começando a entender CÁLCULO Volume Um - 3
SEQUÊNCIAS IMPORTANTES PARA O LIMITE
Uma sequência infinita de números (xn) é convergente a um
número xo quando (xn) se torna (ou é sempre) igual a xo, ou se torna cada vez
mais próxima de xo e tão próxima quanto se queira. Dizemos, com isso, que
(xn) tende a xo, e escrevemos:
(xn)  xo deve ser lido como (a
(xn ) se torna (ou é sempre) igual a x o ,

(xn )  xo quando 
se torna cada vez mais próxima de xo
ou e tão próxima quanto se queira.


sequência) xn tende a xo e significa uma
destas possibilidades resumidas ao lado.
Exemplo 5A
As sequências seguintes convergem para 3:
A sequência (an) é sempre igual ao
(an) : (3 3 3 3 3 ...)
próprio 3, portanto, convergente a 3; (bn)
(bn) : (1 2 3 3 3 ...)
se torna 3, portanto, igualmente é
(cn) : (2,9 2,99 2,999 2,9999 ...)
convergente a 3. Se quisermos que (cn)
(dn) : (3,1 3,01 3,001 3,0001 ...)
seja mais próxima a 3 do que o número
2,95, basta considerar seu 2º termo em
Veja que (an) é a sequência constante 3 e, portanto, convergente para 3
diante. Se quisermos (cn) mais próxima a
conforme a definição. A sequência (bn) se torna igual a 3 e, portanto,
3 do que o número 2,9999, basta
converge também para este número. Por outro lado, (bn) e (cn) se tornam cada
considerar seu 5º termo em diante.
vez mais próximas a 3 e tão próximas quanto se queira de 3.
Assim, (cn) se torna cada vez mais
próxima a 3 e tão próxima a 3 quanto
Exemplo 5B
se queira. Análise semelhante pode ser
As sequências seguintes não convergem para 3:
feita para (dn).
(en) : (3 2 3 2 3 ...)
(fn) : (1,9 1,99 1,999 1,9999 ...)
Veja que (fn) se aproxima cada vez mais
(gn) : (10 3,1 10 3,01 10 3,001 10 3,001 ...)
próxima de qualquer número maior que
2, mas não fica tão próxima àquele
número quanto se queira. Por exemplo,
(fn) se torna cada vez mais próximo de 3
mas nunca mais próximo do que o
número 2,5. Na verdade, (fn) converge
para o número 2.
De fato, (en) não se torna 3 nem 2; não é uma sequência convergente para
número. Por outro lado, (fn), apesar de se tornar cada vez mais próxima a 3
(ou a qualquer outro número maior que 2), não se torna tão próxima a 3
quanto quisermos, pois sempre estará separada de 3 por um número maior
que 1. Finalmente, (gn) não se torna cada vez mais próxima a 3 apesar de se
tornar tão próxima a 3 quanto se queira para seus termos de ordens pares.
Uma sequência pode ser, então, considerada uma função de
domínio natural não-nulo e, consequentemente, pode ter uma fórmula. Por
exemplo, as funções (cn) e (dn) do exemplo 5A têm as seguintes fórmulas:
Assim, para cada n inteiro e positivo,
cn  3 
1
10n
teremos associado um termo da
n=1
n=2
n=3
n=4
b1 = 2,9
b2 = 2,99
b3 = 2,999
b4 = 2,9999


n  +
sequência que pode ser calculado
bn  3
utilizando-se a fórmula da sequência.
Desta forma, cn = c(n) e dn = d(n). No
estudo dos limites, estes dois tipos de
dn  3 
1
10n
sequência, sintetizados em a  10n, são
n=1
n=2
n=3
n=4

n  +
importantes para a definição de limites
c1 = 3,1
c2 = 3,01
c3 = 3,001
c4 = 3,0001

