Ensino Superior
Cálculo 2
3. Comprimento de Arco
Amintas Paiva Afonso
Comprimento de arco
A determinação do comprimento de segmentos de arco irregular —
também conhecido como retificação de uma curva — representou uma
dificuldade histórica. Embora muitos métodos tenham sido utilizados para
curvas específicas, o advento do cálculo levou a uma formulação geral
que provê a solução em alguns casos.
Definição: O comprimento de uma curva é o menor número tal que o
comprimento dos caminhos polinomiais nunca pode ultrapassar, não
importando quanto juntos sejam colocados os pontos finais do
segmentos.
Na linguagem matemática, o comprimento do arco é
o supremo de todos comprimentos de um dado caminho
polinomial.
Comprimento de arco
Considere uma função f(x) tal que f(x) e f’(x) (isto é a derivada em
relação a x) são contínuas em [a, b]. O comprimento s de parte do gráfico
de f entre x = a e x = b é dado pela fórmula:
ab  s 

b
1
 f '  x 
a
a qual se deriva da fórmula da
distância aproximada do comprimento
do arco composto de muitos
pequenos segmentos de reta. Como o
número de segmentos tende para o
infinito (pelo uso da integral) esta
aproximação se torna um valor exato.
2
dx
Comprimento de arco
Um arco é a parte de uma curva que está entre dois pontos especificados A e B.
y
B
A
x
Suponha uma função contínua f(x) = y para a ≤ x ≤ b.
Vamos dividir o intervalo em n partes tal que x0 = a, x1 , x2, ..., xk -1, xk ..., xn = b
de acordo com a figura.
Comprimento de arco
y
Pn = B
P0 = A
P1
x0 = xa
x1
PK-1
PK
xk-1
xk
xb
x
Seja Pk ponto (xk , yk) onde yk = f(xk)
O comprimento da corda que liga os pontos Pk-1 a Pk será dado por
Pitágoras conforme a figura abaixo
PK
PK-1
S
S=
ΔYk
ΔXk



2

  

2
Comprimento de arco
Quando Pk-1 estiver muito próximo de Pk poderemos admitir que o comprimento da
corda entre Pk-1 e Pk é o comprimento do arco entre estes dois pontos.
Então o comprimento da k-ésima corda é:
 
2


  

2
Colocando Δxk em evidência:
 


2
1 


 



 




2


 


 

1 

 




2
  
(1)
Suponhamos que y = f(x) além de contínua é também derivável entre A e B. Isto
nos permite substituir a razão, que está dentro do radical e que é o coeficiente
angular da corda que une os pontos Pk-1 a Pk, pelo valor da derivada e algum
ponto x*k entre xk-1 e xk , então
 
 
 f '  k ,


 k 1   k   
Comprimento de arco
Podemos fazer isto, pois a corda é paralela a tangente em algum ponto da
curva entre Pk -1 e Pk*
  
Isto permite escrever (1) como comprimento da K-ésima corda = 1  f '  k

Logo o comprimento total será

  
1 f '


2

 1

(2)
Agora tomando o limite destas somas quando n tende a infinito e o
comprimento do maior subintervalo tende a zero
Comprimento do arco


AB = lim
max Δxk
0
 1
  
1 f '


2
 k 


1   f '    d 
Desde que f ’(x) seja contínua para que a integral exista.
2
(3)
2
.  
Comprimento de arco
Uma outra visão mais intuitiva pode ser utilizada, se denotarmos por s o
comprimento de arco variável de A até um ponto variável sobre a curva como
mostra a figura abaixo
y
ds
d
s
c
a
dy
dx
b
x
Se crescermos s uma pequena quantidade ds de modo que ds seja o elemento
diferencial de arco, assim teremos dx e dy como as mudanças correspondentes em
x e y.
Se tivermos ds tão pequeno que essa parte da curva é virtualmente reta
e, portanto, ds é a hipotenusa de um triângulo retângulo fino chamado
triângulo diferencial. Portanto, pelo teorema de Pitágoras
ds2 = dx2 + dy2
Comprimento de arco
Assim, se isolarmos ds e depois fatorarmos dx e o removermos do
radical, teremos:
ds 
dx
2
 dy ²

dy ² 

1 
 dx ² 
dx ² 

 dy 

1 
 dx 


2
. dx
(4)
Assim o comprimento total do arco AB pode ser pensado como a soma
ou integral de todos os elementos de arco ds, quando ds percorre a curva
desde a até b. Desta forma (4) se tornará comprimento de arco
ab 

ds 

b
a
2
 dy 
1 
 dx 
 dx 

b
1
 f '  x 2
dx
a
que é a mesma fórmula (3)
Essa fórmula nos diz que y deve ser tratada como uma função de x.
Comprimento de arco
Essa fórmula nos diz que y deve ser tratada como uma função de x.
No entanto, às vezes é mais conveniente tratar x como uma função de y.
Neste caso
ds 
dx ²  dy ² 
 dx ²


 1  dy ² 
 dy ²

Para x = a
y = c e para x = b
de integração.
Assim:
2
 dx 

  1 . dy
 dy 
y = d, sendo estes valores de y os limites
2

ds 

d
c
 dx 

  1 . dy 
 dy 

d
c
 f '  y 2
 1 . dy
Comprimento de arco
Exemplo 1:
Calcule o comprimento da curva y2 = 4x3 entre os pontos (0, 0) e (2, 4 2 )
y
Se isolarmos y
42
3
y 
0
2
x
4x
3
 2x
Logo,
y'
dy
1
 3x
2
dx
O comprimento do arco será:
ab 
ab
2b
dsds 
0a
 dy
113 x 2
 dx

1
22

 dx
dx


2
Comprimento de arco
 ds  

1   3x 2


1
2
0

1
9

2
2

 dx




2
1  9 x dx
0
1 9x  u
du  9 dx
du
dx 
9
1
u 2 du
0
3
1 2
  u  2
9 3
2

0
2
27
3
1  9 x  2
2

0
2
27
19
19  1

Comprimento de arco
Exemplo 2: Determinar o comprimento de arco da curva y 
x
2
 1,
0  x  3.
Comprimento de arco
Exemplo 3: Determinar o comprimento de arco da curva 24 xy  x 4  48 , de
x = 2 a x = 4.
Comprimento de arco
1
Exemplo 4: Determinar o comprimento de arco da curva y  x 3 / 2 , de x = 0
3
a x = 5.
Comprimento de arco
3
Exemplo 5: Determinar o comprimento de arco da curva y  x 1 / 2 ,
2
de x = 0 a x = 1.
Comprimento de arco
Exemplo 6: Determinar o comprimento de arco da curva y  ln( senx ), de
x = /4 a x = /2.