Pós-graduação em Engenharia de Redes
e Sistemas de Telecomunicações
TP315
Análise de Desempenho e Dimensionamento
em Redes de Telecomunicações
Prof. Edson J. C. Gimenez
(Campinas/2010 – T62/T74)
Créditos:
- Prof. Antônio Marcos Alberti
- Prof. José Marcos Câmara Brito
1
Nota Final / Conceito
Avaliação
• EX - peso 5:
– Listas de exercícios
• PV - peso 5
– Prova individual, com consulta.
Conceito Final
–
–
–
–
–
Conceito A:
Conceito B:
Conceito C:
Conceito D:
Conceito E:
NF ≥ 90
70 ≤ NF < 90
50 ≤ NF < 70
NF < 50
NC
2
Introdução à Teoria de Filas:
 O que é um Sistema de Filas?
 Notação de Kendall
 Processo de Nascimento e Morte e Diagrama de Estado
 Equações de Equilíbrio
 Teorema de Little
 Sistema de Fila com Servidor Único
 Sistema de Fila com N Servidores
 Sistema de Fila M/G/1
 Sistema de Fila com Prioridades
 Sistema de Fila Multidimensional
 Redes de Sistemas de Fila
Alocação de capacidades em Redes de Pacotes:
 Regra da Raiz Quadrada: Topologia em Estrela
 Alocação de Capacidade em Redes Distribuídas
3
Bibliografia:
1) KLEINROCK, L. - Queueing Systems - Vol. 1: Theory. John Wiley.
1975.
2) KLEINROCK, L. - Queueing Systems - Vol. 2: Computer Applications.
John Wiley. 1976.
3) IVERSEN, V. B. - Teletraffic Engineering and Network Planning.
Technical University of Denmark. 2004.
4) SCHWARTZ, M. - Telecommnications Networks - Protocols, Modeling
and Analysis. Addison Wesley. 1987.
5) KERSHENBAUM, A. - Telecommunications Network Design
Algorithms. McGraw-Hill. 1993.
6) BRITO, J. M. C. - Projeto e Análise de Redes de Computadores (Cap. 4: Introdução à Teoria de Filas). Inatel, 2004.
4
Introdução à Teoria das Filas
 A teoria de filas é uma das mais interessantes aplicações
da teoria da probabilidade, sendo de grande importância
para a análise e dimensionamento de sistemas de
comunicações e também em sistemas ligados à ciência
da computação.
 Os sistemas de filas aparece em diversas situações do
nosso cotidiano, tais como:





Fila de pessoas em supermercados e bancos.
Fila de pessoas para embarcar em um avião.
Fila de carros em um semáforo.
Fila de carros aguardando por conserto em uma oficina.
Fila de containers a serem descarregados em um porto.
5
Introdução à Teoria das Filas
 Sistemas de fila também são formados em sistemas e
redes de comunicações:







Fila de pacotes aguardando por transmissão.
Fila de pacotes aguardando por roteamento/comutação.
Fila de pacotes recebidos na placa de rede de um terminal.
Fila de chamadas telefônicas aguardando por linha em um
PABX.
Fila de amostras de voz recebidas em um telefone IP.
Fila de símbolos a serem codificados em um transmissor
de TV Digital.
etc...
6
O que é um Sistema de Filas?
 Um sistema de filas (Q – Queuing System) é um sistema
composto por:

Uma ou mais filas (W – Waiting Line) onde são
armazenados os elementos que aguardam por
atendimento.

Um ou mais servidores (S – Servers) que atendem os
elementos.

Um processo de chegada, que define como os elementos
chegam ao sistema.

Um processo de atendimento, que define como os
elementos são atendidos pelo sistema.

O tamanho da população que gera os elementos.
7
O que é um Sistema de Filas?
Exemplo:
Seja o caso de uma lanchonete, em que o chapista leva em
média 5 min para fazer um sanduíche, e que o número médio
de clientes que procuram a lanchonete é de 8 clientes/hora.
Pergunta:
Há formação de fila nesta lanchonete?
Solução:
Utilização da facilidade
  E ( n )  E (t s ) 
5 8
 0 . 6667
60
** Mesmo a carga sendo inferior à carga máxima, provavelmente
teremos fila, uma vez que os clientes não chegam à
lanchonete de forma ordenada.
8
O que é um Sistema de Filas?
 Sistema de Filas com 1 Fila e vários Servidores
Taxa média de chegada
de elementos. Ex.: 5
elementos/segundo.
Processo
de Chegada

Processo
de Atendimento
Fila (W)
População
S1

S2

.
.
.
Elemento que chega
ao sistema.
Armazenamento
Elemento sendo
servido. Servidor
ocupado.
Sistema de Fila (Q) = Fila (W) + Servidor (S)
Sm
Servidores (S)

Taxa média de
atendimento de
elementos. Ex.: 2
elementos/segundo.
9
O que é um Sistema de Filas?
 Métricas de Desempenho: Ocupação
Nº Médio de Elementos que Chegam ao Sistema
E x   
População
Fila (W)
Nº Médio de Elementos na Fila
E w 
Nº Médio de Elementos
nos Servidores
E s 
S1

S2

.
.
.
Sm
Nº Médio de Elementos no Sistema de Fila
E q   E w   E s 
Servidores (S)

Nº Médio de
Elementos que
Saem ao Sistema
E y  
10
O que é um Sistema de Filas?
 Métricas de Desempenho: Atraso
Tempo Médio
de Serviço
E t s  
Fila (W)
População
Tempo Médio de Armazenamento
E t w 
E t q   E t w   E t s 

S1

S2

.
.
.
Sm
Tempo Médio no Sistema de Fila
1
Servidores (S)

11
Notação de Kendall e Notação Expandida
 A notação de Kendall (David Kendall) foi desenvolvida em
1951 para descrever o comportamento de um sistema de
fila em uma única frase:
A/B/m/K /S / X
Processo de chegada
Processo de atendimento
Número de servidores
Disciplina de serviço
Tamanho da população
Nº total de elementos no sistema
12
Notação de Kendall e Notação Expandida
 Notação de Kendall Expandida:
A/B/m/J /K /S / X
Processo de chegada
Disciplina de serviço
Processo de atendimento
Número de servidores
Tamanho da população
Nº total de elementos no sistema
Número de elementos na fila
13
Notação de Kendall e Notação Expandida
 É comum vermos sistemas definidos com a notação
simplificada:
• A/B/m.

Neste caso assume-se que não há limite para o tamanho
da fila, a fonte de clientes é infinita, e a disciplina de
tratamento é FIFO
• A/B/m// /FIFO
14
Notação de Kendall e Notação Expandida
 Processo de Chegada (A)

Descreve o processo que modela as chegadas de
elementos ao sistema.

As seguintes opções são utilizadas:





M
D
Ek
Hk
G
Markoviano (Distribuição Exponencial)
Determinístico (Constante)
Erlang (Erlang-k)
Hiperexponencial
Genérico (Intervalo de tempo entre chegadas é tratado de forma
genérica, independente da distribuição)
15
Notação de Kendall e Notação Expandida
 Processo de Atendimento (B)

Descreve o processo que modela o atendimento de
elementos no sistema.

As seguintes opções são utilizadas:





M
D
Ek
Hk
G
Markoviano (Distribuição Exponencial)
Determinístico (Constante)
Erlang (Erlang-k)
Hiperexponencial
Genérico (Intervalo de tempo entre chegadas é tratado de forma
genérica, independente da distribuição)
16
Notação de Kendall e Notação Expandida
 Tamanho da População (S)

Descreve o tamanho da população que gera elementos para o
sistema. Tipicamente é considerada como infinito. Ex. ligações
chegando, clientes na lanchonete.
 Disciplina de Serviço (X)

Os elementos que aguardam por serviço na fila podem ser
selecionados de acordo com uma regra chamada disciplina de serviço.
Dentre as principais disciplinas estão:

FCFS – First Come First Served (**FIFO)
•

LCFS – Last Come First Served
•

Primeiro elemento que chega é o primeiro a ser atendido.
Último elemento que chega é o primeiro a ser atendido.
SIRO – Service In a Random Order
•
Elementos são atendidos em ordem aleatória.
17
Notação de Kendall e Notação Expandida
Processo
de Chegada
Processo
de Atendimento
A

Buffer Infinito
B
S1

S2

Sm

.
.
.
X
S
População
K
m
18
Processo
de Atendimento
Markoviano
Notação de Kendall e Notação Expandida
A/B/m/J /K /S / X
B=M
M / M / 9 / 5 / 14 /  / FCFS
J=5

Processo
de Chegada
Markoviano
Buffer finito com no
máximo 5 elementos.
A=M
S=∞
População Infinita
X=FCFS
K=5+9=14
S1

S2

S9

.
.
.
m=9
19
Processo de Nascimento e Morte e Diagrama de Estado
 É uma classe especial de processos estocásticos em que
são permitidas somente transições aos estados vizinhos.
K-1
K
K+1
Estado do
Sistema
 As probabilidades de transição são determinadas em
função do estado atual e das médias das distribuições dos
processos de chegada e de atendimento.
20
Processo de Nascimento e Morte e Diagrama de Estado
 Assim, para um sistema em equilíbrio tem-se:
P 1 nascimento
P 1 morte
  k
 k
 Onde:
 k – Média de chegada de elementos no estado K.
 k – Média de saída de elementos no estado K.
21
Processo de Nascimento e Morte e Diagrama de Estado
 Exemplo:
Elemento é
recebido no
sistema.

