Aula-7
Fótons e ondas de matéria I
Curso de Física Geral F-428
A radiação do corpo negro
Até agora estudamos fenômenos em que a luz é
encarada como onda. Entretanto, há casos em que a
explicação convencional da teoria eletromagnética
de Maxwell não é satisfatória.
Max Planck
Corpo Negro
Material aquecido emite
no visível
A radiação do corpo negro
• Para explicar o comportamento da radiação emitida por uma
cavidade mantida a temperatura T, em função da sua freqüência
(ou comprimento de onda), Planck (1900) usou uma expressão
que, além de explicar as suas observações, reproduziu o resultado
clássico da radiância espectral (lei de Rayleigh-Jeans):
S ( ) 
2 c kB T
4
k B  1.38  10  23 J / K
(Constante de Boltzmann)
A radiação do corpo negro
S ( ) 
2 c kB T

4
A lei de Rayleigh-Jeans concorda
com os resultados experimentais
para longos comprimentos de onda
corpo negro
A radiação do corpo negro
Planck postulou a expressão (lei da radiação de Planck):
S P ( ) 
2 c2 h
1
5
exp( hc /  k BT )  1
Comparando esta expressão com resultados experimentais para
várias temperaturas, Planck determinou o valor de h como:
h  6.63  10 34 J s
(constante de Planck)
A radiação do corpo negro
Dois limites importantes:
h
i)
1
k BT
 S P ( ) 
2  k B cT
4
lei de Rayleigh-Jeans da radiação.
h
ii )
 1
k BT
 S P ( ) 
2  c 2h
5

hc 


exp 
  k BT 
A radiação do corpo negro
• Para obter sua lei de radiação, Planck fez a hipótese de que a
energia armazenada, em cada modo de oscilação eletromagnética
(de frequência  ), era discreta e da forma:
En  n h
n  0,1, 2,...
portanto, independente da amplitude do campo. Isso indicava que
o movimento dos elétrons oscilantes nas paredes da cavidade (que
geram o campo elétrico) deveria apresentar apenas valores
discretos (quantizados), não contínuos, como se acreditava.
E  h
A radiação do corpo negro
• Planck
acreditava que a sua hipótese era
apenas um artifício matemático, e que o
fenômeno de radiação do corpo negro
ainda viria a ser explicado de uma outra
forma. Ele mesmo tentou obter uma outra
explicação, por muitos anos.
Prob. 1:
Uma lâmpada de sódio de 100 W ( = 589 nm) irradia
energia uniformemente em todas as direções.
a) Quantos fótons por segundo (R) são emitidos pela
lâmpada?
b) A que distância da lâmpada uma tela totalmente
absorvente absorve fótons à razão de 1,00 fóton/(cm2 s) ?
c) Qual é o fluxo de fótons (por unid. de área e de tempo)
em uma pequena tela situada a 2,00 m da lâmpada?
Prob. 1:
Uma lâmpada de sódio com potência (P) de 100 W irradia energia ( = 589 nm)
uniformemente em todas as direções.
a) Quantos fótons por segundo (R) são emitidos pela lâmpada?
b) A que distância da lâmpada uma tela totalmente absorvente absorve fótons à razão
(ou fluxo: F) de 1,00 fóton/(cm2 s) ?
c) Qual é o fluxo de fótons, F (por unid. de área e de tempo), em uma pequena tela
situada a 2,00 m da lâmpada?
a)
P  R E  R h  R h
b) F 
c

R
P
hc
1/ 2
 R 

 r  
 4 F 
R
4 r 2

(589  10 9 m)  (100 W )
(6,63  10 34 J s)(3  10 8 m/s)
 2,96  10 20 fótons/s
1/ 2
 2,96  10 20 fótons/s 

 
4
2 
 4  10 fótons/(m s) 
 4,85  10 7 m
onde: F = 1 fóton/(cm2s) = 104 fótons/(m2s)
c)
F
R
4 r 2

2,96  10 20 fótons/s
4 (2 m) 2
 5,89  1018 fótons/(m 2s)
O efeito fotoelétrico
Observado por Hertz (1887) e Hallwachs (1888)
i( )
0

