébrico hindu era essencialmente de "completar quadrado".
Usando a notação atual:
Seja a equação ax2 + bx = c
- Multiplicar o termo independente pelo coeficiente de x2.
- Adicionar o quadrado da metade da metade do termo em x.
a . c + (b/2)2
- Extrair a raiz quadrada da soma anterior e subtrair a metade do termo em x
(b 2 ) + ac − b 2
2
- Dividir pelo coeficiente de x2
(b 2 ) + ac − b 2
2
a
A interpretação geométrica é a seguinte:
O método consiste em somar o quadrado colorido para completar o quadrado maior,
como na figura abaixo:
(b 2 )
1
.abx
2
2
a2x2
1
abx
2
b
2
2 2
b
a x + abx +  
2
2
b
2
2
b
Como ax + bx = c, substituindo a x 2 + abx por a.c: a .c +   *
2
2
2
24
2
b
b

Por sua vez, a área total do quadrado é  ax +  e seu lado ax + **
2
2

De * deduzimos que o lado do quadrado será:
Igualando ** e ***, resulta: ax +
b
=
2
(b 2 ) + ac ***
2
(b 2 ) + ac
2
(b 2 ) + ac − b 2
2
Separando a incógnita x, resulta:
a
Bhaskara, (1114 d.C), na Índia, não trabalhou com uma fórmula genérica,
mas, apresentou soluções para problemas do tipo:
“Certa quantidade de vasos de água pela mesma certa quantidade de vasos de
água, mais dez vezes esta certa quantidade de vasos de água seria igual a 39. Qual
é esta certa quantidade de vasos de água?”
2
2
Em linguagem algébrica: x + 10x = 39, que pode ser escrito como: x + 5x + 5x = 39
X
X
5
XX
5X
X
8
5X
25
X
5
5
39
+ 25
64
Logo, x = 3
No século VI, ocorreu o maior avanço da matemática com a invenção do
zero, na Índia. Sem o conhecimento do zero a equação do 2º grau só possuía uma
resposta, ou seja, uma raiz:
25
Al-khowarizmi, árabe, tomou conhecimento dos procedimentos matemáticos
adotados na índia no século IX, surpreendendo-se ao verificar que os cálculos
hindus eram realizados com apenas dez símbolos. Escreveu o livro: Sobre a arte
hindu de calcular, para divulgar suas descobertas e explicar como fazer os cálculos
com aqueles símbolos.
A partir de então o zero se incorporou definitivamente ao mundo da
Matemática. E a forma de calcular dos homens sofreu uma radical
transformação. Assim, o sistema de numeração decimal se impôs sobre
todos os outros sistemas de numeração. (GUELLI, 1992, p. 15).
Com isso, a equação do 2º grau como x2 =2x pode ser resolvida
corretamente.
As
equações
incompletas
eram
facilmente
resolvidas
pelos
matemáticos com o uso da propriedade inversa da potenciação (radiciação). Se o
produto de b e c for zero, logo b = 0 ou c = 0. Porém, havia equações formadas por
três termos, por isso chamada de equação completa do 2º grau, que geravam
muitas dificuldades aos matemáticos.
Na Babilônia, a 4000 anos, havia uma tábua de raízes quadradas que
permitia resolver rapidamente equações da forma:
2
x + px = q;
2
x = bx +c;
2
x + c = bx
Chamavam a incógnita de comprimento e o seu quadrado de área.
Um problema inscrito em uma tabuleta era: “Qual é o lado do quadrado, se a
área menos o dobro do lado é vinte e quatro?” Na mesma tabuleta ele inseriu
apenas o final de todo o desenvolvimento usado para a sua resolução:
Como a metade de um é meio, multiplique meio por meio, o que dá vinte e
cinco centésimos. Some isto a doze, para encontrar doze inteiros e vinte e
cinco centésimos. Este número é quadrado de três inteiros e cinco
décimos. Agora some a metade de um a três inteiros e cinco décimos, para
descobrir que o lado do quadrado vale quatro. (GUELLI, 1992, p. 20).
26
Na época, todos esses cálculos eram expressos por palavras. Atualmente,
são traduzidos para uma linguagem específica da equação do segundo grau:
x é o lado do quadrado
x2 é a área do quadrado
x2 – 2x = 24 é a equação que traduz os dados do problema.
Para sua resolução: o primeiro termo é transformado em um trinômio
quadrado perfeito e usa-se a radiciação que é a operação inversa.
x 2 – 2x + 1 = 24 + 1 (Adicionado um em cada membro da igualdade para transforma
num trinômio quadrado perfeito)
(x - 1)2 = 25 (Fatoração do trinômio)
x – 1 = 5 (Extração da raiz quadrada dos dois membros)
x=6
A partir dessa idéia, é possível entender todos os passos do procedimento do
escriba em sua resolução: Toma-se a metade de dois, que é um e multiplique um
por ele mesmo. Soma-se o resultado a vinte e quatro o que dá vinte e cinco. Isto é
na verdade o quadrado de cinco, somado à metade de dois (1), obtendo o lado do
quadrado que é igual a seis.
Os escribas se baseavam na forma x2 – bx = c para resolver muitas equações
do 2º grau.
Mas a resolução vinha sempre gravada na tabuleta sem nenhuma
2
b
b
x =   + c + , obtida
2
2
explicação, seguindo fielmente esta fórmula:
2
do seguinte modo: x – bx = c
2
b
b
x − bx +   = c +  
2
2
2
2
b

b
x−  = c+ 
2

2
2
2
27
x−
b
b
= c+ 
2
2
2
(GUELLI, 1992, p. 20)
Tal método era justificado da seguinte forma: A área do quadrado da figura
seguinte pode ser expressa como:
( ) ( )
2
[ x + 2( bx )]2 ou x2 + 4 b + 4 b
*
4
4
16
(b 2 )
bx
bx
x2
bx
bx
(b 2 )
2
4
(b 2 )
2
(b 2 )
2
4
4
2
4
Simplificando e igualando as expressões *,
2
b
b2

2
 x +  = x + bx +
2
4

Substituindo na equação original tem-se:
2
2
b
b

x+  = c+
2
4

2
Extraindo a raiz quadrada: x +
b
b
=   +c
2
2
2
Isolando a incógnita, obtém se: x =
b
  + c − b2
 2
2
Herón (100 d.C, de Alexandria, resolve a equação x + 4x = 896, buscando
um quadrado perfeito:
2
X + 4x + 4 = 896 + 4
2
X + 4x + 4 = 900
28
2
(x + 2) = 900
x + 2 = 30
x = 28
Na China, Tsu Chung Chin (459 d.C) discute problema do tipo:
“A área de um quadrado (x.x) menos seu lado (x) resultou vinte. Quanto mediu o
lado desse quadrado?”
