UNIVERSIDADE DO ALGARVE
ESCOLA SUPERIOR DE TECNOLOGIA
Curso de Engenharia Civil - 2o Ciclo Diurno/Noturno
Disciplina: Complementos de Matemática
1o Ano
1o Semestre
Ano Lectivo de 2007/2008
Ficha no 1
Representação grá…ca: domínios, noções topológicas e conjuntos de nível.
Exercício 1 Identi…que e represente gra…camente, para os valores indicados das constantes, as superfícies de…nidas pelas equações.
x2 y 2 z 2
+ 2 + 2 = 1, para a2 = 2; b2 = 16 e c2 = 4:
a2
b
c
x2 y 2
b) z = 2 + 2 ; para a2 = 41 e b2 = 13 :
a
b
x2 y 2
2
c) z = 2 + 2 ; para a2 = 91 e b2 = 14 :
a
b
x2 y 2 z 2
d) 2 + 2
= 1, para a2 = 1; b2 = 1 e c2 = 4:
a
b
c2
x2 y 2 z 2
= 1, para a2 = 1; b2 = 1 e c2 = 4:
e) 2 + 2
a
b
c2
y 2 x2
; para a2 = b2 = 1:
f) z = 2
b
a2
x2 y 2
g) 2 + 2 = 1; para a2 = 4; b2 = 9:
a
b
x2 y 2
h) 2
= 1; para a2 = 4; b2 = 9:
a
b2
a)
i) x2 = 4ay, para a = 2:
1
Exercício 2 Determine, represente gra…camente e classi…que topologicamente os domínios
das funções de…nidas pelas seguintes expressões.
a) f (x; y) = x2 + 5y 3 :
1
b) f (x; y) = p
:
y 4x2
p
p
x2 + 1
4
c) f (x; y) =
y2:
x
d) f (x; y) = p
:
y 16 + x2 + y 2
1
e) f (x; y) = p
p :
y
x
f) f (x; y) = ln(x2
g) f (x; y) =
h) f (x; y) =
ln(x+y+1)
:
y
p
9 x2 y 2
:
ln(x+y)
i) f (x; y) = ln [(16
j) f (x; y) =
k) f (x; y) =
y 2 ).
x2
y 2 ) (x2 + y 2 + 4)] :
p
xy + sin x2 :
p
2
2
(x 1) +y
sin(x+y)
l) f (x; y) = arctan
4
:
x
:
y2
m) f (x; y) = arccos ln(x + y):
q
2
2
n) f (x; y) = exx2+y
+y 2
8
q 2 2
>
>
x +y
<
; (x; y) 6= (0; 0)
ex2 +y2 1
:
o) f (x; y) =
>
>
:
0 ; (x; y) = (0; 0)
8
>
>
< ln(x + y 1); x2 + y 2 6= 0
p) f (x; y) =
:
>
>
2
2
:
2
; x +y =0
2
q) f (x; y) =
r) f (x; y) =
8
>
>
<
ln( x2 y 2 +4)
;
x2 +y 2
>
>
:
8
>
>
<
q
x2 +y 2
;
ex2 +y2
x2 + y 2 < 4
:
x +y >4
x3 y xy 3
;
x2 +y 2
2
2
x2 + y 2 < 2
>
>
: sin(x2 + y 2 2); x2 + y 2 > 2
8 p
>
x2 y 2 +1
>
<
; (1 y 2 ) 6= 0
(1 x2 )(1 y 2 )
s) f (x; y) =
:
>
>
: ln(2); (x; y) = (0; 1)
8
p
>
>
< x2 + y 2 ; x + y > 0
:
t) f (x; y) =
>
>
: x + y; x + y 0
8
>
2
>
px+y ; 0 < x2 + y 2 < 4
>
>
2 +y 2
>
x
>
<
2
2
u) f (x; y) =
ex +y 4 ; x2 + y 2 > 4 :
>
>
>
>
>
>
:
e; (x; y) = (0; 0)
:
Exercício 3 Identi…que os conjuntos de nível, e represente algumas curvas de nível,
dos seguintes campos escalares.
a) f (x; y) =
3x
2y + 1:
b) f (x; y) = x2 + y 2 :
p
4 (x2 + y 2 )
c)f (x; y) =
:
2
d) f (x; y) = y 2
e) f (x; y) =
x2 :
2x
:
x2 +y 2
f)f (x; y) = ln(x2 + y):
g)f (x; y) = ex+y :
h)f (x; y) =
1
:
xy
3
i) f (x; y) = x3
y:
Exercício 4 Considere a função real z = f (x; y) = 4
x
y:
a) Represente os pontos do grá…co com:
a1) abcissa 1 e ordenada 3.
a2) abcissa 1 e imagem 1.
b) Represente a intersecção do grá…co da função os planos coordenados.
c) Trace as curvas de nível de ordem -1, 0, 2.
d) Faça um esboço da função f (x; y):
Exercício 5 Dada a função f (x; y) = x2 + y 2 , represente algumas curvas de nível e
faça um esboço da sua representação grá…ca.
Exercício 6 Considere a função f : IR2 ! IR de…nida por f (x; y) =
p
x2 + y 2
a) De…na o conjunto das curvas de nível de ordem 1 e 2 e represente-as.
b) Faça um esboço do grá…co da função.
c) Faça o esboço do grá…co da função g(x; y) = f (x; y) + 2:
d) Faça o esboço do grá…co da função h(x; y) = f (x + 1; y + 2):
Exercício 7 Faça um esboço da representação grá…ca da função f (x; y) =
Exercício 8 Faça o esboço da representação grá…ca da seguinte função:
f (x; y) =
8
>
>
<
>
>
:
3
,
1+x2 +y 2
x2 + y 2
2
, x2 + y 2 > 2
1
4
:
1
1
x2
y2
: