Modelo 101.
Crescimento
Exponencial
(EXPO)
Crescimento exponencial.
Uma população que obtém
todo o alimento de que
precisa aumentará cada vez
mais rápido pois quanto mais
indivíduos, mais bocas e
portanto, mais alimento
consumido acarretando maior
crescimento da população.
Δm/Δt = constante
O crescimento exponencial
se caracteriza por um
aumento constante por
período de tempo.
Uma pequena população de
ratos de laboratório em
gaiolas onde os recipientes
de alimento e água se
mantém sempre cheios, não
importando quanto os ratos
comam, pode ser um
exemplo de crescimento
exponencial (até certo
tempo .. depois muda!).
O número de ratos
cresce de forma
exponencial.
Quanto maior o consumo, mais alimento é fornecido
e mais rápido a população cresce. A cada semana o
número de ratos aumenta.
Como este suprimento ilimitado
de alimentos não é possível de
se manter indefinidamente,
eventualmente a população
parará de crescer tão
rapidamente.
A partir daí um modelo diferente
deveria ser utilizado para ajustar a
nova situação de suprimento
limitado de alimento.
Modelo
Q
DQ= K1*E*Q-K4*Q
K3*E*Q
E
K1*E*Q
*
K4*Q
Nota:
K2*E*Q
O crescimento líquido,
K1*E*Q,
é obtido subtraindo-se
K3*E*Q de K2*E*Q.
Q
K3*E*Q
E
K1*E*Q
*
K2*E*Q
K4*Q
No diagrama (Figura II-1a)
E é uma fonte que mantém
uma concentração
constante,
independentemente do que
é extraído dela, ela é
relativamente ilimitada.
Q é o estoque que está sendo suprido por E.
Neste exemplo, E é o suprimento contínuo de
alimentos e Q são os ratos.
O símbolo de interação (a seta larga marcada com *
em seu interior) mostra que os ratos estão comendo
o alimento para produzir mais ratos.
Q
K3*E*Q
E
K1*E*Q
*
K2*E*Q
K4*Q
Como o aumento da
população de ratos é
dependente tanto do
alimento fornecido (E)
quanto da quantidade de
ratos que já existe (Q),
quanto mais ratos
houver, mais irão comer
e mais filhotes irão
nascer.
A equação para ao aumento em Q é K1*E*Q.
K1 é a proporção de Q*E que se transforma em
ratos a cada semana; é o coeficiente de
crescimento dos ratos.
Q
K3*E*Q
E
K1*E*Q
*
K4*Q
K2*E*Q
K1 é a combinação de
dois coeficientes, K2
e K3.
K1 = K2 - K3
O aumento na quantidade
de ratos depende de seu
próprio crescimento e
reprodução (K2*E*Q)
menos o esforço que eles
consomem para obter os
seu alimento e água
(K3*E*Q).
K1*E*Q é o crescimento
líquido.
K4 é o coeficiente de morte dos ratos, a proporção
de Q que morre. K4*Q é o número de ratos que
morrem a cada semana, a taxa de mortalidade.
DQ= K1*E*Q-K4*Q
Q
K3*E*Q
E
K1*E*Q
*
K4*Q
K2*E*Q
Crescimento líquido: K1*E*Q,
Mortalidade: K4*Q.
Portanto, a mudança
na quantidade de
ratos no tempo (DQ) é
o aumento (K1*Q*E)
menos a diminuição
(K4*Q):
DQ = K*E*Q - K4*Q.
A quantidade de ratos (Q) após uma semana
é o número inicial mais a alteração:
Q = Q + DQ.
Q versus T
6000
Estoque interno
5000
4000
3000
2000
1000
0
0
100
200
Tem po
300
400
O gráfico ao lado é
obtido quando se
calculam os valores de
Q variando-se o tempo;
a população (Q) cresce
num ritmo pequeno no
início e depois cada vez
mais rapidamente.
O gráfico acima pode ser obtido tanto através de
uma planilha como por qualquer programa de
computador, utilizando-se as relações discutidas na
página anterior.
Q versus T
6000
Estoque interno
5000
4000
3000
2000
1000
0
0
100
200
300
400
Tem po
http://www.unicamp.br/fea/ortega/ModSim/expo/expo Mi.xls
Exemplos de Modelos Exponenciais
Este modelo descreve corretamente o
crescimento de populações de plantas ou
animais com fontes sem restrições.
Durante os estágios iniciais de crescimento
da população, quando a demanda por
alimento é pequena comparada à
quantidade disponível, quase toda
população de plantas ou animais crescerá
exponencialmente.
O crescimento da população humana mundial
tem sido exponencial até recentemente e ainda
o é em alguns países.
As indústrias do petróleo e a mineração têm
crescido exponencialmente após a descoberta
de campos de petróleo e jazidas de minerais.
Os Estados Unidos, desde o início dos anos
1800 e até meados dos anos 1900, constituíram
uma economia que cresceu exponencialmente
usando uma grande abundância de recursos
naturais e combustíveis fósseis locais
descobertos nessa época.
Experimentos “O que aconteceria se...”
Faremos algumas mudanças nas condições de
vida da população de ratos de laboratório.
Se a concentração de alimento for dobrada, o que
acontecerá com o crescimento da população de
ratos? Faça um ajuste e depois rode o programa.
Passe de E = 1 para E = 2, obtenha o gráfico e
depois analise a resposta. Agora corte pela
metade a concentração de alimento (E = 0.5).
Cada pedaço de ração tem apenas metade do
valor nutricional. O que acontece com a
população de ratos?
O que aconteceria se fosse mudada a taxa de
crescimento da população de ratos? Talvez o
pesquisador tenha encontrado outra raça de
ratos que coma mais eficientemente. Como
será o gráfico de Q? Experimente.
Faça K1 = 0,08 e trace o gráfico.
Tente também para uma população de ratos
que come menos eficientemente, fazendo
K1 menor que o valor original de 0,07.
Como é o aspecto do gráfico?
Uma outra possibilidade que pode ocorrer é uma
mudança na taxa de mortalidade. O que
aconteceria se um vírus atacasse os ratos
aumentando a taxa de mortalidade?
Para testar sua hipótese, você aumentaria ou
diminuiria o valor de K4? Mostre o que acontece
com o crescimento da população. Depois faça
com que os ratos sejam mais saudáveis que a
população original mudando K4 na outra direção.
Se E for 1 e você fizer K1 igual a K3, o que
acontecerá à população? Experimente.
Experimente!
http://www.unicamp.br/fea/ortega/ModSim/expo/expo-101.html
COMPUTER MINIMODELS AND SIMULATION EXERCISES FOR
SCIENCE AND SOCIAL STUDIES
Howard T. Odum* and Elisabeth C. Odum+
* Dept. of Environmental Engineering Sciences, UF
+ Santa Fe Community College, Gainesville
Center for Environmental Policy, 424 Black Hall
University of Florida, Gainesville, FL, 32611
Copyright 1994
Autorização concedida pelos autores para publicação na Internet
Laboratório de Engenharia Ecológica e Informática Aplicada - LEIA –
FEA, Unicamp. Enrique Ortega, Mileine Furlanetti de Lima Zanghetin
Campinas, SP, 20 de julho de 2007