Capítulo 5
Karl Ernst Max Planck (1858-1947)
e Albert Einstein (1876-1955)
5.1
5.2
5.3
5.4
5.5
5.6
5.7
5.8
5.9
5.10
5.11
5.12
Ondas Electromagnéticas
Espectros Atómicos
A Radiação do Corpo Negro e a Teoria de Planck
Efeito Fotoeléctrico e Efeito Compton
Ondas de de Broglie
Ondas ou Partículas?
Princípio da Incerteza de Heisenberg
Uma Interpretação da Mecânica Quântica
Equação de Schrödinger
Partícula num Poço de Potencial Quadrado
Barreira de Potencial e Tunelamento
Poço de Potencial
Parte da matéria é uma adaptação livre das aulas do
Professor Rick Trebino em: www.physics.gatech.edu/frog
5.1 Ondas Electromagnéticas
Fontes de ondas electromagnéticas
Cargas aceleradas emitem luz
• Carga com aceleração linear
• Radiação sincrotrônica - luz
emitida por partículas carregadas e
com velocidade, deflectidas por um
campo magnético
• Bremsstrahlung - luz emitida quando
partículas carregadas colidem com outras
partículas carregadas
B
…mas a grande maioria das ondas
electromagnéticas no Universo vem
das vibrações moleculares
• Electrões vibram em torno do núcleo
Frequência alta: ~1014 - 1017 Hz
• Os núcleos das moléculas vibram
Frequência intermediária: ~1011 - 1013 Hz
• Os núcleos das moléculas rodam
Frequência baixa: ~109 - 1010 Hz
Propagação da onda electromagnética
As ondas electromagnéticas se propagam no vácuo com uma
velocidade c
μ0 - permeabilidade no vácuo
ε0 - permitividade no vácuo
Espectro electromagnético
A luz da lâmpada emite radiação. Esta luz atravessa o espectroscópio
(prisma) e obtemos o espectro de cores do arco-íris. Este espectro é
contínuo
5.2 Espectros Atómicos
O espectro emitido por um
elemento químico não é
contínuo
São como impressões digitais
Além do espectro de emissão temos também
o espectro de absorção
Série de Balmer
Em1885, Johann Balmer encontrou uma fórmula empírica para
determinar o comprimento de onda no visível das linhas espectrais
para o átomo de hidrogênio :
nm
(onde k = 3,4,5…)
Equação de Rydberg
Outros cientistas descobriam novas linhas de emissão no
infravermelho e ultravioleta e a equação para a série de Balmer foi
estendida para a equação de Rydberg:
5.3 A Radiação do Corpo Negro e a Teoria de Planck
Um corpo em qualquer temperatura emite energia – a radiação
térmica
Corpo negro é um sistema ideal que absorve toda a radiação incidente
Modelo de corpo negro: uma pequena abertura numa cavidade
Qualquer radiação que entra na
cavidade
será
reflectida
e
absorvida nas paredes internas e
acaba
por
ser
totalmente
absorvida
Lei do deslocamento de Wien
A intensidade espectral I  , T  é a potência total irradiada por unidade de
área, por unidade de comprimento de onda, para uma dada temperatura
I  , T 
Lei de deslocamento de Wien
O pico de distribuição dos
comprimentos de onda se desloca
para os comprimentos de ondas
menores à medida que a
temperatura se eleva
O deslocamento
seguinte relação
obedece
à
Dados experimentais para a distribuição de
energia na radiação do corpo negro para três
temperaturas. A área sob a curva aumenta
com a temperatura.
Modelo Clássico
Lei de Stefan-Boltzmann
A potência total da radiação emitida (a área da curva ) aumenta com a
temperatura
I  , T 
I  AeT
4
Para o corpo negro a
emissividade e = 1
Catástrofe do ultravioleta
Fórmula Rayleigh-Jeans
I  , T 
Lord Rayleigh usou as teorias
clássicas do eletromagnetismo e
da termodinâmica para mostrar
que a distribuição espectral de um
corpo negro deveria ser:
I
2ckT
4
Para comprimentos de ondas grandes esta equação se ajusta aos resultados
experimentais, mas para os comprimentos de onda curtos há uma discordância
muito grande entre esta teoria e a experiência. Esta discordância é chamada de
catástrofe do ultravioleta.
Teoria de Planck
Foi Planck, em 1900 (prémio Nobel em 1918), que resolveu o problema
Ele utilizou a estatística de Boltzmann para obter uma equação teórica que concordava
com os resultados experimentais para todos os comprimentos de onda
Lei da Radiação de Planck
I
2c 2 h
1
5
e hc kT  1
Planck fez duas modificações na teoria clássica:
• Os osciladores (de origem electromagnética) podem ter apenas certas energias discretas:
En  nhf
onde n é um número inteiro, f é a frequência, e h é chamada de constante de Planck:
h  6.62611034
• Os osciladores podem absorver ou emitir energia em múltiplos discretos de um quantum
fundamental de energia dada por:
E  hf
5.4 Efeito Fotoeléctrico e Efeito Compton
Efeito Fotoeléctrico
Métodos de emissão de electrões:
Emissão Termiónica: aplicação de calor permite
que os electrões ganhem energia suficiente
para escapar do material
Emissão Secundária: o electrão do material ganha energia através de
transferência de energia num processo de colisão com uma partícula de alta
velocidade que incide neste material
Emissão de campo: um campo eléctrico externo intenso arranca o electrão para
fora do material
Efeito fotoeléctrico: Uma radiação electromagnética incide sobre o material e
transfere energia para os electrões, permitindo que eles escapem do material.
Chamamos a estes electrões ejectados de fotoeléctrões
Esquema de um Aparelho para o Efeito Fotoeléctrico
Os electrões são atraídos e
colectados pela placa carregada
positivamente
Os electrões são
ejectados pela luz
Medidor que
indica o fluxo
de electrões
Bateria
Observações sobre o Efeito Fotoeléctrico
• A energia cinética dos fotoeléctrões é
independente da intensidade da luz
• A energia cinética dos fotoeléctrões,
para um dado material emissor,
depende somente da frequência da luz
Electron
kinetic
energy
Classicamente, a energia cinética dos
fotoelectrões deveria aumentar com a
intensidade da luz e não depender da
frequência
• Existe uma frequência de corte para a luz
abaixo da qual nenhum fotoelectrão é
ejectado (relacionado à função trabalho
do material emissor) 
A existência de uma frequência de corte é
completamente inexplicável pela teoria
clássica
Mais Observações sobre o Efeito Fotoeléctrico
• Quando fotoelectrões são
produzidos, seu número é
proporcional a intensidade
da luz
• Também, os fotoelectrões são
emitidos quase instantaneamente
assim que o foto cátodo é iluminado,
independente da intensidade da luz
A teoria clássica prediz que, para intensidades extremamente baixas da luz, um
longo período de tempo deveria se passar antes que qualquer electrão pudesse
obter energia suficiente para escapar do foto cátodo. Entretanto, foi observado,
que os fotoelectrões eram ejectados quase que imediatamente
Teoria de Einstein
Einstein propõe uma explicação para o efeito fotoeléctrico
Generalizou o conceito da quantização de Planck, e
supôs que a luz pode ser considerada como um feixe de
quanta. Actualmente chamamos de fotões a esse quanta
Cada fotão tem um quantum de energia
E  h
onde  é a frequência da luz e h é a constante de Planck
Alternadamente
E 
onde
h

