Aula-6
Teoria da Relatividade Restrita
II
Curso de Física Geral F-428
As transformações de Lorentz
•Se, no referencial S, dois eventos estão separados por uma
diferença de coordenada
; e ocorrem em dois
instantes de tempo separados por
, no referencial
S’ teremos:
x   (x  vt )
v
t    (t  2 x)
c
•Vemos que as noções de espaço e tempo, como entes
independentes, não têm mais sentido; o que temos é um ente
único: o espaço-tempo.
•Podemos também inverter as transformações acima:
x   (x  vt )
v
t   (t   2 x)
c
Prob.1:
Dois eventos ocorrem no mesmo ponto em um certo referencial
inercial e são separados por um intervalo de tempo de 4 s. Qual é
a separação espacial entre estes dois eventos em um referencial
inercial no qual os eventos são separados por um intervalo de
tempo de 6 s ?
Prob.2:
Uma nave espacial de comprimento l0 viaja a uma velocidade constante
v, relativa ao sistema S, ver figura. O nariz da nave (A’) passa pelo
ponto A em S no instante t0 = t0’= 0 e neste instante envia um sinal de
luz de A’ para B’.
(a) Quando, no referencial S’ do foguete, o sinal chega à cauda B’ da
nave?
(b) Em que instante tB, medido em S, o sinal chega à cauda (B’ ) da
nave?
(c) Em que instante t, medido em S, a cauda da nave (B’ ) passa através
do ponto A?
A relatividade das velocidades
Vimos que:
x   (x  vt )
Portanto:
dx   (dx  vdt)
v
t    (t  2 x)
c
v

dt   (dt  2 dx)
c
dx u x  v
Logo: u x 

dt  1  v u x
2
c
Na transformação clássica
de Galileu teríamos (v <<
c)
dx
 ux  v
: u x 
dt 
A relatividade das velocidades
Podemos ainda deduzir expressões para as velocidades
nos outros eixos:
2
(
1


) uy

dy
u y 

v ux
dt 
1 2
c
(1   2 ) u z
dz
uz 

v ux
dt 
1 2
c
As transformações podem ser invertidas, trocando-se
os índices linha e v por –v. Então, se
u x  v
c
ux  c teremos: u x 
v u x
1 2
c
 A transformação estará coerente com o fato da velocidade
da luz ser a mesma em todos os referenciais, e que nenhuma
velocidade pode excedê-la.
Prob. 3: Uma espaçonave cujo comprimento próprio é 350 m está se movendo
com uma velocidade de 0,82c em um certo referencial. Um micrometeorito,
também com velocidade de 0,82c neste referencial, cruza com a espaçonave
viajando na direção oposta. Quanto tempo o micrometeorito leva para passar pela
espaçonave, do ponto de vista de um observador a bordo da espaçonave ?
y
L
0
L0 = 350 m
v = 0,82 c
Velocidade do meteorito
em relação à nave:
v
S
v
x
vv
 2v
1,64 c
v 


 0,98 c
2
2
v ( v)
v
1  (0,82)
1 2
1 2
c
c
v  2,94 108 m/s
L0
350 m
t0 

 1,19 s
8
v 2,9410 m/s
ux  v
ux 
v ux
1 2
c
O efeito Doppler da luz
• No efeito Doppler do som é necessário distinguir as situações em
que ele é causado pelo movimento da fonte ou do observador. Isto,
porque o som propaga-se no ar, e ambos podem ter velocidades
relativas a este. Já para a luz, que propaga-se no vácuo, importa
apenas a velocidade relativa entre a fonte e observador.
O efeito Doppler da luz
Se o observador O em S descreve uma onda eletromagnética
pela expressão sin( kx  t ) o observador O’ em S’ deverá observar
sin( k x   t ) e, pelo princípio da relatividade, devemos ter
kx  t  k x  t 
Então, usando que
x   ( x  vt )
e
v
t   (t   2 x)
c
podemos mostrar que:
v 

k    k  2 
c 

e
      vk 
O efeito Doppler da luz
Mas, como:
c

k


k
k    k 1   
e
    1   
1 
f f
1 
Esta expressão é válida no caso do observador e a fonte
estarem se afastando. Se estiverem se aproximando
devemos trocar por
.
O efeito Doppler da luz
Caso o movimento
relativo não seja na direção de propagação

