Estatística
2. Estatística indutiva
É a ciência que coleta, organiza e
interpreta dados colhidos entre um grupo
aleatório de pessoas.
Visa tirar conclusões sobre a população a
partir de amostras. Refere-se à maneira
de estabelecer conclusões para toda uma
população observando apenas parte
dela.
Divisão da estatística:
Conceitos:
O que é:
Estatística geral
Visa elaborar métodos gerais aplicáveis a
todas as fases do estudo dos fenômenos
de massa. A estatística geral ainda pode
ser dividida em dois subgrupos:
1. Estatística descritiva
Diz respeito à coleta, organização,
classificação, apresentação e descrição
dos dados a serem observados.
População
É todo o conjunto de elementos que
possuam ao menos uma característica
comum observável.
Amostra
É uma parte da população que será
avaliada por um critério comum.
Dados estatísticos
São os valores associados às variáveis
de pesquisas.
Frequências
1. O número de vezes em que a variável
ocorre é chamado frequência absoluta e
é indicado por ni
2. Definimos frequência relativa ( fi )
como a razão entre a frequência
absoluta (ni) e o número total de
observações (n) , ou seja:
fi 
ni
n
O quadro a seguir apresenta a velocidade em km/h com que os
motoristas foram multados em uma determinada via municipal.
72
74
63
89
78
96
Velocidade
60|---- 70
70|---- 80
80|---- 90
90|---- 100
Total
61
74
92
63
Freqüência
Absoluta
F.A
83
87
67
64
65
75
Freqüência
Relativa
(simples)
F.R
Freqüência
absoluta
acumulada
F.A.A
9
6
45%
3
2
15%
9
15
18
20
20
30%
10%
79
68
Freqüência
Relativa
acumulada
F.R.A
45%
75%
90%
100%
65
68
Velocidade
Freqüência
Absoluta
F.A
Freqüência
Relativa
(simples)
F.R
Freqüência
absoluta
acumulada
F.A.A
9
15
18
20
60|---- 70
70|---- 80
9
6
45%
80|---- 90
90|---- 100
3
2
15%
Total
20
30%
10%
Com base na tabela, responda:
a) Quantos Motoristas foram multados com
velocidade de 80km/h a 90km/h?
3
45%
75%
90%
100%
c) Quantos Motoristas foram multados com
velocidade abaixo de 90km/h?
18
d) Qual o percentual de Motoristas multados
com uma velocidade abaixo de 80km/h?
b) Qual é o percentual de Motoristas
multados com velocidade de 70km/h a 80km/h?
30%
Freqüência
Relativa
acumulada
F.R.A
75%
Representação Gráfica
Setores Circulares (Pizza)
Foi feita uma Pesquisa a 400 alunos de uma escola sobre as
atividades esportivas que gostariam de ter na escola. O resultado
foi o seguinte:
Atividade
Esportiva
Nº de alunos
Freqüência
Absoluta
Freqüencia
relativa
Voleibol
Basquetebol
80
120
20%
30%
Futebol
160
40%
Natação
Total
40
400
10%
100%
Representação Gráfica
Setores Circulares (Pizza)
Preferência
30%
Volei
Basquete
futebol
40%
20%
10%
natação
Representação Gráfica
Setores Circulares (Pizza)
Preferência
10,00%
36°
40,00%
72°
144°
20,00%
volei
basquete
futebol
108°
natação
30,00%
(PUC-MG) Em uma pesquisa eleitoral para verificar a posição de três candidatos a
prefeito de uma cidade, 1500 pessoas foram consultadas. Se o resultado da
pesquisa deve ser mostrado em três setores circulares de um mesmo disco e certo
candidato recebeu 350 intenções de voto, qual é o ângulo central correspondente a
esse candidato?