2
h    12 mv2max
ou
h    Kmáx
onde  é a função trabalho do metal
(energia potencial a ser superada
antes do electrão poder escapar)
Electron kinetic energy
Pela conservação de energia - Energia antes (fotão) = Energia depois (electrão)
Aplicamos uma diferença de potencial
que cesse a corrente – é o potencial de
corte (potencial frenador)
V  V0
W  eV0
- trabalho realizado pelo campo eléctrico entre as placas
Pelo teorema trabalho-energia:
W  K
K máx  eV0
Efeito Compton
Os fotões têm energia e momento linear
E  hc / 
p h/
Quando um fotão penetra na matéria, ele pode interagir com um electrão e ser
espalhado. Aplicando a lei da conservação da energia e do momento linear,
obtemos:
Deslocamento de Compton:
A explicação do Efeito Fotoeléctrico e
do Efeito Compton fornece uma forte
evidência da natureza quântica da luz
5.5 Ondas de de Broglie
Em 1923 de Broglie postulou que: se os fotões têm
características corpusculares e ondulatórias então
talvez as outras formas de matéria também tenham
essa natureza.
A energia do fotão pode ser escrita como:
E  h  pc  p
ou
h  p
Então o comprimento de onda da matéria,
chamado de comprimento de onda de de Broglie
é:
h