2
Forma algébrica: x – x = 20
“Pense na solução do problema de quadrado (equação do segundo grau) e
acrescente o número dois. A solução aproximada do segundo problema que se
forma é obtida dividindo o número resultante pela soma dos coeficientes do
quadrado e do comprimento. Some esse valor com a solução pensada do primeiro
problema e faça o cálculo novamente, até aparecer (fan-fan) um número que não se
modifique”.
a) x = 2 + d
d = diferença entre a solução
verdadeira e a solução arbitrária 2
2
x – x = 20
2
(2 + d) – (2 + d) = 20
2
2
4 + 4d + d – 2 – d = 20 d + 3d = 18
Solução aproximada = solução pensada + número resultante
coeficiente do quadrado + comprimento
x = 2 + 18
1+3
= 6,5
b) Repetir o procedimento
x = 6,50 + d
2
(6,50 + d) – (6,50 + d) = 20
29
2
42,25 + 13 d + d – 6,50 – d = 20
2
d + 12d = - 15,75
x = 6,50 + (-15,75) = 5,28
1+12
Repetir novamente o procedimento considerando agora o 5,28 como valor
arbitrado. E assim sucessivamente até o valor se repetir.
A matemática tem conquistado grandes avanços que facilitam os cálculos.
Mas os antigos matemáticos são admirados, pois devido ao estágio do
desenvolvimento da matemática, contavam apenas com sua inteligência e intuição.
Eles sabiam resolver certas equações do 2º grau sem a preocupação de explicar o
método utilizado.
Foi no ano de 830 d.C., com o surgimento do livro Hisab al-jabr wa-almuqabalah, de al-khowarizmi – o mais brilhante matemático árabe de todos
os tempos –, que ficou mais fácil e completo o estudo da equação do 2º
grau. (GUELLI,1992, p. 25)
Michel Stifel (Século XVI) foi o primeiro a usar termos negativo. Considera
três classes de equações quadráticas:
2
x = c – bx
2
x = bx – c
2
x = bx + c
2
b
Dá como solução: x =   ± c ± b
2
 2
François Viéte (1540 - 1603) supera os métodos com base em provas geométricas
2
por outras estritamente algébricas. Para resolver x + bx = c, adota x = u + v.
30
Substituindo na equação geral tem-se:
2
(u + v) + b(u + v) = c
2
2
u + 2uv + v +bu +bv = c
2
2
u + (2v + b)u + v + bv = c
b
Fazendo v = - :
2
2
u –
b2
= c.
4
2
Logo u =
b
  +c
 2
A partir de u, obtém-se por substituição o valor de x.
31
3 METODOLOGIA
A pesquisa é do tipo qualitativa, pois a preocupação foi investigar as
dificuldades expostas por professores e pelos próprios alunos. Além disso, traz
evidências das medidas adotadas nos meios escolares para auxiliar os alunos a
superação das dificuldades de compreensão e aplicação da fórmula Bhaskara.
Houve
um
aprofundamento
do
objeto
de
estudo
e
um
profundo
enriquecimento intelectual significativo a todos. Minayo (1994, p.17-18) expressa o
entendimento de pesquisa adotado no presente estudo:
Entendemos por pesquisa a atividade básica da Ciência na sua indagação e
construção da realidade. É a pesquisa que alimenta a atividade de ensino e
a atualiza frente à realidade do mundo. Portanto, embora seja uma prática
teórica, a pesquisa vincula pensamento e ação. Ou seja, nada pode ser
intelectualmente um problema, se não tiver sido, em primeiro lugar, um
problema da vida prática. As questões da investigação estão, portanto,
relacionadas a interesses e circunstâncias socialmente condicionadas. São
frutos de determinada inserção no real, nele encontrando suas razões e
seus objetivos.
A coleta de dados empíricos ocorreu em duas escolas: uma da rede estadual
de ensino (A) e uma da rede particular (B). A comunidade escolar apresenta
características distintas no que se refere à classe sócio-econômica, como também
as suas propostas pedagógicas.
Na escola A, o espaço físico é bastante amplo possibilitando o atendimento
dos alunos nos três turnos. A necessidade atual, em termos de ambiente físico, é a
construção de mais uma sala para vídeo e de uma quadra coberta para as aulas de
Educação Física além de ser utilizada para a realização de alguns eventos que
acontece no decorrer do ano letivo.
32
No período matutino, estudam alunos de primeira a oitava série ensino
fundamental; no turno vespertino, as aulas são destinadas aos alunos da terceira
série do ensino médio; à noite todas as séries do ensino médio. Atende um total de
1.196 alunos, conta com 58 funcionários, dos quais 46 são professores.
Tem como objetivo oferecer à comunidade uma escola organizada, aberta ao
diálogo, de forma que pais, professores e alunos possam apresentar propostas e
alternativas, visando propiciar uma educação que contribua para uma sociedade
mais justa que assegure aos cidadãos uma vida produtiva, digna e respeitada.
Seu
projeto
político
pedagógico
define
sua
proposta
como
sócio-
interacionista. Destaca como aspecto positivo:
ϖ É um caminho para se conquistar maior autonomia na tomada de
decisões.
ϖ
É um instrumento a mais para auxiliar na formação de um cidadão
consciente de seus direitos e deveres.
ϖ É planejado com o objetivo de se transformar a realidade.
Como aspectos negativos:
ϖ Uma das dificuldades encontradas na organização do Projeto Político
Pedagógico (P.P. P) é a participação “efetiva” de todos os segmentos.
ϖ Um paradoxo entre a autonomia da escola para a tomada de decisões
e a lei de diretrizes e bases.
Escola B, menor que A, possui 605m2 de área construída e coberta, possui
um parque infantil ao lado, quadra esportes em construção, laboratório de ciências e
de informática, biblioteca e sala de artes.
A escola funciona nos três turnos oferecendo ensino em todos os níveis da
educação básica: educação infantil, ensino fundamental de primeira a oitava série,
33
além de educação de jovens e adultos (ensino fundamental e médio). Conta com 27
professores e pessoal técnico administrativo para atender os e 230 alunos.
Quanto à proposta de trabalho, é dito que os conteúdos curriculares estão
condizentes com o momento atual da educação, o que tem exigido novos
conhecimentos e aperfeiçoamento dos professores.
As premissas fundamentais para a articulação dos saberes das diversas
áreas do conhecimento escolar, nesta proposta curricular, indicam para uma
aprendizagem significativa e funcional. Apontam para um conjunto de situações
didáticas que enriquecem o cotidiano de sala de aula, pois, instigam a curiosidade,
possibilitam a investigação e propiciam a articulação dos conteúdos.
De
acordo
com
Proposta
Pedagógica
da
escola:
“Privilegiamos
o
desenvolvimento cognitivo, que entendemos como raciocínio, capacidades de
decisão, habilidades de linguagem e representação, desenvolvimento moral, valores
e crenças, desenvolvimento sócio-afetivo (auto-estima, empatia e relações
interpessoais)”.
