Resolução de
equações não lineares
Raiz de uma equação

Raiz exata
 Um
número xr é raiz exata de uma equação f(x)=0 se
f(xr)=0

Raiz aproximada
 Um
número x’ é raiz aproximada de uma equação
f(x)=0 se |x’-xr| e |f(x’)| forem ambos próximos de 0

Comparar o módulo da subtração da raiz é
basicamente uma operação teórica, pois não se
pode obter a raiz exata
Calculando as raízes
Para calcular as raízes reais de uma
equação f(x)=0 é necessário:
 1) delimitar, enumerar e separar as raízes
 2) utilizar um método numérico para
calculo de cada raiz

Equações algébricas polinomiais
A) toda equação do tipo anxn+an-1xn-1
+...a1x1+a0 é algébrica e polinomial
 n é um número natural denominado grau
da equação
 Os coeficientes ai, i=0...n são números
reais

Equações algébricas polinomiais

Toda equação polinomial de grau n tem
exatamente n raízes, reais ou complexas,
desde que cada raiz seja contada de
acordo com seu grau de multiplicidade
Multiplicidade de raizes
Uma raiz tem grau de multiplicidade m se:
 anula a função que origina a equação


Anula as derivadas até a ordem m-1

Não anula a derivada de ordem m
Exemplo
A equação f(x)=x3-5x2+8x-4 tem raízes
x1=1 x2=2 e x3=2
 f(2)=0
 f’(2) = 3x2-10x+8 -> f’(2)=0
 f’’(2)=6x-10 ->f’’(2)=2

Equações algébricas polinomiais
As raízes complexas aparecem sempre
em pares conjugados (a+bi e a-bi)
 Toda equação polinomial de grau impar
tem pelo menos uma raiz real

Delimitação de raízes reais





Limite superior positivo-teorema de Lagrange
Seja f(x)=0 uma equação polinomial de grau n, na
qual an>0 e a0 ≠ 0
Para limite superior de suas raízes positivas, caso
existam pode ser tomado o número
L  1  nk M
an
K= grau do 1º termo negativo
M= módulo do menor coeficiente negativo
Exemplo

Calcule o limite superior para as raízes
positivas da equação
f(x) = x5+x4-8x3-16x2 +7x+14 =0
Exemplo

Calcule o limite superior para as raízes
positivas da equação
f(x) = x5+x4-8x3-16x2 +7x+14 =0
n=5,k=3,a5=1 e M=16
L  1  53 16
2

1

16  1  4  5
1
Delimitação das raízes reais
Limite inferior negativo
 Obter a equação auxiliar f1(x)=f(-x)=0



usar o teorema de Lagrange em f1(x), obtendo
o limite superior de suas raízes positivas L1
O limite inferior das raízes negativas é dado
por –L1
Exemplo

Calcule o limite inferior para as raízes
negativas da equação
f(x) = x5+x4-8x3-16x2 +7x+14 =0
Exemplo
f(x) = x5+x4-8x3-16x2 +7x+14 =0
f1(x) = -x5+x4+8x3-16x2-7x+14 =0
an<0 logo devemos multiplicar f1 por -1
f1(x) = x5-x4-8x3+16x2+7x-14 =0
n=5,k=4,a5=1 e M=14
L1  1  5 4 14  1  1 14  1  14  15
1
Logo –L1=-15
Enumeração das raízes

Regra dos sinais de Descartes – O
número de raízes positivas de equações
polinomiais é igual ao número de variação
de sinais apresentado pelo conjunto de
coeficientes ou menor em um número par
Exemplo

x5+x4-8x3-16x2+7x+14=0
Exemplo
x5+x4-8x3-16x2+7x+14=0
 x5+x4-8x3-16x2+7x+14=0

Exemplo
x5+x4-8x3-16x2+7x+14=0
 x5+x4-8x3-16x2+7x+14=0
 2 variações -> 2 raízes ou nenhuma raiz

Exemplo
x5-x4+8x3-16x2+7x-14=0
 Quantas raízes?

Exemplo
x5-x4+8x3-16x2+7x-14=0
 Quantas raízes?
 5 variações -> 5 raízes ou 3 ou 1 raiz

Exemplo
5x5-16x2+7x-14=0
 Quantas raízes?

