Física Moderna
Introdução
Baseado no curso de Kleber C. Mundim
1- A Luz e a Teoria Quântica (O corpo
negro)
•
Um dos fenômenos mais intrigantes estudados
no final do século XIX era o da distribuição
espectral da radiação do corpo negro. Um corpo
negro é um sistema ideal que absorve toda a
radiação que nele incide. Na prática ele pode ser
materializado por uma cavidade com uma
abertura muita pequena, como por exemplo, os
fornos de uma industria siderúrgica. As
características da radiação desta cavidade
dependem somente da temperatura das paredes
do radiador.
• Nas temperaturas ordinárias (abaixo de 600oC), a
radiação térmica emitida por um corpo negro não é
visível, pois a energia está concentrada na região
do infravermelho do espectro eletromagnético.
Quando o corpo negro é aquecido a quantidade de
energia irradiada aumenta com a quarta potência
da temperatura e a concentração de energia se
desloca para os comprimentos de ondas menores.
No gráfico abaixo as concentrações são
representadas pelos máximos das curvas e a
quantidade de energia irradiada é dada pela área
sobre cada uma das curvas abaixo.
• Fig. 1 - Radiância espectral de um radiador de cavidades ou corpo negro
1.1 - Lei de Stefan-Boltzmann
•
Com a realização de experimentos com o
corpo negro constatou-se que a radiância da
cavidade (u) varia com a quarta potência da
temperatura do radiador e que a radiação é
tanto maior quanto mais quente for o corpo.
Esta relação ficou conhecida como lei de
Stefan-Boltzmann, isto é, a energia total que
emerge do orifício da cavidade é dada pela
integral da curva experimental, mostrada na
Fig.1,
• onde s é constante de Boltzmann, T é a temperatura, n é
a freqüência e un é a densidade de energia espectral. De
acordo com o cálculo integral a equação (1) fornece a
área sobre a curva un. Uma das preocupações da época
era de encontrar uma modelo teórico que explicasse os
resultados experimentais obtidos para o corpo negro e
conseqüentemente encontrar a função un em termos do
comprimento de onda e da temperatura. Stefan foi um
dois primeiros pesquisadores a propor uma solução para
este caso, assumindo que a função un deveria variar com
o cubo da freqüência, como na expressão a seguir,
• Com isto, Stefan postulava que a densidade de
energia fosse função da freqüência (n ) da
radiação emitida. Fazendo algumas mudanças
de variáveis nas duas equações acima, podese facilmente verificar que a equação (2)
satisfaz a lei de Stefan-Boltzmann (eq.1).
1.2 - Lei de Wien
• Avançando um passo na direção da proposta
de Stefan, W. Wien encontrou a lei do
deslocamento (1893) que tem o seu nome e
que enuncia que a distribuição espectral da
densidade de energia é dada por uma
equação da forma
• Deve-se notar, que a lei de Wien inclui a lei de
Stefan já que ela depende da freqüência ao
cubo. A razão da denominação lei do
deslocamento é que verificou-se
experimentalmente que a intensidade da
radiação emitida por um corpo incandescente,
mantido a determinada temperatura, se
representa graficamente, em função do
comprimento de onda, por uma curva da
forma indicada na Fig.1.
• Se fizermos variar a temperatura do corpo
radiante, o gráfico da intensidade também
varia; em particular, a posição do máximo é
desviada. Verificou-se desta maneira, pelas
medições realizadas, que o produto da
temperatura pelo comprimento de onda é
constante, para o correspondente máximo de
intensidade; ou
•
l máximoT = constante
1.3 - Lei de Rayleigh-Jeans
• No entanto, era evidente por considerações
do domínio da termodinâmica que a forma da
lei dada pela função F, deve ser independente
do mecanismo especial usado no modelo.
Como exemplo mais simples de um corpo
radiante é o oscilador harmônico linear de
freqüência própria n.
• Para este oscilador podemos determinar a
energia radiada por segundo; sendo esta
radiação equivalente a aquela emitida por um
dipolo oscilante a qual é dada pela seguinte
relação matemática.
• onde é a energia média dos osciladores. Pela
lei da eqüipartição na física estatística, a
energia média dos osciladores pode ser
expressa por
• Neste usa-se a integral para calcular o valor
médio das energias dos osciladores, pois
supões que eles emitem energia no espectro
contínuo. Usando algumas relações
matemáticas, podemos calcular o valor da
energia média..... e conseqüentemente
• Substituindo o valor da energia média na
equação para un obtém-se
• a qual é denominada de lei de Rayleigh-Jeans.