p
Louis V. de Broglie
(1892-1987)
Espalhamento de Raio X
Max von Laue sugeriu que se os raios X fossem uma forma de radiação
electromagnética, deveriam ser observados efeitos de interferência cristais
actuam como redes de difracção tridimensional, espalhando as ondas e
produzindo efeitos de interferência observáveis.
William Lawrence Bragg interpretou o
espalhamento de raios X
n  2d sin 
(n = inteiro)
Experiência de Davisson e Germer
Em 1927 Davisson-Germer observaram experimentalmente que os electrões
eram difractados (como os raios X) em cristais de níquel.
Davisson-Germer obteve a confirmação experimental da natureza ondulatória da
partícula, ao medir o comprimento de onda do electrão (descoberta feita
acidentalmente)
George P. Thomson (1892–1975), observou padrões de difracção de
electrões ao passar electrões através das folhas muito finas de ouro
Difracção
a) de um feixe de electrões por uma folha fina de
ouro
b) produzida por raio X em óxido de zircónio
c) de neutrões de um reactor nuclear por um
monocristal de cloreto de sódio
(c)
d) de raio X por um monocristal de cloreto de sódio
(d)
(a)
(b)
Experimento de Fenda Dupla para o Electrão
P1
Fonte de
electrões
Tela
P12
P2
Em 1961 C. Jönsson em Tübingen,
Alemanha, mostrou efeitos de interferência
num experimento de fenda dupla, para
electrões,
construindo
fendas
muito
estreitas
e
considerando
distâncias
relativamente grandes entre estas fendas e
a tela de observação.
Este experimento demonstrou
que tanto a luz (ondas) como os
electrões (partículas) têm o
mesmo comportamento
5.6 Ondas ou Partículas?
O resultado de diminuir a
intensidade da luz no
experimento
de
duas
fendas de Young é
projectar na tela alguns
fotões. Uma vez que
fotões são partículas,
cada um pode passar por
apenas uma fenda, assim,
para intensidades muito
baixas, a distribuição dos
fotões na tela deveria ser
a mesma observada para
uma única fenda.
Realmente cada fotão
passa
através
de
ambas as fendas!
Você pode dizer através de qual fenda o fotão passou no experimento
de fenda dupla de Young?
Quando bloqueamos uma fenda, o padrão de fenda única aparece
One-slit
pattern
Two-slit
pattern
Para baixas intensidades, o experimento de Young mostra que a luz
se propaga como onda e é detectada como partícula
O electrão passa através de qual fenda?
Um electrão interage com as duas fendas simultaneamente
- Ilumine a fenda dupla e observe com um microscópio. Depois que o electrão
passa através da fenda, luz é reflectida pela fenda; ao observar a luz, podemos
determinar através de qual fenda o electrão passou!
O momento linear
do fotão
O momento linear
do electrão
ph  d para poder distinguir
as fendas
A difracção é significativa
somente quando a abertura
for ~ el
O momento linear dos fotões usado para determinar através de qual fenda o
electrão passou é suficiente para modificar fortemente o momento linear do próprio
electrão — mudando a direcção do electrão! A tentativa de identificar através de qual
fenda o electrão passou irá modificar o padrão de interferência! Electrões também
se propagam como ondas e são detectados como partículas
A Partícula Quântica
O reconhecimento da natureza dual, onda e partícula, leva a um novo modelo de
simplificação, a partícula quântica
Características de uma partícula ideal - tem tamanho nulo e está localizada no
espaço
Características de uma onda ideal - única frequência e um comprimento infinito
Observamos que a característica essencial da partícula é a sua localização no
espaço. Construímos uma entidade localizada a partir de ondas infinitamente
longas
Resultado da combinação de duas ondas ideais com frequências ligeiramente
diferentes
f1
f2
Interferência
destrutiva
Interferência
construtiva
Se são combinadas muitas ondas, o resultado é um pacote de
ondas que representa uma partícula
Pacote de ondas
5.7 Princípio da Incerteza de Heisenberg
De acordo com o princípio da incerteza de Heisenberg (1927), é fisicamente
impossível medir a posição exacta e o momento linear exacto de uma partícula
O princípio da incerteza afirma que, se é feita uma
medida da posição de uma partícula com uma incerteza
x e uma medida simultânea do seu momento, com
uma incerteza px o produto das duas incertezas nunca
pode ser menor do que  / 2 :

xp x 
2
O acto de fazer uma medida
perturba outra medida
Princípio de incerteza para tempo-energia
Podemos violar a conservação da
energia por um valor  E desde que o
façamos por um curto intervalo de
tempo t
Werner Heisenberg
(1901-1976)
5.8 Uma Interpretação da Mecânica Quântica
A ondulação é a
Probabilidade
A amplitude da onda associada à partícula