Exemplo
5x5-16x2+7x-14=0
 Quantas raízes?
 3 variações -> 3 raízes ou 1 raiz positiva

Enumeração de raízes

Para determinar o número de raizes
negativas basta trocar x por (-x) na
equação e aplicar a regra dos sinais
Exemplo
x5+x4-8x3-16x2+7x+14=0
 f(-x)=-x5+x4+8x3-16x2-7x+14=0
 f(-x)=-x5+x4+8x3-16x2-7x+14=0
 3 raízes ou 1 raiz negativa

Exemplo
x5-x4+8x3-16x2+7x-14=0
 f(-x)=-x5-x4-8x3-16x2-7x-14=0


Sem variação -> nenhuma raiz negativa
Sucessão de Sturm
Dada a equação polinomial f(x)=0 a
sucessão de Sturm a ela associada é o
seguinte conjunto de polinômios:
f(x)f1(x)f2(x)... fm(x)
 f(x) é o polinômio que origina a equação
 f1(x) é a primeira derivada de f(x)

Sucessão de Sturm
A partir de f2(x) cada termo é o resto, com
o sinal trocado, da divisão dos 2 termos
anteriores
 f(x)/f1(x) = Q1x+R1x -> f2(x)=-R1x
 f1(x)/f2(x) = Q2x+R2x -> f3(x)=-R2x


A sucessão procede até que seja obtido
um resto constante
Propriedades
Se a equação tiver raízes múltiplas então
o último termo da sucessão é nulo
 Para nenhum valor de x, 2 termos
consecutivos da sucessão não se anulam
 Se, para algum x, um termo médio da
sucessão se anula, então os termos
vizinhos terão valores numéricos de sinais
opostos

Teorema de Sturm
Seja N(alpha) o número de variações de
sinal apresentado pela sucessão de
sturm. Para x = alpha
 O número de raízes reais de uma
equação polinomial, sem raízes múltiplas,
situadas em um intervalo [a,b] é igual a
N(a)-N(b)

Exemplo

Determine o número de raízes reais da
equação no intervalo (-15,5)
f(x)=x5+x4-8x3-16x2+7x+14
f1(x)=5x4+4x3-24x2-32x+7
f2(x)=3,36x3+8,64x2-6,88x-13,72
f3(x)=-9,06x2+29,72x+29,22
f4(x)=-68,42x-49,69
f5(x)=-2,88
-15
0
5
f(x)=x5+x4-8x3-16x2+7x+14
-
+
+
f1(x)=5x4+4x3-24x2-32x +7
+
+
+
f2(x)=3,36x3+8,64x2-6,88x-13,72
-
-
+
f3(x)=-9,06x2+29,72x+29,22
-
+
-
f4(x)=-68,42x-49,69
+
-
-
f5(x)=-2,88
-
-
-
N(x)
Raízes negativas N(15)-N(0) = 4-3 =1
Raízes negativas N(0)-N(5) = 3-1 =2
As outras duas raízes são complexas
4
3
1
Separação de Raízes reais
Teorema de Bolzano: seja f(x) uma função
continua em um intervalo [a,b]
 Se f(a).f(b)<0 então a equação f(x)=0 tem
um número impar de raízes no intervalo
[a,b]

Exemplo
Exemplo
Separação de Raízes reais

Se f(a).f(b) >0 então f(x)=0 tem um
número par de raízes ou nenhuma raiz no
intervalo [a,b]
Exemplo
Exemplo
Exemplo
Exemplo
Exemplo
Separe as raízes positivas da equação
 f(x)= x5+x4-8x3-16x2+7x+14=0
 Sabendo-se que estão situadas no
intervalo (0,5) e que o número de raízes
positivas é 2

f(0)=14, f(5)=2399, f(2,5)= -56,78
 Uma raiz entre 0 e 2,5 e outra entre 2,5 e 5

Equações não polinomiais
Duas possibilidades
 1) Construir um esboço do gráfico da
função com o objetivo de detectar os pontos
 2) Transformar a equação f(x)=0 em uma
equação equivalente da forma g(x)-h(x)=0
 g(x)=h(x)

Equações não polinomiais
Esboçar os gráficos de g(x) e h(x) em um
mesmo sistema de eixos cartesianos
 As abscissas de cada ponto onde g(x) e
h(x) se interceptam é uma raiz de f(x)

Exemplo
Seja a equação f(x)=x+ x -5=0
x = 5-x (g(x)=h(x))
 Pode ser escrita

Metodo da Bisseção
Seja f(x) uma função continua em um
intervalo [a,b]
 O intervalo contém uma única raiz da
equação f(x)=0 sendo assim, f(a).f(b)<0
 Este método consiste em dividir de forma
sucessiva o intervalo [a,b] ao meio, até
que seja obtido (b-a) <= precisão
estabelecida