0
M / M / 2 / 2 / 4 /  / FCFS
Fila (W)
Servidores (S)
S1

S2

Servidor
desocupado.
22
Processo de Nascimento e Morte e Diagrama de Estado

Fila (W)
0
Diagrama
de Estado
0
1
Servidores (S)
Elemento é
armazenado
na fila.
S1

S2

23
Processo de Nascimento e Morte e Diagrama de Estado
Outro
elemento é
recebido no
sistema.

Fila (W)
0
S1

S2

Servidores (S)
0
Diagrama
de Estado
Servidor
inicia
serviço.
1
24
Processo de Nascimento e Morte e Diagrama de Estado

Fila (W)
0
Diagrama
de Estado
0
Outro
elemento é
armazenado
na fila.
S1

S2

Servidores (S)
1
1
Servidor
continua
serviço.
2
25
Processo de Nascimento e Morte e Diagrama de Estado

Fila (W)
0
Diagrama
de Estado
0
Servidor
continua
serviço.

S2

Servidores (S)
1
1
S1
2
Outro servidor
inicia serviço.
26
Processo de Nascimento e Morte e Diagrama de Estado
Outro
elemento é
recebido no
sistema.

Fila (W)
0
Diagrama
de Estado
0
Servidor
continua
serviço.

S2

Servidores (S)
1
1
S1
2
Servidor
continua
serviço.
27
Processo de Nascimento e Morte e Diagrama de Estado
Outro
elemento é
recebido no
sistema.

Fila (W)
0
Diagrama
de Estado
0
1
1
Servidor
continua
serviço.
Outro
elemento é
armazenado
na fila.
2
2
S1

S2

Servidores (S)
3
Servidor
continua
serviço.
28
Processo de Nascimento e Morte e Diagrama de Estado

Servidor
continua
serviço.
Outro
elemento é
armazenado
na fila.
Fila (W)
S1
S2


Servidor
continua
serviço.
Servidores (S)
0
Diagrama
de Estado
0
1
1
2
2
3
3
4
29
Processo de Nascimento e Morte e Diagrama de Estado

Servidor
finaliza
serviço.
Fila (W)
S1
S2


Servidor
continua
serviço.
Servidores (S)
0
Diagrama
de Estado
0
1
1
2
2
3
4
3
4
30
Processo de Nascimento e Morte e Diagrama de Estado

Servidor
inicia
serviço.
Fila (W)
S1
S2


Servidor
continua
serviço.
Servidores (S)
0
Diagrama
de Estado
0
1
1
2
2
3
4
3
4
31
Processo de Nascimento e Morte e Diagrama de Estado

Servidor
continua
serviço.
Fila (W)
S1
S2


Servidor
finaliza
serviço.
Servidores (S)
0
Diagrama
de Estado
0
1
1
2
2
3
4
3
3
4
32
Processo de Nascimento e Morte e Diagrama de Estado

Servidor
continua
serviço.
Fila (W)
S1
S2
0
Diagrama
de Estado
0
1
1
2
2


Servidores (S)
3
4
3
3
Servidor
inicia
serviço.
4
33
Processo de Nascimento e Morte e Diagrama de Estado

Servidor
finaliza
serviço.
Fila (W)
S1
S2
0
Diagrama
de Estado
0
1
1
2
2
2


Servidores (S)
3
4
3
3
Servidor
continua
serviço.
4
34
Processo de Nascimento e Morte e Diagrama de Estado

Servidor
desocupado.
Fila (W)
S1
S2
0
Diagrama
de Estado
0
1
1
1
2
2
2


3
4
3
3
Servidor
finaliza
serviço.
4
35
Equações de Equilíbrio
 Em equilíbrio, a soma dos fluxos que saem de um
determinado estado (k), deve ser igual a soma dos fluxos
que chegam a este mesmo estado (k+1).
 Ou seja:

0
0
1
1
1
Fluxo
de Entrada
K-2
......


Fluxo
K-1
K
 K
K
K+1
K+1
K
K-1
2 K-1
de Saída
K+1
......
K+2
  K  PK   K  1 . PK  1   K 1 . PK 1
36
Equações de Equilíbrio
 Lembre-se que:

P
K
1
K 0
 Considerando-se esta equação, o sistema de equações
pode ser resolvido como:
P1 


K 1
0
1
.P0
K 1
P0 .
i0
i
 i 1
P2 
1  0
.
1  2
 P0  1
P0 
P0
......
K 1
PK  P0 .
i0
1
  K 1  i
 

 K 1 i  0  i  1

 1


i
 i 1
37
Equações de Equilíbrio

0

1


2


3
4


Em cada estado tem-se  Fluxo de Entrada =  Fluxo de saída
 P0   P1
P1 


P0
38
Equações de Equilíbrio

0

1


2

    P1   P0   P2
    P2
  P1   P3

3

4

2
 
P2    P0
 
3
 
P3    P0

39
Equações de Equilíbrio

0

1

    P3

2


3

4

4
  P2   P4
 
P4    P0

P0  P1  P2  P3  P4  1
40
Teorema de Little
 Diz que o número médio de elementos no sistema é igual
a taxa média efetiva de chegadas no sistema multiplicada
pelo tempo médio de permanência no sistema.
E q    . E t q 

E t q  
E q 

Também é válido para as demais médias de elementos no
sistema:
E t w  
E w 

E t s  
E s 

41
Sistema de Fila com Servidor Único e Buffer Infinito
 Este sistema é conhecido como M/M/1, ou na notação
expandida M/M/1////FCFS.
Servidor (S)
Fila (W)
 ......

0
0
1
1
1
S1
K-2
......
2 K-1
K-1

K
K+1
K
K-1
K
K+1
K+1
...... 
K+2
42
Sistema de Fila com Servidor Único e Buffer Infinito
 No sistema M/M/1, todas as transições de nascimento tem
valor igual a , e como existe somente um servidor, todas
as transições de morte são iguais a . Ou seja:
K= , para K=0,1,...,
 K= , para K=1,...,

0

1


......




K+1
K
K-1



...... 

43
Sistema de Fila com Servidor Único e Buffer Infinito
 As equações de equilíbrio, neste caso, são:
   PK
  . PK 1   . PK  1
K 1
 P0   . P1
K 0

P
1
K
K 0
Resolvendo, tem-se:
P1 


.P0
K

PK    P0


2
 
P2 
P1    P0



3
 
P3 
P2    P0


44
Sistema de Fila com Servidor Único e Buffer Infinito
 Podemos encontrar P0 fazendo-se:
P0 
P
K
 
P0     . P0  1
K 1   
1
K 1

P0  1 


   
      1
K 1 
 
K

Sabendo-se que:
 
   
K 0 


K


P0 
1

1 


   
    
K 1 
 
K

1
1


Tem-se:
K

P0  1 


45
Sistema de Fila com Servidor Único e Buffer Infinito
 As equações anteriores podem ser reescritas em função
da variável , que é conhecida como utilização:
 


  1  P0
P0  1  
PK   P0
K
PK  
K
1   
 Assim, a utilização do sistema é igual a probabilidade de
que o sistema não esteja vazio.
 Observando a expressão    /  , vemos que  não
pode ser maior que , senão a utilização do sistema seria
maior que 1.
46
Sistema de Fila com Servidor Único e Buffer Infinito
 Então,  deve estar entre 0 e 1.
 Outra passagem importante é a que relaciona a taxa
média de chegadas com a probabilidade de que o sistema
esteja vazio:
 


     1  P0 
 Esta expressão iguala o que entra no sistema com o que
sai do sistema.
47
Sistema de Fila com Servidor Único e Buffer Infinito
 Número Médio de Elementos no Sistema

Vamos agora calcular, o número médio de elementos no
sistema, E q .