cn  3
pontuais.
começando a entender CÁLCULO Volume Um - 4
Uma sequência infinita de números (xn) tende a mais infinito
Assim, a sequência dos números
quando (xn) se torna cada vez maior e tão positiva quanto se queira. Uma
naturais (0, 1, 2, 3, ...) tende a +
sequência infinita de números (xn) tende a menos infinito quando (xn) se
porque se torna cada vez maior e tão
torna cada vez menor e tão negativa quanto se queira:
positiva quanto se queira. O mesmo
dizer para as sequências de múltiplos,
cada vez maior e
(xn )   quando (xn ) se torna 
tão positiva quanto se queira.
por exemplo, de 5, (0, 5, 10, 15, ...). A
cada vez menor e
(xn )   quando (xn ) se torna 
tão negativa quanto se queira.
sequência dos inteiros negativos (1, 2,
3, ...) tende a  porque se torna cada
vez menor e tão negativa quanto se
queira. A sequência (1,9 1,99 1,999
1,9999 ...) se torna cada vez maior mas
Exemplo 5C
não tão positiva quanto se queira. Logo,
A sequência hn = 10n tende a mais infinito, pois, se torna cada vez maior e tão
não tende a + (mas sim, tende a 2). A
positiva quanto se queira. Escrevemos (hn)  +. Veja na tabela seguinte
sequência (3,1 3,01 3,001 3,0001 ...)
seus valores iniciais:
se torna cada vez menor mas não tão

negativa quanto se queira. Logo, não
h1
h2
h3
h4
h5
tende a  (mas sim, tende a 3).
10
100
1.000
10.000
100.000
+
Exemplo 5D
A sequência in = 10n tende a menos infinito, pois, se torna cada vez menor e
tão negativa quanto se queira. Escrevemos (in)  . Veja na tabela seguinte
seus valores iniciais:

i1
i2
i3
i4
i5
10
100
1.000
10.000
100.000

Juntamente com as sequências dos tipos de cn  3  10n e de dn  3  10n ,
Podemos sintetizar estes 2 primeiros
tipos em a  10n e as duas últimas
estas duas sequências, hn = 10n e in = 10n
são as sequências mais
importantes para o conceito intuitivo dos limites.
sequências em 10n.
LIMITES PONTUAIS FINITOS
A não ser quando expresso claramente o
contrário, daqui pra frente vamos
considerar f(x) contínua nas
proximidades de x = a e exceto
possivelmente para o próprio x = a. Por
exemplo, f(x) 
x 2  25
, é contínua nas
x5
Considere uma função real f(x) contínua nas proximidades de x = a e
exceto possivelmente em x = a.
Sobre seu domínio, considere uma
sequência (xn) convergente ao valor a, isto é, (xn)  a. Ocorre, porém, que as
respectivas imagens de (xn), isto é, os valores yn = f(xn) formarão uma outra
sequência de números que poderá convergir para um número L:
proximidades de a = 5, mas não é
contínua neste ponto.
L

y4
Tomamos uma sequência qualquer (xn)
y3
(yn)
que tende ao valor a e observamos a
y2
formação da sequência de imagens (yn)
se tenderá a algum valor L. A sequência
(xn) da ilustração tende a a por valores
menores que a, mas, por ser qualquer,
poderia tender também a a por valores
maiores que este.
y1
x1
x2

x3 x4 a
(xn)
começando a entender CÁLCULO Volume Um - 5
Quando qualquer sequência (xn) do domínio convergente para o número a
implicar numa sequência de imagens (yn) convergente para um mesmo
número L, dizemos que o limite de f(x) quando x  a é igual a L.
Assim, é importante observar que (yn) é
a sequência de imagens de (xn), isto é,
Se (xn )  a implicar em (y n )  L
y1 = f(x1), y2 = f(x2), y3 = f(x3), etc.
Então limx  a f(x)  L
Como a função é contínua nas proximidades de x = a, então, basta que duas
sequências (xn) do domínio que convirjam para a, uma pela esquerda e outra
pela direita, impliquem em sequências de imagens (yn) que tendam ao
mesmo valor L para que exista o limite e seja igual a L, isto é, limx a f(x)  L .
y1
Isso porque, intuitivamente, se uma
sequência em x que convirja para a pela
y2
esquerda implicar numa sequência de

