Teleinformática e Redes I Comunicação de Dados e Representação de Sinais Analógicos e Digitais Aula 03 Profa. Priscila Solís Barreto Bits, números e informação Bit: numero com valor 0 ou 1 n bits permitem a numeração de 2n possibilidades n bits: representação digital para 0, 1, … , 2n Byte ou Octeto, n = 8 Palavra, n = 16, 32, ou 64 Campo n-bit no cabeçalho Representação de n-bits de uma amostra de voz Mensagem consistente de n bits O número de bits requeridos para representar uma mensagem é a medida do seu conteúdo de informação Mais bits → Mais conteúdo 2 Bloco vs. Informação de Stream Bloco Stream Informações que ocorrem Informação que é em um único bloco produzida e transmitida continuamente Mensagem de texto Arquivo de dados Imagem JPEG Arquivo MPEG Tamanho = Bits / bloco ou bytes/bloco 1 Kbyte = 210 bytes 1 Mbyte = 220 bytes 1 Gbyte = 230 bytes Voz tempo real Streaming vídeo Taxa de bits= bits / seg 1 kbps = 103 bps 1 Mbps = 106 bps 1 Gbps =109 bps 3 Visão Abstrata da Transmissão de Dados Transmissor Receptor Canal de Comunicação Propriedades do canal de comunicação: Largura de banda Atraso de propagação e transmissão Jitter Perdas/Erros Buffer 4 Atraso de Transmissão L R bps L/R tprop d c Numero de bits na mensagem Taxa de transmissão do sistema digital em bps Tempo para transmitir a informação Tempo para que o sinal propague pelo do meio Distância em metros Velocidade da luz (3x108 m/s) Delay = tprop + ttrans = d/c + L/R (segundos) Uso de compressão para reduzir L Uso de modem rápido para aumentar R Colocar servidores mais próximos para reduzir d 5 Compressão Informação normalmente não representada de forma eficiente Algoritmos de compressão de dados Representa a informação usando menos bits Sem ruido: informação original recuperada de forma exata Ruidoso: recuperar informação aproximadamente E.g. zip, compress, GIF, fax JPEG Balanço entre # bits e qualidade Relação da compressão 6 #bits (arquivo orginal) / #bits (arquivo comprimido) Informação de Stream Um sinal de voz de tempo real deve ser digitalizado e transmitido conforme é produzido O nível de um sinal analógico varia continuamente não tempo 7 Exemplo CD Largura de banda de 22KHz Cada amostra tem 16bits e ou sinal é amostrado a 44.000 amostras/seg Em um sistema stereo (com dois canais): 44.000 amostas/seg * 16 bits/amostra x 2 canais=1.4 Mbps Uma hora (3600s) de música = 633.600.000 bits ou aprox. 604 Mbytes de informação 8 Um sistema de transmissão Transmissor Receptor Canal de comunicação Transmissor Converte informação em um sinal adequado para transmissão Injeta energia no meio de comunicacação ou canal O telefone converte voz em corrente elétrica Fax Modens converte bits em tons audíveis (até 4khz) Receptor Recebe energia do meio Converte o sinal recebido de forma adequada para ser entregue ao usuário Telefone converte corrente em voz Modem converte tons em bits 9 Problemas de Transmissão Transmissor Sinal Recebido Receptor Sinal Transmitido Canal de Comunicação Canal de Comunicação Par de fios de cobre Cabo coaxial Ondas de Radio (ar) Luz em fibra óptica Luz no ar Infravermelho Problemas na Transmissão Atenuação do sinal Distorção do sinal Ruído Interferência de outros sinais 10 Comunicações Analógicas de Longa Distância Segmento de transmissão Fonte Repetidor ... Repetidor Destinatário Cada repetidor restaura o sinal analógico à sua forma original A restauração é imperfeita A Distorção não é completamente eliminada O Ruído e interferências são parcialmente removidos A qualidade do sinal diminui com ou número de repetidores As comunicações são limitadas na distância Ainda utilizado em