Teleinformática e
Redes I
Comunicação de Dados e
Representação de Sinais
Analógicos e Digitais
Aula 03
Profa. Priscila Solís Barreto
Bits, números e informação

Bit: numero com valor 0 ou 1




n bits permitem a numeração de 2n possibilidades




n bits: representação digital para 0, 1, … , 2n
Byte ou Octeto, n = 8
Palavra, n = 16, 32, ou 64
Campo n-bit no cabeçalho
Representação de n-bits de uma amostra de voz
Mensagem consistente de n bits
O número de bits requeridos para representar uma
mensagem é a medida do seu conteúdo de
informação

Mais bits → Mais conteúdo
2
Bloco vs. Informação de Stream
Bloco
Stream
 Informações que ocorrem  Informação que é
em um único bloco
produzida e transmitida
continuamente
 Mensagem de texto




Arquivo de dados
Imagem JPEG
Arquivo MPEG
Tamanho = Bits / bloco
ou bytes/bloco



1 Kbyte = 210 bytes
1 Mbyte = 220 bytes
1 Gbyte = 230 bytes



Voz tempo real
Streaming vídeo
Taxa de bits= bits / seg



1 kbps = 103 bps
1 Mbps = 106 bps
1 Gbps =109 bps
3
Visão Abstrata da Transmissão de Dados
Transmissor
Receptor
Canal de Comunicação
Propriedades do canal de comunicação:
Largura de banda
Atraso de propagação e transmissão
Jitter
Perdas/Erros
Buffer
4
Atraso de Transmissão






L
R bps
L/R
tprop
d
c
Numero de bits na mensagem
Taxa de transmissão do sistema digital em bps
Tempo para transmitir a informação
Tempo para que o sinal propague pelo do meio
Distância em metros
Velocidade da luz (3x108 m/s)
Delay = tprop + ttrans = d/c + L/R (segundos)



Uso de compressão para reduzir L
Uso de modem rápido para aumentar R
Colocar servidores mais próximos para reduzir d
5
Compressão


Informação normalmente não representada
de forma eficiente
Algoritmos de compressão de dados


Representa a informação usando menos bits
Sem ruido: informação original recuperada de
forma exata


Ruidoso: recuperar informação aproximadamente



E.g. zip, compress, GIF, fax
JPEG
Balanço entre # bits e qualidade
Relação da compressão
6

#bits (arquivo orginal) / #bits (arquivo comprimido)
Informação de Stream


Um sinal de voz de tempo real deve ser digitalizado
e transmitido conforme é produzido
O nível de um sinal analógico varia continuamente
não tempo
7
Exemplo

CD



Largura de banda de 22KHz
Cada amostra tem 16bits e ou sinal é amostrado
a 44.000 amostras/seg
Em um sistema stereo (com dois canais):


44.000 amostas/seg * 16 bits/amostra x 2 canais=1.4
Mbps
Uma hora (3600s) de música = 633.600.000 bits ou
aprox. 604 Mbytes de informação
8
Um sistema de transmissão
Transmissor
Receptor
Canal de comunicação
Transmissor
 Converte informação em um sinal adequado para
transmissão
 Injeta energia no meio de comunicacação ou canal


O telefone converte voz em corrente elétrica
Fax Modens converte bits em tons audíveis (até 4khz)
Receptor
 Recebe energia do meio
 Converte o sinal recebido de forma adequada para ser
entregue ao usuário


Telefone converte corrente em voz
Modem converte tons em bits
9
Problemas de Transmissão
Transmissor
Sinal
Recebido Receptor
Sinal
Transmitido
Canal de Comunicação
Canal de Comunicação
 Par de fios de cobre
 Cabo coaxial
 Ondas de Radio (ar)
 Luz em fibra óptica
 Luz no ar
 Infravermelho
Problemas na Transmissão
 Atenuação do sinal
 Distorção do sinal
 Ruído
 Interferência de outros
sinais
10
Comunicações Analógicas de Longa Distância
Segmento de transmissão
Fonte






Repetidor
...
Repetidor
Destinatário
Cada repetidor restaura o sinal analógico à sua forma original
A restauração é imperfeita
 A Distorção não é completamente eliminada
 O Ruído e interferências são parcialmente removidos
A qualidade do sinal diminui com ou número de repetidores
As comunicações são limitadas na distância
Ainda utilizado em sistemas analógicos de TV a cabo
Analogia: Copiar uma música usando um gravador de fita
11
Transmissão Analógica versus Digital
Na transmissão digital todos os detalhes devem ser reproduzidos
Recebido
Enviado
• Exemplos: AM, FM, TV aberta
Na transmissão digital somente níveis discretos devem ser reproduzidos
Recebido
Enviado
• Exemplo: telefonia digial, audio CD
0110101...
d metros
Canal de comunicação
12
0110101...
Em um canal de comunicação
Segmento de Transmissão
Fonte
Sinal atenuado com
distorção e ruído
Repetidor
Repetidor
Amp.
Equalizador
Receptor
Sinal recuperado
+
Ruído residual
Repetidor
13
Analógico vs. Transmissão Digital
Transmissão analógica : todos os detalhes devem ser produzidos
de forma precisa
Enviado
Distorção
Atenuação Recebido
Transmissão Digital : somente níveis discretos devem ser
reproduzidos
Enviado
Distorção
Atenuação
Recebido
Receptor simples:
O pulso original
era positivo ou
negativo?
14
Comunicações Digitais de Longa
Distancia
Segmento de transmissão
Fonte