• Ocorre a emissão de elétrons de uma placa metálica, quando
iluminada por radiação EM. Os fotoelétrons emitidos, e a corrente
por eles gerada, só existem acima de um limiar de frequência  0 ,
independente da intensidade da radiação.
O efeito fotoelétrico
•Cada elétron requer uma energia mínima 
para sair do metal. Assim, se fornecermos
uma energia E o fotoelétron sairá com uma
energia cinética:
Ek  E  
Assumindo que a absorção de energia
de 1 elétron se dê através da absorção
de 1 quantum, h , teremos:
Ek  h  
Como diferentes elétrons necessitam
diferentes energias para sairem, vamos
definir o mínimo de  como 0 ; a
função trabalho do metal
Ek
h
0
O efeito fotoelétrico
Ek max  h  0
Ek
Ek max  0  h  0  0
não há emissão de fotoelétrons para
frequências abaixo de:
0 
0
h
h
0
O efeito fotoelétrico
V0
Coef. Ang.:  
h
e

+
_
V0  
0
e
0 
0
h
Ekmax pode ser medida pelo circuito acima, pois os elétrons são
freiados por V . Assim, podemos zerar a corrente para um certo
valor V0 (potencial de corte):
Ek max  eV0
0
h
 eV0  h  0  V0   
e
e

O efeito fotoelétrico
i(V )

 V0
O que independe da intensidade da radiação
incidente são os valores de V0 e  0 ; não o
valor da corrente depois de estabelecida!
0
2I
e 
I
e 
V
photoelectric
O fóton
• A partir do conceito do quantum de energia, h , e da fórmula da
energia de uma partícula relativística com massa de repouso m0= 0,
podemos escrever:
E m c  p c  p c
2
2 4
0
2 2
2 2
E  h  p c
Portanto, o momento linear do quantum h é :
p
h

ou


 p  k

 E  
h
p  k ; onde  
 1.05  10 34 Js
2
pictoricamente:
Prob.2:
Numa experiência do efeito fotoelétrico, onde utilizamos
luz monocromática e um fotocatodo de sódio, encontramos
um potencial de corte de 1,85 V para um comprimento de
onda de 3000 Å e de 0,82 V para um comprimento de onda
de 4000 Å. Destes dados determine:
a) O valor da constante de Planck.
b) A função trabalho do sódio.
c) O comprimento de onda de corte do sódio.
Prob.2:
Numa experiência do efeito fotoelétrico, onde utilizamos luz monocromática e um fotocatodo
de sódio, encontramos um potencial de corte de 1,85 V para um comprimento de onda de 3000
Å e de 0,82 V para um comprimento de onda de 4000 Å. Destes dados determine:
a) O valor da constante de Planck.
b) A função trabalho do sódio.
c) O comprimento de onda de corte do sódio.
a) e b)
eV01 
eV02 
hc
1
hc
2
e (V01  V02 )
e (V01  V02 )  hc (   )  h 
c (11  21 )
1
1
 0
h
 0
1
2
1,85 eV  0,82 eV
1,03 eV
15


4
,
136

10
eV s
8
1
1
7
15
3  10  (3  4 )  10
3  10  (0,083)
4,136  10 15  3  108
0   eV01 
 1,85 eV  2,28 eV
7
1
3  10
hc
c)
0 
0
h

c
max
4,136  10 15  3 10 8
 max 

 5,44 10 7 m  544 nm
0
2,28
 0 : frequência de corte
hc
max : comprimento de onda de corte
O efeito Compton
•A hipótese da existência do fóton foi confirmada experimentalmente
por Compton (1923), ao incidir raios-X sobre um alvo de carbono:
Detetor
Fóton do raio-X
Elétron do alvo
Fóton espalhado
Elétron espalhado
compton
O efeito Compton
Classicamente esperaríamos
somente um pico de   0 da
radiação incidente, o que não
ocorre.
0
0
A explicação é baseada
no fato do fóton carregar

momento linear ( p ) e
energia ( E ).
0
0
O efeito Compton
p2  0

 
 
p1  p2  p3  p4
E1  E2  E3  E4
E
p1 
c
( m1  0)
 

p1  p3  p4
E
p3 
c
p4  ?
p42  p12  p32  2 p1 p3 cos 
E  m0c 2  E  p42c 2  m02c 4
1 1
1
 