sistemas analógicos de TV a cabo Analogia: Copiar uma música usando um gravador de fita 11 Transmissão Analógica versus Digital Na transmissão digital todos os detalhes devem ser reproduzidos Recebido Enviado • Exemplos: AM, FM, TV aberta Na transmissão digital somente níveis discretos devem ser reproduzidos Recebido Enviado • Exemplo: telefonia digial, audio CD 0110101... d metros Canal de comunicação 12 0110101... Em um canal de comunicação Segmento de Transmissão Fonte Sinal atenuado com distorção e ruído Repetidor Repetidor Amp. Equalizador Receptor Sinal recuperado + Ruído residual Repetidor 13 Analógico vs. Transmissão Digital Transmissão analógica : todos os detalhes devem ser produzidos de forma precisa Enviado Distorção Atenuação Recebido Transmissão Digital : somente níveis discretos devem ser reproduzidos Enviado Distorção Atenuação Recebido Receptor simples: O pulso original era positivo ou negativo? 14 Comunicações Digitais de Longa Distancia Segmento de transmissão Fonte Regenerador ... Regenerador Destino O regenerador recupera a sequência original de dados e a transmite ao segmento seguinte Projetado para que a probabilidade de erro seja pequena Cada regeneração é como a primeira transmissão! Comunicação é possível em distâncias muito longas Sistemas digitais vs. sistemas analógicos Menos potência, maiores distâncias, menor o custo do sistema Monitoramento, multiplexação, codificação, encriptação, protocolos … 15 Repetidor Digital Decision Circuit & Signal Regenerator Amplifier Equalizer Timing Recovery 16 Digitalização de um Sinal Analógico Amostrar o sinal analógico em tempo e amplitude Encontrar a melhor aproximação Sinal original 3 bits / sample valor amostragem 7D/2 5D/2 3D/2 D/2 Aproximação -D/2 -3D/2 -5D/2 -7D/2 17 Rs = Taxa de bits = nº de bits/amostra X nº de amostras/seg Taxa de bits de um sinal digitalizado Largura de banda Ws Hertz: a velocidade da variação do sinal Largura de banda mais alta → amostrar mais frequentemente Taxa mínima de amostragem = 2 x Ws Precisão da representação : intervalo de aproximação de erro Maior precisão → menor espaçamento entre valores de aproximação → mais bits por amostra 18 Exemplo: Voz & Audio Voz no telefone Ws = 4 kHz → 8000 amostras/sec 8 bits/amostra Rs=8 x 8000 = 64 kbps Telefones celulares usam algoritmos mais poderosos de : 8-12 kbps CD Audio Ws = 22 kHertz → 44000 amostras/seg 16 bits/amostra Rs=16 x 44000= 704 kbps por canal de audio MP3 usa algoritmos mais poderosos de compressão : 50 kbps por canal de audio 19 Transmissão de Informação de Stream Taxa constante de bits Sinais tais como a voz digitalizada produzem um stream estável : ex. 64 kbps A rede deve suportar a transmissão estável do sinal, isto é, circuitos de 64 kbps Taxa variável de bits Os sinais tais como vídeo digitalizado e comprimidos produzem stream que variam a taxa de bits, de acordo com a movimentação e detalhe na cena A rede deve suportar taxa de transmissão variável do sinal: ex. comutação de pacotes ou suavização da taxa com circuito de taxa constante de bits (traffic shaping) 20 Qualidade de Serviço de Stream Problemas na transmissão de rede: Atraso: A informação é entregue no tempo certo? Jitter: A informação é entregue suficientemente ‘suavizada’? Perda: A informação é entregue sem perdas? Se ocorrem perdas, a qualidade do sinal é aceitável? Aplicações e protocolos de aplicação são desenvolvidos para lidar com estes problemas 21 Digitalização de Sinais Analógicos Amostragem: obter amostras de x(t) em intervalos uniformes de tempo Quantização: mapear cada amostra em um valor de aproximação finita 1. 