Regenerador
...
Regenerador
Destino
O regenerador recupera a sequência original de
dados e a transmite ao segmento seguinte
Projetado para que a probabilidade de erro seja
pequena
Cada regeneração é como a primeira transmissão!
Comunicação é possível em distâncias muito longas
Sistemas digitais vs. sistemas analógicos


Menos potência, maiores distâncias, menor o custo do
sistema
Monitoramento, multiplexação, codificação, encriptação,
protocolos …
15
Repetidor Digital
Decision Circuit
& Signal
Regenerator
Amplifier
Equalizer
Timing
Recovery
16
Digitalização de um Sinal Analógico


Amostrar o sinal analógico em tempo e amplitude
Encontrar a melhor aproximação
Sinal original
3 bits / sample
valor amostragem
7D/2
5D/2
3D/2
D/2
Aproximação
-D/2
-3D/2
-5D/2
-7D/2
17
Rs = Taxa de bits = nº de bits/amostra X nº de amostras/seg
Taxa de bits de um sinal digitalizado

Largura de banda Ws Hertz: a velocidade da variação
do sinal



Largura de banda mais alta → amostrar mais frequentemente
Taxa mínima de amostragem = 2 x Ws
Precisão da representação : intervalo de aproximação
de erro
Maior precisão
→ menor espaçamento entre valores de aproximação
→ mais bits por amostra

18
Exemplo: Voz & Audio
Voz no telefone
 Ws = 4 kHz → 8000
amostras/sec
 8 bits/amostra
 Rs=8 x 8000 = 64 kbps

Telefones celulares
usam algoritmos mais
poderosos de : 8-12
kbps
CD Audio
 Ws = 22 kHertz → 44000
amostras/seg
 16 bits/amostra
 Rs=16 x 44000= 704 kbps
por canal de audio
 MP3 usa algoritmos mais
poderosos de
compressão : 50 kbps
por canal de audio
19
Transmissão de Informação de Stream

Taxa constante de bits



Sinais tais como a voz digitalizada produzem um
stream estável : ex. 64 kbps
A rede deve suportar a transmissão estável do
sinal, isto é, circuitos de 64 kbps
Taxa variável de bits


Os sinais tais como vídeo digitalizado e comprimidos
produzem stream que variam a taxa de bits, de
acordo com a movimentação e detalhe na cena
A rede deve suportar taxa de transmissão variável
do sinal: ex. comutação de pacotes ou suavização
da taxa com circuito de taxa constante de bits
(traffic shaping)
20
Qualidade de Serviço de Stream
Problemas na transmissão de rede:
 Atraso: A informação é entregue no tempo
certo?
 Jitter: A informação é entregue
suficientemente ‘suavizada’?
 Perda: A informação é entregue sem perdas?
Se ocorrem perdas, a qualidade do sinal é
aceitável?
 Aplicações e protocolos de aplicação são
desenvolvidos para lidar com estes problemas
21
Digitalização de Sinais Analógicos
Amostragem: obter amostras de x(t) em intervalos
uniformes de tempo
Quantização: mapear cada amostra em um valor
de aproximação finita
1.
2.


Pulse Code Modulation (PCM): conversa de telefone
CD audio
Compressão: para diminuir mais a taxa de bits,
aplica-se um método adicional de compressão
3.


Coding diferencial: conversa telefonia celular
Codificação Subband : MP3 audio
22
Taxa de Amostragem e Largura de Banda


Um sinal que varia mais rapidamente precisa ser
amostrada mais frequentemente
Largura de Banda mede a velocidade de variação
do sinal
x1(t)
10 10 1 0 1 0
...
x2(t)
11 1 1 0 000
...
...
...
t
t
1 ms


1 ms
Que é a largura de banda de um sinal ?
Como se relaciona a largura de banda com a taxa
de amostragem?
23
Caraterização do Canal:
Domínio da Frequência
Aincos 2ft
Aoutcos (2ft + (f))
Canal
t
t
A(f) =
Aout
Ain
24
O pulso
1 0000001
...
...
t
1 ms
25
Caraterização do Canal
Domínio do Tempo
h(t)
Canal
0
t
t
td
26
Introdução a Séries de Fourier
A análise de Fourier foi introduzida em 1822 no
trabalho “Théorie analyitique du chaleur” para
tratar da solução de problemas de valores na
fronteira e na condução do calor.
Mais de século e meio depois as aplicações
desta teoria são amplas: Sistemas Lineares,
Comunicações, Física moderna, Eletrônica,
Óptica, Processamento de Sinais, entre muitas
outras.
27
Funções Periódicas
Uma Função Periódica f(t) tem a seguinte
propriedade para todo valor de t:
f(t)=f(t+T)
A constante mínima para o qual se cumpre a
propriedade anterior é chamado do período (T)
da função.
Aplicando ciclicamente a propriedade pode-se
obter:
f(t)=f(t+nT), onde n=0,1,  2, 3,...
28
Funções Periódicas
Exemplo: ¿Cuál é o período da função
f(t)  cos( 3t )  cos( 4t )
Solução.- Se f(t) é periódica então:
t T
t
t
f(t  T)  cos( t T
)