Pela definição de média para um V.A. discreta temos:
E q  

 K .P
K
K 0
E q  

 K .
K 0
K
(1   )
48
Sistema de Fila com Servidor Único e Buffer Infinito
 Número Médio de Elementos no Sistema

Sabendo-se que:


 K
K

K 0

1   
2
Tem-se:

E q   (1   )  K . 
K 0
E q  

1 
K
 (1   ).

(1   )
2
49
Sistema de Fila com Servidor Único e Buffer Infinito
 Número Médio de Elementos no Sistema
E q  

1 
()
50
Sistema de Fila com Servidor Único e Buffer Infinito
 Tempo Médio de Permanência no Sistema

Pode ser obtido utilizando-se o Teorema de Little:
E t q  
E t q  
E t q  
E q 



1
1
(1   )




1
 



  1  



1



 

51
Sistema de Fila com Servidor Único e Buffer Infinito
 Tempo Médio de Permanência no Sistema
E t q  
1
 
()
52
Sistema de Fila com Servidor Único e Buffer Infinito
 Probabilidade do tamanho da fila (ou do tempo de
permanência no sistema) exceder um dado valor
P q  N  




1    

qN
P tq  T  e

 1   T / E  t s 

N
53
Sistema de Fila com Servidor Único e Buffer Infinito
Exemplo:

Um nó de uma rede de comutação de pacotes recebe em média 3600
pacotes por minuto para um de seus enlaces de saída, de acordo com um
processo de chegadas Markoviano. Este enlace de saída possui uma taxa
de 300 Kbps. A distribuição do tamanho dos pacotes é exponencialmente
negativa com média de 4000 bits. Considerando infinito o buffer desta
saída do comutador, determine:










A notação de Kendall expandida.
O diagrama de estados do sistema.
O tempo médio de serviço e a taxa de serviço.
A utilização.
A probabilidade de que o sistema esteja vazio.
A probabilidade de que haja 2 pacotes no sistema.
O tempo médio que um pacote permanece no sistema.
O tempo médio que um pacote permanece no buffer.
O número médio de pacotes no sistema.
O número médio de pacotes no buffer.
54
Sistema de Fila com Servidor Único e Buffer Finito
 O que acontece a um sistema M/M/1, se limitarmos o
tamanho do buffer a no máximo J elementos?
 Teremos um sistema M/M/1/J/J+1//FCFS.
 Antes do sistema atingir a sua capacidade total, todo
tráfego submetido é acomodado no sistema:
Fila (W)


Servidor (S)
S1
J

55
Sistema de Fila com Servidor Único e Buffer Finito
 Quando o sistema atinge a sua capacidade total, todo o
tráfego submetido ao sistema é desviado para fora do
sistema:
Servidor (S)
Fila (W)
....

J

S1
2 1
1

56
Sistema de Fila com Servidor Único e Buffer Finito
 Diagrama de Estado



0
......
1



J+1
J


 Equações de Equilíbrio
    PK
  . PK 1   . PK  1
1 K  J
 P0   . P1
K 0
 PJ   . PJ  1
K  J 1

P
K
K 0
1
57
Sistema de Fila com Servidor Único e Buffer Finito
 Solução das Equações de Equilíbrio

P1 

2

 
P2 
P1    P0


.P0
PJ 1 


. PJ
K
 
PK    P0

0  K  J 1
J 1
P
K
K 0
J 1
1
P0 

K 1
K
. P0  1
1
P0 
J 1
1

K 1

K
58
Sistema de Fila com Servidor Único e Buffer Finito
 Solução das Equações de Equilíbrio
P0 
1
 Sabendo-se que:
J 1


J 1
K

K 0
K 0
 Tem-se:
P0 
1
1  
J 2
1   
PK  
K
1   

 1  
1   
1  
J 2

J 2
K

1 

J 2
1   

0  K  J 1

59
Sistema de Fila com Servidor Único e Buffer Finito
 Número Médio de Elementos no Sistema
E q  

 K .P

K
K 0
E q  
1   
1  
J 2
1   
J 1
 K  1  
K
J 2
K 0
J 1
K


K

K 0
 1  
1   
1  

1   
J 2
J 2
  K
K 0
J 1
E q  
 1   
1  
J 2
J 1


K 0
d
K
d

 1   
1  
J 2

d 
K 0
d
K


K 0
J 1

J 1
K
K 1
K
60
Sistema de Fila com Servidor Único e Buffer Finito
 Número Médio de Elementos no Sistema
E q  
E q  

 1   
1  

1 
J 2


J
 1   J 2
d 
 1 
d
 2 
1 




 ( J  2) 
1 
J 2
J 2


1 
J 2
J 2
Esta expressão nos mostra que o número médio de elementos
em um sistema com capacidade finita é sempre menor que o
sistema com capacidade infinita (M/M/1), que era:
E q  

1 
61
Sistema de Fila com Servidor Único e Buffer Finito
 Probabilidade de Bloqueio

A taxa média de chegada no sistema depende do estado atual
do sistema.

Se o sistema estiver em qualquer estado até J, a taxa média
será .

Portanto, a taxa média de entrada será  com probabilidade 1PB , onde PB é a probabilidade de que o sistema esteja
bloqueado.

Por outro lado, como vimos no sistema M/M/1, a taxa média de
saída será  com probabilidade 1- P0.
62
Sistema de Fila com Servidor Único e Buffer Finito
 Probabilidade de Bloqueio

Temos então:
Fila (W)

(1-PB)
Servidor (S)
S1
J
(1-P0 )
PB

Igualando-se a taxa média de chegadas, com a de saídas,
temos:
 1  PB    1  P0 
63
Sistema de Fila com Servidor Único e Buffer Finito
 Probabilidade de Bloqueio

Isolando-se PB temos:
   PB     P0
PB  1 
PB 


  1  P0

mas, P0 

 1
PB 
1  P0  
     P0
1   
1  
J 2

1 
1 

J 2


J 1
1   
1  
J 2

 PJ  1
PB  PJ 1
64
Sistema de Fila com Servidor Único e Buffer Finito
 Tempo Médio de Permanência no Sistema

Também pode ser obtido utilizando-se o Teorema de Little, mas
agora considerando a taxa média para qualquer estado:
E t q  
E q 
 1  PB 
E q  

1 

 
 J  2  J  2

E t q  

J 2

 1  PB   1  
1 
1
J
 2 
1 




J 2
J 2
65
Sistema de Fila com Servidor Único e Buffer Finito
Exemplo:

Um nó de uma rede de comutação de pacotes recebe em média 3600
pacotes por minuto para um de seus enlaces de saída, de acordo com um
processo de chegadas Markoviano. Este enlace de saída possui uma taxa
de 300 Kbps. A distribuição do tamanho dos pacotes é exponencialmente
negativa com média de 4000 bits. Considerando o buffer desta saída do
comutador com capacidade limitada a 2 pacotes, determine:











A notação de Kendall expandida.
O diagrama de estados do sistema.
O tempo médio de serviço e a taxa de serviço.
A utilização.
A probabilidade de que o sistema esteja vazio.
A probabilidade de que haja 2 pacotes no sistema.
A probabilidade de bloqueio do sistema.
O tempo médio que um pacote permanece no sistema.
O tempo médio que um pacote permanece no buffer.
O número médio de pacotes no sistema.
O número médio de pacotes na fila.
66
Sistema de Fila com Vários Servidores e Buffer Infinito
 O que acontece a um sistema M/M/1, se aumentarmos o
número de servidores e mantermos a fila infinita?
 Teremos um sistema M/M/m////FCFS ou
simplesmente M/M/m.