a) 42°
b) 168° c) 90°
1500
350
360o
xo
x = 84°
d) 242° e) 84°
Médias
Média Aritmética Simples
Média Aritmética ( X ) - É o quociente da divisão da soma dos valores da
variável pelo número deles:
x
x 1  x 2  ...  x n
n
Exemplo: Sabendo-se que a produção leiteira da vaca A, durante uma
semana, foi de 10, 14, 13, 15, 16, 18 e 12 litros, temos, para produção
média da semana:
X = 10 + 14 + 13 + 15 + 16 + 18 + 12 = 98 = 14
7
7
Média Aritmética
Ponderada
Exemplo: O exame de seleção pode ser composto de 3 provas onde as
duas primeiras tem peso 1 e a terceira tem peso 2. Um candidato com
notas 70, 75 e 90 terá média final:
Durante o ano letivo, um professor de matemática aplicou cinco provas para
seus alunos. A tabela apresenta as notas obtidas por um determinado aluno em quatro
das cinco provas realizadas e os pesos estabelecidos pelo professor para cada prova.
(UNESP-09)
Se o aluno foi aprovado com média final ponderada
igual a 7,3, calculada entre as cinco provas, a nota
obtida por esse aluno na prova IV foi:
1.(6,5)  2.(7,3)  3.(7,5)  2.x  2.(6,2)
 7,3  56 + 2x = 73  x = 8,5
1 2  3  2  2
Média Geométrica
Média Geométrica - É a raiz enésima do produto dos n valores da amostra
x  n x1.x 2 ......xn
Exemplo: Determine a média geométrica dos números 6, 4 e 9.
x  3 6.4.9  6
A altura de um triângulo retângulo relativa à hipotenusa é a média geométrica
das projeções dos catetos sobre a hipotenusa. Veja:
h  3.12  6
Digamos que uma categoria de operários tenha um aumento salarial de 20% após
um mês, 12% após dois meses e 7% após três meses. Qual o percentual médio
mensal de aumento desta categoria?
Sabemos que para acumularmos um aumento de 20%, 12% e 7% sobre o valor de um
salário, devemos multiplicá-lo sucessivamente por 1,2, 1,12 e 1,07 que são os fatores
correspondentes a tais percentuais. Supondo um salário inicial de R$100,00.
Salário
Inicial
% de
aumento
R$100,00
R$120,00
R$134,4
20%
R$120,00
12%
R$134,4
R$143,08
Salário
Inicial
% de
aumento
Salário Final
7%
Salário Final
R$100,00
R$112,8741
12,8741%
R$112,8741
12,8741%
R$127,4056245
R$127,4056245
12,8741%
R$143,08
x  3 (1,2).(1,12).(1,07)  1,128741
Percentual médio de aumento: 12,8741%
Média Harmônica
Média Harmônica - É o inverso da média aritmética dos inversos.
Exemplo: Determine a média harmônica dos números 6, 4 e 9.
Média aritmética dos inversos:
1 1 1 19
 
6 4 9  36  19
3
3
108
Inverso da Média aritmética dos inversos:
108
 5,68
19
A média harmônica é um tipo de média que privilegia o desempenho harmônico do
candidato. Terá melhor desempenho o candidato que tiver um desempenho médio em
todas as provas, do que aquele que for muito bem numa e muito mal noutra. Exemplo:
Outros Conceitos
•Rol
Consiste na organização dos dados em
ordem crescente.
Exemplo: Notas obtidas em uma prova de
matemática no primeiro ano do ensino
médio:
E = {1,3,1,9,10,7,6,3,4,1,8,8,10,2,2}
Rol = 1,1,1,2,2,3,3,4,6,7,8,8,9,10,10.
Mediana (Md)
É o valor que ocupa a posição central
de um conjunto de dados ordenados.
Exemplo: Determine a mediana do
Rol abaixo:
7 elementos
Rol = 1,1,1,2,2,3,3,4,6,7,8,8,9,10,10.
7 elementos
Como o elemento 4 ocupa a posição central,
dizemos que ele é a mediana dos dados
coletados acima.
IMPORTANTE!!!!
Caso o número de elementos do Rol for
par, calculamos a mediana pela média
aritmética dos dois elementos centrais.
Moda (Mo)
É o valor que ocorre com maior frequência em
um conjunto de dados.
Exemplo: O número 1 é a Moda do exercício
anterior, posto que aparece três vezes no Rol.
Desafio!!!
