MA13 – Exercícios das Unidades 3 e 4
2014
Lista 2
Geometria, Coleção Profmat, SBM.
Problemas selecionados da seção 2.3, pág. 52 em diante.
1) Na figura abaixo, se r // s, prove que   a  b .
L02-1
2) Na figura a seguir os ângulos ABC, BCD, e DEF medem, respectivamente, 20o, 60o
e 25o. Sabendo que as retas AB e EF são paralelas, calcule a medida do ângulo CDE.
L02-2
3) Na figura a seguir, mostre que   DAˆ B  ABˆ C  BCˆ D .
L02-3
4) Calcule a soma dos ângulos nos vértices A, B, C, D, e E da estrela de cinco pontos
da figura abaixo.
L02-4
5) Em um triângulo ABC seja M o ponto médio do lado BC. Se AM 
BC
, mostre
2
que o ângulo BAC é reto.
6) Se I é o ponto de interseção das bissetrizes internas traçadas a partir dos vértices B
e C do triângulo ABC prove que BIˆC  90 o 
ˆC
BA
.
2
7) Em um triângulo ABC seja I a o ponto de interseção das bissetrizes externas
relativas aos vértices B e C. Prove que BIˆa C  90 o 
ˆC
BA
.
2
8) Em um triângulo ABC isósceles de base BC os pontos D sobre BC e E sobre AC
são tais que AD  AE e BAˆ D  48 o . Calcule a medida do ângulo CDE.
9) O triângulo ABC isósceles de base BC. Os pontos D e F sobre o lado AB e E sobre
o lado AC são tais que BC  CD  DE  EF  FA . Calcule a medida do ângulo BAC.
10) (Torneio das Cidades) ABCDEF é um hexágono tal que as diagonais AD, BE e CF
passam todas por um mesmo ponto M, que as divide ao meio. Prove que
Aˆ  Bˆ  Cˆ  360 o .
Geometria, Coleção Profmat, SBM.
Problemas selecionados da seção 2.4, pág. 22 em diante.
11) Se dois lados de um triângulo isósceles medem 38cm e 14cm, calcule seu
perímetro.
12) Encontre o intervalo de variação de x no conjunto dos reais sabendo que os lados
de um triângulo são expressos em centímetros por x  10 , 2 x  4 e 20  2 x .
13) Em um triângulo ABC o lado AB tem por comprimento um número inteiro de
centímetros. Calcule o maior valor possível para AB sabendo que AC  27 cm,
BC  16 cm e que Cˆ  Aˆ  Bˆ .
14) (Torneio das Cidades) Se a, b, c, são os comprimentos dos lados de um triângulo
prove que a 3  b 3  3abc  c 3 .
Sugestão: fatore a 3  b 3 e use a desigualdade triangular.
15) Dado um quadrilátero convexo ABCD prove que o ponto P do plano para o qual a
soma PA  PB  PC  PD é mínima é o ponto de interseção das diagonais do
quadrilátero.
16) Na figura abaixo as semirretas r e s são perpendiculares. Construa com régua e
compasso os pontos B  r e C  s para os quais AB  BC  CD seja o menor
possível.
Sugestão: caminho mínimo no Resumo 4.2.
L02-5
17) Seja ABC um triângulo retângulo em B e tal que AB  BC . Dado um ponto P no
interior de ABC prove que PA  PB  PC  AB  AC .
Sugestão: Trace por P uma paralela ao lado BC.