2. Pulse Code Modulation (PCM): conversa de telefone CD audio Compressão: para diminuir mais a taxa de bits, aplica-se um método adicional de compressão 3. Coding diferencial: conversa telefonia celular Codificação Subband : MP3 audio 22 Taxa de Amostragem e Largura de Banda Um sinal que varia mais rapidamente precisa ser amostrada mais frequentemente Largura de Banda mede a velocidade de variação do sinal x1(t) 10 10 1 0 1 0 ... x2(t) 11 1 1 0 000 ... ... ... t t 1 ms 1 ms Que é a largura de banda de um sinal ? Como se relaciona a largura de banda com a taxa de amostragem? 23 Caraterização do Canal: Domínio da Frequência Aincos 2ft Aoutcos (2ft + (f)) Canal t t A(f) = Aout Ain 24 O pulso 1 0000001 ... ... t 1 ms 25 Caraterização do Canal Domínio do Tempo h(t) Canal 0 t t td 26 Introdução a Séries de Fourier A análise de Fourier foi introduzida em 1822 no trabalho “Théorie analyitique du chaleur” para tratar da solução de problemas de valores na fronteira e na condução do calor. Mais de século e meio depois as aplicações desta teoria são amplas: Sistemas Lineares, Comunicações, Física moderna, Eletrônica, Óptica, Processamento de Sinais, entre muitas outras. 27 Funções Periódicas Uma Função Periódica f(t) tem a seguinte propriedade para todo valor de t: f(t)=f(t+T) A constante mínima para o qual se cumpre a propriedade anterior é chamado do período (T) da função. Aplicando ciclicamente a propriedade pode-se obter: f(t)=f(t+nT), onde n=0,1, 2, 3,... 28 Funções Periódicas Exemplo: ¿Cuál é o período da função f(t) cos( 3t ) cos( 4t ) Solução.- Se f(t) é periódica então: t T t t f(t T) cos( t T ) cos( ) f(t) cos( ) cos( 3 4 3 4) Mas cos(x+2k)=cos(x) para qualquer inteiro k, então para manter a igualdade é necessário que T/3=2k 1, T/4=2k2 Ou seja , T = 6k1 = 8k2 onde k1 e k2 são inteiros, O valor mínimo de T se obtém com k1=4, k2=3, ou seja,T=24 29 Funções Periódicas Gráfico da função f(t) cos( 3t ) cos( 4t ) 3 2 T f(t)=cos(t/3)+cos(t/4) f(t) 1 0 -1 -2 24 -3 0 50 100 150 200 t 30 Funções Periódicas Poderíamos pensar que qualquer soma de funções seno e coseno produz uma função periódica. Isto não é assim, por exemplo, consideremos a função f(t) = cos(w1t)+cos(w2t). Para que seja periódica precisamos encontrar dois inteiros m, n tais que w1T= 2m, w2T=2n onde w m 1 w2 n Ou seja, a relação w1/ w2 deve ser um número racional. 31 Funções Periódicas Exemplo: a função cos(3t)+cos(+3)t não é periódica, já que w 3 não é um número w 3 racional. 1 2 f(t)=cos(3t)+cos((3+pi)t) 2 f(t) 1 0 -1 -2 0 Series de Fourier. 32 5 10 15 t 20 25 30 Funções Periódicas Tarefa 1 : Encontrar o período das seguintes funções, se é que são periódicas: 1) f(t) = sen(nt), onde n é um inteiro. 2) f(t)= sen2(2t) 3) f(t)= sen(t)+sen(t+/2) 4) f(t)= sen(w1t)+cos(w2t) 5) f(t)= sen(2 t) 33 Série Trigonométrica de Fourier Algumas funções periódicas f(t) de período T podem expresar-se pela seguinte série, chamada Série Trigonométrica de Fourier f(t) = ½ a0 + a1cos(w0t)+a2cos(2w0t)+... + b1sen(w0t)+b2sen(2w0t)+... onde w0=2/T. e, f ( t ) 12 a 0 [a n cos(nw0 t ) bnsen (nw0 t )] n 1 34 Série Trigonométrica de Fourier É possível escrever de uma maneira ligeramente diferente a Série de Fourier, se observamos que o termo ancos(nw0t)+bnsen(nw0t) se pode escrever como a b n an2 bn2 2 n 2 cos(nw 0 t) sen(nw 0 t) 2 2 an bn an bn Podemos encontrar uma maneira mais compacta para expressar estes coeficientes pensando em um triângulo retângulo: 35 Série Trigonométrica de Fourier bn Cn a b 2 n 2 n n an a b 2 n 2 n bn a b 2 n an 2 n cos n sen n Dessa forma, temos que : Cn cosn cos(nw0 t ) sennsen(nw0 t ) Cn cos(nw0 t - n ) 36 Série