J=∞
K= ∞+m=∞
S1

S2

Sm

.
.
.
67
Sistema de Fila com Vários Servidores e Buffer Infinito
 Diagrama de Estado



0
......
1

2

m-1

m
(m-1) m

m+1
m
......
m
 Equações de Equilíbrio
  K  PK
  m  PK

P
K
K 0
1
  . PK 1   K  1  . PK  1
  . PK 1  m  . PK  1
K m
K m

68
Sistema de Fila com Vários Servidores e Buffer Infinito
 Solução das Equações de Equilíbrio
PK 


K
K!
Km
P0
 K   PK   . PK 1  K  . PK  1
Pm 1 
Pm 1
  m  Pm   . Pm 1
m
   m
 
 m
PK  1 
  K  PK   . PK 1
K m
m 1




P0 
.
P0
m   m  1!
 m!
m
K
69
Sistema de Fila com Vários Servidores e Buffer Infinito
 Solução das Equações de Equilíbrio
Pm  1 
Pm 1 
Pm 1 
Pm  2 
 
m m!

P0 
m
m!

P0 
m
m!
P0 


m
.

m 1
 m  1 !
P0
m
m!
P0
m 1
m .m !

P0 
m 1
m .m !


m
P0

m2
2
m .m !
P0
PK 
m
K
K m
.m !
P0
K m
70
Sistema de Fila com Vários Servidores e Buffer Infinito
 Solução das Equações de Equilíbrio
P0 
1
m
 m 1  K 

 
 
K 0
 
K! 


m! 1  
m

71
Sistema de Fila com Vários Servidores e Buffer Infinito
 Tempo Médio de Permanência na Fila





m
E w  P0  

m
E t w  

.
2 

 m! 

  1   


m
 

 Utilização

Observe que   1 e

m
 1.
72
Sistema de Fila com Vários Servidores e Buffer Infinito
Exemplo:
Considerando um sistema M/M/2////FIFO, com  = 60
pacotes/seg. e  37,5 pacotes/seg., determine:
•
•
•
•
•
•
•
•
O diagrama de estados do sistema.
O tempo médio de serviço.
A utilização.
A probabilidade do sistema estar vazio.
O número médio de elementos esperando na fila.
O número médio de elementos no sistema.
O tempo médio de permanência no sistema.
O tempo médio de permanência na fila.
73
Sistema de Fila com Vários Servidores e Buffer Finito
 O que acontece a um sistema M/M/1, se aumentarmos o
número de servidores e limitarmos o espaço de
armazenamento?
 Teremos um sistema M/M/m/J/K//FCFS.

J
K=J+m
S1

S2

Sm

.
.
.
74
Sistema de Fila com Vários Servidores e Buffer Finito
 Diagrama de Estado



0
......
1

2

m-1
(m-1) m


......
m
m

J+m
J+m-1
m
m
 Equações de Equilíbrio
  K   PK
  m  PK
  . PK 1   K  1  . PK  1
K m
  . PK 1  m  . PK  1
m K  Jm
 . PJ  m 1  m  . PJ  m

P
K
K 0
1
K  Jm
75
Sistema de Fila com Vários Servidores e Buffer Finito
 Solução das Equações de Equilíbrio
PK 
PK 

K
K!

m
PJ  m 
PJ  m 
K
K m

m

Km
P0
.m !
m  K  J  m -1
P0
. PJ  m 1
.
m m

J  m 1
J  m 1  m
.m !
P0 

J m
J
m .m !
P0
76
Sistema de Fila com Vários Servidores e Buffer Finito
 Solução das Equações de Equilíbrio
J m
P
K
1
K 0
P0 


m
K 1
K
K!
. P0 

J  m 1

K  m 1
K m
m
K
m!
. P0 
1
P0 
1

m
K 1

K
K!



J m
K  m 1
m
K
K m
m!

J m
J
m .m !
P0
77
Sistema de Fila com Vários Servidores e Buffer Finito
 Solução das Equações de Equilíbrio

Para o caso em que J = 1:
1
P0 
1
PK 

K 1
K
K!



Km
P0
1 m
m .m !
P0
m 1
m .m !
K
K!
P1 m 


m
78
Sistema de Fila com Vários Servidores e Buffer Finito
 Número Médio de Elementos no Sistema
E q  

J m
K 1
K . PK 

m
K 1
K .
K!
K
P0 

J m
K  m 1
 Tempo Médio de Permanência no Sistema
E t q  
E q 
 .(1  PB )
K .
m
K m
K
P0
m!
79
Sistema de Fila com Vários Servidores e Buffer Finito
Exemplo:

Um nó de uma rede de comutação de pacotes recebe em média 3600
pacotes por minuto. A taxa de chegada segue uma distribuição
Markoviana. Para servir esta fila o nó utiliza dois enlaces de saída, com
taxa de 300 Kbps cada um. A distribuição do tamanho dos pacotes é
exponencialmente negativa com média de 4000 bits. Considerando o buffer
desta saída do comutador com capacidade limitada a 2 pacotes.
Determine:
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
A notação de Kendall expandida.
O diagrama de estados do sistema.
O tempo médio de serviço e a taxa de serviço.
A utilização.
A probabilidade de que o sistema esteja vazio.
A probabilidade de bloqueio do sistema.
O número médio de pacotes no sistema.
O número médio de pacotes na fila.
O tempo médio que um pacote permanece no sistema.
O tempo médio que um pacote permanece no buffer.
80
Sistema de Fila com Vários Servidores sem Fila
 O que acontece a um sistema M/M/1, se aumentarmos o
número de servidores e retirarmos a fila?
 Teremos um sistema M/M/m/0/m//FCFS.

J=0
K=0+m=m
S1

S2

Sm

.
.
.
81
Sistema de Fila com Vários Servidores sem Fila
 Quando o sistema atinge a sua capacidade total, todo o
tráfego submetido ao sistema é desviado para fora do
sistema:

J=0

S1

S2

Sm

.
.
.
82
Sistema de Fila com Vários Servidores sem Fila
 Diagrama de Estado



0
......
1

2

m-1
m
(m-1) m
 Equações de Equilíbrio
  K  PK
  . PK 1   K  1  . PK  1
 PK 1  m  . PK

P
K
K 0
1
K m
K m
83
Sistema de Fila com Vários Servidores sem Fila
 Solução das Equações de Equilíbrio
P1   .P0
Pm 

m
. Pm 1
P0   P2 . 2   P1    
P2 . 2   P0       P0   P0   P0   P0 
P2 
PK 
P0 
2



2
2
P0
K
K!
P0
Km
P3 

3
3 .2
P0 

3
3!
P0
84
Sistema de Fila com Vários Servidores sem Fila
 Solução das Equações de Equilíbrio
m 1

K 0
m 1

K 0
m

K 0

K!


. P0 

m
. P0  1
.

m 1
 m  1 !
P0 
. P0 
m 1
. P0  1

K 0
1
m

K 0


K
K!
K 0
K
K!

. P0  Pm  1
K
K!

m 1
K
K
K!
m

. Pm 1  1
K
K!
. P0 

m
m!
. P0  1
85
Sistema de Fila com Vários Servidores sem Fila
 Solução das Equações de Equilíbrio
PK 

K
K!
1
.

m
K 0
PBLOQUEIO  Pm 

K
K!

m
m!
1
.

m
K 0

K
K!
86
Sistema de Fila com Vários Servidores sem Fila
Exemplo:
 Um PABX com duas linhas telefônicas de saída recebe em média
uma chamada a cada hora de acordo com um processo Markoviano.
A duração média das chamadas é de 3 minutos. Este PABX não é
capaz de colocar chamadas em espera. A duração média das
chamadas segue um distribuição exponencial negativa, sendo a
população de telefones que geram as chamadas considera infinita.
Determine








A notação de Kendall expandida.
O diagrama de estados do sistema.
O tempo médio de serviço e a taxa de serviço.
A utilização.
A probabilidade de que o PABX esteja vazio.
A probabilidade de bloqueio do sistema.
O tempo médio de permanência das chamadas no sistema.
A ocupação do sistema (o número médio de pacotes no sistema).
87
Sistema com m Servidores, Sem Fila e População Finita
 O que acontece a um sistema M/M/1, se aumentarmos o
número de servidores, tirarmos a fila e limitarmos a
população que gera elementos.
 Teremos um sistema M/M/m/0/m/S/FCFS (S > m).

