CA
P
Í
T
U
L
O
.
APLICAÇÕES
"
GEOMETRICAS
Neste capítulo são apresentadas algumas aplicações
dos vetares à Geometria Euclidiana.
o objetivo
deste capítulo é dar uma idéia de como os vetores podem ser úteis na obtenção
resultados geométricos, e para isso faremos demonstrações de alguns fatos da Geometria Euclidiana
A técnica vetorial pode simplificar bastante a resolução de problemas geométricos, mas isso nã
acontece sempre. O ideal é conhecer suas virtudes e suas limitações, para utilizá-Ia em nos
benefício.
Exercicio
>
Prove que as diagonais de um paralelo gramo têm o mesmo ponto médio.
Resolvido
Resolução
Sendo ABCD um paralelogramo e M o ponto médio da diagonal AC (Figura 5-1 (a)).
valem as igualdades BC = AD e CM = .MÃ. Para concluir que M também é ponto
médio da diagonal DB, basta mostrar que lfM = MJ5:
c
Q7C
A
Mr-------\
B
A
B
(b)
(a)
Figura 5-1
;>
Capítulo 5 - Aplicações geométricas
Exercicio
Resolvido
- 27
Prove que o segmento que une os pontos médios de dois lados de um triângulo é
paralelo ao terceiro e tem a metade da sua medida.
Resolução
No triângulo ABC, sejam M o ponto médio de AC e N o de BC (Figura 5-1 (b)). Assim,
podemos escrever
MN=MC+
CN= ~AC+~
2
2
Bi =~(AC+
Bi) =~
2
2
Ali
Logo, MN//AB e IIMJVII = 11ÃB1I/2.
Em vários exercícios usaremos o conceito de razão em que um ponto P divide um segmento orientado não-nulo (A,B), que é o número real r tal que AP = rjijj. É fácil ver que esse número
so/. existe se P pertence a'AB
reta
segmento AB e r
eP
IIAPII
= - -=quando
IIPBII
;é
B . Sob essas con diiçoes,
r
IIAPII quan d o
= -=IIPBII
P pertence ao
_
nao pertence.
Exercicio
Seja r a razão em que o ponto P divide o segmento orientado não-nulo (A,B). Prove
Resolvido
que r
;é
-
-1 e que AP
= -- r-AB.
1+r
Resolução
Se r fosse igual a-I, AP seria o vetor oposto de PB e, portanto, AB = AP + jijj
contradizendo a hipótese de que o segmento orientado (A,B) é não-nulo.
Como AP
= rPB, podemos
escrever
AP = r(PÃ + Ali)
= r(-AP + AB)
= -rAP + rAB
----rLogo, AP + rAP = rAB, ou seja, (1 + r)AP = rAB e, portanto, AP =
-
Exercicio
Resolvido
--
1+ r
AB.
Sejam A, B e C pontos distintos e p um número real. Seja X o ponto tal que AX
Exprima CX em função de CA, CB, p.
Resolução
CX= CÃ +AX= CÃ + pAli
= CA + p(AC + CB)
= CA + p(-CA + CB)
= CÃ - pCA + pCB
Logo,
= 5,
-<
= pAB.
·28 - Geometria Analítica - um tratamento
vetorial
CX = (1- p)CA
+ pCB
Faça figuras ilustrativas: uma, com A, B e C não-colineares, outras, com A, B e C
colineares e X ora interior, ora exterior ao segmento AB.
IIXERCÍCldS
5-1
Considerando A, B, C e X como no exercício resolvido anterior, seja m a razão em que X divide
CX em
(A,B). Exprima
5-2
função de
CA, CB,
m. Exprima p em função de m.
Sejam OABC um tetraedro e X o ponto definido por
BX = mBC.
Exprima
OX e AX
em função de
6Ã,Oã,oc,m.
5-3
(a) No triângulo ABCda Figura 5-2 (a), Mdivide (A,B) eNdivide
(C,B) na mesma razão r. Prove
IIMNII
calcule-=-.
IIACII
que MN//ACe
(b) No quadrilátero
ABCO (eventualmente
reverso, como na Figura 5-2 (b)), M divide (A,B),
N divide (C,8), P divide (C,O) e Q divide (A,O), todos na razão r. Prove que o quadrilátero
MNPQ é um paralelogramo.