Trigonométrica de Fourier Se também definimos C0=a0/2, a série de Fourier pode-se escrever como f ( t ) C0 Cn cos(nw0 t - n ) n 1 Assim, e Cn a b 2 n 2 n -1 b n n tan an 37 Série Trigonométrica de Fourier Tarefa 2: Definir adequadamente os coeficientes C0, Cn e n, de maneira que a série de Fourier se possa escrever como f (t) C0 Cn sen(nw 0 t n ) n 1 38 Componentes e harmônicos Assim, uma função periódica f(t) pode-se escrever como a soma de componentes sinusoides de diferentes frequências wn=nw0. A componente sinusoide de frequência nw0 de Cncos(nw0t+n) é chamada de n-éssimo harmônico de f(t). O primero harmônico (n=1) é o componente fundamental e seu período é o mesmo que o de f(t) A frequência w0=2f0=2/T é a frequência angular fundamental. 39 Componentes e harmônicos A componente de frequência zero C0, é o componente de corrente direta (cd) e corresponde ao valor médio f(t) em cada período. Os coeficientes Cn e os ângulos n são respectivamente as amplitudes e os ângulos de fase dos harmônicos. 40 Componentes e harmônicos f(t) Exemplo: A função f(t) cos( 3t ) cos( 4t ) Como foi mostrado tem um período T=24, sua frequência fundamental é w0=1/12 rad/seg. Componente fundamental é da forma: 3 0*cos(t/12). f(t)=cos(t/3)+cos(t/4) 2 Terceiro harmônico: 1 cos(3t/12)=cos(t/4) 0 Quarto harmônico: -1 Cos(4t/12)=cos(t/3) -2 24 -3 0 Series de Fourier. 41 50 100 t 150 200 Componentes e harmônicos Exemplo: Como pode-se ver, a função anterior tem tantas partes positivas como negativas, então seu componente de cd é zero, em vez f(t) 1 cos( 3t ) cos( 4t ) 2 1 f(t) Têm tantas partes acima como abaixo de 1 então, seu componente de cd é 1. 3 0 -1 f(t)=1+cos(t/3)+cos(t/4) -2 -3 0 Series de Fourier. 42 24 50 100 t 150 200 Componentes e harmônicos Tarefa 3 Qual é a componente fundamental, de harmônicos diferentes de zero e o componente DC de: a) f(t) = sen2t b) f(t) = cos2t ? Mostrar o gráfico das funções e marcar nelas o período fundamental e o componente de cd. 43 ortogonalidade de senos e cosenos Um conjunto de funções fk(t) são ortogonais no intervalo a<t<b se duas funções fm(t), fn(t) de tal conjunto cumprem 0 a f m (t)fn (t)dt rn b para m n para m n 44 ortogonalidade de senos e cosenos Exemplo: as funções t e t2 são ortogonais no intervalo –1< t <1, pois 1 1 t4 2 3 -1 tt dt -1 t dt 4 1 0 -1 Exemplo: As funções sen t e cos t são ortogonais no intervalo –/2< t </2, pois /2 sen2t sen t cos t dt 2 - / 2 Series de Fourier. 45 /2 - / 2 0 Cálculo dos coeficientes da série Dada uma função periódica f(t), como se calcula a série de Fourier? f (t) 12 a0 [an cos(nw 0 t) bn sen(nw 0t)] n 1 O primeiro passo é calcular os coeficientes a0,a1,a2,...,b1,b2,... e considerando a ortogonalidade das funções seno e coseno, o processo pode ficar mais simples. 46 Cálculo dos coeficientes da Série Multiplicando ambos lados por cos(nw0t) e integrando de –T/2 a T/2, obtemos: T /2 an T2 f (t ) cos(nw t )dt n 0,1,2,3,... 0 -T / 2 Similarmente, multiplicando por sen(nw0t) e integrando de –T/2 a T/2, obtemos: T /2 bn T2 f (t )sen(nw t )dt n 1,2,3,... 0 -T / 2 Similarmente, integrando de –T/2 a T/2, obtemos: T /2 a0 2 T f (t )dt -T / 2 47 Cálculo dos coeficientes da Série O intervalo de integração não precisa ser simétrico a origem. Como a ortogonalidade das funções seno e coseno não só acontece no intervalo de –T/2 a T/2, como em qualquer intervalo que cobre um período completo: (de t0 a t0+T, com t0 arbitrário) Assim as fórmulas anteriores podem calcular em qualquer intervalo que cumpra este requisito. 