A lei de Wien concorda com o experimento na
região de baixo comprimento de onda e a de
Rayleigh-Jeans na região grande comprimento de
onda. Podemos dizer que elas quase se
completam. Veja Fig.2.
1.4 - Lei de Planck
• Para resolver este problema e completar a
teoria, Planck postulou que a energia emitida
por cada oscilador harmônico se desse em
pacotes (quantum). Com isto ele que dizer que
a energia de cada pacote era igual a um
número inteiro de um dado valor mínimo de
energia, isto é e = neo, sendo um número
inteiro, n=1,2,3....
• Matematicamente isto significa substituir a soma
contínua na equação de Rayleigh-Jeans por uma
soma discreta, como mostramos a seguir
• Conseqüentemente temos que
• Substituindo este resultado na equação da lei
de Rayleigh-Jeans obtemos a expressão de
Planck para a radiação emitida no corpo
negro,
1 - O Efeito Fotoelétrico
•
Enquanto Planck considerava a quantização
da energia, na sua teoria da radiação do corpo
negro, como um artifício de cálculo, Einstein
enunciou a audaciosa hipótese da quantização da
energia ser uma propriedade fundamental da
energia eletromagnética. Três anos mais tarde,
aplicou a idéia da quantização da energia às
energias moleculares para resolver outro enigma
da física- a discrepância entre os calores
específicos, calculados pelo teorema da
equipartição da energia, e os calores observados
experimentalmente em temperaturas baixas.
• Depois, as idéias da quantização da energia foram
aplicadas às energias atômicas, por Niels Bohr, na
primeira tentativa de explicar os espectros
atômicos. A hipótese de Einstein sugere que a luz,
ao atravessar o espaço, não se comporta como
uma onda, mas sim com uma partícula.
• O efeito fotoelétrico foi descoberto por Hertz, em
1887, e estudado por Lenard em 1900. A Fig.1
mostra o diagrama esquemático do aparelho
básico para a realização do experimento de
investigação do efeito fotoelétrico.
• Quando a luz incide sobre a superfície metálica
limpa, no catodo C, provoca a emissão de
elétrons pela superfície. Se alguns destes elétrons
atingirem o anodo A, haverá uma corrente no
circuito externo. O número de elétrons emitidos
que atingem o anodo, pode ser aumentado ou
diminuído fazendo-se o anodo mais positivo, ou
mais negativo, em relação ao catodo. Seja V a
diferença de potencial entre o catodo e o anodo.
A Fig. 2a mostra a corrente em função da ddp (V)
para dois valores diferentes da intensidade da luz
incidente aplicada sobre o catodo. Quando V for
positivo, todos os elétrons emitidos atingem o
anodo e a corrente tem o seu valor máximo.
• Observa-se, experimentalmente, que um
aumento extra de V não afeta a corrente. Lenard
observou que a corrente máxima era
proporcional à intensidade da luz. Quando V for
negativo, os elétrons são repelidos pelo anodo.
Somente os elétrons que tenham as energias
cinéticas iniciais mv2/2 maiores que |eV| podem
atingir o anodo. Pela Fig. 2 podemos ver que se V
for menor que –Vo, nenhum elétron consegue
chegar ao anodo. O potencial Vo é o potencial
frenador o qual está relacionado com a energia
cinética máxima dos elétrons emitidos pela
superfície pela relação:
• O resultado experimental, da independência de
Vo em relação à intensidade da luz incidente, era
surpreendente.
• Na visão clássica, o aumento da taxa da energia
luminosa incidente sobre a superfície do
catodo deveria aumentar a energia absorvida
pelos elétrons e deveria, por isso, aumentar a
energia cinética máxima dos elétrons emitidos.
• Aparentemente, não era o que acontecia. Em
1905, Einstein demonstrou que este resultado
experimental poderia ser explicado se a
energia luminosa não fosse distribuída
continuamente no espaço, mas fosse
quantizada , como pequenos pulsos, cada qual
denominado um fóton.
• A energia de cada fóton é hn , onde n é a
freqüência e h a constante de Planck. Um elétron
ejetado de uma superfície metálica exposta à luz,
recebe a energia necessária de um único fóton.
