MA13 – Exercícios da Unidade 12
2014
Lista 7
Geometria, Coleção Profmat, SBM.
Problemas selecionados da seção 5.1, pág. 212 em diante.
7) Seja ABCD um quadrado de lado 1, E o ponto médio de BC e F o ponto médio de
CD. Sendo G o ponto de interseção de DE e AF calcule a área do triângulo DFG.
8) Seja ABCD um quadrado de lado 1, e E o ponto interior ao quadrado de forma que
ABE seja equilátero. Calcule a área do triângulo BCE.
9) Sejam ABCD um quadrilátero qualquer, M, N, P e Q os pontos médios dos lados AB,
BC, CD e DA. Prove que
1
( MNPQ ) = ( ABCD )
2
.
10) São dados no plano dois quadrados de lado 1 tais que o centro de um deles coincide
com um vértice do outro. Determine os valores possíveis para a área da porção comum
aos dois quadrados.
11) Em um quadrilátero convexo de área 32cm2, a soma dos comprimentos de dois
lados opostos mais uma diagonal é 16cm. Determine os valores possíveis para a outra
diagonal.
Geometria, Coleção Profmat, SBM.
Problemas selecionados da seção 5.2, pág. 226 em diante.
12) Sejam ABCD um paralelogramo e EFG m triângulo cujos vértices estão situados
sobre os lados de ABCD. Prove que
( ABCD ) ≥ 2( EFG )
.
13) Seja ABC um triângulo qualquer.
a) Prove que com as medianas de ABC pode-se formar um triângulo DEF.
b) Calcule a razão entre as áreas dos triângulos ABC e DEF.
14) Para que valores de n é possível particionar um triângulo equilátero de lado n em
trapézios de lados medindo 1, 1, 1 e 2?
15) ABCD é um trapézio de bases BC e AD e lados não paralelos AB e CD. Seja E o
ponto médio do lado CD e suponha que a área do triângulo AEB seja igual a 360cm2.
Calcule a área do trapézio.
16) Por um ponto P no interior de um triângulo ABC traçamos retas paralelas aos lados
de ABC. Tais retas particionam ABC em três triângulos e três paralelogramos. Se as
áreas dos triângulos são iguais a 1, 4 e 9, calcule a área de ABC.
Problemas suplementares
17) Mostre que a razão entre as áreas de triângulos semelhantes é o quadrado da razão
de semelhança.
18) Calcule quantos triângulos equiláteros de lado 1 cabem dentro de um hexágono
regular de lado 12.
AD = 6 AB = 12 BC = 4
19) Calcule a área do quadrilátero ABCD onde
,
,
e
Aˆ = Bˆ = 60 o
.
20) No triângulo ABC os pontos D e E pertencem aos lados AB e AC respectivamente.
Prove que
( ADE ) AD ⋅ AB
=
( ABC ) AE ⋅ AC
21) No triângulo ABC os pontos D e E pertencem aos lados AB e AC respectivamente.
AD = 3 DB = 2
Se
e
calcule a razão entre as áreas do triângulo ADE e do trapézio
BDEC.
22) No triângulo ABC retângulo em A os catetos medem b e c. O ponto D da hipotenusa
é tal que AD é bissetriz do ângulo reto. Mostre que
AD =
bc 2
b+c
23) O triângulo ABC tem área 100. O ponto M do lado AB é tal que
N do lado AC é tal que
NA 1
=
NC 3
MA 3
=
MB 2
. O ponto
. Calcule a área do quadrilátero MBCN.
24)* Na situação do exercício anterior, as retas BN e CM cortam-se em J. Calcule a área
do quadrilátero AMJN.