imagens em y que convirja para L,
y3
L
L
y3
então, todas as outras sequências em x
que convirjam para a pela esquerda

y2
y1
terão imagens que convirjirão para L. O


x1
x2
x3 a
(xn) pela esquerda de a
mesmo dizer para a direita.
ax3
x2
x1
(xn ) pela direita de a
Exemplo 5E
Calcule os limites, observando que as funções são contínuas para x = a:
a) limx 5 (x 2  19)
b) limx 10 10x  21
c) limx 3
x2  1
x 1
a) limx 5 (x 2  19) . Tomemos duas sequências convergentes para 5, uma pela
esquerda de 5 e outra pela direita de 5. Tais sequências gerarão em y duas
sequências que convergem para 6, conforme notamos nas tabelas:
x
x2 – 19
x
x2 – 19
Aqui, tomamos as duas sequências (x n)
4,9
5,01000
5,1
7,01000
discutidas na seção anterior que podem
4,99
5,90010
5,01
6,10010
ser resumidas em 5  10n. Observe
4,999
5,99000
5,001
6,01000
como as 2 sequências (yn) geradas
4,9999
5,99900
5,0001
6,00100
tendem para o valor 6.
4,99999
5,99990
5,00001
6,00001
y
↓
6
↑
Assim, o limite de a(x)  x 2  19 quando x tende a 5 é igual a 6:
→←
x
limx 5 (x2  19)  6
5
Observe como a função a(x) = x2  19 é contínua também em x = 5, o que
torna o seu limite quando x  5 igual ao próprio valor assumido em x = 5, isto
é, a(5) = 52  19 = 6. Assim, quando a função for contínua também no ponto
para onde x tender, teremos:
Assim, quando f(x) for contínua, o limite
de f(x) quando x tender a a será f(a). Na
abordagem mais formal do Cálculo, o
conceito de continuidade da função em
x = a é o do limite neste ponto ser f(a).
Se f(x) é contínua em x = a
Então limx  a f(x)  f(a)
começando a entender CÁLCULO Volume Um - 6
Esta conclusão abreviará a obtenção dos outros dois limites seguintes:
Veja que as duas funções dos itens (b) e
(c) são contínuas em x = 10 e x = 3
b) limx 10 10x  21  10  10  21  121  11
respectivamente. Isso torna seus limites
c) limx  3
nestes pontos iguais aos valores b(10) e
x 2  1 32  1 8