(c) Suponha que o quadrilátero ABCO do item anterior seja um paralelogramo.
Mostre que as
quatro diagonais (as duas de ABCO e as duas de MNPQ) têm um ponto comum.
B
N
M
C
A
ngura 5-2
5-4
Sejam A, B e C pontos quaisquer, A ~ B. Prove que:
(a) X pertence à reta AB se, e somente se, existem
(b) X pertence ao segmento AB se, e somente se, existem
fJ~Oea+fJ=1;
(c) X é interior ao segmento AB (isto é, existe À tal que
XÃ
e
Xã são
CX = aCA + fJCB e a + fJ = 1;
a e fJ tais que CX = aCA + fJCB, a ~ 0,
a e fJ tais
°
que
<À < 1e
AX = ÀAB) se, e somente
se,
de sentido contrário.
5-5 • Prove que X é um ponto interior ao triângulo de vértices A, B e C se, e somente se, existem a
e fJ tais que
a
> 0,
fJ > 0, a + fJ < 1 e CX = aCA + fJCB.
é interior a um segmento que tem por extremidades
oposto.)
(Um ponto é interior a um triângulo se
um vértice e um ponto interior ao lado
Capítulo 5 - Aplicações geométricas
5-6
- 29
Prove que o segmento que une os pontos médios dos lados não-paratelos de um trapézio é
paralelo às bases, e sua medida é a semi-soma das medidas das bases (Figura 5-3 (a)).
5-7
Prove que o segmento que une os pontos médios das diagonais de um trapézio é paralelo às
bases, e sua medida é a semidiferença
D_~
das medidas das bases (Figura 5-3 (b)).
C
Dr-::-
Mf-----------\
7\C
N
B
A I'
A
B
(a)
(b)
Figura 5-3
5-8
Suponha que, no trapézio da Figura 5-3 (a), as razões em que M divide (D,A) e N divide (C,B)
são iguais a
r.Mostre
que
MN = _r_ AB + _1_ OC.
1+r
MN é igual a rllABII +
Deduza que MN// AB e que a medida de
1+r
IIOCII
1+r
EJferdçio
Reso1lf.ido
Sejam M, N e P, respectivamente, os pontos médios dos lados AB, BC e CA do triângulo ABC (Figura 5-4).
:<-'5
(a) Exprima BP, AN e
CM em
função de CA, CB.
(b) Prove que as retas-suportes de duas medianas quaisquer do triângulo são concorrentes.
(c) Prove que as três medianas têm um único ponto comum, que divide (A,N), (B,P)
e (C,M) na razão 2 (conhecido como baricentro do triângulo).
c
N
p
A
L..-
~
-""
B
M
Figura 5-4
Resolução ,
(a) Comecemos por
lfP. Note
que CP
= CÃ/2,
pois P é o ponto médio de AC. Logo,
30 - Geometria Analítica - um tratamento vetorial
-- AN
Analogamente se obtém, para AN,
=-
- + - 1CA
CB
2
Quanto a CM, trata-se de um caso particular do Exercício Resolvido 5-4, em que
X=Mep=
1/2:
CM= CA +AM= CÃ +
-.LAB
2
= CA + -.L (AC + CiJ)
2
- + CB)
= CA + - 1 (- CA
2
11= CA - - CA + - CB
2
2
Portanto,
11CM= -CA+-CB
2
2
(Note que, com procedimento e notação diferentes, já havíamos obtido esse resultado no Exercício Resolvido 3-8.)
-<
(b) Uma vez que as retas AN e BP são coplanares, para concluir que são concorrentes
basta provar que AN e BP não são paralelos (e o procedimento é análogo para os
outros pares de retas). Raciocinemos por redução ao absurdo: se esses vetores
fossem paralelos, existiria (Proposição 3-6) um número real À. tal que BP = À.AN.
Devido à parte (a), esta igualdade fornece
1-CB +- CA
2
1..1.= À.(-CA
+ - CB) = -À.CA + - CB
2
2
Sendo CÃ e CiJ não-paralelos, isso acarreta, pelo Corolário 3-11,-2
que é impossível. Concluímos que AR e BP não são paralelos.