J=0
K=m+0=m
S
População Finita
S1

S2

Sm

.
.
.
88
Sistema com m Servidores, Sem Fila e População Finita
 Diagrama de Estado
S
(S-1) (S-m+2) (S-m+1)
0
1

......
m-1
2 (m-1)
m
m
 Equações de Equilíbrio
 S  K   K  PK
 S  K  1 . PK 1 

P
K
K 0
1
  S  K  1 . . PK 1   K  1  . PK  1 K  m
K  . PK
K m
89
Sistema com m Servidores, Sem Fila e População Finita
 Solução das Equações de Equilíbrio
P1 
0
1
.P0
P2 
1  0
.
1  2
P0
......
K 1
PK  P0 .
i
 i 1
i0
K 1
 S  i 
P0 .
i  0 i  1  
K 1
PK 
S  i 
P0 .  .

i  0 i  1 
K 1

K
P0 .  .
K
 S  i 
i0
K
i
i 1
PK  P0 .  .
K
S . S  1 . S  2 . S  3 ....  S  K  1 
K!
90
Sistema com m Servidores, Sem Fila e População Finita
 Solução das Equações de Equilíbrio
S
PK  P0 .  .
 P0 .  .
( S  K )! K !
K
S!
K
S
 P0 . . K
K 1

m
K
P0 




  P0  1

1
S
K 
  . K
K 1

m
K

  1

P0 
1
S
  . K
K 0

m
K



91
Sistema com m Servidores, Sem Fila e População Finita
 Solução das Equações de Equilíbrio
S
 .
K



PK 
m
S 
K 
  . K 
K 0
 
K
92
Sistema com m Servidores, Sem Fila e População Finita
Exemplo:

Um PABX atende a 10 telefones que geram em média 1 chamada por
hora, de acordo com um processo Markoviano. O PABX possui três linhas
telefônicas de saída e não possui capacidade de manter chamadas em
espera. Cada chamada dura em média 3 minutos, de acordo com uma
distribuição exponencial negativa. Determine:
• A notação de Kendall expandida.
• O diagrama de estados do sistema.
• O tempo médio de serviço e a taxa de serviço.
• A utilização.
• A probabilidade de que o sistema esteja vazio.
• A probabilidade de bloqueio do sistema.
• O número médio de pacotes no sistema.
• O número médio de pacotes na fila.
• O tempo médio que um pacote permanece no sistema.
• O tempo médio que um pacote permanece no buffer.
93
Sistema de Fila M/G/1
 Vamos agora generalizar o processo de atendimento de
elementos utilizando o teorema de Khinchin-Pollaczeck.
 Este teorema permite calcular o tamanho médio da fila
para um sistema com servidor único para qualquer
distribuição de serviço:



E w  
.1 
2 1    

2
  ts 


 E t s  
2
 
2
2


.
E
t

s


2 1   


 ts é o desvio padrão do tempo de serviço.
2
E t  é a média quadrática do tempo de serviço.
s
94
Sistema de Fila M/G/1
 Através do teorema de Little, podemos encontrar o tempo
médio de permanência no buffer.
 . E t s  
E t w  
.1 
2 1    

  ts 


 E t s  
 Vale a pena lembrar que:

2
ts
   E t 
 E t
2
s
2
s
2
 
2


.
E
t

s


2 1   


95
Sistema de Fila M/G/1
 Para atendimento exponencial temos:
1
1
2
2
 ts  2 E t s  
2


  
E t
2
s
E w  
E q  
2
ts
 E t s  
 . E t
2
2
s

2 1   

2
1 
1
2
 .
2

2

2

2

2
2

2
2 1   
 E s  

1



2
1 
2
1 
   1   
2
 
1 


1 
96
Sistema de Fila M/G/1
 Para atendimento constante temos:

2
ts
   0  E t 
E t
2
2
s
E w  
E q  
1
E t s   t 
0
2
s
 . E t
2
2
s

2 1   

2
2 1   
2
s
 0
 .
2

2
1


2
1

2
1

2 1   
 E s  

2


2
2 1   
2
2 1   

97
Sistema de Fila M/G/1
98
Sistema de Fila M/G/1
Exemplo:

•
•
Um comutador envia pacotes que chegam até ele por uma linha de 64
Kbps. Considere este comutador com buffer de capacidade infinita. Os
pacotes que chegam são derivados de dois tipos de tráfego, cujas
características são listadas a seguir:
Tráfego 1 – os pacotes possuem tamanho exponencial, com média de 500
bytes, e tempo de atraso de serviço de 62,5 ms, sendo a taxa de chegada
de pacotes igual a 8 pacotes/segundo.
Tráfego 2 – os pacotes possuem tamanho fixo de 100 bytes e tempo de
atraso de serviço de 12,5 ms, sendo sua taxa de chegadas igaul a 5
pacotes/seg.
Supondo que não haja prioridade, calcule o tempo médio de espera dos
pacotes no buffer.
99
Sistema com Prioridades, Buffer ∞ e Servidor Único
 Até agora consideramos que os elementos que chegam
ao sistema de filas sempre pertencem a uma única classe,
sendo todos portanto atendidos da mesma forma.
 Vamos agora analisar o que acontece quando R classes
de elementos chegam ao sistema e são atendidos com ou
sem priorização.
 Caso haja priorização, o sistema atenderá os elementos
de acordo com a prioridade de cada classe, ou seja,
elementos das classes mais prioritárias são atendidas por
primeiro.
100
Sistema com Prioridades, Buffer ∞ e Servidor Único
 Sistema com Várias Classes Sem Priorização

Os elementos de cada classe são atendidos de forma
diferenciada, porém sem prioridade sobre os demais.
Fila (W)
S1

Fila (W)

Servidor (S)

Servidor (S)
S1

=
101
Sistema com Prioridades, Buffer ∞ e Servidor Único
 Sistema com Várias Classes Com Priorização

Os elementos de cada classe são atendidos de forma
diferenciada, porém os de maior prioridade são atendidos 1º.
Fila (W)
S1

Fila (W)

Servidor (S)

Servidor (S)
S1

>
102
Sistema com Prioridades, Buffer ∞ e Servidor Único
 Equacionamento Básico


Seja C  c1 , c 2 ,..., c R  o conjunto das R classes de
elementos existentes no sistema.
A taxa de chegada média total λ é igual a soma das taxas
médias de cada classe:
 


R
r 1
r
A intensidade total  é igual a soma das intensidades para cada
classe:
 

R
r 1
r
103
Sistema com Prioridades, Buffer ∞ e Servidor Único
 Equacionamento Básico (cont.)

O tempo médio de serviço no sistema é:
E t s  


r 1

 
E t sr
A média quadrática do tempo médio de serviço no sistema é:
  
E t

r
R
2
s
r
R
r 1

 
E t
2
sr
A intensidade de tráfego para cada classe e o tempo médio de
serviço se relacionam por:
 r   r E t s
r

r
r
104
Sistema com Prioridades, Buffer ∞ e Servidor Único
 Equacionamento Para o Caso Com Prioridades

Seja p a prioridade de uma classe r qualquer. Se p = 1 para esta
classe, ela é a mais prioritária. O número médio de elementos da
classe r na fila será:


E w (p) 
 p   r

 
2
 . ( p ) .E t s
2 1    p 1  1    p 
p  r
i

  i      k 
k 1

  0
 0 
O número médio de elementos na fila para todas as classes
será:
E w  
P
 E w   
p
p 1
105
Sistema com Prioridades, Buffer ∞ e Servidor Único
 Equacionamento Para o Caso Com Prioridades (cont.)


E w

E w
(1 )
(2)
Exemplo: R = 3, C  c1 , c 2 , c 3  e a ordem de prioridade dada
por: c3 prioridade máxima (p=1), c2 prioridade média (p=2) e c1
prioridade baixa (p=3).


 
2
   (1 )  E t s
2  1   ( 0 )  1   (1 )
 
2

2
   (2)  E t s
2  1   (1 )  1   ( 2 )
    
 3 E ts
2  1   (1 )
 
2
3
E ts
2 1 3
 
2

  2 E ts
2  1   (1 )  1   (1)   ( 2 )
 
2

  2 E ts
2 1 3  1 3  2
106
Sistema com Prioridades, Buffer ∞ e Servidor Único
 Equacionamento Para o Caso Com Prioridades (cont.)


Exemplo: (cont.)

E w (3) 


E w (3) 
 
 
2
2
   (3)  E t s

2  1   ( 2 )  1   (3)
   (3)  E t s
2  1   (1 )   ( 2 )  1   (1 )   ( 2 )   ( 3 )
 
2
  1  E t s
2  1   3   2  1   3   2  1
107
Sistema com Prioridades, Buffer ∞ e Servidor Único
 Equacionamento Para o Caso Com Prioridades (cont.)