 4
x 1
3 1 2
c(3) respectivamente.
Exemplo 5F
Calcule os seguintes limites, observando que a função não é contínua em
Somente para facilitar a referência às
funções, continuamos a enumeração do
exemplo anterior.
x
x2  x  6
x 2
1,9
4,9
1,99
4,99
1,999
4,999
1,9999
4,9999
1,99999
4,99999
x
nenhum dos pontos x = a:
d) limx 2
x2  x  6
x2
e) limx 5
x 3  125
2x  10
f) limx 9
x 3
x 9
d) Como no exemplo anterior, tomamos duas sequências em x convergentes
para 2, uma pela esquerda e outra pela direita e observamos as duas
sequências imagens em y convergindo para o limite 5, conforme as tabelas
ao lado. Assim, podemos escrever:
limx 2
x2  x  6
x 2
x2  x  6
5
x2
2,1
5,1
2,01
5,01
Não podemos usar aqui a substituição de x = 2 na fórmula da função pois isso
2,001
2,0001
5,001
5,0001
implicaria na divisão de 0 por 0. Assim, d(x) não é contínua em x = 2. Mas,
2,00001
5,00001
isso não impede que seu limite exista quando x  2, conforme previa
Usamos aqui as sequências 2  10n.
definição.
A
mesma
conclusão,
porém,
poderíamos
ter
obtido
caso
utilizássemos a fatoração do numerador seguida pelo cancelamento de (x  2)
numerador com (x  2) denominador:
Fatoramos o numerador pelas raízes da
equação do 2º grau. Em seguida,
limx 2
cancelamos (x  2) numerador com
(x  2)  (x  3)
x2  x  6
 limx 2
 limx 2 (x  3)  2  3  5
x2
(x  2)
(x  2) denominador e simplificamos a
função para (x + 3). Este cancelamento
Este cancelamento é permitido uma vez que, enquanto x tender a 2, x nunca
só é válido por que o fato de x  2
será igual a 2, ocasião em que cairíamos no erro de cortar 0 numerador com 0
garante que x nunca será igual a 2; caso
denominador. Finalmente, substituímos o valor x = 2 na expressão
contrário, seríamos impedidos de
simplificada, resultando o mesmo valor 5 obtido anteriormente através das 2
cancelar 0 numerador com 0
sequências de imagens. A seguir, esboçamos o gráfico da função
denominador.
d(x) 
x2  x  6
:
x2
y
Nas proximidades de x = 2 (e em todos
os demais pontos), a função terá o
mesmo comportamento desta reta, o
5
↓
↑
que nos permite substituir o valor x = 2
em (x + 3) para obter o limite 5. Mas,
apesar deste ponto não pertencer a d(x),
seu limite quando x  2 existe e será 5,
justamente o valor que d(x) teria caso
fosse contínua neste ponto.
→←
2
x
começando a entender CÁLCULO Volume Um - 7
Para obter (e), fatoramos o numerador
Este procedimento algébrico representa um magnífico atalho para a
como diferença de cubos e o
obtenção dos outros dois limites, cujas funções também não são contínuas
denominador como fator comum. Para
por resultarem na divisão de 0 por 0 nestes pontos:
obter (f), multiplicamos a função pela
função constante 1 (escrita como
conjugado do numerador dividido por ele
e) limx 5
mesmo). Isso cai na multiplicação do
x2  5x  25 52  5  5  25 75


2
2
2
x 3 x 3
(x  9)

 limx 9

x9
x 3
(x  9)  ( x  3)
 limx 5
binômio-soma pelo diferença, o que
elimina o radical. Porém, o mais
(x  5) (x2  5x  25)
x 3  125
 limx 5

2x  10
2 (x  5)
f) limx 9
importante é que podemos cancelar (x 
 limx 9
9) numerador com (x  9) denominador,
1
1
1