48 Cálculo de os coeficientes da Série Exemplo: Encontrar a Série de Fourier para a seguinte função de período T: f(t) 1 t ... -T/ 2 0 .. T/ 2 T . -1 Solução: A expressão para f(t) em –T/2<t<T/2 é Series de Fourier. 49 - 1 f (t ) 1 T t 0 2 T , para 0 t 2 , para - Cálculo dos coeficientes da Série coeficientes an: T /2 an T2 f (t ) cos(nw t )dt 0 -T / 2 T /2 0 2 T - cos(nw0t )dt cos(nw0t )dt 0 -T / 2 T /2 0 1 1 2 sen(nw0t ) sen(nw0t ) T nw 0 nw0 0 -T / 2 0, para n 0 Series de Fourier. 50 Cálculo dos coeficientes da Série coeficiente a0: T /2 a0 T2 f (t )dt -T / 2 T /2 0 2 T - dt dt 0 -T / 2 2 T - t 0 Series de Fourier. 51 0 -T / 2 t T /2 0 Cálculo dos coeficientes da Série coeficientes bn: T /2 bn 2 T f (t )sen(nw t )dt 0 -T / 2 Series de Fourier. 52 T /2 0 2 T - sen( nw 0 t ) dt sen( nw 0 t ) dt 0 -T / 2 T /2 0 1 1 2 cos(nw 0 t ) cos(nw 0 t ) T nw 0 nw 0 0 -T / 2 1 (1 - cos(n )) - (cos(n ) - 1) n 2 1 - (-1) n ) , para n 0 n Cálculo dos coeficientes da Série Série de Fourier: Finalmente a Série de Fourier fica assim: f (t ) Series de Fourier. 53 4 sen (w0t ) 13 sen (3w0t ) 15 sen (5w0t ) ... Cálculo dos coeficientes da Série • Veja os harmônicos 1, 3, 5 e 7 e a soma destes termos da série para w0=p, ou seja, T=2 1.5 Componentes da Série de Fourier Componentes 1 0.5 0 -0.5 Soma fundamental tercer harmônico quinto harmônico septimo harmônico -1 -1.5 -1 -0.5 0 t 0.5 1 Cálculo dos coeficientes da Série Tarefa: Encontrar a série de Fourier para o seguinte sinal senoidal retificado de meia onda de período 2. Senoidal retificada de meia onda 1 0.8 f(t) 0.6 0.4 0.2 0 -0.2 -6 -4 -2 0 t 2 4 6 55 Funções Pares e ímpares Uma função (periódica ou não) é função par (ou com simetria par) se seu gráfico é simêtrico respeito ao eixo vertical, i. e. , a função f(t) é par se f(t) = f(-t) f(t) -2 - 2 t 56 Funções Pares e ímpares De forma similar, uma função f(t) é função ímpar ou com simetria ímpar, se seu gráfico é simêtrico respeito à origem, ou seja, se cumpre ou seguinte: -f(t) = f(-t) f(t) -2 - 2 t 57 Funções Pares e ímpares Exemplo: Que funções são pares ou ímpares? f(t) = t+1/t g(t) = 1/(t2+1), Solução: Como f(-t) = -t-1/t = -f(t), então f(t) é função ímpar. Como g(-t)=1/((-t)2+1) = 1/(t2+1)=g(t), então g(t) é função par. Series de Fourier. 58 Funções Pares e ímpares Exemplo: A função h(t)=f(1+t2), onde f é uma função arbitraria, é par ou ímpar? Solução: Se g(t)= 1+t2, então h(t)=f(g(t)) Ou seja: h(-t) = f(g(-t)), Mas g(-t)=1+(-t)2 = 1+t2=g(t), finalmente h(-t)=f(g(t))=h(t), então h(t) é função par, sem importar como seja f(t). Series de Fourier. 59 Funções Pares e ímpares Exemplo: De acordo com o exemplo anterior, todas as siguientes funções são pares: h(t) = sen (1+t2) h(t) = exp(1+t2)+5/ (1+t2) h(t) = cos (2+t2)+1 h(t) = (10+t2)-(1+t2)1/2 etc... Pois todas tem a forma f(1+t2) Series de Fourier. 60 Funções Pares e ímpares Como a função sen(nw0t) é uma função ímpar para todo n0 e a função cos(nw0t) é uma função par para todo n, é de esperar que: Se f(t) é par, sua série de Fourier não terá termos seno, então bn= 0 para todo n Se f(t) é ímpar, sua série de Fourier não terá termos coseno, então an= 0 para todo n 61 Funções Pares e ímpares Por exemplo, previamente : o sinal quadrado, analisado f(t) 1 t ... -T/ 2 0 .. T/ 2 T . -1 É uma função ímpar, pois sua série de Fourier não contem termos coseno: f (t ) Series de Fourier. 62 4 sen (w0t ) 13 sen (3w0t ) 15 sen (5w0t ) ... Simetria de Meia Onda Uma função periódica de período T é simétrica de meia onda, se cumpre a propriedade f ( t 12 T) -f ( t ) Ou seja, no seu gráfico as partes negativas são um reflexo das positivas mas deslocadas meio período: f(t) t 63 Simetria de Quarto de Onda Se uma função tem simetria de meia onda e também é função par ou ímpar, podemos dizer que tem simetria de quarto de onda par ou ímpar Exemplo: Função com simetria ímpar de quarto de onda: f(t) t Series de Fourier. 