As formas e os estilos de ensinar e aprender, estabelecidas na proposta
pedagógica, enfatizam um contexto de trabalho em sala de aula que estimula a
atividade intelectual, estabelecendo conexões com a realidade vivida. Dessa forma,
as relações humanas ocorrem em um ambiente educativo que propicia e respeita o
desenvolvimento social, afetivo e intelectual de quem aprende.
O P.P.P. é um documento norteador que traduz a filosofia da escola. Sua
produção foi baseada nos interesses educativos de toda comunidade escolar.
È, pois, no contexto dessas duas escolas que foi buscado os dados sobre as
dificuldades encontradas pelos alunos da primeira série do ensino médio com a
fórmula de Bhaskara. Também, foi alvo a metodologia de ensino adotada pelos
34
professores de matemática tanto para a discussão da referida fórmula quanto para a
superação das dificuldades.
35
4 AS DIFICULDADES DOS ALUNOS COM A FÓRMULA DE BÁSKARA
Neste capítulo é
apresentado
o entendimento que os
professores
entrevistados têm das dificuldades dos alunos em relação à fórmula de Bhaskara.
Também, explicitará as dificuldades dos alunos da primeira série quando usam a
referida fórmula para resolver equação do segundo grau.
4.1 A percepção dos professores
No questionário aplicado e respondido por dois professores (um e dois) de
uma escola estadual (A) e um professor (três) de escola particular (B), pôde-se
elencar algumas características pessoais e profissionais. Apenas o professor da
escola B não é licenciado em Matemática, mas em disciplinas afins (Química e
Física), possuindo cinco anos de atuação na área. Os professores (um e dois) da
escola A possuem, respectivamente, dez e vinte anos de atuação no ensino de
Matemática.
Todos, em seu tempo de estudante, se identificaram com algum professor
relacionado à área de cálculo e, atualmente, ainda são referências para a sua
prática pedagógica. Dos três professores, um continua com o mesmo interesse, sem
ressalva alguma, pela docência e pela matemática.
Sim, me sinto bem em ajudar e ensinar os outros. (Professor três).
O Professor um também não perdeu o interesse pelo ensino da Matemática,
porém apresenta ressalva:
Quando me refiro aos alunos, porém há muitas coisas que me decepcionam.
36
Por sua vez, o Professor dois responde negativamente, o que significa sua
insatisfação com a profissão de “professor de Matemática”, como explicita em sua
fala, a seguir:
Não, hoje a maioria dos alunos do ensino médio estadual, não tem base, não
tem limites, muito pouca aula de Matemática para poder atingir os objetivos.
Questionados sobre quais eram as dificuldades dos alunos ao usar a fórmula
de Bhaskara, um professor da escola A e o da escola B responderam que a maior
dificuldade está na compreensão e/ou interpretação da mesma. Enquanto o outro
professor da escola A (aquele que possui o maior tempo de serviço) identificou como
sendo a dificuldade dos alunos com as regras de sinais e potenciação.
De um modo geral, na visão dos professores, os alunos encontram
dificuldades na compreensão da fórmula de Bhaskara porque não tiveram uma boa
base da Matemática elementar. Isso se confirma na similaridade das respostas do
professor (dois) e do professor (três) ao dizerem que o problema se deve a falta de
base nos números inteiros (regra de sinais) e potenciação. O professor (um) disse
que o problema é gerado pela “falta de atenção (falta de interpretação).”
Embora a pergunta feita aos professores não explicitasse a necessidade de
exemplificar as dificuldades dos alunos, mesmo assim tinha a expectativa de que
eles indicassem ou pontuassem alguns dos equívocos dos alunos. Dessa forma, não
é possível fazer uma interpretação, aqui, do significado quando da expressão “falta
de base nas regras de sinais” e “potenciação” expressa pelos professores.
Com base na vivência de sala de aula, é perceptível a concordância com a
professora quando diz que os alunos interpretam cada vez menos. Eles pensam que
os cálculos não requerem interpretação. Isso é um erro terrível, o que leva, muitas
vezes, os estudantes a cometerem equívocos conceituais e de procedimentos de
37
cálculos matemáticos no uso da fórmula, como também não conseguem resolver
problemas simples para o nível de ensino que freqüentam.
Um outro questionamento feito aos professores se refere às medidas que
propõem quando o aluno não consegue aplicar a fórmula de Bhaskara para a
resolução de situações problemas. As respostas foram:
ϖ Professoras da escola A
1. Explica a ”fórmula detalhada (novamente) e interpretando o problema”.
2. No ensino médio, procura “dar um reforço, explicando novamente”.
ϖ Professor da escola B
Mostra “na prática o uso da mesma e recorre à história da matemática para
explicar o seu surgimento”.
Da falas dos professores, percebe-se que, cada qual a sua maneira, procura
sanar as dificuldades dos alunos. Porém, ainda é muito forte a repetição dos
procedimentos convencionais como de “explicar” várias vezes o caminho trilhado
que gerou a dificuldade ou erro cometido pelo aluno. A preocupação maior é com a
memorização dos passos a seguir no uso da fórmula do que com a elaboração das
idéias conceituais envolvidas.
De acordo com Micotti (sd, p. 66):
O pensamento lógico matemático ultrapassa a realização de exercícios
restritos com objetos, restritos a algumas situações particulares. Pressupõe
atividades em diferentes contextos e momentos, orientadas pelas
necessidades cognitivas do sujeito.
Tal atitude didático-pedagógica dá pistas para inferir a ausência em sala de
aula de momentos de discussão sobre os caminhos tomados pelo aluno que o levou
a criar uma lógica equivocada a respeito do conceito. Não há, pois, uma formação
recíproca – professor/aluno – de que a formação de um pensamento conceitual gera
conflitos cognitivos que, muitas vezes, só são superados em um processo de
38
análise/síntese de situações diversificadas de aprendizagem. Como diz Vygotski
(1995), toda a passagem de um nível de pensamento conceitual para outro é
sempre conflitiva.
Contudo, em se tratando de aluno do ensino médio, outras questões se
apresentam como intervenientes na produção das dificuldades em lidar com a
fórmula de Bhaskara, tais como: fatores emocionais, interesse por outras disciplinas
em detrimento pela matemática, poucas condições para se dedicar aos estudos,
entre outras.
Além disso, parece importante destacar que nesse nível de ensino uma
condição deve estar presente no aluno: querer e vontade de aprender matemática e
superar suas dificuldades. Como diz Lorenzato (2006), “para aprender precisa o
ponto de interesse”. Nesse sentido, a responsabilidade é delegada também aos
professores. Será que está se despertando o interesse necessário? Por sua vez,
Medeiros (sd, p. 25) diz que “para aprender compreensivamente, criando
Matemática, é preciso querer aprender, propor a si mesmo problemas”.