cos(
)

f(t)

cos(
)

cos(
3
4
3
4)
Mas cos(x+2k)=cos(x)
para qualquer inteiro k, então para

manter a igualdade é necessário que
T/3=2k
1, T/4=2k2

Ou seja ,
T = 6k1 = 8k2
onde k1 e k2 são inteiros,
O valor mínimo de T se obtém com k1=4, k2=3, ou
seja,T=24
29
Funções Periódicas
Gráfico da função
f(t)  cos( 3t )  cos( 4t )
3
2
T

f(t)=cos(t/3)+cos(t/4)
f(t)
1
0
-1
-2
24
-3
0
50
100
150
200
t
30
Funções Periódicas
Poderíamos pensar que qualquer soma de funções seno e
coseno produz uma função periódica.
Isto não é assim, por exemplo, consideremos a função
f(t) = cos(w1t)+cos(w2t).
Para que seja periódica precisamos encontrar dois inteiros
m, n tais que
w1T= 2m, w2T=2n
onde
w
m
1
w2

n
Ou seja, a relação w1/ w2 deve ser um número racional.

31
Funções Periódicas
Exemplo: a função cos(3t)+cos(+3)t não é
periódica, já que w  3
não é um número
w
3
racional.
1
2
f(t)=cos(3t)+cos((3+pi)t)
2

f(t)
1
0
-1
-2
0
Series de Fourier. 32
5
10
15
t
20
25
30
Funções Periódicas
Tarefa 1 : Encontrar o período das seguintes
funções, se é que são periódicas:
1) f(t) = sen(nt), onde n é um inteiro.
2) f(t)= sen2(2t)
3) f(t)= sen(t)+sen(t+/2)
4) f(t)= sen(w1t)+cos(w2t)
5) f(t)= sen(2 t)
33
Série Trigonométrica de Fourier
Algumas funções periódicas f(t) de período T
podem expresar-se pela seguinte série,
chamada Série Trigonométrica de Fourier
f(t) = ½ a0 + a1cos(w0t)+a2cos(2w0t)+...
+ b1sen(w0t)+b2sen(2w0t)+...
onde w0=2/T.
e,

f ( t )  12 a 0  [a n cos(nw0 t )  bnsen (nw0 t )]
n 1
34
Série Trigonométrica de Fourier
É possível escrever de uma maneira
ligeramente diferente a Série de Fourier, se
observamos que o termo
ancos(nw0t)+bnsen(nw0t) se pode escrever
como
 a

b
n
an2  bn2  2 n 2 cos(nw 0 t) 
sen(nw 0 t)
2
2
an  bn
 an  bn


Podemos encontrar uma maneira mais
compacta para expressar estes coeficientes
pensando em um triângulo retângulo:
35
Série Trigonométrica de Fourier
bn
Cn  a  b
2
n
2
n
n
an
a b
2
n
2
n
bn
a b
2
n
an
2
n
 cos n
 sen n
Dessa forma, temos que :
Cn cosn cos(nw0 t )  sennsen(nw0 t )
 Cn cos(nw0 t - n )
36
Série Trigonométrica de Fourier
Se também definimos C0=a0/2, a série de
Fourier pode-se escrever como

f ( t )  C0   Cn cos(nw0 t - n )
n 1
Assim,
e
Cn  a  b
2
n
2
n
-1  b n 
n  tan  
 an 
37
Série Trigonométrica de Fourier
Tarefa 2:
Definir adequadamente os coeficientes C0, Cn e
n, de maneira que a série de Fourier se possa
escrever como

f (t)  C0  Cn sen(nw 0 t   n )
n 1

38
Componentes e harmônicos
Assim, uma função periódica f(t) pode-se escrever
como a soma de componentes sinusoides de
diferentes frequências wn=nw0.
A componente sinusoide de frequência nw0 de
Cncos(nw0t+n) é chamada de n-éssimo
harmônico de f(t).
O primero harmônico (n=1) é o componente
fundamental e seu período é o mesmo que o de
f(t)
A frequência w0=2f0=2/T é a frequência angular
fundamental.
39
Componentes e harmônicos
A componente de frequência zero C0, é o
componente de corrente direta (cd) e
corresponde ao valor médio f(t) em cada
período.
Os coeficientes Cn e os ângulos n são
respectivamente as amplitudes e os ângulos
de fase dos harmônicos.
40
Componentes e harmônicos
f(t)
Exemplo: A função
f(t)  cos( 3t )  cos( 4t )
Como foi mostrado tem um período T=24, sua
frequência fundamental é w0=1/12 rad/seg.