64 Simetria de Quarto de Onda Exemplo: Função com simetria par de quarto de onda: f(t) t Series de Fourier. 65 Simetria de Quarto de Onda Tarefa 5: Que tipo de simetria tem o seguinte sinal de voltagem? f(t) t 66 Simetrias e coeficientes de Fourier simetria T /2 Nenhuma an 2 T f (t ) cos( nw0t )dt -T / 2 T /2 Par Funções na série coeficientes an T4 T /2 bn 2 T f (t ) sen(nw0t )dt -T / 2 f (t ) cos( nw0t )dt bn=0 0 T /2 ímpar an=0 bn 4 T f (t ) sen (nw0t )dt 0 0 n par 0 n par T /2 T /2 meia onda an 4 b f (t ) cos( nw0t )dt n impar n T4 f (t ) sen(nw0t )dt n impar T 0 0 Senos e cosenos únicamente cosenos únicamente senos Senos e cosenos ímpares Simetrias e coeficientes de Fourier simetria T /2 Nenhuma Funções na série coeficientes an 2 T f (t ) cos( nw 0 t )dt -T / 2 T /2 bn f (t )sen(nw t )dt 2 T 0 -T / 2 Senos e cosenos an=0 (n par) ¼ de onda par T /4 a n T8 Só cosenos ímpares bn=0 f (t ) cos( nw 0 t )dt 0 (n impar ) bn=0 (n par) ¼ de onda ímpar T /4 an=0 bn 8 T f (t )sen(nw t )dt 0 0 (n impar ) só senos ímpares 68 simetrias e coeficientes de Fourier Por exemplo, o sinal quadrado, já analisado em um exemplo prévio: 1 ... -T/ 2 f(t) 0 .. T/ 2 T . t -1 É uma função com simetria de ¼ de onda ímpar, então a sua série de Fourier só contém termos seno de frequência ímpar: 4 f ( t ) sen (w0 t ) 13 sen (3w0 t ) 15 sen (5w0 t ) ... Series de Fourier. 69 Fenômeno de Gibbs Se a série de Fourier para uma função f(t) se trunca para alcançar uma aproximação em soma finita de senos e cosenos, é natural pensar que a medida que agreguemos mais harmônicos, a somatoria se aproximará mais a f(t). 70 Fenômeno de Gibbs 1.5 Serie con 1 armónico 1 0.5 0 -0.5 -1 -1.5 -1 -0.5 0 1 harmônico 0.5 1 71 Fenômeno de Gibbs 1.5 Serie con 3 armónicos 1 0.5 0 -0.5 -1 -1.5 -1 -0.5 0 3 harmônicos 0.5 1 72 Fenômeno de Gibbs 1.5 Serie con 5 armónicos 1 0.5 0 -0.5 -1 -1.5 -1 -0.5 0 5 harmônicos 0.5 1 73 Fenômeno de Gibbs 1.5 Serie con 7 armónicos 1 0.5 0 -0.5 -1 -1.5 -1 -0.5 0 7 harmônicos 0.5 1 74 Fenômeno de Gibbs 1.5 Serie con 13 armónicos 1 0.5 0 -0.5 -1 -1.5 -1 -0.5 0 15 harmônicos 0.5 1 75 Fenômeno de Gibbs 1.5 Serie con 50 armónicos 1 0.5 0 -0.5 -1 -1.5 -1 -0.5 0 50 harmônicos 0.5 1 76 Fenômeno de Gibbs 1.5 Serie con 100 armónicos 1 0.5 0 -0.5 -1 -1.5 -1 -0.5 0 100 harmônicos 0.5 1 77 Forma Complexa da Série de Fourier Consideremos a série de Fourier para uma função periódica f(t), com período T=2/w0. f (t) 12 a0 [an cos(nw 0 t) bn sen(nw 0t)] n 1 É possível obter uma forma alternativa usando as fórmulas de Euler: cos(nw 0t) 12 (e jnw 0 t e - jnw 0t ) onde sen(nw 0t) 21j (e jnw 0 t - e - jnw 0 t ) j -1 78 Forma Complexa da Série de Fourier Fazendo a substituição: f (t) 12 a0 [an 12 (e jnw 0 t e - jnw 0 t ) bn 1 2j (e jnw 0 t - e - jnw 0 t )] n 1 E sabendo que 1/j=-j f (t) 12 a0 [ 12 (an - jbn )e jnw 0 t 12 (an jbn )e - jnw 0 t ] definimos: n 1 c0 12 a0, c n 12 (an - jbn ), c-n 12 (an jbn ) O que é coerente com a equação para bn, pois b-n=-bn, dado que a função seno é ímpar. 79 Forma Complexa da Série de Fourier A série pode-se escrever como f (t) c 0 (c n e jnw 0 t c -n e - jnw 0 t ) n 1 Ou, - n 1 n -1 f (t) c 0 c ne jnw 0 t c n e jnw 0 t Então, f (t) c e n jnw 0 t n - 80 Forma Complexa da Série de Fourier A expressão obtida c e f (t) n jnw 0 t n - É a forma Complexa da série de Fourier e seus coeficientes cn podem ser obtidos a partir dos coeficientes an, bn, ou: T cn 1 T f (t)e - jnw 0 t dt 0 Para n=0, 1, 2, 3, ... 