= À. = -1/2, o
-<
(c) Chamemos G o ponto comum às retas AN e BP, e H o ponto comum às retas AN
e CM. Provaremos que G = H e que esse ponto pertence às três medianas, isto é,
aos segmentos AN, BP e CM.
Sendo A, G e N colineares, existe À.tal que AG = À.AN; logo, G = A + À.AN. Da
mesma forma, existe fl tal que G = B + flBP. Portanto, A + À.AN= B + flBP. Como
B = A + AB, podemos escrever
Usando PI e P2 (Proposição 4-2), concluimos que
Capítulo 5 - Aplicações geométricas
- 31
Substituindo AB por CB- CA e AR e BP por suas expressões deduzidas na parte
(a), obtemos
Como CA e CB não são paralelos, podemos aplicar o Corolário 3-11:
À
-= 1-,u
2
Estas igualdades fornecem À
= ,lI = 2/3 e, portanto,
2-
G=A+-AN=B+
3
2-
-BP
3
[5-1]
Quanto a H, existem a e (3 tais que H = A + aA.N = C + (3CM.Um procedimento
inteiramente análogo ao anterior leva à conclusão de que a = (3 = 2/3, de modo
que
[5-2]
Comparando [5-1]e [5-2],vemos que
G=H=A+
2-AN=B+
333
2-BP=
2~
C+ -CM
o que acarreta
[5-3]
Assim, podemos concluir que G pertence às três medianas, já que O < 2/3 < 1.
Além disso, da primeira igualdade de [5-3], obtemos
e, portanto, AG/3 = 2GN/3, ou seja,
Isto quer dizer que G divide (A,N) na razão 2. Analogamente, prova-se que G
divide (B,P) e (C,M) na razão 2, conforme foi enunciado.
-(
Exercicio
Resolvido
Dado um triângulo ABC qualquer, mostre que existe outro com lados paralelos e
congruentes às medianas do primeiro.
Resoluçêo
Usaremos a notação do Exercício Resolvido 5-5 (acompanhe na Figura 5-5).
32 - Geometria Analítica - um tratamento
vetoria/
c
x
A~-----------L----------~B
M
Figura 5-5
I
I
Tomemos um ponto O qualquer. Sejam X = O + AN, Y = X + BP e Z = Y + eM.
Inicialmente, mostremos que Z = O. Usando as expressões obtidas na parte (a) do
Exercício Resolvido 5-5 paraAN, ifP e eM, vemos facilmente queAN + ifP + EM = Õ.
Então,
Além disso, como XY = BP e YZ= eM, decorre do Exercício Resolvido 5-5 (b) que XV
e
não são paralelos. Logo, X, Ye Z, ou seja, X, Ye O, não são colineares. Existe,
pois, um triângulo de vértices X, Ye O. Como OX =AN, XY = BP e YO = eM, os lados
do triângulo XYO são paralelos e congruentes a AN, BP e eM.
-(
yz
5-9
(a) Mostre que o baricentro de um triângulo ABC (ponto comum às três medianas do triângulo)
é também o baricentro dos pontos A, B, C, como foi definido no Exercício 4-13.
(b) Sejam OABC um tetraedro e X o baricentro do triângulo ABG. Exprima
OX em função
de
OA,
OOe OCo
5-10 • Os segmentos AN, BP e CM são dois a dois não-paralelos. Dê uma condição sobre os vetores
AN, Bf3 e eM, que
não envolva suas normas, para que exista um triângulo de lados paralelos e
congruentes a AN, BP e CM.
5-11
2AM = Aã, 2BN = 5BC e 2CP=
(a) Dado o triângulo ABC, sejam M, N e P pontos tais que
Exprima AN,
Bf3
e
eM
CA.
em função de CA e CB, e prove que existe um triângulo de lados
paralelos a AN, BP e CM.
• (b) Dado o triângulo ABC, sejam M, N e P pontos tais que
AM = aAã, BN = j3BC e CP = yCA,
com a, 13 e y em [0,1]. Prove que existe um triângulo de lados paralelos e congruentes a AN,
BP e CM se, e somente se, a = 13 = y.