v

Se  

2

k
    1  cos  
, “Doppler transverso”. Note que aqui o objeto em
movimento emite radiação com freqüência conhecida
  0 1   2
   0
O efeito Doppler na astronomia
• Vamos supor que uma estrela se afasta da Terra com uma
velocidade relativamente pequena,
. Neste caso temos:
Em termos dos comprimentos de onda, temos:
•Logo, sendo v > 0 temos
Deslocamento da
luz para o vermelho
•Se a estrela estiver se aproximando
(v < 0) teremos  < 0
Deslocamento da
luz para o azul
Prob. 4: Uma espaçonave está se afastando da Terra a uma velocidade de 0,20c.
Uma fonte luminosa na popa da nave parece azul ( = 450 nm) para os
passageiros. Determine: (a) o comprimento de onda e (b) a cor (azul, verde,
amarela...) da luz emitida pela nave, do ponto de vista de um observador terrestre.
v = 0,20c
• Efeito Doppler da luz (se afastando):
f f
1 
1 
1/ 2
c c 1  

 
   1   
a)
1/ 2
1  

    
1  
1/ 2
 1,2 
 450 nm 

 0,8 
b) Luz "verde-amarelada":
 551nm
Dinâmica relativística
Na mecânica Newtoniana temos
 dp
F
dt
, onde o momento linear é definido por:

F 0



p  mv

p  const.
Procuramos um análogo relativístico desta expressão que
tenha as seguintes propriedades:
a) O momento relativístico deve ser conservado em sistemas
isolados, assim como na mecânica Newtoniana.
b) A expressão obtida deve se reduzir à forma newtoniana no limite
.
Dinâmica relativística
Colisão das partículas a e b, de
mesma massa, no referencial S’.
Por exemplo, o referencial do C.M.
das partículas

Fext  0


p  const.
y

vb(depois)

vb(antes )
 (antes)
 (antes)
mva
m
v
=
+ b
 (depois)
 (depois)

mva
+ mvb
S’
x

va(antes )

va(depois)
Momento linear relativístico
Usando a fórmula para a transformação de Lorentz das
velocidades:
dx ux  v
ux  
dt 1  v ux
c2
(1   ) uz
dz
uz  
v ux
dt
1 2
c
2
2
(
1


) u y
dy
uy 

v u x
dt
1 2
c
... podemos escrever as componentes das velocidades no referencial
S, que se move em relação a S’ com velocidade constante, -v , ao
longo do eixo x ...
Momento linear relativístico
antes  vx
vax
antes  vx
vbx
antes  vy
vay
antes  vy
vby
v
 vx
v
v
 vy
v
depois
ax
depois
ay
depois
bx
depois
by

vb( depois)
 vx

va( antes )
 vy
antes
vax

depois
vax
transformação de
Lorentz das
velocidades
vx  v
1  ( vx v / c 2 )
vx  v

1  ( vx v / c 2 )
y
S’

vb( antes )

va( depois)
antes
vbx

depois
vbx
 vx  v
1  ( vx v / c 2 )
 vx  v

1  ( vx v / c 2 )
2
1


vy
antes
vay 
1  ( vx v / c 2 )
2

1


vy
antes
vby 
1  ( vx v / c 2 )
2

1


vy
depois
vay 
1  ( vx v / c 2 )
2
1


vy
depois
vby 
1  ( vx v / c 2 )
x
Momento linear relativístico


 p  mv não nos fornece uma expressão para o momento
linear que seja invariante pelas transformações de Lorentz.
Momento linear relativístico
Entretanto, pode-se mostrar que teremos uma quantidade
conservada definindo:


p  m( v ) v
m0
m(v)   m0 
2
2
1 v c
onde m0 é a massa do corpo no referencial em que ele se
encontra em repouso. A força é, então, dada por
 dp d

F
 (m0 v )
dt dt
Energia relativística
(Supondo Epotencial = 0 )
• A taxa de variação temporal da energia cinética de uma partícula

continua sendo dada por:

dK
dp
dt

r

r
 
 F v  v 
dt

r


 
d ( m0 v ) 
d ( m0 v ) 
K  F  dr 
 dr 
 v dt
dt
dt
0
0
0



v
K  m0c
2
 d(
0


v /c
1 v / c
2
2

)  (v / c)  m0c 2

v
então:
K  m0c  mc  E
2
1  v2 / c2


1/ 2
x dx
2
2
 m0c x  1
2 1/ 2
(1  x )
0

K  (m  m0 )c 2  (  1) m0c 2
2
x
v/c
onde :
 E
m   m0
2 Energia
mc Total

v
0
Energia relativística

1
1  ( v / c) 2
Relação energia-momento linear
Usando que

 mc v
temos p  2
c


p  mv
2


 c p
v
E
2
Como E 2  m 2 c 4   2 m02 c 4 obtemos:
E 
2
m02 c 4
 c p 
1  2 2 
 c E 
4
2