81 Forma Complexa da Série de Fourier Os coeficientes cn são números complexos, e também podem-se escrever em forma polar: cn cn e j n Obviamente, c-n c*n cn e- j n 1 2 2 cn 2 an bn , Onde: Para todo n0, bn n arctan( - ) an Para n=0, c0 é um número real: c 0 12 a0 82 Forma Complexa da Série de Fourier Exemplo. Encontrar a forma complexa da série de Fourier para a função: 1 ... -T/ 2 f(t) 0 .. -1 T/ 2 T . t Solução 1. Os coeficientes na trigonomêtrica (an e bn): an=0 para tudo n e n 2 bn n [1 - (-1) ], para todo n forma 83 Forma Complexa de a Série de Fourier Podemos calcular os coeficientes cn de: c n 12 [an - jbn ] - j 12 n2 [1 - (-1)n ] c n - j n1 [1- (-1)n ] Então a Série Complexa de Fourier fica - jw 0 t 2 1 - j 5w 0 t 1 - j 3w 0 t f (t) j(... 5 e 3e e -e jw 0 t - e 1 3 j 3w 0 t - e 1 5 j 5w 0 t - ...) 84 Forma Complexa de a Série de Fourier Solução 2. Também podemos calcular os coeficientes cn mediante a integral T cn 1 T f (t )e - jnw0t dt 0 T /2 T 0 T /2 T1 ( e - jnw0t dt ( 1 T 1 - jnwo e - jnw0t - jnw0t e dt) T /2 - 1 - jnwo e - jnw0t 0 1 - jnwoT Series de Fourier. 85 [(e - jnw0T / 2 - 1) - (e T ) T /2 - jnw0T -e - jnw0T / 2 )] Forma Complexa de a Série de Fourier Como w0T=2 e temos cn 1 - jnwoT e j cos jsen [(-1) - 1) - (1 - (-1) )] n n n 2 - j nwoT [1 - (-1) ] -j 1 n [1 - (-1) ] n o qual coincide com o resultado já obtido. Series de Fourier. 86 Forma Complexa da Série de Fourier Tarefa 6: Calcular os coeficientes cn para a seguinte função de período 2. a) A partir dos coeficientes an,bn b) Diretamente da integral Senoidal retificada de meia onda 1 0.8 f(t) 0.6 0.4 0.2 0 -0.2 -6 -4 -2 0 t 2 4 6 87 Espectros de Frequência Discreta O gráfico da magnitude dos coeficientes cn contra a frequência angular w da componente correspondente é o espectro de amplitude de f(t). O gráfico do ángulo de fase n dos coeficientes cn contra w, é o espectro de fase de f(t). Como n só tem valores inteiros, a frequência angular w=nw0 é uma variavel discreta e os espectros mencionados são gráficos discretos. 88 Espectros de Frequência Discreta Dada uma função periódica f(t), lhe corresponde uma e somente uma série de Fourier, i. e. um conjunto único de coeficientes cn. Por isso, os coeficientes cn especificam a f(t) no domínio da frequência da mesma maneira que f(t) especifica a função no domínio do tempo. 89 Espectros de Frequência Discreta Exemplo. Para a função já analisada: 1 ... -T/ 2 f(t) 0 .. T/ 2 T . t -1 Encontramos c n - j n1 [1- (-1)n ] Então, cn Series de Fourier. 90 1 n [1- (-1)n ] Espectros de Frequência Discreta O espectro de amplitude: Espectro de Amplitude de f(t) 0.7 Cn 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 -30 -20 -10 0 Frequência negativa (?) n 10 20 30 Frequência O eixo horizontal é um eixo de frequência, (n=número de harmônico = múltiplo de w0). 91 Espectros de Frequência Discreta Tarefa 7 : Desenhar o espectro de amplitude para a função senoidal retificada de ½ onda. 92 Potência e Teorema de Parseval O valor médio de um sinal qualquer f(t) em um período (T) pode-se calcular como a altura de um rectângulo que tenha a mesma área que a área abaixo da curva de f(t) T Area f ( t )dt f(t) 0 1 Area=Th h=Altura média t T 93 Potência e Teorema de Parseval Pelo anterior, se a função periódica f(t) representa um sinal de voltagem ou corrente, a potencia média entregue a uma carga resistiva de 1 ohm em um período está dada por T /2 1 T [ f (t)] dt 2 -T / 2 Se f(t) é periódica, também será [f(t)]2 e o valor médio em um período será o valor médio em qualquer outro período. 