As preocupações dos professores trazem a crença de que a ordenação das
operações a serem realizadas no emprego da fórmula de Bhaskara é suficiente para
os alunos atribuir-lhe significado e sentido. Isso passa ser a garantia de que a única
forma de ensinar é “explicar”, o que o aluno tem que fazer com a fórmula e a
aprendizagem ideal se daria imediatamente. Como isso, pode ocorrer com ou outro,
eles passam a ser o indicativo da ocorrência de aprendizagem e da eficiência do
ensino. A maioria que não aprendeu passa ser considerada como possuidora de
inaptidão para a matemática, restando-lhe a conivência com algumas repetições das
explicações.
39
Nesse contexto de compreensão do processo de aprender e ensinar
matemática, no qual se insere o ato de lidar com a fórmula de Bhaskara, exime-se a
vivência de outras situações pedagógicas que atenda expectativas e peculiaridades
de aprendizagem de maior número de alunos. Há de se concordar com Medeiros
(sd, p.25) quando diz:
Buscar com alunos caminhos ainda não trilhados, e não apenas os já
constantes na memória do professor, poderia propiciar um aprendizado
mútuo, mais verdadeiro e mais próximo do ato de criação matemática. Isto
não exclui, no entanto a possibilidade de estudo compreensivo de
situações matemáticas já resolvidas.
4.2 Os alunos do ensino médio:: seus erros e dificuldades com a fórmula de
Bhaskara
Nessa seção, é apresentado os erros e/ou as dificuldades dos alunos da
primeira série do ensino médio ao utilizar a fórmula de Bhaskara para resolução de
equações e problemas do segundo grau.
Na evidenciação, e análise, dos dados foram adotados os seguintes critérios
relativos aos erros cometidos: equação completa com todos coeficientes positivos,
equação completa com todos coeficientes negativos, equação completa com todos
coeficientes positivos, equação completa com apenas um dos coeficientes positivos
e equação completa com um dos coeficientes negativos. Em cada um desses
critérios foi explicitado os erros cometidos em cada um dos termos da fórmula, como
também o valor do ∆ (na relação maior, menor e igual a zero).
Na entrega das atividades para os alunos da escola B, a primeira a ser
coletado os dados, para os seis alunos que se faziam presentes em sala de aula
naquele dia, eles alegaram não conseguir resolver nenhuma das equações. Diante
dessa ocorrência, por sugestão do orientador, foi exposta a fórmula de Bhaskara no
40
quadro. A mesma atitude foi tomada com os alunos da escola A. A partir daí é que
os alunos passaram a resolver as atividades propostas, embora insistiam no uso da
calculadora que não foi permitido, pois se pretendia analisar os seus possíveis
equívocos entre os quais os sinais e os cálculos necessários na manipulação da
fórmula.
Na Escola A, ao entregar as atividades para os 32 alunos, imediatamente,
alguns deles comentam: “aquele do delta”.
4.2.1 Resoluções das equações completas do 2º grau.
Na maioria das equações propostas aos alunos, os cálculos foram somente
até a determinação do valor do ∆ (∆ = b2 – 4ac).
Um aluno da escola B não resolveu completamente nem uma das equações,
ficando as resoluções que davam o ∆. Outro nem com a fórmula exposta no quadro
não conseguiu resolver nenhuma das atividades propostas.
Na escola A:
Os alunos da escola A, procuraram resolver a maioria das atividades
propostas. Um aluno tentou resolver as três primeiras equações da atividade
proposta. Outros dois alunos tiveram a iniciativa, porém, sem grades êxitos, de
resolver as quatro primeiras equações.
Depois disso, contou-se com 29 dos 32 alunos para a efetiva análise de
dados. Eles insistiam no uso da calculadora que não foi permitido, pois se pretende
analisar seus conhecimentos.
41
4.2.2 Equação: ax2 + bx + c = 0, ou seja, x2 +7x + 10 = 0
Nesse tipo de equação em que todos os coeficientes são positivos, dois
alunos da Escola B fizeram os cálculos completos das operações indicativas na
fórmula. Um deles errou apenas o sinal (que seria negativo) do valor de x“. O outro
também errou em x” por esquecer sinal e subtrair quando deveria ter adicionado, por
se tratar de uma adição de dois números negativos.
Os alunos da Escola A apresentaram o seguinte desempenho: quatorze
chegaram ao resultado correto; dezoito não acertaram o resultado da equação, pois
um errou o sinal de x’, sete errou o sinal em x” e sete o sinal de x’ e x”; um aluno fez
x’ como subtração e x” como adição, dois erraram a resolução da equação.
1 cálculo do valor de ∆ (delta)
Dos 32 alunos, 31 deles resolveram delta corretamente, um aluno errou o
sinal do resultado ao fazer a subtração de b2 por –4ac.
2 Extração da raiz
O aluno que errou o valor de delta, citado anteriormente, obteve um resultado
negativo. Em seguida, extraiu a raiz quadrada como se fosse um número positivo.
Foi indiferente para o fato de não se ter uma raiz no campo dos números reais.
3 O resultado do denominador em 2a
O aluno mencionado resolveu corretamente.
4.2.3 Equação: – ax2 – bx – c = 0, ou seja, – x2 – 7x – 10 = 0
A equação dada tem o mesmo valor absoluto dos coeficientes da anterior,
mudando o sinal para negativo. Na Escola B, três alunos resolveram completamente
42
a equação mas, somente um deles chegou no resultado ainda com sinal oposto, ou
seja, positivo em vez de negativo.
Na Escola A: sete alunos resolveram corretamente a equação, outros
dezesseis acertaram parcialmente. Destes, oito alunos erraram o sinal x’ e x”, por
colocar o valor de do coeficiente “a” em 2a (denominador da fórmula) positivo em de
negativo. Um aluno errou o x’ e x” por erro de subtração. Outros quatro erraram
porque no termo –b da fórmula não inverteram o sinal uma vez que o valor de b na
equação era negativo. Dois alunos encontraram x’ e x” invertido, sendo um com os
valores absolutos dos algarismos corretos. Oito alunos erraram completamente a
resolução da equação.
1 Estudo de ∆
Dos alunos da Escola B, dois acertaram e dois cometeram erros de sinais.
Por sua vez, entre os alunos da Escola A: dos oito alunos que erraram a equação,
apenas dois resolveram corretamente o valor de delta mas, um deles não extraiu sua
raiz ao aplicá-lo na fórmula. Os demais tiveram erro de subtração em delta; dois
alunos encontraram o valor de delta negativo.
2 Termo b2
Os alunos da Escola B: três resolveram corretamente; um cometeu erro de
sinal na potência; dois calcularam corretamente; outros dois acertaram o valor
numérico em termos absolutos mas, erraram sinal, sendo que um deles substituiu o
valor b positivo, em de negativo. Quanto ao desempenho dos alunos da Escola A:
um aluno encontrou resultado negativo ao efetuar b2 e apresentou erro de subtração;
também, um aluno errou o valor de delta por multiplicar a base pelo expoente em b2.
