Universidade Federal de Pernambuco
CCEN - Departamento de Física
Física Experimental 2 - 2014.2
Prática 1 - 1ª Parte
Regras para confecção de grácos. Utilização do Origin
1 Introdução
Nesta parte, apresentaremos as regras que devem ser seguidas para confecção de um gráco, seja ele produzido
via Origin ou manualmente em um papel milimetrado, por exemplo. Lembramos que as regras foram construídas
com o objetivo de proporcionar a leitura do gráco por um terceiro que não participou da execução dos experimentos. Caso as regras, eventualmente, não cubram uma dada questão, utilize o bom senso no sentido de fazer o que
deixaria mais clara a leitura do gráco. Vamos convencionar chamar as marcações correspondentes às coordenadas
(x, y) como os pontos do gráco. Além disso, serão introduzidos procedimentos para confecção de grácos através
do programa Origin.
2 Regras para confecção de grácos
1. Escolha dos eixos para as grandezas. A grandeza independente é atribuída ao eixo X (horizontal) e a
grandeza dependente ao eixo Y (vertical).
2. Título do gráco. Acima ou abaixo do gráco, nunca dentro da região onde os pontos foram gracados,
deve-se grafar o título do gráco sem abreviaturas. Exemplos: (a) Velocidade do objeto versus posição do
objeto. (b) Velocidade do objeto em função da posição do objeto.
3. Legendas nos eixos. Cada eixo deve ter o nome da grandeza que lhe corresponde, seguido de vírgula e
uma letra que representa a grandeza, com a unidade entre parênteses. Eventualmente, é necessário utilizar
potências de 10 para que a numeração não que carregada. Também, em certos casos, o nome da grandeza
deve ser encurtado. Exemplos:(a) Posição do objeto, x(m); (b) Posição do objeto, x(metro); (c) Posição, x
(10−3 m); (d) Posição, x(metro); (e) Posição do objeto, y(cm); (f ) Posição do objeto, y (centímetro); (g)
Posição, y (106 cm); (h) Temperatura, (◦ C), etc.
4. Escolha dos intervalos de valores dos eixos. Antes de gracar os pontos do gráco, é necessário observar
os valores mínimo e máximo da grandeza em questão para escolher adequadamente os valores mínimo e
máximo do respectivo eixo. Estes valores não precisam ser iguais aos da grandeza, mas devem cobrir o
intervalo de variação da grandeza. A escolha também deve levar em conta a divisão dos eixos (Regra n° V).
Como exemplo considere a tabela 1 a seguir. Uma possibilidade para as escolhas de mínimos e máximos seria
para x: (xM in = 0 e xM ax = 12) e para y: (yM in = 0 e yM ax = 4).
Tabela 1: Raiz quadrada de uma série de números
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10
1 1,42 1,73 2 2,24 2,45 2,64 2,83 3 3,16
x (m)
√
y = x (m1/2 )
5. A Escolha das divisões dos eixos
A escolha dos valores para as divisões deve ser tal que facilite a leitura do gráco. Os valores para as divisões
não precisam coincidir com os valores conhecidos das grandezas. Exemplo: Considere novamente a tabela do
exemplo anterior. Para o eixo (horizontal) poderíamos adotar uma divisão de uma unidade. Enquanto que
para o eixo y (vertical) poderia ser uma divisão de 0,5.
6. Gracando os pontos do gráco
Quando gracamos pontos resultantes de medições experimentais, usamos apenas símbolos (bolas, quadrados,
triângulos, etc). Quando gracamos pontos que foram obtidos através de cálculos via um modelo, como em
geral é possível calcular muitos valores diferentes para a grandeza, usamos uma linha (contínua, tracejada,
traço-ponto, etc). Não devem ser traçadas linhas conectando os pontos com os valores das coordenadas.
Quando mais de uma grandeza dependente é gracada no mesmo sistema de eixos, usam-se símbolos diferentes
para cada grandeza. Neste caso, deve-se colocar uma legenda para especicar os símbolos e as correspondentes
grandezas.
3 Treinamento com o ORIGIN
1. Digite na coluna A os números naturais de 1 a 10, enquanto que na coluna B escreva os quadrados destes
valores. Faça um gráco (PLOT) da coluna B (ordenada) em função da coluna A (abscissa), com pontos
(SCATTER).
2. Na coluna C, obtenha a raiz quadrada dos valores da coluna A [SET COLUMN VALUES col(A)∧ 0,5 ou
sqrt(col(A))]. Faça um gráco de C em função de A.
