TRIGONOMETRIA
CICLO
TRIGONOMÉTRICO
Arcos de circunferência
 A e B dividem a circunferência em duas partes.
 Cada uma dessas partes é um arco de circunferência
(ou apenas arco).
 A e B são denominados extremidades dos arcos.
 AP’B : arco de extremidades A e B, contendo P.
 AP’B : arco de extremidades A e B, contendo P’.
A medida do ângulo AÔB é igual à medida angular
do arco AB.
Medida de arcos de circunferência: medida angular
Sempre que nos referirmos à medida de um arco, vamos
considerar sua medida angular e usar como unidades de medida
o grau ou o radiano.
Medida de arcos de circunferência: medida angular
A medida linear de um arco é a medida de
seu comprimento.
Se fosse possível “esticar” o arco CD,
poderíamos medir seu comprimento.
Quando nos referirmos ao comprimento de
um arco, vamos considerar sua medida linear
e usar como unidades lineares de medida o
metro, o centímetro, o milímetro etc.
Unidade de medida de arcos e ângulos: o grau
Uma das unidades de medida do arco é o grau: 1º (um grau) é cada
parte de uma circunferência que foi dividida em 360 partes iguais.
Dizemos, então, que a circunferência mede 360º (trezentos e
sessenta graus).
 med(AB) = 60º e med(AÔB) = 60º
O grau tem submúltiplos:
 1’ (1 minuto) =
 1’’ (1 segundo) =
minuto
do grau
do
Unidade de medida de arcos e ângulos: o radiano
Um arco de um radiano (1 rad) é aquele que
tem comprimento igual ao raio da
circunferência que o contém, ou seja, o
comprimento do arco dividido pelo raio da
circunferência é igual a 1. De modo geral:
OBS.: Quando obtemos o valor
de α, sua unidade é o radiano.
Exemplo
Uma circunferência mede 360º; essa medida também pode ser
dada em radiano.
Sabemos que o comprimento de uma circunferência de centro
O e raio r é dado por 2r e que um arco de medida 1 rad tem
comprimento r, assim:
Logo, a medida de uma circunferência, em radiano, é 2 rad.
Para se transformar um arco de grau para radiano e vice-versa
usamos a relação:
180  π rad
ou 180  3,14 rad
Relação entre grau e radiano
Grau
0
Radiano
0
medidas em radiano
45
90
135
180
270
360
medidas em grau
Exemplo
a) Vamos verificar quanto mede, em grau, um arco de
rad.
Sabendo que  rad = 180º, fazemos a substituição:
Assim, um arco de
rad mede 30º.
b) Para determinar quanto mede, em radiano, um arco de 200º, fazemos:
radiano
grau

180°
x
200°
Portanto, um arco de 200º mede
rad.
Exemplo
c) Vamos calcular o comprimento de uma circunferência de raio 5 cm:
C = 2r ⇒ C = 2 ∙ 5 ⇒ C ≃ 31,4
Assim, a circunferência tem cerca de 31,4 cm de comprimento.
d) Calcular o comprimento do arco AB de 45º de uma circunferência
de 8 cm de raio.
considerando que um ângulo de 45º corresponde à oitava parte da
circunferência (360º : 8 = 45º), fazemos:
Assim, o arco mede aproximadamente 6,28 cm de comprimento.
Exemplo
e) Determinar a medida x, em radiano, de um ângulo correspondente
a um arco com aproximadamente 12,56 cm de comprimento, em uma
circunferência com 12 cm de raio.
C R   
C
12,56
 
   1,04 rad .
R
12
f) Uma pista circular de atletismo tem um diâmetro de 50 m. Calcule
a distância percorrida por um atleta ao dar 6 voltas completas nessa
pista? Adote  3,14
Se D  50 m , então R  25 m , pois D  2 R.
O comprimento da circunferência é C  2R, logo C  2.3,14.25  C  157 m .
Como o atleta dá 6 voltas, a distância será : 157.6  942 m
g) Em um relógio, o ponteiro dos minutos mede 15 cm. Determinar
o comprimento do arco percorrido pela extremidade do
Resolução
Como 20 minutos equivalem à terça parte de
uma hora, a extremidade do ponteiro
descreve um arco de medida l igual à terça
parte do comprimento da circunferência:
l=
Logo, o ponteiro percorre um arco de cerca de 31,4 cm.
PKRUGER/SHUTTERSTOCK
ponteiro das 14h às 14h20min.
h) Pela manhã, uma pessoa idosa completou três voltas em torno
de uma praça circular de 42 m de raio. Calcular quantos metros a
pessoa caminhou.
Resolução
Três voltas: C’ = 3 ∙ 2 ∙  ∙ 42 ⇒ C’ ≃ 791,28
Portanto, a pessoa caminhou
aproximadamente 791,28 m.
Circunferência orientada no plano cartesiano
A circunferência trigonométrica, ou ciclo
trigonométrico, tem centro na origem O(0, 0)
de um plano cartesiano e raio
de 1 unidade.
No ciclo trigonométrico, o ponto A(1, 0) é a
origem de todos os arcos, isto é, o ponto a
partir do qual percorremos a circunferência
até um ponto P para determinar o arco AP
(P é a extremidade do arco).
Sentido horário e sentido anti-horário
Podemos percorrer uma circunferência em dois sentidos:
no sentido horário e no sentido anti-horário.
Adotando o sentido anti-horário para
as medidas positivas, determinamos o
sentido oposto (horário) para as
medidas negativas.
 Sentido anti-horário: med (AP) = 60º
 Sentido horário: med (AP) = –300º
Quadrantes do ciclo trigonométrico
O eixo das abscissas (eixo A’A ) e o eixo das ordenadas
(eixo B’B ) do plano dividem o ciclo em quatro quadrantes (QI, QII, QIII
e QIV), como mostram as figuras a seguir.
Simetria no ciclo trigonométrico
med (AP) =  rad
ARCOS CÔNGRUOS
Dois arcos são côngruos quando tem a
mesma origem e a mesma extremidade no
ciclo trigonométrico.
Por exemplo:
1. Considerando os arcos de 30º,
390º, 750º, - 330º, - 690º.
Todos eles tem a mesma origem
e a mesma extremidade.
Portanto, eles são côngruos.
Eles diferem entre si de um
número inteiro de voltas
completas, pois
30º + 360º = 390º,
30º + 2.360º = 750º,
30º - 360º = - 330º
30º - 2.360º = - 690º
Então podemos
representar o arco de 30º
e todos os seus arcos
côngruos pela expressão
x  30  360.K, K  Z
se um arco mede α graus , pode  se
exp ressar todos os ar cos côngruos
a ele por x  α  360  K , K  Z .
sendo α a det er min ação principal
de x e 0  α  360
se um arco mede α radianos , pode  se
exp ressar todos os ar cos côngruos
a ele por x  α  K  2π , K  Z .
sendo α a det er min ação principal
de x e 0  α  2π
DETERMINAÇÃO DO QUADRANTE
1. Dados os arcos abaixo, determine o quadrante ao qual eles se encontram.
a ) 7 5 2
c )  2 5 3 5
2 5
e)
rad
2
b ) 1 1 9 0
3 7
d)
rad
4
1 6
f )
rad
3
2. Escreva a expressão geral dos arcos côngruos aos arcos de:
a )19 10
b ) 25 80
c)
45
ra d
7
d )
19
ra d
4
3. Determinar o menor ângulo formado pelos ponteiros de um relógio circular
que marca:
a) 12 h e 20 min
b) 10 h e 36 min
c) 3 h e 15 min
d) 18 h e 12 min