43
3 Termo: –4ac
Dos procedimentos adotados pelos alunos da Escola B para determinar o
valor do termo –4ac, observou-se que: dos dois que erraram o valor de delta, um
cometeu erro de multiplicação (sinal) no referido termo e outro de subtração. Este,
em vez de subtrair como havia indicado no resultado, acabou adicionando,
conseqüentemente, obteve uma raiz não exata. Nem um destes alunos usaram
parênteses para separar sinais de multiplicação e divisão.
O desempenho dos alunos da Escola A é traduzido quantitativamente assim:
Um aluno errou o produto mesmo substituindo corretamente os valores de a e c da
equação em –4ac. Em outras palavras, erro de tabuada; outros, em número de dois,
o sinal do produto. Os demais resolveram corretamente a equação.
4 Extração da raiz
Dos alunos da Escola A, vinte e quatro realizaram extração da raiz
corretamente; quatro não chegaram a extrair a raiz; dois alunos deram como raiz o
próprio número. Exemplo:
9 = 9 ; conseqüentemente, erraram o valor de delta. Os
dois alunos que encontraram delta negativo extraíram a raiz normalmente, ignorando
o sinal.
5 Em 2a:
Quanto aos alunos da Escola A: dos quatro que erraram a equação, apenas
um identificou o coeficiente “a” como negativo. Os outros três ignoraram o sinal.
44
4.2.4 Equação: – ax2 + bx + c = 0, ou seja, – 2x2 + 2x + 24 = 0
Observa-se que a equação tem o valor negativo para o coeficiente “a” e os
demais positivos, porém continuando todos os números inteiros.
Na resolução da equação com tais características recorrendo ao uso da
fórmula de Bhaskara, os alunos da Escola B apresentaram o seguinte desempenho:
dois só determinaram o valor de ∆; um acertou a equação por acaso, pois, ao copiála no verso da folha para resolver, escreveu o coeficiente “a” positivo em vez
negativo.
Para indicar a atuação dos alunos da Escola A, a partir deste ponto da
pesquisa, serão considerados trinta e um alunos, pois um deles não resolveu mais
nenhuma atividade. Na equação em foco: nove alunos resolveram-na corretamente
e um deles acertou x’ e x”, mas considerou o valor de “a” positivo que era negativo.
Além disso, oito resolveram corretamente somente parte da equação, sendo que:
cinco erraram o sinal do valor de x’; dois por não considerar o sinal em – b no
momento de proceder a soma algébrica com a raiz de delta para chegar ao valores
x’ e x”, fazendo com que
ficassem com sinais opostos. Dez alunos erraram a
resolução da equação, quatro interromperam a resolução em delta, destes somente
um deles chegou ao valor correto do mesmo.
1 Estudo do ∆.
Somente um aluno da Escola B acertou o valor de ∆. Enquanto na Escola A:
seis alunos apresentaram erro no valor em referência, um na somar b2 com – 4ac e
um não conclui os cálculos.
45
2 Termo –b,
O equivoco foi cometido por um aluno da Escola B que usou b e não –b. Em
A, todos empregaram os sinais corretamente.
3 Em b2
Na escola B ocorreu que: três alunos substituíram b, como sendo positivo, um
apresentou direto o resultado de b2. Já na Escola B, até os seis alunos que não
obtiveram o valor correto de delta, encontraram a potência b2 acertadamente.
4 Em – 4ac.
Dois alunos de B erraram o sinal do produto e do valor numérico. Os alunos
de A, três alunos erraram o produto e um o sinal.
5 Extração da raiz
Os equívocos ocorreram por parte de dois alunos da Escola A. Um que
colocou o resultado da raiz dentro do radical novamente e usou este valor como
resultado da nova raiz, assim: ∆ = 196 ⇒
∆ = 196 = 14 = 14 , procedimento
adotado em todas as equações por ele resolvidas. Outro, em – b ± ∆ , não fez a
extração da raiz de delta, usando o valor do mesmo na continuidade da resolução da
equação.
6 Em 2a, a = – 2
Em A: dezoito alunos chegaram ao produto esperado; sete alunos ignoraram
o sinal negativo de a; três não usaram esse termo fórmula; dois consideraram a = 1;
e um aluno considerou a = 5.
46
4.2.5 Equação: ax2 – bx – c = 0, ou seja, – x2 – 3x – 40 = 0
Observa-se que essa equação tem para o coeficiente “a” um valor positivo,
enquanto “b” e “c” são negativos.
Os alunos da Escola B essa equação não foi resolvida até sua fase final por
nenhum aluno. Na Escola A foram computados trinta alunos, pois um resolveu
somente as três primeiras atividades e um outro não resolveu esta equação. Entre
os demais: quatorze chegaram à resposta correta; nove desenvolveram a fórmula,
mas erraram o sinal do valor de x”; cinco cometeram vários erros, por conseqüência,
as raízes não eram as corretas; dois alunos pararam a resolução em delta e erraram
o valor do mesmo.
1 Estudo do ∆
Nenhum um aluno em B acertou o valor de ∆. Por sua vez, em A: vinte e cinco
chegaram ao valor de delta corretamente. Dois acertaram por acaso, pois erraram o
sinal de multiplicação e ao realizar ∆ = 9 – 160, fizeram ∆ = 169. Um outro cometeu o
mesmo erro, deixando ∆ = 151.
2 Em b2
Um da Escola B substituiu o valor de b corretamente mas, elevou a potência
4, em vez de 2, os outros dois substituíram o valor de b como positivo. Somente um
aluno definiu o resultado de b2 como negativo. Os procedimentos dos alunos da
Escola A mostram que: dois deles colocaram o valor de b entre parênteses por ser
negativo, um ignorou o sinal negativo de b, elevando apenas o valor absoluto de b
ao expoente dois e outro colocou o valor de b2 direto na fórmula.
47
3 Em –4ac
Os alunos da Escola B tiveram o seguinte desempenho nessa operação: dois
erraram o sinal do produto, um deles por usar c positivo; outro não obteve o
resultado correto. Na escola A: dois alunos encontraram o produto – 4.1.(– 40) = 160
como 80. Um aluno encontrou +80 e somou este a b2, encontrando delta positivo
com raiz não exata. Houve também um produto –80 que subtraído de b2, resultou
em um valor negativo para delta, sem raízes no conjunto dos números reais. Ainda,
um aluno em vez b2 – 4ac (diferença entre dois termos), fez b2.4ac (multiplicação),
obtendo um valor bem abaixo com o condizente.
4 Extração da raiz
A única ocorrência em B foi que um aluno ao resolver b2, soma a 4 e
multiplica o resultado por ac. Entre os alunos de A ocorre: dois determinaram o valor
da raiz, parando a resolução em delta; um aluno definiu delta como o valor de sua
raiz, assim em vez de ∆ = 169, fez.∆ = 13 . O aluno mencionado anteriormente, o que
encontrou – 80 em –4ac, encontrou ∆ = −71 e, ao buscar
∆ , ignorou o sinal e
definiu o radicando como raiz.. Por fim, um aluno definiu 169 como sendo 84.