Componente fundamental é da forma:
3
0*cos(t/12).
f(t)=cos(t/3)+cos(t/4)
2
Terceiro harmônico:
1
cos(3t/12)=cos(t/4)
0
Quarto harmônico:
-1
Cos(4t/12)=cos(t/3)
-2
24
-3
0
Series de Fourier. 41
50
100
t
150
200
Componentes e harmônicos
Exemplo: Como pode-se ver, a função anterior tem
tantas partes positivas como negativas, então seu
componente de cd é zero, em vez
f(t) 1 cos( 3t )  cos( 4t )
2
1
f(t)
Têm tantas partes
acima como
abaixo de 1
então, seu
componente de
cd é 1.
3
0
-1
f(t)=1+cos(t/3)+cos(t/4)
-2
-3
0
Series de Fourier. 42
24
50
100
t
150
200
Componentes e harmônicos
Tarefa 3
Qual é a componente fundamental, de
harmônicos diferentes de zero e o componente
DC de:
a) f(t) = sen2t
b) f(t) = cos2t ?
Mostrar o gráfico das funções e marcar nelas
o período fundamental e o componente de cd.
43
ortogonalidade de senos e cosenos
Um conjunto de funções fk(t) são ortogonais
no intervalo a<t<b se duas funções fm(t), fn(t)
de tal conjunto cumprem
0
a f m (t)fn (t)dt  rn
b
para m  n
para m  n
44
ortogonalidade de senos e cosenos
Exemplo: as funções t e t2 são ortogonais no
intervalo –1< t <1, pois
1
1
t4
2
3
-1 tt dt  -1 t dt  4
1
0
-1
Exemplo: As funções sen t e cos t são ortogonais
no intervalo –/2< t </2, pois
 /2
sen2t
sen t cos t dt 

2
- / 2
Series de Fourier. 45
 /2
- / 2
0
Cálculo dos coeficientes da série
Dada uma função periódica f(t), como se
calcula a série de Fourier?

f (t)  12 a0  [an cos(nw 0 t)  bn sen(nw 0t)]
n 1
O primeiro passo é calcular os coeficientes
a0,a1,a2,...,b1,b2,... e considerando a
ortogonalidade das funções seno e coseno, o
processo pode ficar mais simples.
46
Cálculo dos coeficientes da Série
Multiplicando ambos lados por cos(nw0t) e
integrando de –T/2 a T/2, obtemos:
T /2
an  T2
 f (t ) cos(nw t )dt  n  0,1,2,3,...
0
-T / 2
Similarmente, multiplicando por sen(nw0t) e
integrando de –T/2 a T/2, obtemos:
T /2
bn  T2
 f (t )sen(nw t )dt  n  1,2,3,...
0
-T / 2
Similarmente, integrando de –T/2 a T/2,
obtemos:
T /2
a0 
2
T
 f (t )dt
-T / 2
47
Cálculo dos coeficientes da Série
O intervalo de integração não precisa ser
simétrico a origem.
Como a ortogonalidade das funções seno e
coseno não só acontece no intervalo de –T/2 a
T/2, como em qualquer intervalo que cobre um
período completo:
(de t0 a t0+T, com t0 arbitrário)
Assim as fórmulas anteriores podem calcular
em qualquer intervalo que cumpra este
requisito.
48
Cálculo de os coeficientes da Série
Exemplo: Encontrar a Série de Fourier para a
seguinte função de período T:
f(t)
1
t
...
-T/
2
0
..
T/
2
T .
-1
Solução: A expressão para f(t) em –T/2<t<T/2 é
Series de Fourier. 49

- 1
f (t )  
 1

T
t 0
2
T
, para 0  t 
2
, para -
Cálculo dos coeficientes da Série
coeficientes an:
T /2
an  T2
 f (t ) cos(nw t )dt
0
-T / 2
T /2
0


2
 T   - cos(nw0t )dt   cos(nw0t )dt
0

-T / 2
T /2
0


1
1
2
sen(nw0t ) 

sen(nw0t )
 T nw 0
 nw0
0 
-T / 2

 0, para n  0
Series de Fourier. 50
Cálculo dos coeficientes da Série
coeficiente a0:
T /2
a0  T2
 f (t )dt
-T / 2
T /2
0


2
 T   - dt   dt
0

 -T / 2

2
 T - t

0
Series de Fourier. 51
0
-T / 2
t
T /2
0



Cálculo dos coeficientes da Série
coeficientes bn:
T /2
bn 
2
T
 f (t )sen(nw t )dt
0
-T / 2