Quando a intensidade da luz, de uma certa
freqüência, for aumentada, maior será o número
de fótons que atingirão a superfície por unidade
de tempo, porém a energia absorvida por um
elétron ficará imutável. Se f for a energia
necessária para remover um elétron de uma
superfície metálica, a energia cinética máxima
dos elétrons emitidos pela superfície será
• Esta equação é conhecida como a equação do
efeito elétrico. A grandeza f é a função
trabalho, característica do metal. Alguns
elétrons terão energias cinéticas menores que
hn -f em virtude da perda de energia que
sofrem ao atravessar o metal. A partir da
equação do efeito fotoelétrico, podemos ver
que o coeficiente angular da reta dá Vo contra
n deve ser igual a h/e.
• Em resumo podemos ressaltar três pontos
importantes da hipótese de Einstein:
• - A energia cinética de cada elétron não
depende da intensidade da luz. Isto significa que
dobrando a intensidade da luz teremos mais
elétrons ejetados, mas as velocidades não serão
modificadas.
• - Quando a energia cinética de um elétron for
igual a zero significa que o elétron adquiriu
energia suficiente apenas para ser arrancado do
metal.
• - A ausência de um lapso de tempo entre a
incidência da radiação e a ejeção do fotoelétron.
Problemas
• Problema 1 - Uma fonte de luz monocromática
a 5500 (Angstrom) emite 5 watts de radiação.
Quantos fótons são emitidos a cada segundo ?
• Problema 2 - O limiar de freqüência ou
freqüência de corte para a liberação de
fotoelétrons no sódio é:
• Encontre a função trabalho f para este
material.
2- Efeito Compton
•
Seguido das descobertas de Planck e
Einstein, foram feitos muitos outros
experimentos, que só poderiam ser explicados
usando o comportamento corpuscular
(fótons) da luz. Um desses experimentos é o
efeito Compton proposto por A. H. Compton
(1923).
• Compton estudou o espalhamento de raio-X
em materiais. Em seus experimentos ele
mostrou que a luz espalhada tinha uma
freqüência mais baixa do que a incidente,
indicando com isto uma perda de energia no
processo de espalhamento. Este fenômeno
não pôde ser explicado usando a luz como um
fenômeno ondulatório. Compton explicou este
fenômeno ao estudar a colisão de elétrons
com fótons, aplicando as leis de conservação
de energia e momento. Veja Fig. 3.
Espalhamento Compton
•
Para analisar o efeito Compton, é
necessário levar em conta que o efeito é
relativístico já que o fóton é uma partícula
relativística e viaja à velocidade da luz. Então
devemos usar as equações da relatividade
para a variação da massa, da energia e do
momento linear. A massa m de uma dada
partícula é dada por
•
As energias total antes e depois do choque
são dadas respectivamente por;
• Aplicando a conservação da energia e
momento linear, obtemos:
Sobre a conservação do momento
linear
• Conservação do momento linear (veja Fig. 1b),
componente x e componente y
• Manipulando estas equações e resolvendo para
l e l’ chegamos na lei de Compton:
• Onde
é definido como sendo o
comprimento de onda de Compton.
•
Esta é a variação do comprimento de
onda e conseqüentemente da freqüência,
observado experimentalmente, no choque de
um elétron com fóton. Isto significa que
realmente o fóton perde energia no choque.
Esta energia perdida é transformada em
energia cinética usada pelo elétron.
O Postulado de De Broglie
• Em 1924, Louis de Broglie, lembrando-se da
natureza dualística dos fótons (sugerida por
Einstein ao estudar o efeito fotoelétrico), e
considerando que todos os fenômenos
naturais envolviam certa forma de matéria e
de radiação (ondas eletromagnéticas), sugeriu
que assim como "as ondas de luz" tinham
propriedades de partículas o inverso também
deveria ser válido, isto é:
• " A toda partícula com momento p estaria
associada uma onda de comprimento l, isto é :
l= h/p, onde h é a constante de Planck e p o
momento linear da partícula”. Esta relação
implicaria que todos os corpos massivos ou
partículas, tais como uma bola de bilhar e um
elétron, teriam também propriedades de
ondas, cujas características seriam regidas
pela mesma teoria das radiações.