x 3
93 6
o que torna possível o cálculo do limite
substituindo x = 9 na expressão
simplificada.
Veja que, para obter o valor numérico para os três limites deste
exemplo, poderíamos calcular as duas sequências ou proceder da forma
algébrica indicada. No entanto, a fatoração, ou a multiplicação pela função
constante 1 escrita de forma de radicais conveniente, será o caminho mais
preciso sempre que, ao tentar substituir x = a na função, obtivermos o
resultado de zero dividido por zero, o que é conhecido como indeterminação
do tipo 0/0.
Exemplo 5G
2x, se x  1
. Encontre limx 1 g(x) .
3x, se x  1
Considere a função definida por g(x)  
Como a função não é contínua em x = 1, não podemos usar a simples
x
g(x)
substituição para obter o limite. Por outro lado, também não teremos a
0,9
1,8
indeterminação do tipo 0/0 para utilizarmos a fatoração ou a função constante
0,99
1,98
0,999
1,998
0,9999
1,9998
0,99999
1,99998
x
g(x)
1,1
3,3
limite, temos 2 sequências em y que não convergem para o mesmo valor L.
1,01
3,03
1,001
3,003
Com isso, o limite de f(x) quando x tende para 1 não existirá.
1,0001
1,00001
3,0003
3,00003
1 escrita de forma de radicais conveniente. Assim, vamos usar o caminho
tradicional de escolher duas sequências em x convergentes para 1, uma pela
esquerda e outra pela direita. Porém, observamos sequências em y
convergindo para valores diferentes! Assim, consultando a definição de
 limx 1 g(x)
Veja que, em qualquer outro ponto xo de g(x) diferente de x = 1, o limite
existirá e será igual a g(xo). Porém, justamente nesta descontinuidade, x = 1,
temos que a aproximação pela esquerda e pela direita geram sequências em
y que convergem para valores diferentes:
y
Isso porque o gráfico da função g(x) são
duas semiretas que não têm as mesmas
origens. Situações como esta motivaram
a definição dos limites laterais.
↓
3
2
↑
→1←
x
começando a entender CÁLCULO Volume Um - 8
Quando qualquer sequência do domínio convergente para o número
a por valores menores que a, (xn)  a , implicar numa sequência de suas
imagens convergente para o mesmo número L1, isto é, (yn)  L1, dizemos
que o limite lateral de f(x) quando (xn)  a (x tende a a pela esquerda) é
igual a L1.
Se (xn )  a implicar em (yn )  L1
Então limx  a f(x)  L1
Obviamente, estas definições serviram
para abordar situações como a do
exemplo anterior: os limites laterais de
g(x) quando x tende a 1 pela esquerda e
pela direita são:
Analogamente,
quando qualquer sequência do domínio convergente para o
número a por valores maiores que a, (xn)  a+, implicar numa sequência de
suas imagens convergente para o mesmo número L2, isto é, (yn)  L2,
dizemos que o limite lateral de f(x) quando (xn)  a+ (x tende a a pela
direita) é igual a L2.
limx 1 g(x)  lim x1 2x  2  1  2
limx 1 g(x)  limx1 3x  3  1  3
Se (xn )  a implicar em (y n )  L2
Então limx  a f(x)  L2
Assim, o limite deste último exemplo,
limx 1 g(x) , não existe porque os
Corolário 5A
O limite de f(x) quando x tende a a existirá quando seus respectivos limites
laterais existirem e forem iguais.
limites laterais são diferentes.
Este resultado é consequência bastante direta das três definições de limites
(pontual e dois laterais) vistas até aqui.
LIMITES PONTUAIS INFINITOS
Quando qualquer sequência do domínio (xn) convergente para o
número a, isto é, (xn)  a,
↑ (y1 )
↑ (y2 )
implicar numa sequência de imagens (yn)
n
tendendo sempre a mais infinito, isto é, (yn)  +, dizemos que o limite de
n
f(x) quando x  a é igual a mais infinito.
Se (xn )  a implicar em (yn )  
→a←(x2 )
(x1n)
Então limx a f(x)  
n
Novamente, devido à continuidade da função próxima a x = a, tomaremos
apenas duas sequências (x1n) e (x2n) convergindo para a, uma pela esquerda
e outra pela direita de a. Se estas duas implicarem em sequências (y1n) e
(y2n) tendendo a +, o limite pontual limx a f(x) será +.
Analogamente,
quando
qualquer
sequência
do
domínio
(xn)
convergente para o número a, isto é, (xn)  a, implicar numa sequência de
(x1n)
(x2n)
→a←
imagens (yn) tendendo sempre a menos infinito, isto é, (yn)  , dizemos
que o limite de f(x) quando x  a é igual a menos infinito.
Se (xn )  a implicar em (yn )  
↓(y1 )
↓(y2 )
Então limx a f(x)  
n
n
Neste último caso, também tomamos 2 sequências, (x1n) e (x2n) convergindo
para a, uma pela esquerda e outra pela direita.
começando a entender CÁLCULO Volume Um - 9
Exemplo 5H
x
h(x)
2,9
100
2,99
10.000
2,999
1.000.000
2,9999
100.000.000
x
h(x)
3,1
100
3,01
3,001
10.000
1.000.000
para x = 3 e que a indeterminação gerada não é do tipo 0/0. Assim, temos
3,0001
100.000.000
que escolher as duas sequências convergentes para 3, uma pela esquerda e
Calcule os seguintes limites:
1
1
h) limx 3
i) limx 2
2
(x  3)
(x  2)2
h) limx 3
1
(x  3)2
j) limx 1
1
(x  1)3
. Inicialmente, percebemos que a função é descontínua
outra pela direita e observar que as duas sequências geradas em y se tornam
y
cada vez maiores e tão grandes quanto se queiram. Logo, estas duas
h(x) 
sequências tendem para mais infinito e isso nos permite concluir que:
1
(x  3)2
limx  3
x
→3←
1
(x  3)2
 