O tempo médio de permanência dos elementos da classe r com
prioridade p na fila vale:

E tw
p 

 p   r

 
2
 .E t s
2 1    p 1  1    p 
p  r
i

  i      i 
k 1

  0
 0 
O tempo médio de permanência na fila para todas as classes
vale:
E t w  
 E t
P
p 1
w p 

108
Sistema com Prioridades, Buffer ∞ e Servidor Único
 Equacionamento Para o Caso Sem Prioridades

No caso sem prioridades, continuam existindo r classes de
tráfego, mas nenhuma tem prioridade sobre as demais.

Assim, o número médio de elementos de ambas as classes na
fila será:
E w  
 . E t s 
2
2
2 1   
Com:  
 r 1  r ,  
R
 r 1  r e E t
R
2
s
 
R
r 1
r

 
2
E t sr .
109
Sistema com Prioridades, Buffer ∞ e Servidor Único
 Equacionamento Para o Caso Sem Prioridades

O tempo médio de permanência de elementos de ambas as
classes na fila será:
E t w  
 . E t
2
s

2 1   
110
Sistema de Fila com Prioridades
Exemplo:

•
•
Um comutador envia pacotes que chegam até ele por uma linha de 64
Kbps. Considere este comutador com buffer de capacidade infinita. Os
pacotes que chegam são derivados de dois tipos de tráfego, cujas
características são listadas a seguir:
Tráfego 1 – os pacotes possuem tamanho exponencial, com média de 500
bytes, e tempo de atraso de serviço de 62,5 ms, sendo a taxa de chegada
de pacotes igual a 8 pacotes/segundo.
Tráfego 2 – os pacotes possuem tamanho fixo de 100 bytes e tempo de
atraso de serviço de 12,5 ms, sendo sua taxa de chegadas igaul a 5
pacotes/seg.
Supondo que os pacotes do Tráfego 2 sejam transmitidos em primeiro
lugar, calcule os tempos médios de espera no buffer para ambos os tipos
de pacotes.
111
Sistemas Multidimensionais
 São sistemas aonde o diagrama de estados utiliza mais de
uma variável aleatória discreta relacionada com o número
de elementos no sistema. Um exemplo de sistema é o que
modela as redes RDSI-FE:
Chamada FAX

Dois servidores são
alocados para atender uma
única chamada de fax.
Chamada Telefônica
J=0
K=m+0=m
S
S1

S2

.
.
.
Sm

População Finita  M1 terminais telefônicos; M2 terminais de fax.
112
Sistemas Multidimensionais
 Para estudarmos o problema, precisaremos das seguintes
definições:

L – L-ésima classe de chamada.
 Ex: L = 1: chamadas telefônicas, L = 2 chamadas de fax.

K – Número total de classes de chamadas no sistema.
 Ex. K = 2: telefone (L=1) e fax (L=2).

VL – Número de canais requeridos para a chamada do tipo L.
 Ex. V1 = 1: um canal para atender uma chamada telefônica.
V2 = 2: dois canais para atender uma chamada de fax.

SL– Número de terminais fonte gerando chamadas do tipo L.
 Ex. S1 = 8: população de terminais gerando chamadas telefônicas.
S2 = 4: população de terminais gerando chamadas de fax.
113
Sistemas Multidimensionais

λL – Taxa média de chegada de chamadas (Markoviana) da
classe L.
 Ex: λ1 = 3 chamadas telefônica/ hora.
λ2 = 5 chamadas de fax/ hora.

µL – Taxa média de atendimento de chamadas (Markoviana) da
classe L.
 Ex: 1 = 6 chamadas telefônica/ hora.
2 = 12 chamadas de fax/ hora.
114
Nº cli voz, Nº cli fax
Sistemas Multidimensionais
 Diagrama de Estado

Considere os dados dos slides anteriores e m=4.
0,2
32
Chamadas
de fax
22
7 1
81
0,1
1,1
1
2
42
0,0
início
Telefônicas
21
42
81
1,0
1
Chamadas
2,1
2
42
7 1
21
2,0
2
6 1
31
3,0
5 1
41
4,0
115
Sistemas Multidimensionais
 Equações de Equilíbrio
 4 λ 2  8 λ1 P0 , 0   2 P0 ,1   1 P1, 0
  1  4 λ 2  7 λ1 P1, 0  8 λ1 P0 , 0   2 P1,1  2  1 P2 , 0
 2  1  4 λ 2  6 λ1 P2 , 0  7 λ1 P1, 0   2 P2 ,1  3  1 P3 , 0
5 λ1  3  1 P3 , 0  6 λ1 P2 , 0  4  1 P4 , 0
4  1 P4 , 0  5 λ1 P3 , 0
  2  3 λ 2  8 λ1 P0 ,1  4 λ 2 P0 , 0  2  2 P2 , 0   1 P1,1
  2   1  7 λ1 P1,1  8 λ1 P0 ,1  4 λ 2 P1, 0  2  1 P2 ,1
  2  2  1  P2 ,1  7 λ1 P1,1  4 λ 2 P2 , 0
2  2 P0 , 2  3  2 P0 ,1
116
Sistemas Multidimensionais
 Solução das Equações de Equilíbrio
i
Pi , j
 S 1   1   S 2    2 
 .  

 P0 , 0 .  





i
j


  1    2 
2
P2 ,1
 8   1   4    2 
 .  

 P0 , 0 .  





2
1


  1    2 
 SL
 P0 , 0 , 0 ,..., 0 .  i
L
L 1 
K
Pa , b , c ,..., K
j
1
iL
  L 
 , com i1  a , i 2  b ,..., i K  K
 
 
 L 
117
Sistemas Multidimensionais
Exemplo:
 Seja um sistema onde quatro aparelhos telefônicos e dois aparelhos
de FAX disputam três canais de 64 kbps de uma rede RDSI-FE.
Cada aparelho telefônico ocupa durante a comunicação um canal de
64 kbps, enquanto um aparelho de FAX ocupa dois canais de 64
kbps. A taxa média de chamadas dos telefones é igual a 1 chamada
por hora, enquanto a dos aparelhos de FAX é de 1/3 chamada por
hora. A duração média das chamadas telefônicas é de 12 minutos e
das chamadas de FAX 6 minutos. Pede-se:
a) O diagrama de estado.
b) A probabilidade do sistema estar vazio.
c) A probabilidade de bloqueio de uma chamada telefônica.
d) A probabiliadde de bloqueio de uma chamada de FAX.
118
Sistemas Multidimensionais
a) Resolução diagrama de estados:
Chamadas
de fax
4 1
0,1
Chamadas
1,1
1
2
22
0,0
início
22
41
1,0
1
Telefônicas
1
2
2
3 1
21
2,0
2 1
31
3,0
119
Sistemas Multidimensionais
b) P0,0
P1, 0 
P2 , 0 
P3 , 0 
P0 ,1 
P1,1
 4! 
1  2!
0 
 0 , 2  .
P0 , 0 .
* 0 ,33   0 ,8 P 0 , 0
 1! 3!
 0! 2!

 4! 
2
 0 , 2  .1  0 , 24 P 0 , 0
P0 , 0 .
 2! 2!
 4! 
3
 0 , 2  .1  0 , 032 P 0 , 0
P0 , 0 .
 3! 1!
 2! 
1
 0 , 033  .1  0 , 066 P 0 , 0
P0 , 0 .
 1! 1!
 4! 
1
. 0 , 2
 P0 , 0 .
 3! 1! 
1
 2 
1
 .0 , 033   0 , 0528 P 0 , 0
.
 1! 1! 
120
Redes de Sistemas de Filas
 Muitos problemas reais são compostos de mais de um
sistema de fila.
 Para modelar estes problemas, vários sistemas de fila
(também chamados de nós) devem ser conectados.
 Exemplos de redes de filas são:




Redes de telecomunicações,
Sistemas de computação,
Sistemas de transito,
Etc.
121
Redes de Sistemas de Filas
 Existem basicamente três tipos de redes de filas:

Redes Abertas
Entrada

QS1
QS2
QS3
Redes Abertas com Realimentação
Entrada
QS1
Saída
Ambas possuem
número de
elementos variável.
QS2
QS3
Saída
122
Redes de Sistemas de Filas

Redes Fechadas
Entrada
QS1
QS2
QS3
Saída
Possui número de elementos constante.
 Em princípio, toda rede aberta pode ser transformada
em uma rede fechada acrescentando-se um novo nó
para isto.
123
Redes de Sistemas de Filas
 Redes Abertas Sem Realimentação

Teorema de Burke (1956)
 O processo de saída de uma rede de sistemas M/M/m é um
processo Poissoniano estatisticamente independente do processo
de entrada.