Series de Fourier. 52
T /2
0


2
T   - sen( nw 0 t ) dt   sen( nw 0 t ) dt
0

 -T / 2
T /2
0


1
1
2
cos(nw 0 t ) 
cos(nw 0 t )
T 
nw 0
 nw 0
0 
-T / 2

1
(1 - cos(n )) - (cos(n ) - 1)
n
2
1 - (-1) n ) , para n  0
n


Cálculo dos coeficientes da Série
Série de Fourier: Finalmente a Série de Fourier
fica assim:
f (t ) 
Series de Fourier. 53
4

sen (w0t )  13 sen (3w0t )  15 sen (5w0t )  ...
Cálculo dos coeficientes da Série
• Veja os harmônicos 1, 3, 5 e 7 e a soma destes
termos da série para w0=p, ou seja, T=2
1.5
Componentes da Série de Fourier
Componentes
1
0.5
0
-0.5
Soma
fundamental
tercer harmônico
quinto harmônico
septimo harmônico
-1
-1.5
-1
-0.5
0
t
0.5
1
Cálculo dos coeficientes da Série
Tarefa: Encontrar a série de Fourier para o
seguinte sinal senoidal retificado de meia onda
de período 2.
Senoidal retificada de meia onda
1
0.8
f(t)
0.6
0.4
0.2
0
-0.2
-6
-4
-2
0
t
2
4
6
55
Funções Pares e ímpares
Uma função (periódica ou não) é função par
(ou com simetria par) se seu gráfico é simêtrico
respeito ao eixo vertical, i. e. , a função f(t) é
par se f(t) = f(-t)
f(t)
-2
-

2
t
56
Funções Pares e ímpares
De forma similar, uma função f(t) é função
ímpar ou com simetria ímpar, se seu gráfico é
simêtrico respeito à origem, ou seja, se cumpre
ou seguinte: -f(t) = f(-t)
f(t)
-2
-

2
t
57
Funções Pares e ímpares
Exemplo:
Que funções são pares ou ímpares?
f(t) = t+1/t
g(t) = 1/(t2+1),
Solução:
Como f(-t) = -t-1/t = -f(t), então f(t) é função
ímpar.
Como g(-t)=1/((-t)2+1) = 1/(t2+1)=g(t), então g(t)
é função par.
Series de Fourier. 58
Funções Pares e ímpares
Exemplo: A função h(t)=f(1+t2), onde f é uma
função arbitraria, é par ou ímpar?
Solução:
Se g(t)= 1+t2, então h(t)=f(g(t))
Ou seja: h(-t) = f(g(-t)),
Mas g(-t)=1+(-t)2 = 1+t2=g(t),
finalmente h(-t)=f(g(t))=h(t), então h(t) é função
par, sem importar como seja f(t).
Series de Fourier. 59
Funções Pares e ímpares
Exemplo: De acordo com o exemplo anterior,
todas as siguientes funções são pares:
h(t) = sen (1+t2)
h(t) = exp(1+t2)+5/ (1+t2)
h(t) = cos (2+t2)+1
h(t) = (10+t2)-(1+t2)1/2
etc...
Pois todas tem a forma f(1+t2)
Series de Fourier. 60
Funções Pares e ímpares
Como a função sen(nw0t) é uma função ímpar
para todo n0 e a função cos(nw0t) é uma
função par para todo n, é de esperar que:

Se f(t) é par, sua série de Fourier não terá
termos seno, então bn= 0 para todo n

Se f(t) é ímpar, sua série de Fourier não terá
termos coseno, então an= 0 para todo n
61
Funções Pares e ímpares
Por exemplo,
previamente :
o
sinal
quadrado,
analisado
f(t)
1
t
...
-T/
2
0
..
T/
2
T .
-1
É uma função ímpar, pois sua série de Fourier não
contem termos coseno:
f (t ) 
Series de Fourier. 62
4

sen (w0t )  13 sen (3w0t )  15 sen (5w0t )  ...
Simetria de Meia Onda
Uma função periódica de período T é
simétrica de meia onda, se cumpre a
propriedade
f ( t  12 T)  -f ( t )
Ou seja, no seu gráfico as partes negativas são
um reflexo das positivas mas deslocadas meio
período:
f(t)
t
63
Simetria de Quarto de Onda
Se uma função tem simetria de meia onda e
também é função par ou ímpar, podemos dizer
que tem simetria de quarto de onda par ou
ímpar
Exemplo: Função com simetria ímpar de
quarto de onda:
f(t)
t
Series de Fourier. 64
Simetria de Quarto de Onda
Exemplo: Função com simetria par de quarto
de onda:
f(t)
t
Series de Fourier. 65
Simetria de Quarto de Onda
Tarefa 5:
Que tipo de simetria tem o seguinte sinal de
voltagem?
f(t)
t
66
Simetrias e coeficientes de Fourier
simetria
T /2
Nenhuma
an 
2
T

f (t ) cos( nw0t )dt
-T / 2
T /2
Par
Funções na
série
coeficientes
an  T4

T /2
bn 
2
T

f (t ) sen(nw0t )dt
-T / 2
f (t ) cos( nw0t )dt
bn=0
0
T /2
ímpar
an=0
bn 
4
T

f (t ) sen (nw0t )dt
0
0
n par

0
n par

 T /2
 T /2
meia onda an   4
b

f (t ) cos( nw0t )dt n impar n  T4 f (t ) sen(nw0t )dt n impar
T


 
 0
 0
Senos e
cosenos
únicamente
cosenos
únicamente
senos
Senos e
cosenos
ímpares
Simetrias e coeficientes de Fourier
simetria
T /2
Nenhuma
Funções
na série
coeficientes
an 