3. Na coluna D, calcule o cubo dos valores da coluna A [SET COLUMN VALUES col(A)∧ 3]. Faça um gráco
de D em função de A.
4. Coloque legendas nos eixos.
5. Representar os 3 conjuntos de dados em um único gráco.
6. Modique os eixos dos grácos dos itens 1, 2 e 3, para LOG-LOG. Reajuste as escalas (RESCALE TO SHOW
ALL).
7. Ajuste uma curva polinomial (FIT POLYNOMIAL, ajustar com ordem 6) aos pontos no gráco do item (3).
Lembre-se que você deve retornar as escalas para escalas lineares.
8. Ajuste linear (LINEAR FIT) para os grácos do item (6). Lembre-se que quando fazemos um gráco de uma
função potência y = axn em escala log-log, tem-se log y = log a + n log x ou seja, Y = A + nX . Assim, o
coeciente linear da reta é A = log a e n é o coeciente angular da reta.
9. Volte para a tabela de dados e crie uma nova coluna e obtenha o seno dos valores da Coluna A [SET COLUMN
VALUES → sin(col(A))]. Faça um gráco de sen(Col(A)) em funçao de A, com símbolos (SCATTER).Observe
que o argumento da função seno está em rad.
10. Em uma nova planilha (NEW DATASHEET), utilizando 101 pontos, distribua na coluna A valores de 0 a
15 (espaçamento de 0,15) [SET COLUMN VALUES (i-1)×0.15]. Na coluna B, calcule o seno da coluna A
[conforme no item 9] e faça um gráco de B em função de A (SCATTER e LINE).
11. Um processador de grácos também pode ser utilizado para obter soluções aproximadas de equações que
têm solução analítica ou não. O exemplo a seguir demonstra sua utilidade na solução de uma equação
transcendental. Determine as soluções da equação Ax = senx no intervalo [0,15], onde A = 0,02 e A = 0,2.
Sugestão: Denindo uma nova variável, y = Ax − sen(x) quando y = 0, o x correspondente é solução da eq.
Ax = senx. Assim, as soluções podem ser encontradas fazendo-se um gráco de y versus x, onde as raízes
são as soluções procuradas.
12. Criação e ajuste de funções arbitrária no ORIGIN
Muitas vezes se deseja ajustar, a um conjunto de pontos, funções mais complexas que polinômios. Em particular, quando temos uma função teórica para o fenômeno medido. Neste caso vamos criar no ORIGIN a função
teórica desejada, e fazer um ajuste de curva não linear para obter os parâmetros do ajuste.
Por exemplo, em um experimento de um circuito ressonante (será visto na 4a prática), temos uma curva de
ressonância que pode ser explicada pela seguinte função teórica:
y=
1
q
2
1+A ( ωxr − ωxr )
Suponha os dados experimentais da tabela abaixo.
Tabela 2: Resultados de um circuito ressonante
Frequência (rad/s)
100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000
Amplitude normalizada 0,11 0,32 0,96 0,54 0,31 0,22 0,18 0,15 0,12 0,11
Coloque os dados no ORIGIN e faça novamente um (PLOT) (SCATTER).
Para ajustar a função teórica, clique em (ANALYSIS) - (Non-Linear Curve Fit). Clique no ícone f(x) com
um símbolo de papel em branco ao fundo, para escrever sua própria função. Ative a casa "User Dened Param.
Names". Dena os parametros "A" e "wr". No campo "Denition" escreva a expressão da função teórica, tal como
mostrado na gura 1.
Uma vez denida a função, clique no ícone do semáforo. Inicialize os parâmetros da sua função. É necessário
inicializá-los com valores razoáveis, senão o algoritmo de ajuste pode divergir. Em seguida clique no botão 10 Iter.
Clique novamente neste botão, até que os parâmetros não variem mais !
Figura 1:
Exemplo de ajuste no Origin.
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Prática 1 - 2ª Parte
Exemplo de análise de dados. Utilização do Origin
1
Objetivos
Descobrir a relação matemática entre as grandezas envolvidas em um fenômeno a partir da análise do comportamento de valores medidos de uma grandeza em função de outras grandezas independentes. Aprender a distinguir
os resultados obtidos a partir de um modelo, dos resultados experimentais.
A tabela 1 apresenta os resultados de uma experiência. Você é convidado a apresentar e analisar estes resultados
de modo a tirar conclusões sobre a natureza do processo que está sendo investigado e predizer o resultado de
experiências similares. A experiência consistiu em investigar o tempo que leva a água para escoar através de um
orifício circular feito no fundo de uma lata cilíndrica de diâmetro DL . Como se pode esperar, este tempo depende
do diâmetro do orifício, D0 , e da quantidade de água existente inicialmente no recipiente.