(1  cos  )
2
E  E m0 c
( E  E   m0 c 2 ) 2  p42 c 2  m02 c 4
O efeito Compton
Como E  h podemos escrever:
1
1
1


(1  cos  )
2
h  h m0 c
h
   0 
(1  cos  )
m0 c
h


 2,43  10 12 m
  c (1  cos  ) ; onde: c
m0 c
é o comprimento de onda de Compton da partícula espalhada.
• Se um elétron que espalha a radiação está fracamente ligado ao
átomo de carbono, m0 = me . Mas se um elétron está fortemente
ligado ao átomo, m0 = M, onde M é a massa do átomo. Como isso
sempre ocorre, deteta-se sempre dois picos (para  > 0) porque:
M  me  a  e
Prob. 3:
Considere um feixe de raios-X com comprimento de onda de
1,00 Å. Se a radiação espalhada pelos elétrons livres é observada
a 90o do feixe incidente, determine:
a) O deslocamento Compton.
b) A energia cinética fornecida ao elétron.
c) A percentagem da energia do fóton incidente que é cedida ao
elétron.
Prob. 3:
Considere um feixe de raios-X com comprimento de onda de 1,00 Å. Se a radiação espalhada
pelos elétrons livres é observada a 90o do feixe incidente, determine:
a) O deslocamento Compton.
b) A energia cinética fornecida ao elétron.
c) A percentagem da energia do fóton incidente que é cedida ao elétron.
a)
   f  i
i  1010 m ;   90
h
h
6,63  10 34 Js
 
(1  cos 90) 
  
 2,43  10 12 m  2,43 pm
 31
8
m0 c
m0 c
(9,11  10 kg)( 3  10 m/s )
b) E if  Eei  E ff  Eef  h i  h f  Ecin ; Eei  0



c
c 
1
1

Ecin  h

 hc i1  i     (6,63 10 34 )(3 108 ) 1010  1010 1,0243
  
f 
 i
Ecin  1,989 1015 2,37 102  4,72 1017 J  2,95 102 eV  295 eV



c) Variação da energia do fóton:
 E ff  E if
E f  
 Ei
f

  hcf 1

  i





1


1
 
  hc1

i
  f
 



1010
  100 0,976  1  2,4%
E f (%)  100 

1
10
1
,
0243

10


(cedida ao elétron)
Aula-7
Fótons e ondas de matéria II
Curso de Física Geral F-428
A experiência de Young
A teoria ondulatória da radiação eletromagnética nos ensinou que
depois de passar por duas fendas ela apresenta uma figura de
interferência ao ser detectada num anteparo.
A experiência de Young
Por outro lado, corpúsculos clássicos apresentariam uma figura
da forma:
I=I1+I2
Como conciliar a teoria ondulatória com a corpuscular ?
A experiência de Young
1- feixe de luz intenso:
figura de interferência na
medida de intensidade no
anteparo
A experiência de Young
2- feixe de luz intenso +
detector no anteparo:
figura de interferência na
medida de intensidade no
anteparo, mas...
contagem discreta da
chegada dos fótons;
apesar de muitos por
segundo
detector
A experiência de Young
3- feixe de luz não intenso
+ detector no anteparo:
1 fóton por segundo
atravessa uma das fendas
e 1 fóton por segundo é
registrado em algum ponto
do anteparo. (Experiência
de 1 fóton)
detector
A experiência de Young
Mas, no decorrer de um intervalo de tempo muito longo:
o histograma apresenta um perfil de interferência...
... compatível com a sobreposição dos resultados de N >>1
experiências envolvendo apenas 1 fóton!
A experiência de Young
Por onde passou o fóton?
Bloqueador de
fenda
Esta informação destrói a figura de interferência!
A experiência de Young
Quem sofre interferência?
Um raciocínio apenas qualitativo:

2 
Intensidade no anteparo é dada por: I (r )  c  0 E (r , t )

 N (r )
Em termos do número de fótons:
I (r ) 
h
A t

onde N (r ) é o número de fótons que atinge a placa, numa
área A , em t segundos.

