Escola EB2,3/S Vieira de Araújo
Prova Escrita de Matemática A
Duração 90 minutos
19 de Março de 2010
Versão 1
11º Ano
Grupo I
Para cada uma das seguintes questões identique a opção correcta. Cada questão tem a
cotação de 9 pontos. Respostas ilegíveis ou duplicadas serão cotadas com 0 pontos.
1. Na gura está representada parte do gráco de uma função periódica.
Qual dos valores seguintes poderá ser período desta função?
(A)
π
9
(B)
(C)
2π
9
2π
3
(D)
4π
3
Resposta (D)
2. Considere a função f de domínio R, denida por f (x) = 1 − x2 .
Seja t a recta tangente ao gráco da função no ponto de abcissa 21 . Qual é a inclinação da
recta t ?
(A) 30◦
(B) 45◦
(C) 135◦
Resposta (C)
3. Na gura estão representadas, em referencial o.n. xOy , partes
dos grácos de duas funções, f e g , contínuas em R.
Tal como a gura sugere,
ˆ nenhum dos grácos intersecta o eixo Ox;
ˆ os grácos de g e de f intersectam o eixo nos pontos de
ordenadas 0, 5 e 2, respectivamente.
Apenas uma das equações seguintes é impossível. Qual delas?
(A) f (x) + g (x) = 0
(B) f (x) − g (x) = 0
(C) f (x) × g (x) = 1
(D)
Resposta (A)
1
f (x)
g(x)
=1
(D) 150◦
4. Considere num referencial o.n. Oxyz o plano denido pela eqação x + 2y + 3z = 10.
Para um certo número real m, a condição x = y − 2 =
plano. Indique o valor de m.
(A) −2
(B) −1
z
m dene
uma recta paralela ao referido
(C) 1
(D) 2
(C)
(D)
Resposta (B)
5. Na gura junta está a representação gráca de uma
função h e de uma recta t, tangente ao gráco de
h no ponto de abcissa a.
A recta t passa pela origem do referencial e pelo
ponto de coordenadas (6, 3) .
O valor de h0 (a) é:
(A) − 21
(B)
1
6
1
3
1
2
Resposta (D)
6. Considere uma função g (x) de domínio Dg = R. Sabe-se que
ˆ g (x) = −g (−x) ,para qualquer valor de x
ˆ para x ∈ ]−∞, 0[, g 0 (x) < 0.
Podemos concluir que:
(A) A função tem um extremo relativo em x = 0
(B) A função é crescente em todo o seu domínio.
(C) A função é decrescente em todo o seu domínio.
(D) limx→+∞ g (x) = +∞
Resposta (C)
Grupo II
Responda a cada uma das seguintes questões apresentando todos os cálculos que tiver de
efectuar, expondo o seu raciocínio de forma clara.
1. Na gura está representada, em referencial o.n. Oxyz , uma
pirâmide quadrangular.
Admita que o vértice E se desloca no semieixo positivo Oz ,
entre a origem e o ponto de cota 6, nunca coincidindo com
qualquer um destes dois pontos.
Com o movimento do vértice E , os outros quatro vértices da
pirâmide deslocam-se no plano xOy , de tal forma que:
ˆ a pirâmide permanece sempre regular;
2
ˆ o vértice A tem sempre abcissa igual à ordenada;
ˆ sendo x a abcissa de A e sendo c a cota de E , tem-se sempre x + c = 6
1.1. Seja V (x) o volume da pirâmide, em função de x (x ∈ ]0, 6[).
Mostre que V (x) = 8x2 − 43 x3 .
O comprimento do lado da base da pirâmide é 2x, e a altura da pirâmide é
c = 6 − x.
V (x) =
=
=
=
=
Abase × altura
3
2
(2x) × c
3
4x2 × (6 − x)
3
24x2 − 4x3
3
4
8x2 − x3
3
1.2. Recorrendo a métodos exclusivamente analíticos, determine o valor de x para o qual é
máximo o volume da pirâmide, e determine o respectivo volume.
0
V (x) =
=
4
8x − x3
3
2
0
16x − 4x2
Zeros da derivada
16x − 4x2 = 0
⇔
4x (4 − x) = 0
⇔
4x = 0 ∨ 4 − x = 0
⇔
x=0∨x=4
Como o domínio é x ∈ ]0, 6[, temos
x
0
4
6
0
V (x)
+
0
V (x)
% M ax &
O volume máximo é V (4) = 128
3
1.3. Admita agora que x = 1. Indique, para este caso, as coordenadas dos pontos A, B e E
e determine uma equação cartesiana do plano ABE .
A (1, 1, 0), B (−1, 1, 0) e E (0, 0, 5)
−−→
−→
BA (2, 0, 0) e EA (1, 1, −5) são dois vectores do plano.
3
−
Denotando por →
n (x, y, z) o vector normal ao plano, temos:
(
→
−
n . (2, 0, 0) = 0
→
−
n . (1, 1, −5) = 0
(
2x = 0
⇔
x + y − 5z = 0
(
x=0
⇔
y = 5z
para z = 1


x = 0
⇔
y=5


z=1
Uma equação catesiava do plano ABE é 0 (x − 0)+5 (y − 0)+1 (z − 5) = 0, ou
seja, 5y + z − 5 = 0.
2. Considere a função
(
x3 − 4x se x ≤ 2
g (x) =
1
se x > 2
x−1
2.1. Estude quanto à diferenciabilidade a função g , e caracterize g 0 (x).
Comecemos por estudar a existência de derivada para x = 2.
Derivada à direita:
limx→2+
g(x)−g(2)
x−2
(nota: y =
= limx→2+
1
(x−2)(x−1)
1
−0
x−1
x−2
= limx→2+
1
(x−2)(x−1)
= +∞
é uma função racional com assímptotas verticais x = 2 e x = 1)
Derivada à esquerda:
= limx→2+
limx→2− g(x)−g(2)
x−2
x3 −4x−0
x−2
= limx→2+
x(x−2)(x+2)
x−2
= limx→2+ x (x + 2) = 8
Não existe derivada para x = 2.
Temos assim que g 0 (x) : R\ {2} −→ R é tal que
g 0 (x) =
(
3x2 − 4
−1
(x−1)2
se x < 2
se x > 2
2.2. Escreva a equação da recta tangente ao gráco de g no ponto x = 1.
Como:
ˆ m = g 0 (1) = 3 × 12 − 4 = −1
ˆ g (1) = 13 − 4 × 1 = −3
Temos que a equação da recta é
y + 3 = −1 (x − 1) ⇔ y = −x − 2.
FIM
4