2
T
f (t ) cos( nw 0 t )dt
-T / 2
T /2
bn 
 f (t )sen(nw t )dt
2
T
0
-T / 2
Senos e
cosenos
an=0 (n par)
¼ de onda
par
T /4
a n  T8

Só
cosenos
ímpares
bn=0
f (t ) cos( nw 0 t )dt
0
(n impar )
bn=0 (n par)
¼ de onda
ímpar
T /4
an=0
bn 
8
T
 f (t )sen(nw t )dt
0
0
(n impar )
só
senos
ímpares
68
simetrias e coeficientes de Fourier
Por exemplo, o sinal quadrado, já analisado
em um exemplo prévio:
1
...
-T/
2
f(t)
0
..
T/
2
T .
t
-1
É uma função com simetria de ¼ de onda
ímpar, então a sua série de Fourier só contém
termos seno de frequência ímpar:
4
f ( t )  sen (w0 t )  13 sen (3w0 t )  15 sen (5w0 t )  ...

Series de Fourier. 69
Fenômeno de Gibbs
Se a série de Fourier para uma função f(t) se
trunca para alcançar uma aproximação em
soma finita de senos e cosenos, é natural
pensar que a medida que agreguemos mais
harmônicos, a somatoria se aproximará mais a
f(t).
70
Fenômeno de Gibbs
1.5
Serie con 1 armónico
1
0.5
0
-0.5
-1
-1.5
-1
-0.5
0
1 harmônico
0.5
1
71
Fenômeno de Gibbs
1.5
Serie con 3 armónicos
1
0.5
0
-0.5
-1
-1.5
-1
-0.5
0
3 harmônicos
0.5
1
72
Fenômeno de Gibbs
1.5
Serie con 5 armónicos
1
0.5
0
-0.5
-1
-1.5
-1
-0.5
0
5 harmônicos
0.5
1
73
Fenômeno de Gibbs
1.5
Serie con 7 armónicos
1
0.5
0
-0.5
-1
-1.5
-1
-0.5
0
7 harmônicos
0.5
1
74
Fenômeno de Gibbs
1.5
Serie con 13 armónicos
1
0.5
0
-0.5
-1
-1.5
-1
-0.5
0
15 harmônicos
0.5
1
75
Fenômeno de Gibbs
1.5
Serie con 50 armónicos
1
0.5
0
-0.5
-1
-1.5
-1
-0.5
0
50 harmônicos
0.5
1
76
Fenômeno de Gibbs
1.5
Serie con 100 armónicos
1
0.5
0
-0.5
-1
-1.5
-1
-0.5
0
100 harmônicos
0.5
1
77
Forma Complexa da Série de
Fourier
Consideremos a série de Fourier para uma
função periódica f(t), com período T=2/w0.

f (t)  12 a0  [an cos(nw 0 t)  bn sen(nw 0t)]
n 1
É possível obter uma forma alternativa usando

as fórmulas
de Euler:
cos(nw 0t)  12 (e jnw 0 t  e - jnw 0t )
onde
sen(nw 0t)  21j (e jnw 0 t - e - jnw 0 t )
j  -1
78
Forma Complexa da Série de Fourier
Fazendo a substituição:

f (t)  12 a0  [an 12 (e jnw 0 t  e - jnw 0 t )  bn
1
2j
(e jnw 0 t - e - jnw 0 t )]
n 1
E sabendo que 1/j=-j

f (t)  12 a0  [ 12 (an - jbn )e jnw 0 t  12 (an  jbn )e - jnw 0 t ]
definimos:
n 1
c0  12 a0, c n  12 (an - jbn ), c-n  12 (an  jbn )
O que é coerente com a equação para bn, pois
b-n=-bn, dado que a função seno é ímpar.
79
Forma Complexa da Série de Fourier
A série pode-se escrever como

f (t)  c 0  (c n e jnw 0 t  c -n e - jnw 0 t )
n 1
Ou,


-
n 1
n -1
f (t)  c 0  c ne jnw 0 t  c n e jnw 0 t
Então,


f (t) 
c e
n
jnw 0 t
n -
80
Forma Complexa da Série de Fourier
A expressão obtida

c e
f (t) 
n
jnw 0 t
n -
É a forma Complexa da série de Fourier e seus
coeficientes cn podem ser obtidos a partir dos
coeficientes an, bn, ou:

T
cn 
1
T

f (t)e
- jnw 0 t
dt
0
Para n=0, 1, 2, 3, ...
81
Forma Complexa da Série de Fourier
Os coeficientes cn são números complexos, e
também podem-se escrever em forma polar:
cn  cn e
j n
Obviamente, c-n  c*n  cn e- j n
 1 2 2
cn  2 an  bn ,
Onde:
Para todo
 n0,
bn
 n  arctan( - )
an
Para n=0, c0 é um número real: c 0  12 a0