2 
N (r )
E (r )

 0
  (r )
c A t
h
que dá o número de fótons
por unidade de volume
A experiência de Young
Para compatibilizar essa grandeza com a “experiência de 1 fóton”
devemos interpretá-la como uma densidade de probabilidade de

se encontrar um fóton em torno de r !

3

(
r
)
d
r 1

V
 
Nesse caso E (r ) seria o campo elétrico “associado” à existência
de 1 único fóton! Mas, devemos interpretar este “campo” com
muito cuidado, já que a visão clássica a ele associada é exatamente
o que os resultados experimentais contradizem.
Outro ingrediente a ser introduzido: princípio de superposição
(ignorando o caráter vetorial do campo elétrico):



E (r )  E1 (r )  E2 (r )
A experiência de Young
Se definirmos uma função complexa

 (r ) 
0
0

 2

 2
* 
E ( r ) , teremos | ( r ) |   ( r ) ( r ) 
| E(r ) |
h
h
Daí:



 (r )   1 (r )  2 (r )

 2
 2
 2

* 
| ( r ) |  | 1 ( r ) |  | 2 ( r ) | 2 Re 1 ( r ) 2 ( r ) 
0
 2
 2

* 

| E1 ( r ) |  | E2 ( r ) | 2 Re E1 ( r ) E2 ( r )
h
Termo de interferência
A experiência de Young
O objeto principal da teoria é a função de onda, ou amplitude de

probabilidade  (r , t ) , cujo módulo quadrado é a densidade de

probabilidade de se encontrar um fóton no ponto r :

 2
 (r , t ) |  (r , t ) |
No caso de fótons, não podemos somar as probabilidades dele ser
oriundo de uma fenda ou outra. Devemos somar as amplitudes de
probabilidade (superposição) para depois tomar o seu módulo
quadrado (intensidade) !
No caso de N fótons:
0
0

 2

 2
* 
E (r )  |  (r ) |   (r ) (r ) 
| E (r ) |
Nh
Nh

Aqui, E (r ) é o campo “associado” à presença de N fótons.

 (r ) 
A experiência de Young



(
r
,
t
)
Convém enfatizar que a proporcionalidade entre
e E (r , t )

é apenas de caráter formal. E (r , t ) é o campo elétrico, uma
variável clássica cuja dinâmica é regida pelas equações de

Maxwell. Já  (r , t ) é uma função criada para explicar os
resultados da experiência da fenda dupla no caso de poucos
fótons. A sua interpretação é probabilística e poderíamos postulála sem qualquer menção ao campo elétrico. Os dois pontos
fundamentais são:



• Princípio da superposição:  (r , t )   1 (r , t )  2 (r , t )

 2
• Interpretação probabilística:  (r , t ) |  (r , t ) | onde

3
 (r , t ) d r  1

V
A hipótese de de Broglie
• Baseado no fato da radiação eletromagnética
(EM) propagar-se como onda e, ao interagir com a
matéria, apresentar características corpusculares,
Louis de Broglie (1924) considerou a possibilidade
de corpúsculos apresentarem comportamento
ondulatório, em determinadas circunstâncias.
• Mesmo argumentando que era irrelevante questionar se a radiação
EM é uma onda, que ao interagir com a matéria manifesta um
comportamento ondulatório, ou um conjunto de partículas, cujo
movimento é governado por ondas, de Broglie adotou o segundo
ponto de vista para determinar as características ondulatórias da
matéria.
A hipótese de de Broglie
Usando as relações de Planck – Einstein:


p  k
E  
de Broglie associou um comprimento de onda  e uma freqüência 
a uma partícula de momento p e energia E, através das relações:
h