Graficamente
-
+
a
b
Graficamente
-
a
+
+
b
Graficamente
-
a
+
b’
+
b
Graficamente
-
a
-
+
b’
+
b
Graficamente
-
-
a
a’
+
b’
+
b
Critério de parada
O processo para quando o intervalo [a,b] é
suficientemente pequeno
 Assim qualquer ponto no intervalo é
tomado como raiz
 Número máximo de passos – préestabelecido

Convergência
Sendo f(x) contínua em [a,b]
 f(a).f(b)<0


O método da bisseção converge se as
condições anteriores forem respeitadas
Exemplo
Utilizando o método da bisseção calcule a
maior raiz positiva da equação
 f(x)= x5+x4-8x3-16x2+7x+14=0
 Precisão 0,025, máximo de 10 iterações,
intervalo = [2,5;5]
 f(2,5)=-56,781 e f(5)=2399

k
xk
2,5
5
f(xk)
-56,781
2399
b-a
2,5
1
2
3
3,75 332,706 1,25
3,125 28,875 0,625
2,813 -32,239 0,312
4
5
6
7
2,969 -7,224 0,156
3,047 9,307 0,078
3,008 0,679 0,039
2,989 -3,26 0,019

Qualquer número no intervalo
[2,989;3,008] pode ser tomado como raiz
Método da Falsa Posição
Seja f(x) uma função contínua em um
intervalo [a,b] que contém um e só uma
raiz da equação f(x)=0
 Este método consiste em dividir o
intervalo [a,b] no ponto onde a reta que
passa pelos pontos (a,f(a)) e (b,f(b))
intercepta o eixo das abscissas

Graficamente
Graficamente
Critério de parada

O processo iterativo é interrompido
quando for obtido |f(xk)|, k=1,2,... Menor
ou igual à precisão estabelecida e então
xk é tomado como raiz
Critério de convergência

Se f(x) é contínua em [a,b] e f(a).f(b)<0,
então o método da falsa posição converge
Calculando xk

No método da bisseção x é dado pela
média aritmética do intervalo x= (a+b)/2
No método da FP o x é dado pela média
aritmética ponderada
 x=(a|f(b)|+b|f(a)|)/(|f(b)|+|f(a)|)
 x=(af(b)-bf(a))/(f(b)-f(a))

O cálculo de xk

Seja a matriz
a
x1
b
f (a) 1
0
1 0
f (b) 1
bf(a) +x1f(b)-af(b)-x1f(a)
 x1=(af(b)-bf(a))/(f(b)-f(a))

Generalizando
xk=(af(b)-bf(a))/(f(b)-f(a))
 Desde que a cada passo seja atualizado a
ou b
 O critério utilizado por este método para a
divisão do intervalo [a,b] é o da média
ponderada

Exemplo
Utilizando o método da falsa posição com
precisão 0.006 e um máximo de 5
iterações encontrar a maior raiz positiva
 f(x)=x4-14x2+24x-10=0

A) delimitação das raízes reais
 LSP = 1  n  k M a = 4,7 = 5

n
LIN – equação auxiliar
 f(x) = x4 -14x2-24x-10
 L1=6
 Logo –L1=-6

Enumeração das raízes reais
Raízes positivas:+1-14+24-10
 3 variações -> 3 ou 1 raiz positiva
 Raízes negativas:+1-14-24-10
 1 variação -> 1 raiz negativa

Número de raízes positivas

Teorema de Sturm
Sucessão de Sturm
0
5
f(x)=x4-14x2+24x-10
-
+
f1(x)=4x3-28x+24
+
+
f2(x)=7x2-18x+10
+
+
f3(x)=7,24x-9,3
-
+
f4(x)=1,5
+
+
N(x)
3
0
Número de raízes positivas

O número de raízes é dado por:
N(0)-N(5)=3-0=3
Separação das raízes positivas

Teorema de Bolzano e o método da
bisseção
-
+
0
5
Separação das raízes positivas

Teorema de Bolzano e o método da
bisseção
-
+
+
0
2,5
5
Separação das raízes positivas

Teorema de Bolzano e o método da
bisseção
-
+
+
+
+
0
1,25
2,5
3,75
5
Separação das raízes positivas

Teorema de Bolzano e o método da
bisseção
-
0
-
-
+
1,25
0,625
1,875
+
+
+
2,5
3,75
5
Calculando a maior raiz positiva
Reduzindo um pouco mais o intervalo
 f(1,875)<0, f(2,5)>0, f(2,188)<0