E m c  p c
2
Se m0 = 0
2 4
0
2 2
E  pc
• Lembrando que a radiação eletromagnética transporta momento
linear p  U / c , podemos imaginá-la como composta por
corpúsculos de massa zero ( fótons ), como veremos mais adiante.
Energia relativística
• Limite clássico da energia
Expandindo E para v/c << 1 temos:
2
4
m0 c 2
v
3
v


2
E

m
c
1



...


0
2
4
2
2
1 v c
 2c 8c

2
2
2
m
v
3
m
v
v


2
0
0
E  m0 c 

 2   ...
2
8 c 
Energia de repouso: E  m0 c 2
2
m
v
Energia cinética para v/c << 1 : K  0
2
Energia relativística
• A energia de um sistema isolado se mantém constante
 Portanto, se um sistema libera uma quantidade de energia
∆E = Ef - Ei = - Q , deve apresentar uma redução de massa:
Q
m  m f  mi   2
c
Isto vale tanto para reações químicas quanto para reações nucleares,
embora a variação de massa no primeiro caso seja imperceptível.
 Se a energia de um sistema aumenta, (ex.: aumentando a sua
velocidade), sua massa também aumenta:
E
m  2
c
Colisões relativísticas
•Efeito Compton
(será estudado no Cap. 38)
E1
c
(m1  0)
p2  0

E
p3 
c
p1 
 
 
p1  p2  p3  p4
p4  ?
E1  E2  E3  E4
Prob. 5: Qual deve ser o momento linear de uma partícula, de massa
m, para que a energia total da partícula seja 3 vezes maior que a sua
energia de repouso ?
E  mc 2  3 (m0c 2 )
mas:
E 2  m02c 4  p 2c 2
8m02 c 2  p 2
9m02 c 4  m02c 4  p 2c 2
p  2 2 m0 c
Prob. 6: Uma certa partícula de massa de repouso m0 tem um
momento linear cujo módulo vale m0c. Determine o valor: (a) de ;
(b) de ; (c) da razão sua energia cinética e energia de repouso.
p  m( v ) v  m0 c
m0 v
2 1 / 2
 v
1  
 c2 


 m0 c

a)
v2
v
1
2 2 1    
 0,707
c
2
c
b)
1
1


 2  1,414
1  1 / 2 1 / 2
c)
K (  1) m0c 2

 1,414  1  0,414
2
E0
m0c
v 2  v 2 
 1  2 
2
c
 c 
Prob. 7:
Uma partícula com massa de repouso de 2 MeV/c2 e energia
cinética de 3 MeV colide com uma partícula estacionária com
massa de repouso de 4 MeV/c2. Depois da colisão, as duas
partículas ficam unidas.
a) Determine o momento inicial do sistema.
b) A velocidade final do sistema de duas partículas.
c) A massa em repouso do sistema de duas partículas.
Relatividade Geral
• Movimento retilíneo uniforme em um referencial inercial parece
acelerado, se visto de um referencial não-inercial.
• Einstein encarou a força gravitacional como uma força de inércia:
É impossível distinguir a física num campo gravitacional constante
daquela num referencial uniformemente acelerado!
O elevador de
Einstein
Relatividade Geral
• Princípio da equivalência de Einstein
Num recinto suficientemente pequeno (para que o campo
gravitacional dentro dele possa ser considerado uniforme), em
queda livre dentro deste campo, todas as leis da física são as
mesmas que num referencial inercial, na ausência do campo
gravitacional.

a

g
(a)
 
ag
Relatividade Geral
• Só precisamos de geometria para descrever trajetórias retilíneas,
vistas de referenciais não-inerciais.
• Einstein encarou a força gravitacional como uma
força de inércia
curvatura do espaço-tempo!
“A massa diz ao espaço-tempo como se
curvar; e o espaço-tempo diz à massa
como se mover”!