5 Em 2a, a = 1
Todos os alunos, das duas escolas, que chegaram nesse ponto da fórmula
da referida equação, determinaram o produto 2a corretamente.
4.2.6 Equação: ax2 – bx + c = 0, onde ∆ = 0, ou seja, 4x 2 – 12x + 9 =0
Um aluno da Escola B nem se quer iniciou a resolução dessa equação.
Também, da Escola, houve alteração no número de alunos – vinte e nove - que
48
passaram a resolver as atividades, pois, como mencionado anteriormente, um aluno
resolveu apenas as duas primeiras equações propostas e outros dois as quatro
primeiras. A performance dos alunos de A nessa equação foi: seis resolveram
corretamente a equação, sendo x’ e x” um valor fracionário, um aluno efetuou a
divisão e deu a resposta em número decimal, os demais simplificaram e apenas um
identificou que ∆=0, então x’=x”. Cinco chegaram no resultado correto mas, não
fizeram a simplificação em x’ e x”. Seis alunos resolveram corretamente, mas
resolveram apenas x, não identificaram nem como x’ e x”, também não identificaram
que x’=x”, quando ∆=0. Outros seis resolveram até o valor de delta, sendo um com
acerto. Também seis erraram a resolução da equação.
1 Estudo do ∆.
Três alunos da Escola B chegaram a um valor de ∆, porém, somente um de
forma correta. Vinte e três alunos de A determinaram o valor de delta corretamente.
2 Em b2
Dos dois de B que erraram o valor de ∆, um percebeu que b era negativo e
colocou entre parênteses. Entretanto, ambos não determinaram o valor exato da
potência ou erraram na multiplicação. Quanto aos procedimentos dos alunos de
Escola A: Três colocaram o valor de b entre parênteses; dois multiplicaram a base
pelo expoente; um encontrou (– 12)2 = 264; um aluno colocou direto o valor de b2.
3 Em –4ac.
O produto dessa multiplicação não foi obtido corretamente pelos alunos de B.
O mesmo ocorreu com três alunos de A. Nessa escola (A) também ocorreu que dois
49
sujeitos inverteram o sinal do resultado e um considerou a = 1, quando a = 4.
4 Extração da raiz
Os alunos de B continuam com os equívocos apontados nas equações
anteriores. Em relação aos alunos de A: sete não realizaram a extração da raiz de
delta; dois alunos extraíram a raiz, com o entendimento errôneo de divisão por 2.
5 Em 2a, a = 4
Apenas um aluno de A não percebeu a = 4, considerando a = 1.
4.2.7 Equação: ax2 – bx + c = 0, onde ∆ < 0, ou seja, 5x2 – 2x + 1 = 0
No que se refere à Escola B: um aluno não resolveu a equação, outro acertou
todos os passos, mas errou sinal de delta que em vez negativo apresentou positivo;
dois alunos desenvolveram completamente toda a equação e não identificaram ou
perceberam que não seria possível, pois deveriam extrair uma raiz quadrada de
radicando negativo.
Na Escola A, a partir desta equação, dos vinte e nove alunos, restaram vinte e
quatro para análise, pois cinco deixaram de desenvolver as atividades. Assim:
quatorze chegaram à solução de delta, um deixou em branco; um acertou todos os
passos, mas errou o sinal, não percebeu que era negativo; dois desenvolveram
completamente toda a equação e não identificaram a impossibilidade de extração da
raiz no campo dos reais.
1 Estudo do ∆
Os alunos de B que ainda estavam dispostos a desenvolver as atividades não
50
acertaram o valor de ∆. Na Escola A foi extraído os seguintes dados: dez alunos
erram a solução, destes, sete chegaram a um valor de delta como positivo e,
erradamente, deram continuidade à resolução da equação; um aluno encontrou o
valor de delta corretamente e substituiu em x =
−b± ∆
e parou a resolução por aí;
2a
somente um errou o valor absoluto de delta, dois extraíram a raiz como sendo o
próprio número; um aluno obteve o valor correto por acaso, pois não elevou o sinal
de b à potência e errou o sinal ao multiplicar – 4ac; outro faz:
4 –20 =16, erro de
sinal na adição.
2 Em b2
Entre os alunos de B: um deles resolveu direto a potência e dois não
perceberam que b era negativo, ignorando o sinal. O desempenho de dos alunos da
Escola A traduz-se: dois elevaram o valor de b ao expoente dois e ignoraram o sinal
negativo do coeficiente, permanecendo o mesmo após o cálculo da potência; os
demais determinaram a referida a potência corretamente.
3 Em –4ac.
Dois da Escola B determinaram acertadamente o produto, mas erraram o
valor da diferença b2 – 4ac; o equívoco de outro foi adicionar 4 ao b2 e multiplicar o
resultado por a c. Em A, o deslize foi único em: – 4 . 5 . 1 = + 20.
4 Extração da raiz
Somente em A que: um aluno identifica a não existência de raiz negativa de
índice par, entretanto, sua justificativa é equivocada: “Incompleta (não existe raiz
51
negativa)”; e nenhum um aluno identificou que a equação não possuía solução no
conjunto dos números reais.
5 Em 2a, a = 5
Dos sete alunos que deram continuidade na resolução da equação, um
ignorou o a = 5, considerando a = ∆ .
4.2.8 Equação com coeficiente fracionário, ou seja, 2 x 2 −
3x 1
+ =0
2 4
Nem um aluno da Escola B tentou resolver a equação. Em A, reduz
drasticamente a participação dos alunos. Dos vinte e quatro alunos, vinte nem se
quer tentaram resolver a equação. Desses quatro: um resolveu corretamente, até
determinou o mínimo múltiplo comum dos denominadores dos coeficientes
fracionários; um obteve o valor do delta, mas trabalhou com coeficiente fracionário;
outro apenas substituiu os coeficientes em delta; um aluno determinou o mínimo
múltiplo comum apenas d denominadores dos coeficientes b e c que eram
fracionários.
4.2. 9 Resolução das equações incompletas.
Nas equações do segundo grau incompletas, poucos dados podem ser
evidenciados, pois somente um aluno da Escola A é que tentou resolver duas das
quatro que foram propostas. Uma delas, do tipo –ax2 + c = 0, ele identificou os
coeficientes a, b e c como sendo todos positivos e ao calcular ∆, admitiu sua raiz
como possível mesmo que tenha encontrado negativo. A equação do tipo
ax2 – bx = 0, também identificou os coeficientes e resolveu corretamente, aplicando
a fórmula de Bhaskara.
52
4.2.10 Resolução dos problemas
Somente alunos de A, com exceção de um, é que se propuseram a
equacionar e resolver os problemas indicados: um deles chegou à solução
esperada; outro chega a um resultado incorreto do primeiro problema proposto;
também, um aluno apenas fez cálculo de soma no segundo e terceiro problemas e
no quarto problema só colocou uma resposta não correta. Ainda, um deles só
colocou a resposta no primeiro e segundo problemas, deixando o terceiro sem
nenhum procedimento de resolução; no quarto problema, ele apenas apresentou o
algoritmo da divisão da medida da área do canteiro por quatro, para indicar o lado
deste.