(Fuvest – SP) Numa classe com vinte alunos as notas do exame final podiam variar de 0 a 100 e a
nota mínima para aprovação era 70. Realizado o exame, verificou-se que oito alunos foram
reprovados. A média aritmética das notas desses oito alunos foi 65, enquanto a média dos
aprovados foi 77. Após a divulgação dos resultados, o professor verificou que uma questão havia
sido mal formulada e decidiu atribuir 5 pontos a mais para todos os alunos. Com essa decisão, a
média dos aprovados passou a ser 80 e dos reprovados 68,8.
a)
Calcule a média aritmética das notas da classe toda antes da atribuição dos pontos extras.
Média 
b)
8.(65)  12.(77)
 72,2
20
Com a atribuição dos 5 pontos extras, quantos alunos, inicialmente reprovados, atingiram
nota para aprovação?
Como foi adicionado 5 pontos a todos os alunos, a média de toda turma sobe para 72,2 + 5 =
77,2. Sabemos que alguns alunos (x) anteriormente reprovados conseguiram, após o aumento,
aprovar.Assim:
x=3
Amplitude
Variância
É a diferença entre o maior valor e o menor
valor de um conjunto de dados
Ex.: Os valores seguintes representam o
número de gols marcados pela seleção
brasileira nas últimas 5 copas do mundo.
11, 14, 18, 10, 9
Amplitude = 18 – 9 = 9
Um aluno obteve as seguintes notas na
disciplina de matemática nos 4 bimestres:
Bim
1º 2º
notas 5
8
3º 4º
6
9
5869
7
4
Desvios: nota 1: 5 – 7 = - 2
nota 2: 8 – 7 = 1
nota 3: 6 – 7 = - 1
nota 4: 9 – 7 = 2
Média aritmética =
É a média aritmética dos quadrados
dos desvios.
(-2)2  12  (1) 2  2 2
V
 2,5
4
Desvio Padrão:
É a raiz quadrada da variância
Dp  V
Dp  2,5  1,58
Quanto mais próximo de zero é o desvio
padrão, mais homogênea (regular) é a
amostra.
Candidatos que obtém menor desvio
padrão são considerados mais regulares.
Ex.: As notas de dois alunos X e Y estão representadas no quadro abaixo.
Paulo
João
N1 N2 N3 N4
5
2
5
8
4
8
3
5
Por meio do desvio padrão, qual deles apresentou desempenho mais regular?
Média aritmética =
Paulo
5258
5
4
Desvios: nota 1: 5 – 5 = 0
Paulo
nota 2: 2 – 5 = - 3
nota 3: 5 – 5 = 0
nota 4: 8 – 5 = 3
02  (3)2  02  32
VariânciaPaulo 
 4,5
4
Desvio Padrão  V  4,5  2,12
Média aritmética =
João
4835
5
4
Desvios: nota 1: 4 – 5 = -1
João
nota 2: 8 – 5 = 3
nota 3: 3 – 5 = -2
nota 4: 5 – 5 = 0
(-1)2  32  (2)2  02
Variância João 
 3,5
4
Desvio Padrão  V  3,5  1,87
Logo, como João apresentou o menor desvio padrão, ele será dito o mais regular.
TEORIA DA INFORMAÇÃO - EXERCÍCIOS ENEM
( ENEM )O gráfico abaixo ilustra o resultado de um estudo sobre o aquecimento
global. A curva mais escura e contínua representa o resultado de um cálculo em que
se considerou a soma de cinco fatores que influenciaram a temperatura média global
de 1900 a 1990, conforme mostrado na legenda do gráfico. A contribuição efetiva de
cada um desses cinco fatores isoladamente é mostrada na parte inferior do gráfico.
Os dados apresentados revelam que, de 1960 a 1990,
contribuíram de forma efetiva e positiva para aumentar
a temperatura atmosférica:
A) aerossóis, atividade solar e atividade vulcânica.
B) atividade vulcânica, ozônio e gases estufa.
C) aerossóis, atividade solar e gases estufa.
D) aerossóis, atividade vulcânica e ozônio.