Aplicando o método da falsa posição
 xk=(af(b)-bf(a))/(f(b)-f(a))

k
a
b
f(a)
f(b)
xk
f(xk)
1 2,188 2,5 -1,592 1,563 2,345 -0,467
2 2,345 2,5 -0,467 1,563 2,381 -0,085
3 2,381 2,5 -0,085 1,563 2,387 -0,016
4 2,387 2,5 -0,016 1,563 2,388 -0,005
Para a precisão estabelecida, 2,388 é a maior raiz positiva da equação
Método de Newton-Raphson
Também conhecido como método das
tangentes
 Seja f(x) uma função contínua em um
intervalo [a,b] que contém uma e só uma
raiz da equação f(x)=0

Método de Newton-Raphson

Dada uma estimativa xk-1, k=1,2,..., para
uma raiz de f(x)=0 a estimativa xk é a
abscissa do ponto onde a reta tangente
f(x) em [xk-1,f(xk-1)] intercepta o eixo das
abscissas
Método de Newton-Raphson

Critério de parada: O processo é
interrompido quando for obtido um |xk-xk-1|
ou |f(xk)| menor ou igual a uma precisão
pré-estabelecida
Graficamente
x0
x0
x1
Graficamente
x0
x1
Graficamente
x0
x1
Método de Newton-Raphson

Convergência: se f(a)f(b)<0 e f’(x) e f’’(x)
forem não nulas e mantiverem o sinal em
[a,b], então partindo-se de uma estimativa
inicial x0 є[a,b] tal que f(x0)f’’(x)>0 é
possível construir, pelo método de
Newton-Raphson uma sequência {xk},
k=1,2,..., que converge para a raiz de
f(x)=0
Método de Newton-Raphson

Seja o cálculo de x1
f ( x0 )
f ( x0 )
 tg  f ' ( x0 )  x1  x0 
x0  x1
f ' ( x0 )

Para x2
f ( x1)
f ( x1)
 tg  f ' ( x1)  x2  x1 
x1  x2
f ' ( x1)
Método de Newton-Raphson

Generalizando
f ( xk 1)
xk  xk 1 
f ' ( xk 1)
Exemplo

Calcule a raiz negativa de f(x)=x414x2+24x-10=0 utilizando o método de
newton-Raphson com precisão 0,001 e
um máximo de 5 iterações. Sabe-se que
esta raiz está situada no intervalo (-6,0)
Exemplo

Aplicando o método da Bisseção para
diminuir o intervalo
f(-6)=638
+
-
-6
0
f(0)=-10
Exemplo

Aplicando o método da Bisseção para
diminuir o intervalo
f(-6)=638
+
-
-
-6
-3
0
f(-3)=-127
f(0)=-10
Exemplo

Aplicando o método da Bisseção para
diminuir o intervalo
f(-6)=638
+
+
-
-
-6
-4,5
-3
0
f(-4,5)=8,562
f(-3)=-127
Exemplo

Aplicando o método da Bisseção para
diminuir o intervalo
+
+
-6
-4,5
f(-4,5)=8,562
-
-
-
-3
0
-3, 75
f(-3,75)=-99.125
f(-3)=-127
Exemplo

Aplicando o método da Bisseção para
diminuir o intervalo
+
+
-
-6
-4,5
-3, 75
-
-
-3
0
Exemplo

f’(x)=4x3-28x+24 <0 no intervalo [-4,5;-3,75]

f’’(x)=12x2-28 >0 no intervalo [-4,5;-3,75]

Como f(-4,5)f’’(-4,5)>0 então x0=-4,5
Exemplo
k
xk
f(xk)
f'(xk)
|xk-xk-1|
0
-4,5
8,562
-214,5
-
1 -4,460 0,153 -205,986
2 -4,459 0,018
0,040
0,001
Notas
Com relação à convergência o que se faz
na prática é:
 1) toma-se uma estimativa inicial próxima
da raiz; para isto basta diminuir
suficientemente o intervalo que a contém
 2) toma-se x0 є [a,b] de forma que seja
obtido x1 є [a,b]

Comparação - Bisseção
Apesar de sempre convergir, tem baixa
velocidade de convergência
 Utilizado de forma isolada quando se
deseja um intervalo, tal que qualquer dos
pontos pode ser tomado como raiz
 Normalmente é utilizado para reduzir o
tamanho do intervalo que contém a raiz

Comparação – F.P. e N.R.
Quando se deseja é um intervalo que
contém a raiz o método da Falsa Posição
não é adequado porquê não converge
 Quando não houver problemas para
trabalhar com a primeira derivada de f(x)
deve-se usar o método de NewtonRaphson; caso contrário deve-se usar o
método da Falsa Posição

Exercício

Determine os limites das raízes reais da
equação f(x)=x3+4x2-10=0