Conforme pode ser observado na tabela 1, dois tipos de medidas foram realizadas neste experimento a m de
se identicar estas duas dependências:
1) Para determinar a dependência de T em relação ao tamanho do orifício foi utilizado recipientes idênticos,
com a mesma quantidade de água, mas com orifícios de diâmetros diferentes;
2) Para se vericar a dependência com a quantidade de água, em um mesmo recipiente, a altura da coluna de
água, H , era variada.
Tabela 1: Tempo de escoamento, T
H =30 cm H =10 cm H
D0 =1,5 cm
74,0
42,5
D0 =2,0 cm
41,2
23,7
D0 =3,0 cm
18,4
10,5
D0 =5,0 cm
6,8
3,9
(em segundos)
=4,0 cm
26,7
15,0
6,8
2,2
H =1,0 cm
13,5
7,2
3,7
1,5
Cada medida foi realizada por diversas vezes e na tabela está registrado os valores médios dos tempos medidos
(em segundos) necessários para esvaziar cada recipiente. Seguindo este procedimento, o erro nas medidas do tempo
T foi da ordem de 0,5 s.
2
Tarefas
Embora todos os resultados estejam registrados na tabela, um gráco pode ajudar no estabelecimento de uma
relação matemática entre as grandezas.
1. Faça inicialmente um gráco representativo da variação de T em função de D0 , xando a altura, por exemplo,
em H =30 cm. Na confecção do gráco solicitado todas as regras e observações aprendidas na 1ª Parte,
devem ser seguidas. Antes de escolher os valores mínimos e máximos dos eixos, leia, com atenção, a questão
2.
2. A partir do seu gráco, estime, visualmente, os tempos necessários para esvaziar o mesmo recipiente se o
diâmetro do orifício for 4 cm e 8 cm.
3. Embora seja possível fazer uma interpolação de novos valores é desejável estabelecer uma relação matemática
entre T e D0 . Seu gráco mostra que T diminui quando D0 aumenta. Tal dependência sugere uma relação
inversa entre T e D0 . Você pode inferir, além disto, que o tempo de vazão pode estar relacionado com a área
do orifício, pois quanto maior for o diâmetro mais água uirá através do orifício para um mesmo intervalo de
tempo. Isto sugere experimentar um gráco T versus (1/D0 )2 . Para isto acrescente na tabela uma coluna
de valores de (1/D0 )2 e escolhendo uma escala adequada represente T versus (1/D0 )2 .
4. O que você vericou? Qual a relação matemática entre T e D0 quando a altura inicial da água (H =30 cm)
é a mesma nos quatro recipientes?
5. Para vericar que esta relação também é válida para alturas diferentes do líquido no recipiente faça grácos
de T versus (1/D0 )2 para as outras três alturas iniciais. Observe que para cada valor de H, a curva tem uma
inclinação diferente. Determine a relação entre T e D0 para todas as situações.
6. Investigue agora a dependência entre T e H para um diâmetro constante do orifício. Considere o caso D0 =1,5
cm; faça um gráco com H no eixo horizontal. Extrapole a curva até a origem. Qual deve ser o ponto em
que a curva corta o eixo vertical? Por que?
7. Uma maneira, mais geral, de vericar se uma grandeza é proporcional à outra elevada a uma certa potência,
é através de um gráco di-log. Se y = kxn é de fato a relação matemática entre y e x, então um gráco
di-log (onde ambos os eixos possuem escalas logarítmicas) de y versus x deve linearizar a curva y = kxn e o
coeciente angular da reta será n. Faça um gráco di-log de T versus H . Obtenha o coeciente angular da
reta. Compare com o valor esperado.
8. Dos seus resultados pode-se tirar uma relação para o tempo de vazão da água T como função simultânea de H
e D0 . Você pode comparar sua relação com as previsões da equação de Bernoulli e a equação da continuidade
para um uido ideal incompressível. Para isso, use estas duas equações para obter uma relação geral entre
T , H e D0 , no caso do diâmetro do recipiente ser muito maior que o diâmetro do orifício (DL >>D0 ). O que
você pode concluir desta comparação?
9. Supondo que a aceleração da gravidade local é g = 9, 80 m/s2 , estime o valor de DL . A estimativa deve ser
obtida estritamente através dos grácos dos itens 3 e 5. Estimativas obtidas usando os valores da tabela não
serão consideradas.