82
Forma Complexa da Série de Fourier
Exemplo. Encontrar a forma complexa da série
de Fourier para a função:
1
...
-T/
2
f(t)
0
..
-1
T/
2
T .
t
Solução 1. Os coeficientes na
trigonomêtrica (an e bn):
an=0 para tudo n
e
n
2
bn  n [1 - (-1) ], para todo n
forma
83

Forma Complexa de a Série de Fourier
Podemos calcular os coeficientes cn de:
c n  12 [an - jbn ]  - j 12 n2 [1 - (-1)n ]
c n  - j n1 [1- (-1)n ]
Então a Série Complexa de Fourier fica
- jw 0 t
2
1 - j 5w 0 t
1 - j 3w 0 t

f (t)   j(... 5 e
 3e
e
-e
jw 0 t
- e
1
3
j 3w 0 t
- e
1
5
j 5w 0 t
- ...)
84
Forma Complexa de a Série de Fourier
Solução 2. Também podemos calcular os
coeficientes cn mediante a integral
T
cn 
1
T

f (t )e - jnw0t dt
0
T /2
T
0
T /2
 T1 (  e - jnw0t dt 
 (
1
T
1
- jnwo
e
- jnw0t
- jnw0t
e
dt)

T /2
-
1
- jnwo
e
- jnw0t
0

1
- jnwoT
Series de Fourier. 85
[(e
- jnw0T / 2
- 1) - (e
T
)
T /2
- jnw0T
-e
- jnw0T / 2
)]
Forma Complexa de a Série de Fourier
Como w0T=2 e temos
cn 
1
- jnwoT
e
 j
 cos  jsen
[(-1) - 1) - (1 - (-1) )]
n
n
n
2

 - j nwoT [1 - (-1) ]
-j
1
n
[1 - (-1) ]
n
o qual coincide com o resultado já obtido.
Series de Fourier. 86
Forma Complexa da Série de Fourier
Tarefa 6: Calcular os coeficientes cn para a
seguinte função de período 2.
a) A partir dos coeficientes an,bn
b) Diretamente da integral
Senoidal retificada de meia onda
1
0.8
f(t)
0.6
0.4
0.2
0
-0.2
-6
-4
-2
0
t
2
4
6
87
Espectros de Frequência Discreta
O gráfico da magnitude dos coeficientes cn
contra a frequência angular w da componente
correspondente é o espectro de amplitude de
f(t).
O gráfico do ángulo de fase n dos coeficientes
cn contra w, é o espectro de fase de f(t).
Como n só tem valores inteiros, a frequência
angular w=nw0 é uma variavel discreta e os
espectros
mencionados
são
gráficos
discretos.
88
Espectros de Frequência Discreta
Dada uma função periódica f(t), lhe
corresponde uma e somente uma série de
Fourier, i. e. um conjunto único de coeficientes
cn.
Por isso, os coeficientes cn especificam a f(t)
no
domínio da frequência da mesma
maneira que f(t) especifica a função no
domínio do tempo.
89
Espectros de Frequência Discreta
Exemplo. Para a função já analisada:
1
...
-T/
2
f(t)
0
..
T/
2
T .
t
-1
Encontramos
c n  - j n1 [1- (-1)n ]
Então,
cn 

Series de Fourier. 90
1
n
[1- (-1)n ]
Espectros de Frequência Discreta
O espectro de amplitude:
Espectro de Amplitude de f(t)
0.7
Cn 
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
-30
-20
-10
0
Frequência negativa (?)
n
10
20
30
Frequência
O eixo horizontal é um eixo de frequência,
(n=número de harmônico = múltiplo de w0).
91
Espectros de Frequência Discreta
Tarefa 7 :
Desenhar o espectro de amplitude para a
função senoidal retificada de ½ onda.
92
Potência e Teorema de Parseval
O valor médio de um sinal qualquer f(t) em um
período (T) pode-se calcular como a altura de
um rectângulo que tenha a mesma área que a
área abaixo da curva de f(t)
T
Area   f ( t )dt
f(t)
0
1
Area=Th
h=Altura
média
t
T
93
Potência e Teorema de Parseval
Pelo anterior, se a função periódica f(t)
representa um sinal de voltagem ou corrente, a
potencia média entregue a uma carga
resistiva de 1 ohm em um período está dada
por
T /2
1
T
 [ f (t)] dt
2
-T / 2
Se f(t) é periódica, também será [f(t)]2 e o valor
médio em um período será o valor médio em
qualquer outro período.