53
5. ANÁLSE CONSIDERAÇÕES FINAIS
Comparando-se desempenho dos alunos das escolas A e B, sujeitos do
presente estudo, concluiu-se que as dificuldades, geradoras de erros, com a fórmula
de Bhaskara são as mesmas, nos seguintes aspectos:
•
O sinal em –b, quando o coeficiente b da equação é negativo;
•
No cálculo da potência em b2, multiplicam a base pelo expoente;
•
Regra de sinal das operações matemáticas;
•
Na extração da raiz quadrada, dividem o radicando por 2;
•
Em 2a, esquecem de não observam quando o coeficiente “a” é negativo, ou não
percebem quando a ≠ 1.
Chama a atenção, por suas evidências escancaradas, as dificuldades dos
alunos em lidar com os números fracionários, basicamente eles os abominam em
seu repertório matemático.
Também, é extrema a dificuldade deles na interpretação e na resolução dos
problemas. Uma análise mais apurada não foi possível ser realizada, pois, foi
insignificante o número de alunos que se dispuseram iniciar a resolução dos
problemas apresentados.
Outro dado que merece ser destacado é o desempenho pouco alentador
dos alunos da escola particular se relacionado com os alunos da escola pública.
Caso dependesse da amostra da presente pesquisa, cairia por terra a idéia de que o
ensino de matemática da escola particular é de melhor qualidade.
As dificuldades dos alunos não são produzidas somente no ensino médio,
elas vêm desde as séries iniciais do ensino fundamental. No decorre dos anos
escolares, antecedentes, foram se acumulando e, têm seus reflexos nos erros
54
cometidos ao desenvolver os procedimentos de cálculos numéricos e algébricos,
referentes a fórmula de Bhaskara para a determinação das raízes das equações do
segundo grau. Por sinal, erros que, a primeira vista seriam inadmissíveis para alunos
de primeira série do ensino médio.
Os erros que eles cometem - por mais elementares que pareçam, pois,
referem-se aos cálculos básicos das operações aritméticas e com os sinais
numéricos de relatividade – são manifestações de dificuldades, conseqüentemente,
conforme Vergnaud (apud GRANDO, 1995, p. 111), de obstáculos.
Uma dificuldade constitui-se um verdadeiro obstáculo, quando há uma
concepção a superar, quando há uma contradição entre a concepção
antiga a rejeitar e a concepção nova a assimilar. O autor mostra a
importância da distinção entre obstáculos e dificuldades para a didática,
para que o professor não adote a mesma estratégia didática, para que o
professor não adote a mesma estratégia didática em relação aos
verdadeiros obstáculos e em relação às outras dificuldades conceituais. Ele
atinge dois tipos de dificuldades: aquelas em que “existem saltos do
pensamento, sem que esses saltos entrem violentamente em contradição
com as concepções e as competências anteriormente formadas”: e outras
que “formam obstáculos epistemológicos importantes e duráveis”, os quais
precisam ser analisados “para mudar de concepção e compreender a
relação da concepção nova a formar com a concepção anterior”.
É visível o pouco domínio dos alunos do conhecimento de número. Para
eles, números são apenas os naturais. Isso fica evidente quando vão identificar o
valor dos coeficientes da equação para posterior substituição na fórmula de
Bhaskara. O olhar dele é apenas para o signo numérico enfatizado em todas as
séries do Ensino Fundamental como relacionadas ao ensino fundamental. É essa
percepção que cria um certo obstáculo, para o aluno estar admitindo a existência de
números com sinais (relativos), mesmo fracionário, irracional e real.
Como conseqüência, no uso da fórmula de Bhaskara, alunos, mesmo no
ensino médio, acabam por não usar os sinais de relatividade dos coeficientes ao
substituí-los na fórmula.
55
Entretanto, esses erros, com os sinais que se manifestam no processo de
aprendizagem dos alunos, também ocorreram no processo de histórico de produção
do conceito de números inteiros relativos. De acordo com Baldino (1990, p. 4), as
dificuldades de compreensão dos números inteiros relativos são antigas. São
carregadas de hesitações e perplexidades, mesmo por matemáticos famosos, que
usavam os referidos números com brilhantismo mas, buscavam em vão explicações
convincentes para as regras de sinais.
Isso significa dizer que não há razão para que muitos professores, dos
diversos níveis de ensino, ficarem em um jogo de empurra para justificar as
deficiências na formação matemática dos alunos, que se explicita nas dificuldades e
erros no momento da resolução de uma equação do segundo grau.
Além do entendimento de que as dificuldades dos alunos se equiparam
àquelas produzidas na história da produção do conhecimento, um outro aspecto que descaracteriza a relação de acusação entre os professores dos diferentes níveis
de ensino de se eximirem da responsabilidade – é a forte concepção de ensino
aprendizagem disseminadas pelos matemáticos. Nesse sentido, Scandiuzzi (2006)
esclarece:
Desde os anos de 1960 – creio que antes também - os matemáticos têm se
preocupado em ‘recuperar’ a matemática. Para eles o ensino da
matemática não tem sido rigoroso como deveria, e a culpa recai nos
professores do ensino fundamental e médio pela transmissão não ‘correta’
deste campo do conhecimento. A matemática moderna foi um período de
muita rigorosidade e, até nos dias de hoje, percebemos a conseqüência de
tanta aversão pela matemática por alunos daquela época.
Contudo, não se pode deixar de atribuir ao professor a responsabilidade de
buscar alternativas que contribuam para um ensino efetivo dos conceitos
matemáticos.
Como diz Silver a aprendizagem pode ser recebida por vários
recursos como: visual, auditivo, olfativo, auditivo-visual, motor (fazendo, tocando,
experimentando, ...).
56
Isso também é válido para a escola de ensino médio e também fundamental
(5ª a 8ª série) em que os alunos apenas vêem e ouvem para depois, de uma forma
mecânica, repetir o que lhes fora ensinado. Muitos alunos chegam ao ensino médio
sem vivenciar as quatro primeiras etapas do processo de aprendizagem da
matemática mencionadas por Dienes.
Também, não se pode deixar de atribuir à indiferença e indisposição de
alguns alunos para o enfrentamento de suas dificuldades. Como se trata de alunos
do ensino médio, o pressuposto é de que eles teriam condições de iniciativas
próprias para dedicarem-se aos estudos e, conseqüentemente, há a superação dos
seus obstáculos em relação à aprendizagem da matemática.
57
REFERÊNCIAS
BALDINO, Roberto Ribeiro. Sobre a epistemologia dos números inteiros. In:
Educação Matemática em Revista. Blumenau, SC: ESBEM, número 5, ano 3,
outubro de 1990.