5-12
O ponto Xdivide (A, B) na razão a, Ydivide (B,C) na razão
CX,
5-13
AV e BZ em
função de
13 e Zdivide
(C,A) na razãoy. Exprima
CA, Cã, a, 13, y.
Dado o triângulo ABC, sejam X o ponto que divide (A,B) na razão 2 e Yo ponto que divide (B,C)
na razão 3.
,_\
Cv",.im",
r.x e AV em função
de
Aã, AO.
(b) Prove que as retas CX e AY são concorrentes
função de A,
5-14
Capítulo 5 - Aplicações geométricas
- 33
e exprima o ponto de concorrência
P em
AB, AC.
Dado o triângulo ABC, sejam X e Yos pontos tais que
(a) Prove que AX//BY
BX = aBC e AV = f3AC (Figura
5-6).
se, e somente se, (a - 1)(/3 - 1) = 1.
(b) Mostre que, se X é interior ao lado BC e Y é interior ao lado AC, então as retas AX e BY são
concorrentes.
A
B
Figura 5-6
5-15
Dado o triângulo ABC, tome O na reta BC tal que C seja o ponto médio de BO e Y na reta AC tal
que as retas AO e BY sejam paralelas. Exprima
AV em
função de
BA, BC
e mostre que C é o
ponto médio de A Y.
••
ü = CA/2 + CB/3
Bxercicio
"~
Dado o triângulo ABC, seja
.
Resolvido
(a) Explique por que existe e é único o ponto X da reta AR tal que CX//ü (Figura 5-7).
(b) Mostre que X pertence ao segmento AB e exprima
CX em
função de CA, CB.
(c) Calcule IIAXII e a razão em que X divide (B,A).
11XE11
A
B
Figura 5-7
Resolução
(a) O vetor ü não é paralelo a AJj pois, se fosse, existiria um número real À, tal que
CAI2 + CB/3 = ME = À,Ç4C + CB) = -À,CA + À,CB, e então -1/2 = À,= 1/3, o que é
impossível. Conseqüentemente, a reta paralela a ü que contém C não é paralela à
34 - Geometria Analítica - um tratamento vetorial
retaAB. Como se trata de retas coplanares, concluímos que elas são concorrentes
«
e que, portanto, o ponto X existe e é único.
(b) Como X, A e B são colineares, podemos escrever
vido 5-4 resulta
cx= (l-a)CA
AX = aAB. Do Exercício
+aCB
Resol-
[5-4]
Por outro lado, CX//ü;logo, existe À tal que
~-À~À-
CX = Àu
=-
2
CA + -
3
CB
[5-5]
De [5-4] e [5-5], obtemos
~
-
..1.- ..1.+ -CB
2
3
(1-a)CA +aCB= -CA
=
=
Como CAe CBnão são paralelos, concluímos que 1 - a À/2 e a À/3 (Corolário
3-11) e que, portanto, ..1.=
6/5 e a = 2/5. Logo, AX = aAB e O< a < 1, o que garante
que X pertence ao segmento AB. Voltando a [5-5], obtemos
~
3~
5
CX= -CA+
25
-CB
(c) Vimos em (b) que AX = 2AB/5. Logo, AX = 2(AX + XJJ)/5 e, portanto, 3AX/5 =
2XB/5, ou seja, M= 3XÃ/2. Isso quer dizer que X divide (B,A) na razão 3/2.
«
Tomando normas, obtemos IIMII
= 31tX4I1/2; logo,
2 _ IIXAII _ IIAXII
3 - IIMII - IIXBII
•.
m~~RGÍCIOS
5-16
~~
Sejam A, B e C vértices de um triângulo.
(a) Prove que, se m +
mGA +
n
"#-
O, então existe um ponto X na reta AB tal que
nGB. Exprima CX em
função de GA, GB, m,
(b) Relacione o caso particular em que m +
(c) Prove (algebricamente)
n=
CX seja
paralelo a
n.
1 com o Exercício 5-4.
que não existe o ponto X quando m + n = O. Interprete geometrica-
mente este caso.
5-17
No triângulo ABC, sejam
ü = GA, v = GB, W = ü -
2v. Calcule a para que X = C + aw pertença
à
reta AB.