p
E

h
Louis de Broglie recebeu o prêmio Nobel em 1929
Difração eletrônica
• A confirmação da hipótese de de Broglie veio
através das observações de Davisson e Germer
(1927) e Thomson (1928), que fizeram
experimentos com feixes de elétrons incidindo
sobre amostras cristalinas de níquel (os dois
primeiros) ou pó de alumínio (o segundo).
Difração eletrônica
Experimento de Davisson-Germer
p2
h
E
 p  2mE   
2m
2mE
E  1.6  10 19 J  1 eV
m  9.1  10
31
kg
h  6.6  10 34 J.s
ο
(1eV )  12.2 A
Difração de Bragg: 
ο
d  2.15 A
  50
ο
 d sin 
ο
  1.65 A
Difração eletrônica
Experimento de
Thomson
Davisson e Thomson
receberam o prêmio
Nobel em 1937
raios – X
• Os resultados aqui
apresentados para
elétrons são compatíveis
com os dos fótons
através da fenda dupla
elétrons
A experiência de Young
• Os experimentos de difração eletrônica indicam que, depois de
passar por duas fendas , partículas suficientemente pequenas
(elétrons, por exemplo) apresentam uma figura de interferência ao
serem detectadas num anteparo.
A experiência de Young
Mas, corpúsculos clássicos apresentariam uma figura da forma:
I1
I = I1+I2
I2
Como conciliar a teoria ondulatória com a corpuscular ?
A experiência de Young
1- feixe eletrônico intenso: figura
de interferência na medida do
número de partículas que chegam
no anteparo
A experiência de Young
2- feixe eletrônico intenso +
detector no anteparo: figura de
interferência na medida de
intensidade no anteparo,
mas...contagem discreta da
chegada dos elétrons, apesar de
muitos por segundo
detector
A experiência de Young
3- feixe eletrônico não intenso +
detector no anteparo: 1 elétron por
segundo atravessa uma das fendas
e 1 elétron por segundo é
registrado em algum ponto do
anteparo.
detector
A experiência de Young
Mas, no decorrer de um intervalo de tempo muito longo:
o histograma apresenta um perfil de interferência...
... compatível com a sobreposição dos resultados de N >>1
experiências envolvendo apenas 1 elétron!
A experiência de Young
Intensidade do
feixe de
elétrons
wavemechanics-duality
A experiência de Young
Por onde passou o elétron?
Bloqueador de
fenda
Esta informação destrói a figura de interferência!
Interferência de objetos complexos
Recentemente (1999), foi mostrado que
moléculas com um grande número de
átomos também podem apresentar uma
figura de interferência.
Interferência de objetos complexos
Nature 401 (1999) 1131
Prob. 4:
Se o comprimento de onda de de Broglie de um próton é 100 fm,
a) qual é a velocidade do próton?
b) A que diferença de potencial deve ser submetido o próton para chegar a esta
velocidade?
a) p  m p v 
b)
eV 
h

mpv2
2


h
v
mp
V 
mpv2
2e
A função de onda
A nossa conclusão sobre tudo o que foi dito até agora é que, dada
uma partícula atômica ou um fóton, este objeto pode ser descrito
pela chamada amplitude de probabilidade  (r , t ) , ou função de
onda, à qual podemos aplicar:



• Princípio da superposição:  (r , t )   1 (r , t )  2 (r , t )
• Interpretação probabilística:
(Max Born)


 2
 (r , t ) |  (r , t ) |

 (r , t ) d 3r  1
V
A função de onda carrega a informação máxima
que podemos ter sobre o sistema em questão.
Dualidade e complementaridade
Assim, as propriedades ondulatórias e corpusculares coexistem.
Esta é a chamada dualidade partícula – onda .
Entretanto, não há nenhuma forma destas duas propriedades serem
testadas simultaneamente. Ou fazemos um esquema de medida
onde o aspecto corpuscular seja evidenciado ou um que revele o
caráter ondulatório do sistema em questão.
Este é o princípio da complementaridade, que ficou bem claro na
experiência de Young que analisamos.