é a amplitude de probabilidade ou função de onda; é uma variável
complexa
A função de onda determina a probabilidade
de encontrar a partícula numa determinada
posição no espaço num dado tempo
P( x)   ( x)
2
x2

 ( x) dx
2
A probabilidade de encontrar a partícula
no intervalo x1  x  x2
x1
Como a partícula tem de estar em algum lugar
do eixo x, a soma das probabilidades sobre
todos os valores de x tem que ser igual a 1



 ( x) dx  1
2
5.9 Equação de Schrödinger
Equação de Schrödinger dependente do
tempo
A equação onda de Schrödinger (1926) dependente
do tempo para uma partícula de energia E que se
move num potencial V é:
V  V x, t 
i  1
Erwin Schrödinger
(1887-1961)
A Equação de Schrödinger dependente do tempo é uma equação
fundamental da Mecânica Quântica
OBS. A equação de onda para a partícula difere da equação da onda electromagnética ou
da equação da onda mecânica:


2
 B ( x , t ) 1  B ( x, t )
 2
x 2
c
t 2
2
e
 2 y ( x, t ) 1  2 y ( x, t )
 2
2
x
v
t 2
A equação de Schrödinger tem uma derivada primeira em relação ao tempo enquanto
essas equações têm uma derivada segunda em relação ao tempo.
Equação de Schrödinger independente do tempo
• O potencial em muitos casos não depende explicitamente do tempo
• A dependência com o tempo e com a posição podem ser separados na equação
de onda de Schrödinger. Podemos escrever
Substituindo essa solução na equação de Schrödinger dependente do tempo,
obtemos a equação de Schrödinger independente do tempo
é uma equação tão fundamental em Mecânica Quântica como a equação de
Schrödinger dependente do tempo
5.10 Partícula num Poço de Potencial Quadrado
Partícula num Poço de Potencial Quadrado Infinito
Partícula confinada
numa caixa com
paredes rígidas
A energia é quantizada
e diferente de zero
É chamado de estado fundamental
quando n = 1
0
L
x
A partícula foi analisada
utilizando a equação de
Schrödinger
Partícula num Poço de Potencial Quadrado Finito
• A equação de onda é contínua onde as
regiões se encontram
Supomos
E < V0
A profundidade nas regiões
fora da região II
viola as leis da física clássica e
é proporcional a constante de
Planck
• A função de onda não é zero fora da
caixa
• A partícula é transmitida através das
paredes
5.11 Barreira de Potencial e Tunelamento
Considere uma partícula com energia E que se aproxima de uma barreira de
potencial de altura V0. O potencial em qualquer outro lugar é zero
Primeiro caso - A energia E é maior que a barreira de potencial V0
A partícula pode ser reflectida ou transmitida com a probabilidade
R+T=1
Segundo caso – A energia E é menor que a barreira de potencial V0.
É uma situação onde classicamente a partícula não tem energia suficiente para
superar a barreira de potencial, e é reflectida pela barreira
De acordo com a mecânica
quântica, todas as regiões
são acessíveis para a
partícula independentemente
da energia da partícula
Existe uma probabilidade finita de que a partícula possa penetrar a barreira e
mesmo, emergir do outro lado!
Este fenómeno chama-se tunelamento
É um fenómeno quântico
Função de onda de Tunelamento
A violação da física clássica é permitida pelo princípio da incerteza
A partícula pode contrariar a
física clássica de  E por um
curto período de tempo
t ~

E
Aplicações do tunelamento
Díodo túnel
Junção
Decaimento alfa
Microscópio de varredura por tunelamento
5.12 Poço de Potencial
Considere uma partícula com energia E que se aproxima de um poço de
potencial de profundidade V0
Energia total da partícula
E  K V
Na região antes de chegar ao poço
V 0
EK
Do ponto de vista clássico, na região do
poço a partícula aumenta a sua
velocidade, porque
E  K 'V0
K '  E  V0
De acordo com a mecânica quântica poderá gerar uma reflexão ou transmissão
quase puras para certos comprimentos de onda, porque devido as ondas
incidentes e reflectidas, pode haver um cancelamento dentro do poço.