94
Potência e Teorema de Parseval
O teorema de Parseval nos permite calcular a
integral de [f(t)]2 mediante os coeficientes complexos cn de Fourier da função periódica f(t):
T /2
1
T
 [ f (t )]
2
dt 

c
n  -
-T / 2
2
n
Ou também, em termos dos coeficientes an, bn:

T /2
1
T
 [ f (t )] dt 
2
-T / 2
1
4
a 
2
0
1
2
 (a
n 1
2
n
b )
2
n
95
Potência e Teorema de Parseval
Uma consequência importante do teorema de
Parseval é o seguinte resultado:
O valor quadrático médio de uma função
periódica f(t) é igual à soma dos valores
quadráticos médios de seus harmônicos,

T /2
1
T
Cn
 [ f (t)] dt  C   2
-T / 2
n 1
2
2
2
0
onde Cn é a amplitude do n-ésimo harmônico e
C0 é o componente DC.

96
Potência e Teorema de Parseval
No resultado anterior é conveniente encontrar a
relação entre os coeficientes complexos cn da
série

f (t) 
jnw0 t
c
e
n
n  -
E os coeficientes reais Cn da série

f ( t )  C0   Cn cos(nw0 t - n )
n 1
onde Cn é a amplitude do n-ésimo harmônico e
C0 é o componente DC.
97
Potencia e Teorema de Parseval
Por um lado
E
Então,
Cn  a 2n  b 2n ,
cn  12 an2  bn2
cn  12 Cn e
2
cn  C
1
4
2
n
E para o harmônico f n (t)  Cn cos(nw 0t -  n )
 rms é
Seu valor
Cn / 2
2
C
então seu valor quadrático medio é
n /2


Para a componente DC C0, seu valor rms é C0,

então seu valor quadrático médio será C02.


98
Potência e Teorema de Parseval
Exemplo. Calcular ou valor quadrático médio
da função f(t):
1
...
-T/
2
f(t)
0
..
-1
Solução.
Do teorema de Parseval
T/
T .
2
t

T /2
 [ f (t)] dt   c
-T / 2
e do exemplo anterior cn 
então
Series de Fourier. 99
1
n
n -
[1- (-1)n ]

8  1 1
1
 cn   2 1 9  25  49  ...
n -

2

2
2
1
T
n
Potencia e Teorema de Parseval
A série numérica obtida converge a
1 1
1
1    ...1.2337
9 25 49
então,


T /2
1
T
 [ f (t)] dt   c
2
2
-T / 2
n -
n

8

2
(1.2337) 1
Como era de esperarse.
Então, que significa essa convergência ?

Series de Fourier. 100
Potencia e Teorema de Parseval
Tarefa 8
Calcular o valor quadrático médio para o sinal
senoidal retificado de meia onda de período 2.
Para que serve a relação entre a potência
média de um sinal periódico com os seus
coeficientes de Fourier ?
101
Exemplo

Determinar as linhas espectrais para a função
periódica f(t), dada por um trem de pulsos
retangulares de amplitude 1 e de duração d=
0.05 s, cujo período é de T=0,25 s
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
-0.5
-0.4
-0.3
-0.2
-0.1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
102
Exemplo
Esta função pode ser modelada matematicamente
por:
1 se - d/2  t  d/2
f (t )  
0 se - T /2  t  -d/2,d/2  t  T /2
103
Exemplo
Aplicando-se a definição dos coeficientes complexos da
série de Fourier, tem-se que:
cn 
1
T
T
2

-
f (t ).e - jnw0t dt 
T
2

e


sin(nw 0
d
)
2
cn 
nw 0
d
T
d
2
d
- jnw0
2
-e
- jnw0t
1
1 e
- jnw0t
1
.
e
dt

T d
T - jnw 0
-
1 -1
 .
T jnw 0
d
T
d
2
2
d
- jnw0 ( - )
2
mas w 0 
d
2

d
2
d
 jnw0 d
- jnw0
2
 d e 2 -e
 
 T
d

 2 j.nw 0 .
2







2
, Assim :
T
n. .d
)
d
n.d
sin(x)
T
 . sin c( ), onde sinc(x) 
n. .d
T
T
x
T
sin(
104
Exemplo

Aplicando as condições do problema,
onde T=0,25 s e d=0,2 s, tem-se que
0,2sin (n.0,2)
cn 
n.0,2.
0.25
0.2
0.15
0.1
0.05
0
-0.05
-0.1
-100
-80
-60
-40
-20
0
20
40
60
80
100
105
As tarefas 1 a 8

Devem ser feitas para praticar.
106
Espectro & Largura de Banda
1
0.8
0.6
0.4
0.2
30
33
36
39
42
30
33
36
39
42
27
24
21
18
15
9
12
6
3
0
frequency (kHz)
Espectro de x2(t)
1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
27
24
21
18
15
9
12
6
0
3

1.2
0

Espectro de um sinal :
magnitude das amplitudes
como função da frequência
x1(t) varia mais rápido não
tempo e tem conteúdo mais
alto de frequencia que x2(t)
A largura de banda Ws é
definida como ou intervalo
de frequencias em que ou
sinal tem uma potencia
significante, ou seja, ou
intervalo da banda que
contém 99% da potencia
total do sinal
0

Espectro de x1(t)
frequency (kHz)
107