E) atividade solar, gases estufa e ozônio.
De acordo com o gráfico, os únicos fatores que
apresentaram contribuição efetiva e positiva de 1960 a
1990 são: (I) gases estufa; (II) atividade solar;
(III) ozônio.
Resposta: E
(ENEM 2004) - “Comprimam-se todos os 4,5 bilhões de anos de tempo geológico em um só ano.
Nesta escala, as rochas mais antigas reconhecidas datam de março. Os seres vivos apareceram
inicialmente nos mares, em maio. As plantas e animais terrestres surgiram no final de novembro.”
(Don L. Eicher, Tempo Geológico) Meses (milhões de anos):
Na escala de tempo acima, o sistema solar surgiu no início de janeiro e vivemos hoje à meia-noite
de 31 de dezembro. Nessa mesma escala, Pedro Álvares Cabral chegou ao Brasil também no mês
de dezembro, mais precisamente na:
A) manhã do dia 01.
B) tarde do dia 10.
C) noite do dia 15.
D) tarde do dia 20.
E) noite do dia 31.
( ENEM ) RESOLUÇÃO
( ENEM – 2000 ) O Brasil, em 1997, com cerca de 160 X 106 habitantes, apresentou
um consumo de energia da ordem de 250.000 TEP (tonelada equivalente de
petróleo), proveniente de diversas fontes primárias. O grupo com renda familiar de
mais de vinte salários mínimos representa 5% da população brasileira e utiliza
cerca de 10% da energia total consumida no país. O grupo com renda familiar de
até três salários mínimos representa 50% da população e consome 30% do total de
energia. Com base nessas informações, pode-se concluir que o consumo médio de
energia para um indivíduo do grupo de renda superior é x vezes maior do que para
um indivíduo do grupo de renda inferior. O valor aproximado de x é:
TOTAL DE HABITANTES: 160.106 HABITANTES ENERGIA GASTA: 250 000
RENDA SUPERIOR
RENDA INFERIOR
Logo:
5% DA POPULAÇÃO:
50% DA POPULAÇÃO:
3,125.103
 3,3
0,9375.103
5
.160.10 6  8.10 6 pessoas
100
10% DA ENERGIA:
10
.250 000  25.10 3 TEP
100
CONSUMO POR PESSOA:
3
25.10
 3,125.10 3 TEP/PESSOA
6
8.10
50
.160.10 6  80.10 6 pessoas
100
30% DA ENERGIA:
30
.250 000  75.10 3 TEP
100
CONSUMO POR PESSOA:
75.10 3
 0,9375.10 3 TEP/PESSOA
6
80.10
A população mundial esta ficando mais velha, os índices de natalidade diminuíram e a
expectativa de vida aumentou. No gráfico seguinte, são apresentados dados obtidos
por pesquisa realizada pela Organização das Nações Unidas (ONU), a respeito da
quantidade de pessoas com 60 anos ou mais em todo o mundo. Os números da
coluna da direita representam as faixas percentuais. Por exemplo, em 1950 havia 95
milhões de pessoas com 60 anos ou mais nos países desenvolvidos, número entre
10% e 15% da população total nos países desenvolvidos.
(ENEM-2010)Suponha que o modelo exponencial
y = 363e0,03x, em que x = 0 corresponde ao ano 2000, x = 1
corresponde ao ano 2001, e assim sucessivamente, e que y
é a população em milhões de habitantes no ano x, seja
usado para estimar essa população com 60 anos ou mais
de idade nos países em desenvolvimento entre 2010 e
2050. Desse modo, considerando e0,3 = 1,35, estima-se que
a população com 60 anos ou mais estará, em 2030, entre:
y = 363. e0,03x
a) 490 e 510 milhões.
y = 363. e0,03. 30
y = 363. e0,3. 3
b) 550 e 620 milhões.
0,3
3
y = 363. (e )
c) 780 e 800 milhões.
y = 363. 1,353
d) 810 e 860 milhões.
y = 363. 2,46
e) 870 e 910 milhões.
y  893 milhões
AUTOR : PROFESSOR RICARDO
RICARDINHO MATEMÁTICA