O gráfico de h(x) é mostrado ao lado. Veja que as sequências (x1n) e (x2n)
tendendo para o valor 3 implicam em sequências de imagens (y1n) e (y2n)
tendendo para +. Um atalho para a conclusão de que este limite é mais
A reta x = 3 é assíntota vertical e y = 0 é
infinito poderia ser o de estimar as sequências mentalmente em vez de
assíntota horizontal de h(x).
calculá-las exatamente. Um pouco de prática e isto se tornará rotina.
1
x
i(x)
1,9
100
1,99
10.000
1,999
1.000.000
descontínua em x = 2 e que a indeterminação não é do tipo 0/0. Assim,
1,9999
100.000.000
temos que tomar as duas sequências em x convergindo para 2, uma pela
x
i(x)
2,1
100
Percebemos que as imagens geradas são sequências tendendo a menos
2,01
10.000
infinito, o que nos permite concluir que:
2,001
1.000.000
2,0001
100.000.000
i) limx 2
(x  2)2
. Como no item anterior, percebemos que a função é
esquerda e outra pela direita como mostrado nas tabelas ao lado.
limx 2
y
x
→ 2←
1
(x  2)2
 
O gráfico da função i(x) está mostrado ao lado. Veja que as 2 sequências em x
tendendo para 2 gerarão duas sequências de imagens tendendo para .
i(x) 
1
(x  2)2
Estas sequências poderiam também ser obtidas mentalmente, o que
facilitaria a conclusão de que este limite pontual é menos infinito. Observe
ainda que a reta x = 2 é assíntota vertical desta função e a reta y = 0 é
assíntota horizontal.
j) limx 1
1
(x  1)3
. Também neste caso, vemos que a função é descontínua em
x
j(x)
0,9
1.000
x = 1 e que a indeterminação também não é do tipo 0/0. Assim, tomamos
0,99
1.000.000
duas sequências (x1n) e (x2n) tendendo para 1, a primeira pela esquerda e a
0,999
1.000.000.000
0,9999
1.000.000.000.000
x
i(x)
1,1
1.000
1,01
1.000.000
pontuais finitos para limites laterais pontuais infinitos, podemos escrever
1,001
1.000.000.000
que:
1,0001
1.000.000.000.000
segunda pela direita de 1, o que gerará duas sequências de imagens (y1n) e
(y2n), a primeira tendendo a  e a segunda tendendo a +, conforme
observamos nas tabelas ao lado. Adaptando as definições de limites laterais
começando a entender CÁLCULO Volume Um - 10
limx 1
y
limx 1
1
(x  1)3
1
(x  1)3
 