S1
∞
S2
1
.
.
Sm


∞


2
S1

S2

Sm

.
.
124
Redes de Sistemas de Filas
 Redes Abertas Sem Realimentação

Conseqüências do Teorema de Burke
 Cada nó da rede é considerado independente dos demais.
 O número médio de elementos e o atraso em cada nó também é
independente dos demais.
 O número médio de elementos na rede é igual a soma do número
médio de elementos em cada nó.
 O tempo médio de permanência dos elementos na rede é igual a
soma do tempo médio de permanência dos elementos em cada nó.

Exemplo
Entrada
M/M/m
M/M/m
QS1
QS2
 
E tq2
E t q1
 
Saída
 
 
E t q   E t q1  E t q 2
125
Redes de Sistemas de Filas
 Redes Abertas Com Realimentação

Teorema de Jackson (1957)
 Considere uma rede de filas aberta com M nós que satisfaz as
seguintes condições:
a) Cada nó i é um sistema de filas M/M/m.
1
b) O nó i tem n i servidores e tempo médio de serviço  i para todos
os servidores.
c) Elementos chegam de “fora” do sistema para o nó i de acordo com
um processo Markoviano de intensidade média  i .
d) Um elemento servido no nó i vai instantaneamente ao nó j (j =
1,2,...,M) com probabilidade rij ou deixa a rede com probabilidade:
1 
M
r
j 1 ij
126
Redes de Sistemas de Filas
 Redes Abertas Com Realimentação

Teorema de Jackson (cont.)
 Para cada nó i (i = 1,2,...,M), a taxa média de chegada  i é dada
por:
 i   i   j 1 r ji  j
M
 Seja p  q1 , q 2 , q 3 ,..., q M  a probabilidade de que haja
elementos no nó i, então Jackson afirma que:
p q1 , q 2 , q 3 ,..., q M   p q1  p q 2  p q 3 ... p  q M
p  q1 , q 2 , q 3 ,..., q M  
M
 p q 
i
i 1

qi
127
Redes de Sistemas de Filas
 Redes Abertas Com Realimentação

Exemplo
1
1
M/M/1
QS1
 i   i   j 1 r ji  j
M
1   1  1  p 1
 
1
1

1
1 p
p
r11  1  p
 1   1  r11  1   1  1  p  1
1  1   1  p 1
1 
1
p
128
Redes de Sistemas de Filas
 Redes Fechadas

Também pode ser utilizado o Teorema de Jackson, mas
com:
i  0


M


M
r 1
j  1 ij
i 1
qi  N
M é o número de nós da rede de filas.
N é o número médio de elementos na
rede de filas.
129
Redes de Sistemas de Filas
Exemplo:
 Considere a rede de sistemas de filas da figura abaixo. A chegada
de pacotes na rede obedece um processo Markoviano de taxa  =
0,075 pacotes/segundo. A taxa de atendimento μ é de 1
pacote/segundo (exponencial negativa). Sabendo que p = 0.9,
calcule:
a) O número médio de pacotes na rede de sistema de filas.
b) O tempo médio de permanência dos pacotes em cada sistema de
fila.
130
Redes de Sistemas de Filas
Exemplo:
 i   i   j 1 r ji  j
M
λ1  γ1  r11 λ1  r21 λ 2  0 ,075  0  1* λ 2 
λ1  0 , 075  λ 2
λ 2  γ 2  r12 λ1  r22 λ 2  0  0 , 9 λ 1  0  0 , 9 λ 1
λ1  0 , 075  0 ,9 λ1  0 , 75
λ 2  0 ,9 λ1  0 , 675
Alocação de Capacidade em
Redes de Pacotes
132
Tópicos
 Introdução
 Regra da Raiz Quadrada: Topologia em Estrela
 Alocação de Capacidade em Redes Distribuídas
133
Introdução
 Faremos a partir de agora uma introdução ao problema da
alocação da capacidade em redes com o objetivo de
responder à seguinte pergunta:

Que capacidade de transmissão, em bps, devemos
associar a cada enlace da rede, de modo a alcançarmos
um determinado nível de desempenho na rede?
 Em nossa abordagem, admitiremos que a estatística de
tráfego da rede é conhecida.
 Isto é, o tamanho médio das mensagens e sua taxa de
ocorrência, assim como o número de mensagens fluindo
entre quaisquer dois pontos da rede são conhecidos.
134
Introdução
 Numa primeira abordagem, trabalharemos em cima de um
modelo simplificado, em que assumiremos que o custo é
linearmente proporcional a capacidade.
 Então, manter o custo global da rede fixo é equivalente a
manter a capacidade total fixa.
 O objetivo é determinar qual a melhor alocação de
capacidade, link a link, no sentido de minimizar o atraso
médio na rede.
135
Introdução
 Embora o pressuposto de que existe uma relação linear
entre custo e capacidade não seja completamente válido
em situações reais, ele provê uma primeira aproximação
razoável para a escolha da capacidade.
 Ela permite que possamos responder a questão inicial no
processo de alocação de capacidade: aproximadamente,
que capacidade será necessária para mantermos o atraso
médio das mensagens dentro da faixa desejada?
 Iniciaremos o nosso estudo através da análise do caso
mais simples possível.
136
Introdução
 Na rede mostrada a seguir temos sete cidades, cada uma
com um determinado número de terminais, que desejam
se conectar a um computador central localizado em
Washington.
 Cada terminal produz, em média, uma mensagem a cada
30 segundos.
 Cada mensagem tem um tamanho médio de 120 bits.
 O nosso objetivo é determinar qual a capacidade dos
troncos, em bps, dos sete enlaces da rede.
 A capacidade do i-ésimo tronco é indicada por:
Ci, i = 1,2,...,7.
137
Introdução
 Topologia:
138
Introdução
 Cada concentrador possui apenas um enlace de saída
conforme mostrado na figura.
 Nesta representação, consideramos o tempo de
processamento do pacote no nó desprezível frente ao
tempo de transmissão do mesmo, facilitando ainda mais a
análise.
139
Introdução
 A taxa de mensagem média, i, associada ao enlace i, é a
soma de todas as mensagens de entrada que são
roteadas para aquele enlace.
 Assim, admitindo uma chegada Poissoniana com uma
taxa de i mensagens por segundo, em média, com o
comprimento das mensagens exponencialmente
distribuído, com um valor médio de 1/ bits, podemos
escrever que o tempo médio de permanência no sistema
é dado por:
Ti 
1
 iC i  i
(1)
 Onde Ci é a capacidade do enlace i.
140
Introdução
 Como sabemos, este tempo considera o tempo médio
para transmitir uma mensagem acrescido do tempo de
enfileiramento da mesma.
 Estamos considerando a utilização de buffers com
capacidade infinita, o que significa dizer que não há
possibilidade de perda de mensagem por falta de espaço
para armazenamento da mesma.
 Uma abordagem com buffer de tamanho finito seria mais
realista. Contudo, um buffer suficientemente grande, de
modo que a probabilidade de perdermos uma mensagem
seja menor que 10-2 ou 10-3, permite a utilização do
modelo com buffer infinito, uma vez que o tempo de
permanência no sistema é praticamente idêntico.
141
Introdução
 A expressão anterior pode ainda ser escrita em função da
utilização da linha, como mostrado abaixo.
 Como sabemos, se a utilização da linha tender para a
unidade, o tempo médio de permanência no sistema
tende para um número inaceitavelmente grande.
i
i

1
 iC i
Ti 
 = mensagens/segundo
1
 i C i (1   i )
1/ = bits/mensagem
(2)
(3)
C = bps
142
Regra da Raiz Quadrada: Topologia em Estrela
 Vamos considerar agora a situação em que a capacidade
total da rede é fixada em uma determinada quantidade
(por limitações de custo, por exemplo).
 O objetivo é determinar a capacidade de cada enlace, de
modo que o atraso médio na rede seja minimizado.
 Se  é o tráfego total na rede, então o atraso médio por
mensagem pode ser calculado através da taxa total de
chegada de mensagens:
T 
1