As relações de de Broglie
• Após a explicação do espectro da radiação de
corpo negro por Planck através
• da hipótese da quantização da energia, da
descoberta dos fótons por Einstein e da
• existência de níveis discretos de energia nos
átomos por Bohr; em 1923, de Broglie
• apresentou a seguinte hipótese: partículas
massivas, assim como fótons, possuem
• um aspecto ondulatório.
• Com apenas esta hipótese foram derivadas as
regras empíricas de quantização dos níveis
atômicos encontradas por Bohr-Sommerfeld, e
em 1927 foi comprovado experimentalmente o
aspecto ondulatório dos elétrons.
• Segundo a hipótese de de Broglie, cada
partícula de energia E e momento linear p têm
associados uma freqüência angular ω e um
número de onda k, dados pela seguintes
relações:
• O valor extremamente pequeno da constante h
explica porque o aspecto ondulatório da matéria
é muito difícil de ser observado.
• 2. O pacote de ondas
• Para que um elétrons tenha propriedades
ondulatórias teremos que lançar mão da noção
de pacote de ondas.
• Um pacote de ondas é uma função que descreve
o estado de uma partícula.
• Como uma função de onda tem extensão
infinita, temos que lançar mão do conceito de
superposição de ondas para poder descrever
uma partícula localizada: por exemplo um
elétron.
• Ou seja, para uma onda harmônica
escrevemos:
• Se tivermos n (=2,3,4..) ondas com amplitudes Ai
e defasadas de di entre si se sobrepondo,
teremos que a onda resultante será a soma
algébrica de todas elas. Usando a notação
abreviada para indicar a função de onda un
resultante temos:
•
• Inversamente, qualquer movimento ondulatório
pode ser analisado como combinação de
movimentos ondulatórios simples (harmônicos,
por exemplo). Aplicação disto são os filtros de
ondas e os seletores de freqüência.
• Como exemplo clássico considere duas ondas
de mesma direção e sentido, mas uma atrasada
em relação à outra de uma fase d. Se elas
possuem freqüências, amplitudes e velocidades
iguais têm-se:
• Consideremos duas ondas com número de
onda κ e freqüência ω ligeiramente diferentes.
• Suas equações de ondas serão:
• A onda resultante da superposição de u1 e u2 é
dada por:
• Da relação trigonométrica:
• a expressão acima fica:
• Velocidade de Grupo
Equação de Schrödinger
• De acordo com a hipótese de de Broglie foram
formulados os postulados da mecânica
quântica que podemos apresentar, de forma
simplificada e restrita ao nosso interesse
imediato, da seguinte forma: o estado de uma
partícula é caracterizado por uma função de
onda Ψ(r,t) que contém toda a informação
que é possível obter sobre uma partícula.
• O valor de Ψ(r,t) é interpretado como a
• amplitude da probabilidade da presença de
uma partícula, dessa forma, |Ψ(r,t)|^2
• representa a densidade de probabilidade e
consequentemente
• representa a probabilidade de encontrar a
partícula entre r e r + dr. A partir dos trabalhos
de de Broglie e Planck, o físico Erwin
Schrödinger demonstrou que essa função
deveria obedecer a seguinte equação de
onda:
Considerando uma partícula livre (V(r,t) = 0), a equação
acima tem como solução funções da seguinte forma:
Esse tipo de solução é chamada de onda plana e será a
solução utilizada para realizar a simulação. O princípio de
superposição nos diz que qualquer combinação
• linear de ondas planas também será uma
solução, considerando ainda o caso de
• propagação em apenas uma dimensão temos:
• A função de onda acima, composta por uma
superposição de ondas planas, é chamada de
pacote de ondas. A função g(k) é uma função
que determina o peso que cada onda terá
dentro do pacote.
• Para realizar a simulação utilizaremos somente a
parte real de Ψ(x,t):
• Como o valor de Ψ(x,t) não tem significado físico
direto também será apresentado |Ψ(x,t)|2. O
primeiro objetivo da simulação será exibir como
essas duas funções são construídas através do
sucessivo acréscimo de ondas planas em uma
combinação linear até formar um pacote de ondas.
A função será construída em uma dimensão e
somente sua parte real conforme a equação (8),
essa função vai caracterizar o estado quântico de
uma partícula livre, massiva e sem spin.
• Corresponderá a uma superposição de ondas
planas harmônicas, soluções da equação de
Schrödinger, que são auto-estados dos
operadores momento linear P e Hamiltoniano
H.
O Principio da Incerteza