94 Potência e Teorema de Parseval O teorema de Parseval nos permite calcular a integral de [f(t)]2 mediante os coeficientes complexos cn de Fourier da função periódica f(t): T /2 1 T [ f (t )] 2 dt c n - -T / 2 2 n Ou também, em termos dos coeficientes an, bn: T /2 1 T [ f (t )] dt 2 -T / 2 1 4 a 2 0 1 2 (a n 1 2 n b ) 2 n 95 Potência e Teorema de Parseval Uma consequência importante do teorema de Parseval é o seguinte resultado: O valor quadrático médio de uma função periódica f(t) é igual à soma dos valores quadráticos médios de seus harmônicos, T /2 1 T Cn [ f (t)] dt C 2 -T / 2 n 1 2 2 2 0 onde Cn é a amplitude do n-ésimo harmônico e C0 é o componente DC. 96 Potência e Teorema de Parseval No resultado anterior é conveniente encontrar a relação entre os coeficientes complexos cn da série f (t) jnw0 t c e n n - E os coeficientes reais Cn da série f ( t ) C0 Cn cos(nw0 t - n ) n 1 onde Cn é a amplitude do n-ésimo harmônico e C0 é o componente DC. 97 Potencia e Teorema de Parseval Por um lado E Então, Cn a 2n b 2n , cn 12 an2 bn2 cn 12 Cn e 2 cn C 1 4 2 n E para o harmônico f n (t) Cn cos(nw 0t - n ) rms é Seu valor Cn / 2 2 C então seu valor quadrático medio é n /2 Para a componente DC C0, seu valor rms é C0, então seu valor quadrático médio será C02. 98 Potência e Teorema de Parseval Exemplo. Calcular ou valor quadrático médio da função f(t): 1 ... -T/ 2 f(t) 0 .. -1 Solução. Do teorema de Parseval T/ T . 2 t T /2 [ f (t)] dt c -T / 2 e do exemplo anterior cn então Series de Fourier. 99 1 n n - [1- (-1)n ] 8 1 1 1 cn 2 1 9 25 49 ... n - 2 2 2 1 T n Potencia e Teorema de Parseval A série numérica obtida converge a 1 1 1 1 ...1.2337 9 25 49 então, T /2 1 T [ f (t)] dt c 2 2 -T / 2 n - n 8 2 (1.2337) 1 Como era de esperarse. Então, que significa essa convergência ? Series de Fourier. 100 Potencia e Teorema de Parseval Tarefa 8 Calcular o valor quadrático médio para o sinal senoidal retificado de meia onda de período 2. Para que serve a relação entre a potência média de um sinal periódico com os seus coeficientes de Fourier ? 101 Exemplo Determinar as linhas espectrais para a função periódica f(t), dada por um trem de pulsos retangulares de amplitude 1 e de duração d= 0.05 s, cujo período é de T=0,25 s 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 -0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 102 Exemplo Esta função pode ser modelada matematicamente por: 1 se - d/2 t d/2 f (t ) 0 se - T /2 t -d/2,d/2 t T /2 103 Exemplo Aplicando-se a definição dos coeficientes complexos da série de Fourier, tem-se que: cn 1 T T 2 - f (t ).e - jnw0t dt T 2 e sin(nw 0 d ) 2 cn nw 0 d T d 2 d - jnw0 2 -e - jnw0t 1 1 e - jnw0t 1 . e dt T d T - jnw 0 - 1 -1 . T jnw 0 d T d 2 2 d - jnw0 ( - ) 2 mas w 0 d 2 d 2 d jnw0 d - jnw0 2 d e 2 -e T d 2 j.nw 0 . 2 2 , Assim : T n. .d ) d n.d sin(x) T . sin c( ), onde sinc(x) n. .d T T x T sin( 104 Exemplo Aplicando as condições do problema, onde T=0,25 s e d=0,2 s, tem-se que 0,2sin (n.0,2) cn n.0,2. 0.25 0.2 0.15 0.1 0.05 0 -0.05 -0.1 -100 -80 -60 -40 -20 0 20 40 60 80 100 105 As tarefas 1 a 8 Devem ser feitas para praticar. 106 Espectro & Largura de Banda 1 0.8 0.6 0.4 0.2 30 33 36 39 42 30 33 36 39 42 27 24 21 18 15 9 12 6 3 0 frequency (kHz) Espectro de x2(t) 1.2 1 0.8 0.6 0.4 0.2 27 24 21 18 15 9 12 6 0 3 1.2 0 Espectro de um sinal : magnitude das amplitudes como função da frequência x1(t) varia mais rápido não tempo e tem conteúdo mais alto de frequencia que x2(t) A largura de banda Ws é definida como ou intervalo de frequencias em que ou sinal tem uma potencia significante, ou seja, ou intervalo da banda que contém 99% da potencia total do sinal 0 Espectro de x1(t) frequency (kHz) 107