T
i
i
i
(4)
143
Regra da Raiz Quadrada: Topologia em Estrela
 Chamando de C a capacidade total da rede, e mantendo
este valor fixo, podemos determinar os valores de Ci que
irão minimizar o valor de T médio.
 Para tal, é conveniente utilizarmos uma multiplicador de
Lagrange, e a seguir fazermos a diferenciação de T + C,
onde  é o multiplicador de Lagrange.
 Não entrando nos detalhes matemáticos, a expressão
resultante é:
144
Regra da Raiz Quadrada: Topologia em Estrela
 Não entrando nos detalhes matemáticos, a expressão
resultante é:
 Aqui, a constante C é a representação para (i i), com
 sendo um parâmetro que desempenha o papel de
intensidade de tráfego equivalente para a rede inteira.
145
Regra da Raiz Quadrada: Topologia em Estrela
 Com esta escolha de capacidade para cada enlace,
podemos através da expressão (1) determinar o atraso
correspondente para cada enlace e, usando a expressão
(4), podemos chegar à expressão que nos permite
determinar o atraso médio na rede, que é:
T
min


i
 


i 
 i

 C (1   )
2
(6)
146
Regra da Raiz Quadrada: Topologia em Estrela
 Note que o parâmetro  definido acima faz, de fato, o papel de um
parâmetro de intensidade de tráfego da rede.
 Esta designação de capacidade é chamada de regra de alocação da
raiz quadrada, uma vez que Ci é um termo proporcional à raiz
quadrada de i.
 Verifique que o atraso médio mínimo, Tmin, varia inversamente com a
capacidade C da rede.
 Como consideramos que o custo varia linearmente com a
capacidade, percebemos que existe uma solução de compromisso
entre o atraso médio da rede e o custo de implementação dos
enlaces da mesma.
147
Regra da Raiz Quadrada: Topologia em Estrela
 A expressão ii representa o valor absoluto mínimo necessário
para que o tráfego possa ser transmitido no enlace. Perceba que
esta relação é na verdade o tráfego oferecido ao enlace, em bps.
 Obviamente, a capacidade do enlace deve ser maior do que o
tráfego oferecido.
 De fato, como já sabemos, se a capacidade do enlace tende para o
tráfego oferecido, a utilização do mesmo tende para um, e o atraso
médio tende para infinito.
 A segunda parte da expressão de Ci ótimo representa então o
incremento necessário à capacidade do canal, de modo que o
atraso possua um valor finito aceitável.
 Quanto maior o valor deste incremento, menor o valor do atraso
resultante
148
Exemplo:
 A figura ilustra a rede privada de uma empresa XYZ, com filiais em
São Paulo, Belo Horizonte e Rio de Janeiro, conectadas à matriz em
Sta Rita do Sapucaí. O número de terminais em cada filial é o
seguinte: Rio - 20 terminais, SP – 30 terminais e BH – 10 terminais,
sendo que cada terminal gera em média 10 mensagens/segundo e o
tráfego das filiais é todo enviado para a matriz.
 Supondo que as mensagens possuem um comprimento médio de
15000 bits, determine a capacidade a ser alugada para cada enlace
da rede, de modo que o atraso em cada enlace não ultrapasse 20
ms.
Ti 
1
 iC i  i
(1)
149
Alocação de Capacidade em Redes Distribuídas
 Vamos agora investigar o problema da alocação de capacidade em
redes distribuídas com topologia em malha irregular, que é um caso
bastante comum nas redes WAN.
 A alocação da capacidade neste caso depende da estratégia de
roteamento utilizada.
 Nós vamos investigar brevemente o efeito do roteamento através da
alteração de algumas rotas e da observação da conseqüência disto
na alocação da capacidade.
 A rede que utilizaremos para tratar o problema é a mostrada na
figura a seguir.
 Para determinar a capacidade de cada enlace devemos conhecer o
tráfego entre as diversas cidades, bem como a rota utilizada para
interconectar cada cidade a todas as outras.
150
Alocação de Capacidade em Redes Distribuídas
 Topologia:
151
Alocação de Capacidade em Redes Distribuídas
 A tabela abaixo fornece uma estimativa global de tráfego
na rede.
Source City
1. New York
2. Chicago
3. Houston
4. Los Angeles
5. Denver
Destination
New York
1
9.34
0.935
2.94
0.610
Chicago
2
Houston
3
Los Angeles
4
Denver
5
9.34
0.935
0.820
2.94
2.40
0.608
0.610
0.628
0.131
0.753
0.820
2.40
0.628
0.608
0.131
0.753
 Por simplicidade, estamos admitindo que o tráfego é
simétrico (isto é, o tráfego gerado em X para Y é o
idêntico ao tráfego gerado em Y para X).
152
Alocação de Capacidade em Redes Distribuídas
 Todos os sete enlaces existentes na rede são full-duplex,
o que significa que a capacidade de transmissão em um
sentido e em outro é a mesma.
 Vamos considerar as seguintes rotas como exemplo:



Los Angeles para Chicago: passando através de Denver;
Los Angeles para New York: passando através de Houston;
Denver para New York: passando através de Chicago.
153
Alocação de Capacidade em Redes Distribuídas
 Se denominarmos jk como sendo o tráfego, em
mensagens por segundo, saindo da cidade j com destino
à cidade k, podemos definir, baseado na tabela, o fluxo de
mensagens existente em cada um dos sete enlaces da
rede:







1 = 45 + 42 = 3.15 mensag/seg
2 = 43 + 41 = 3.55 mensag/seg
3 = 53 = 0.13 mensag/seg
4 = 52 + 42 + 51 = 3.64 mensag/seg
5 = 23 = 0.82 mensag/seg
6 = 31 + 41 = 3.88 mensag/seg
7 = 21 + 51 = 9.95 mensag/seg
154
Alocação de Capacidade em Redes Distribuídas
 O tráfego de mensagens médio total através de todos os
enlaces da rede é a soma dos valores obtidos acima:

 = i, que é igual a 25.12 mensagens/segundo.
 O número total de mensagens entrando na rede pode ser
obtido diretamente da tabela anterior, somando-se o
tráfego gerado em cada cidade (somatório de todos os
itens da tabela), e é 38.3 mensag/seg.
 Como nós estamos nos concentrando em uma única
direção, temos um tráfego total de 19.15
mensagens/segundo.
155
Alocação de Capacidade em Redes Distribuídas
 Assim, o número médio de enlaces atravessados por uma
mensagem pode ser determinado por 25.12/19.15 = 1.3
enlaces.
 Conhecendo-se a demanda de tráfego para cada enlace,
i, e o tamanho médio das mensagens fluindo pelo
enlace, 1/i, podemos efetuar os cálculos para determinar
a capacidade de cada enlace e os atrasos envolvidos,
através das equações (1) a (6).
156
Alocação de Capacidade em Redes Distribuídas
 Admita que todas as mensagens tem o mesmo
comprimento médio, 1/, e que a capacidade total da rede
é fixada em C = 192 mensagens/segundo.
 Como já vimos, o tráfego total nesta rede é  = 25.12
mensagens/segundo, o que nos leva a uma utilização ()
de 0.13.
 Este resultado nos mostra que a rede está levemente
carregada.
157
Alocação de Capacidade em Redes Distribuídas
 Além da regra da raiz quadrada, dois outros critérios de
alocação podem ser utilizados:
1. Divisão Igualitária


A capacidade total fixada para a rede é simplesmente dividida
igualmente entre todos os enlaces, independentemente do tráfego em
cada enlace.
Ou seja, a capacidade associada a cada enlace é 192/7 = 27.4
mensagens/segundo.
2. Divisão Proporcional


A divisão da capacidade é feita proporcionalmente ao tráfego
existente em cada enlace.
Ou seja, Ci = Ci/.
T 
Exemplo:

1

158
T
i
i
(4)
i
Uma cadeia de lojas deseja implantar uma rede ligando a sua matriz em São
Paulo a várias filiais Brasil afora, como mostra a figura. As mensagens possuem
um comprimento médio de 80000 bits. O tráfego médio de mensagens gerado em
cada cidade é dado na Tabela 1. Considerando μC = 800 mensagens/segundo,
pede-se:






O tráfego médio total da rede;
1
Ti 
O número total médio de mensagens entrando na rede;
 iC i 
A capacidade ótima em cada enlace;
O atraso médio em cada enlace;
O atraso mínimo médio das mensagens;
Ajuste as capacidades ótimas de cada enlace encontradas para o valor inteiro mais
próximo de múltiplos de 2,048 Mbps (Taxa E1)
i
(1)
159
PROVA!!! eba!