 
x
→1←
Veja no gráfico que a sequência (x1n) que tende a 1 pela esquerda gera uma
j(x ) 
1
(x  1)3
sequência de imagens (y1n) tendendo a  . Por outro lado, a sequência (x2n)
que tende a 1 pela direita gera uma sequência de imagens (y2n) tendendo a
 . Assim, extendendo o corolário 5A para limites pontuais infinitos,
concluímos que este limite não existirá:
 limx 1
Veja que x = 1 é assíntota vertical,
enquanto que y = 0 é assíntota
1
(x  1)3
horizontal de j(x).
***************
Todos os exemplos de limites estudados até aqui são considerados
limites pontuais, uma vez que as sequências (xn) tendem a um número real
a. As sequências de imagens (yn), porém, poderão ser, conforme vimos,
convergentes a um outro número real L ou então tenderem a mais ou a
menos infinito. No primeiro caso, os limites pontuais são finitos e no
segundo caso, infinitos. Na próxima seção, estudaremos os limites no
infinito, que ocorrem quando as sequências (xn) tenderem a mais ou a
menos infinito.
EXERCÍCIOS IMEDIATOS
1) Encontre os valores para os quais as sequências seguintes tendem:
1
1
2n  7
an 
bn  9  n
cn 
n
n3
10
1
n
dn  10
en  5  n
fn  20n
10
2)
a) Encontre lim x 5 (10x  2) escolhendo duas sequências em x convergentes
para 5, uma pela esquerda e outra pela direita e obtendo as 2 sequências de
imagens.
b) Qual seria um atalho para a obtenção deste limite e em que circunstâncias
você poderá usá-lo
3)
a) Encontre lim x 6
x 2  36
escolhendo duas sequências em x convergentes
x6
para 6, uma pela esquerda e outra pela direita e obtendo as 2 sequências de
imagens.
b) Qual seria um atalho para a obtenção deste limite e em que circunstâncias
você poderá usá-lo
começando a entender CÁLCULO Volume Um - 11
4) Calcule rapidamente os limites:
Dica 5: em (b), calcule os limites laterais
a) lim x 5
x2  5
x 5
b) lim x 4 37  3x
d) lim x 7
4x  28
5x  35
e) lim x 4
g) lim x 3
x2  9
x2
h) lim x 1
c) lim
x
x4
2
3x  48
x3  1
2
x 1

3
sen (2x)
f) lim x 10
x 2  25
x 5
i) lim x  49
7 x
x  49
x  1, se x  2
5) Considere a função definida por f(x)  
.
2x  1, se x  2
substituindo f(x) pela parte correta da
fórmula da função. Este exercício é uma
a) Esta função é contínua para x = 2
reflexão sobre o conceito de
b) Encontre os limites laterais para x  2 .
continuidade: uma função é contínua
c) Existirá limx 2 f(x)  Justifique sua resposta.
em x = a se, e somente se,
limx a f(x)  f(a) . Este fato é a recíproca
d) O que mudaria em (a), (b) e (c) se a fórmula na função constasse f(2) = 3
verdadeira daquele já encontrado no
e) O que mudaria em (a), (b) e (c) se a fórmula na função constasse f(2) = 5
texto, onde tínhamos que, se a função é
contínua em x = a, então,
limx a f(x)  f(a) .
x  1, se x  1
6) Considere a função definida por g(x)   2
. Mostre que
x , se x  1
limx 1 g(x) não existe.
7) Calcule mentalmente os seguintes limites:
a) lim x 9
lim x 5
1
(x  9)2
1
b) lim x 4
1
c)
( x  4)8
lim x 8
1
x8
(x  5)4
EXERCÍCIOS INTERMEDIÁRIOS
8) Encontre algebricamente o valor de lim
sen2 x  0,25
.
sen x  0,50
9) Encontre algebricamente o valor de limx 0
3 9x
.
x

x
6
10) Calcule mentalmente:
5x  3
5x  3
a) limx 0
b) limx 0
x
x
EXERCÍCIOS AVANÇADOS
Dica 11: multiplique a função pela
função constante 1 escrita de forma a
2x  2
11) Encontre algebricamente o valor de limx 1 3
.
x 1
transformar o denominador da função de
A  B para A3  B3, o que eliminará o
radical e permitirá o cancelamento com
o numerador.
12) Calcule algebricamente limh0
a) f(x)  15
1
d) f(x) 
x
f(5  h)  f(5)
nas seguintes situações:
h
b) f(x)  7x  9
e) f(x)  x
c) f(x)  x 2
1
f) f(x)  2
x
d)