5-18
Dado o triângulo ABC, seja X a interseção do lado AB com a bissetriz do ângulo interno de
vértice C (Figura 5-8) e sejam a = IIGBII e b = IlGAII.
Capítulo 5 - Aplicações geométricas
(a) Explique geometricamente
(b) Exprima
CX em função
por que
CX é paralelo
- 35
a CÃlb + Cãla.
AB,
de CÃ, Cã, a, b. Exprima AX em função de
a, b.
. .
_
IIAXII
11
§XII
(c) Mostre que X divide (A,B) na razao bla e conclua que -= --.
b
a
<.
y
x
A
B
Figura 5-8
5-19
No triângulo da Figura 5-8, sejam a = llCãll e b = llCÃII; suponhamos
que a
;é
b. Seja Ya
interseção da reta AB com a bissetriz do ângulo externo de vértice C.
(a) Explique geometricamente
(b) Exprima
CY
por que
CY
é paralelo a CÃlb - Cãla.
em função de CÃ, Cã, a, b. Exprima
AV
em função de
. .
_
IIAVII
(c) Mostre que Y divide (A,B) na razao -bla e conclua que --
b
AB,
a, b.
IIavll
= --.
a
(d) O que ocorreria se llCÃII e llCãll fossem iguais?
5-20 • Prove que existe um único ponto comum às bissetrizes internas de um triângulo e que esse
ponto, conhecido como
5-21
incentro
do triângulo, é interior a ele.
Dado o triângulo ABC não-retângulo,
sejam a = tgÂ, b = tg8 e c = tgê.
(a) Sendo CX a altura relativa ao vértice C, prove que
aAX = bXB
e exprima
CX em função
de
AV
em
CÃ, Cã, a, b.
(b) Sendo AYa altura relativa ao vértice A e BZ a altura relativa ao vértice B, exprima
função de CÃ, Cã, b, c, e
BZ em função
de CÃ, Cã, a, c.
• (c) Mostre que as retas-suportes das três alturas do triângulo ABC têm um único ponto comum
(ortocentro). Sendo P este ponto, mostre que
CP=
3
a+ b
a+b+c
CX
AP=
b+ c AV
a+ b+ c
BP=
a+ c
a+b+c
BZ
• (d) Prove que o ortocentro é interior ao triângulo se, e somente se, ele for acutângulo.
(No caso em que o triângulo é retângulo, é imediato verificar que as três alturas têm um único
ponto comum, que é o vértice do ângulo reto.)
1
5-22
5-23
Na Figura 5-9, IIAMII = 211Mãll e 311ANII = IINell. Exprima X em função de A,
AB, AC.
Sejam A, B, C e O vértices de um quadrado, E um ponto de AO e F um ponto de CO, tais que o
triângulo BEF seja eqüilátero. Calcule a razão em que E divide (A,O) e a razão em que F divide
(O,C).
36 - Geometria Analítica - um tratamento vetorial
c
N
AL-----------------~----~==~B
M
Figura 5-9
5-24
(a) Dado o triângulo ABC, sejam P, O e R pontos tais que
AB = aP8, AC
= (3QC, aPR
= (30R.
Prove que, se a ~ 1, então B, C e R são colineares .
•• (b) Sejam s, e
t, duas
retas concorrentes em B, tangentes à circunferência
de centro A e raio
r,
(Figura 5-10). Com centro em um ponto P da sem i-reta de origem B que contém A, traça-se
a circunferência
de raio r2 (menor que r,), tangente às retas s, e
tangentes à segunda circunferência,
concorrentes
circunferências
$2
e
t2.
Sejam
$3
e
t3
$2
e ~ duas retas
em R. Com centro em um ponto Q da
semi-reta de origem R que contém P, traça-se a circunferência
tangente às retas
t,. Sejam
de raio r3 (menor que r2),
as retas tangentes comuns à primeira e à terceira
que tenham em comum um ponto C da reta AO, exterior ao segmento AO.
Prove que B, C e R são colineares.
t,
~.""",----j'-::>'r~.------------:::;,....:='----=------t3
A
B
S2
t2
Figura 5-10
S,