Terceira Lista de Preparação para a XXVI Olimpı́ada de Matemática do Cone Sul e
V Olimpı́ada de Matemática dos Paı́ses de Lı́ngua Portuguesa
Prazo: 20/03/2015, 23:59 de Brası́lia
Álgebra
PROBLEMA 1
Dado que a, b, x e y são números reais tais que:
a+b
ax + by
=
=
23,
79,
ax2 + by 2
ax3 + by 3
=
=
217,
691,
Determine ax4 + by 4 .
PROBLEMA√2
Prove que se
polinômio.
3
2+
√
3
4 é raiz de um polinômio cúbico com coeficientes inteiros, então ele é a única raiz real desse
PROBLEMA 3
Considere a sequência {an }n≥1 , tal que an = 4an−1 (1 − an−1 ) para n ≥ 2. Sabe-se que a2015 = 0. Quantos são
os possı́veis valores de a1 ?
PROBLEMA 4
Dado um número inteiro n ≥ 2, considere todas as frações da forma 1/ab, sendo a e b inteiros positivos primos
entre si com a < b ≤ n e a + b > n. Prove que, para cada n, a soma dessas frações é 1/2.
Combinatória
PROBLEMA 5
Um subconjunto A do conjunto {1, 2, 3, ..., 2015} é dito dobrado quando possui dois elementos a e b tal que
a = 2b. Qual a menor quantidade de elementos necessária para garantir que um conjunto é dobrado?
PROBLEMA 6
Seja S um conjunto de n pontos no plano. A menor distância entre dois pontos de S é d. Mostre que existe √
um
subconjunto com pelo menos n/7 pontos de S tais que a distância entre quaisquer dois deles é pelo menos d 3.
PROBLEMA 7
Há 100 cidades em um paı́s. Alguns pares de cidades estão conectadas por estradas de mão dupla, cada estrada
ligando exatamente duas cidades. Sabe-se que para qualquer conjunto de quatro cidades há pelo menos duas
estradas ligando dois dos possı́veis seis pares de cidades e que não existe um caminho formado por estradas que
passa por cada cidade exatamente uma vez. Prove que existem duas cidades tais que todas as outras cidades
estão conectadas diretamente por uma estrada a pelo menos uma delas.
PROBLEMA 8
Seja A o conjunto das permutações π de (1, 2, . . . , n) tais que π(π(i)) = i para todo i, 1 ≤ i ≤ n. Seja B o
conjunto das permutações ρ de (1, 2, . . . , n) tais que, para i, 1 ≤ i ≤ n − 2, não é verdade que ρ(i) > ρ(i + 1) e
ρ(i) > ρ(i + 2). Prove que |A| = |B|.
Geometria
PROBLEMA 9
No triângulo ABC, sejam D, E e F os pontos médios dos lados e P , Q e R os pontos médios das medianas
AD, BE e CF , respectivamente. Prove que o valor de:
AQ2 + AR2 + BP 2 + BR2 + CP 2 + CQ2
AB 2 + BC 2 + CA2
não depende do formato do triângulo e ache seu valor.
PROBLEMA 10
Considere um triângulo ABC com ∠B > 90◦ , tal que para um ponto H sobre o lado AC, temos AH = BH e
∠HBC = 90◦ . Sejam D e E os pontos médios de AB e BC, respectivamente. Por H, uma paralela a AB é
traçada, cortanto DE em F . Prove que ∠BCF = ∠ACD.
PROBLEMA 11
Seja Γ o circuncı́rculo de um triângulo ABC. Seja P um ponto sobre Γ. Sejam D e E os pés das perpendiculares
por P às retas AB e BC, respectivamente. Determine o lugar geométrico descrito pelo circuncentro do triângulo
P DE à medida que P varia sobre Γ.
PROBLEMA 12
Seja ABC um triângulo acutângulo. Sejam AA1 e BB1 alturas, com A1 sobre BC e B1 sobre AC. Seja D um
ponto no arco AB do circuncı́rculo de ABC que contém C. As retas AA1 e BD se cortam em P e as retas BB1
e AD se cortam em Q. Prove que o ponto médio de P Q está sobre a reta A1 B1 .
Teoria dos Números
PROBLEMA 13
Uma sequência de inteiros é dita cheia-dos-paranaue se todo inteiro positivo tem um múltiplo na sequência.
Prove que uma progressão aritmética é cheia-dos-paranaue se, e somente se, sua razão divide seu primeiro termo.
PROBLEMA 14
Prove que existem infinitas triplas ordenadas de inteiros positivos (a, b, c) tais que o mdc dos três números a, b
e c é 1 e a soma a2 b2 + b2 c2 + c2 a2 é um quadrado perfeito.
PROBLEMA 15
Sejam x, y, z, a, b e c inteiros positivos tais que xy ≡ a(mod z), yz ≡ b(mod z) e zx ≡ c(mod y). Prove que
min{x, y, z} ≤ ab + bc + ca.
PROBLEMA 16
Encontre todos os primos positivos p e q para os quais a congruência
α3pq ≡ α
(mod 3pq)
é válida para todo inteiro α.
Problemas gerais
PROBLEMA 17
Os cı́rculos ω1 , de centro O1 e ω2 , de centro O2 , são tangentes externamente no ponto T . Um terceiro cı́rculo
Ω, de centro O, é tangente a ω1 em A e ω2 em B, e é tal que O1 e O2 estão no interior de Ω. A reta tangente a
ω1 e ω2 em T corta Ω em K e L. Seja D o ponto médio de KL. Prove que ∠O1 OO2 = ∠ADB.
PROBLEMA 18
Seja n um inteiro positivo. Prove que:
n
X
k=0
n
n−k
2n + 1
=
2
k
⌊(n − k)/2⌋
n
k
PROBLEMA 19
Duas sequências de inteiros a1 , a2 , a3 , . . . e b1 , b2 , b3 , . . . satisfazem a equação
(an − an−1 )(an − an−2 ) + (bn − bn−1 )(bn − bn−2 ) = 0
para todo n > 2. Prove que existe um inteiro positivo k para o qual ak = ak+2016 .
PROBLEMA 20
Encontre todos os inteiros positivos ı́mpares n tais que, para todos divisores positivos a, b de n com (a, b) = 1,
a + b − 1 também é divisor de n.