BRESSAN, Carla Rosane. BRAZ, Ricardo Fernandes (orgs.) Tempo de aprender 2:
subsídios para as classes de aceleração de aprendizagem e para toda a escola.
Florianópolis: DIEF,2002. 76 p.
CARAÇA, Bento de Jesus. Conceitos Fundamentais da Matemática. Lisboa: Sá
da Costa, sd.
D’AMBROSIO, Ubiratan. Ação pedagógica e Etnomatemática como marcos
conceituais para o ensino de Matemática. In: BICUDO, Maria Aparecida
Viggiani.(Org.) Educação Matemática. São Paulo: Moraes, sd.
GIOVANNI, JOSÉ RUY, Castrucci, Benedito, Jr, José Ruy Giovanni. A conquista
da matemática. São Paulo: FTD, 1998
DIENES, Zoltan Paul. As seis etapas do processo de aprendizagem em
matemática (tradução: Maria Pia Brito de Macedo Charlier e René François Joseph
Charlier) São Paulo, EPU; Brasília, INL, 1975. 72p. ilust.
DROUET, Ruty Caribe da Rocha. Distúrbios de aprendizagem. São Paulo: Ática ,
1990.
GRANDO, Neiva Ignês. Dificuldades e obstáculos em educação matemática.
Espaço Pedagógico. Passo Fundo, RS: UPF, v.2, n.1, p.109 – 122, dez. 1995.
GARCIA, Jesus Nicasio. Manual de dificuldades de aprendizagem:
linguagem,leitura, escrita e matemática (tradução: Jussara Haubert Rodrigues) Porto
Alegre: Artes Médicas, 1998.
GUELLI, OSCAR. Contando a história da matemática: história da equação do
segundo grau. V.3. Ática
LAKATOS, Eva Maria, Marconi, Marina de Andrade. Metodologia científica. São
Paulo: Atlas, 1986
LIMA, Lauro de Oliveira. Piaget para principiantes (direção da coleção de Fanny
Abramovich). São Paulo: Sumus, 1980
58
LORENZATO, Sergio. Para aprender matemática. Campinas, SP: Autores
Associados, 2006. (Coleção Formação de professores).
MEDEIROS, Cleide Farias de. Por uma educação matemática com
intersubjetividade. In: BICUDO, Maria Aparecida Viggiani.(Org.) Educação
Matemática. São Paulo: Moraes, sd.
MICCOTI, Maria Cecília de Oliveira. Apenas Tabuadas. In: BICUDO, Maria
Aparecida Viggiani.(Org.) Educação Matemática. São Paulo: Moraes, sd.
MINAYO, Maria Cecília de Sousa (org.) Pesquisa social: teoria método e
criatividade. 16.ed. Petrópolis: vozes,1994. 80p.
OLIVEIRA, Pérsio Santos de Oliveira. Introdução à Sociologia. 19.ed. São Paulo:
Ática, 1999
SCANDIUZZI, Pedro Paulo. A etnomatemática e a formação de educadores
Matemáticos.
Disponível
em:
<http://www.ethnomath.org/resources/brazil/aetnomatematica.pdf> acesso em 10 de dezembro de 2006.
SILVER, Larry B. A criança incompreendida. Rio de Janeiro: Zahar, 1984. 224 p.
VYGOTSKI, L.S. Obras Escogidas III. Madri:Visor, 1995.
Site:
<http://www.netmarkt.com.br/frases/filosofia.html> Acesso em 12 de jun de 2005
59
ANEXO
60
Anexo 1: Questionário para obtenção de dados das escolas.
UNESC - UNIVERSIDADE DO EXTREMO SUL CATARINENSE
CURSO DE PÓS-GRADUAÇÃO ESPECIALIZAÇÃO EM EDUCAÇÃO
MATEMÁTICA
ACADÊMICA – ADRIANA CONCEIÇÃO DE BONA
O presente questionário tem como objetivo a coleta de dados para a pesquisa
intitulada: Dificuldades De Raciocínio Lógico Para Resolver Problemas Matemáticos
1. Direção?
2. Número de alunos da escola?
3. Professores?
4.Quantos turnos?
5. Espaço físico?
6. Proposta da escola?
7. Projeto Político Pedagógico (P.P.P) da escola?
61
Anexo 2: Roteiro de entrevista com os professores
1. Você é licenciado em matemática e, o que despertou seu interesse em
lecionar a disciplina?
2. A quanto tempo leciona?
3. Que professor você teve mais afinidade quando estudante e que disciplina o
mesmo lecionava?
4. Você se parece na maneira de ser da prática pedagógica com seu professor
cuja afinidade era maior?
5. Ainda sente o mesmo gosto em lecionar de quando iniciou na carreira?
Justifique.
6. Quais as dificuldades dos alunos ao usar a fórmula de Bhaskara?
7. Por que, a seu ver, os educandos encontram dificuldades na compreensão da
fórmula de Bhaskara?
8. Que metodologia de ensino você adota na apresentação da fórmula
Bhaskara?
Quais as medidas que você propõe quando o educando não consegue aplicar as
fórmulas de Bhaskara matemáticas para a resolução de situações problemas?
62
Anexo 3: Atividade desenvolvida pelos alunos
UNESC - UNIVERSIDADE DO EXTREMO SUL CATARINENSE
CURSO
DE
PÓS-GRADUAÇÃO
ESPECIALIZAÇÃO
EM
MATEMÁTICA
ACADÊMICA – ADRIANA CONCEIÇÃO DE BONA
EDUCAÇÃO
A presente atividade tem como objetivo a coleta de dados para a pesquisa intitulada:
Dificuldades De Raciocínio Lógico Para Resolver Bhaskara.
1. Resolva as equações completas ou incompletas conforme forem, do 2º grau.
a) 2x2 – 98 =0
f) x2 – 5x + 3 = 0
b) –x2 + 49 = 0
g) –x2 – 9 = 0
c) x2 + 3x – 10 = 0
h) x2 – 8x = 0
d) 64x2 – 1 = 0
i) 9x2 – 5x = 0
e) –x2 – x + 20 = 0
2. Resolva os problemas abaixo:
a) O quadrado da quantia que Carlos possui, aumentado do dobro da mesma
quantia, é igual a R$35,00. Quanto Carlos possui?
b) (Unicamp – SP) Ache dois números inteiros positivos e consecutivos, sabendo
que a soma de seus quadrados é 481?
c) A área de um retângulo é de 84 m2. A medida do comprimento supera em 5 m a
medida da largura. Quais são as dimensões desse retângulo?
63
12
Um jardim, com a forma de um quadrado, foi dividido em três canteiros. Nesses
canteiros serão plantadas margaridas, papoulas e amores-perfeitos, conforme a
ilustração ao abaixo. O canteiro de amores-perfeitos ocupa uma área de 42 m2. Qual
a medida do lado do jardim?
margaridas
2m
papoulas
1m
amores-perfeitos