Sistemas de Controle III
N8SC3
Prof. Dr. Cesar da Costa
3.a Aula: Variáveis de Estado de Sistemas Dinâmicos
Modelo Variáveis de Estado
 Introdução;
 Variáveis de Estados de Sistemas Dinâmicos;
 Equação Diferencial de Estado;
 Função de Transferência a partir das Equações de Estados;
 Resposta no Domínio do Tempo e Matriz de Transição de Estados;
 Discretização da Resposta no domínio do Tempo;
 Exemplo de Projetos;
 Analise de Modelos de Variáveis de Estados usando MATLAB.
Variáveis de Estado de Sistemas Dinâmicos

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Tendência dos sistemas modernos aumento de sua complexidade.
Principalmente devido a necessidade de uma boa precisão.
 As variáveis de estado descrevem a resposta futura de um sistema, dado
o estado presente, as excitações de entrada e as equações que descrevem
a dinâmica.
 Variáveis de Estado:
É o menor conjunto de variáveis que determina o estado de um sistema
dinâmico. Se pelo menos “n” variáveis X1(t ), X2 (t)... Xn(t) são necessárias
para descrever completamente o comportamento de um sistema dinâmico,
então estas “n” variáveis são um conjunto de variáveis de estado.
Variáveis de Estado de Sistemas Dinâmicos
 Modelo de Variáveis de Estado:
 É um conjunto de equações diferenciais de 1a ordem na forma matricial,
representando as relações entre as entradas e saídas, e algumas
características internas do sistema.
 É possível enviar para dentro do modelo mais informações a cerca da planta,
pois o sistema pode ter mais de uma entrada;
 Vários modelos de variáveis de estado podem ser obtidos para um mesmo
sistema, depende da escolha das variáveis de estado;
 As teorias de controle moderno são desenvolvidas para esta abordagem;
 A simulação de sistemas geralmente necessita de modelo de variáveis de
estado.
Variáveis de Estado de Sistemas Dinâmicos
 As técnicas no domínio do tempo podem ser usadas para sistemas nãolineares, variantes no tempo e multivariáveis;
 Um sistemas variante no tempo é um sistema para o qual um ou mais
parâmetros do sistema podem variar em função do tempo;
 O domínio do tempo é o domínio matemático que incorpora a resposta e a
descrição de um sistema em termos do tempo, t.
Variáveis de Estado de Sistemas Dinâmicos
 A representação de sistemas de controle no domínio do tempo constitui uma
das bases da teoria de controle moderno e da otimização de sistemas.
 Um sistema de equações diferenciais descreve o comportamento do
sistema em termos da taxa de variação de cada uma das variáveis de
estado.
Equação Diferencial de Estado
 O Estado de um sistema é descrito por meio de um sistema de equações
diferenciais de primeira ordem em termos das variáveis de estados.
Equação Diferencial de Estado
 Equação de Estado e de Saída Linearizados:
Circuito RLC
Circuito RLC
dvc
ic  c
 u(t )  i
L
dt
di
L L   Ri  vc
L
dt
v0  RiL (t )
Variáveis de Estado
x  vc (t )
1
x  i (t )
2 L
Circuito RLC
Substituindo-se as variáveis de estado nas equações do circuito, tem-se:
dx1
c
 u(t )  x2
dt
dx2
L
  Rx2  x1
dt
v0   Rx2
dx1 1
1
 u(t )  x2
dt c
c
dx2
R
1
  x2  x1
dt
L
L
v0   Rx2
Equação Diferencial de Estado
Equação Diferencial de Estado
.
 Transformada de Laplace da equação de estado x(t )  Ax(t )  Bu(t )
X (s)  x(0)  b U (s)
s a s a
A Transformada de Laplace Inversa resulta na solução da equação de estado:
t a(t  )
x(t )  eat x(0)   e
bu( )d
0
Forma Padrão de Representação do Modelo de Variáveis
de estado de um Sistema
Modelo de Estado de um Sistema no MATLAB
 Um sistema dinâmico que consiste num número finito de elementos
concentrados pode ser escrito por equações diferenciais ordinárias em que
o tempo é a variável independente.
 Fazendo uso de notação matricial-vetorial, uma equação diferencial de
ordem n pode ser representada por uma equação matricial-vetorial de
primeira ordem.
 Se n elementos do vector são um conjunto de variáveis de estado, então a
equação diferencial matricial vetorial é denominada de equação de estado.
Modelo de Estado de um Sistema no MATLAB
 Deste modo, um sistema representado na forma de equações de estado
será dado por:
Modelo de Estado de um Sistema no MATLAB
 Considerando o sistema representado no espaço de estado, a sua
introdução no MATLAB efetua-se pelo método comum de introdução de
matrizes na Janela de Comando:
Conversão da representação de sistemas para função de
transferência no MATLAB
 É possível converter a representação de sistemas em equações de
estados ou a partir dos polos, zeros e ganho, através do uso das
seguintes funções:
 ss2tf -
Conversão de representação em espaço de estados para
função de transferência.
 zp2tf
- Representação em função de transferência a partir dos
Pólos, Zeros e Ganho do sistema.
 Considere o seguinte sistema dado na forma de equações de estado:
Prompt do MATLAB:
A função de transferência será:
 No caso do sistema estar descrito pelos seus Pólos, Zeros e Ganho, a
conversão para a representação em função de transferência será dada por:
Prompt do MATLAB:
A função de transferência será:
Conversão da representação de sistemas para espaço de
estados no MATLAB
 Tal como no item anterior, é possível converter a representação de
sistemas em função de transferência ou a partir dos polos, zeros e
ganho para a representação em espaço de estados, através do uso das
seguintes funções:
 tf2ss - Conversão da função de transferência para a representação
em modelo de espaço de estados. .
 Zp2ss - Representação do modelo de espaço de estados a partir
dos Polos, Zeros e Ganho do sistema. .
 Considere a função de transferência do seguinte sistema :
A sua representacao em espaco de estado será:
 Se fossem dados os Pólos, Zeros e Ganho do sistema, a conversão
para a representação em espaço de estados seguiria a mesma
metodologia apresentada para o caso da função de transferência, tendo
em consideração que se pretende obter as matrizes A, B, C, D e não o
numerador e denominador.
Obtenção dos Polos, Zeros e Ganho do Sistema no
MATLAB
 Dado qualquer sistema representado no espaço de estados ou descrito por
uma função de transferência, é possível extrair os seus os Polos, Zeros e o
Ganho através do uso das seguintes funções:
tf2zp - Obtenção dos Polos, Zeros e Ganho do sistema a partir da
função de transferência.
ss2zp - Obtenção dos Pólos, Zeros e Ganho do sistema a partir da sua
representação em espaço de estados.
Obtenção dos Polos, Zeros e Ganho do Sistema no
MATLAB
 Os Pólos, Zeros e o Ganho dos sistemas anteriores representados no
espaço de estados e em forma de função de transferência são dados por :
Obtenção dos Polos, Zeros e Ganho do Sistema no
MATLAB
 NOTA : Em todos os tipos de conversões apenas é necessário ter em
consideração que a função de transferência é dada por um numerador e
denominador, enquanto a representação em espaço de estado pelas
matrizes A, B, C, D. A representação do sistema pode ainda ser expressa
pelos seus Pólos (p), Zeros (z) e Ganho (k).