M23
FICHA DE TRABALHO
DERIVADAS
I PARTE
3. Na figura estão representadas:
• Parte do gráfico de uma função f
diferenciável em —;
• Uma recta r tangente ao gráfico de f
no ponto de abcissa 3.
O valor de f ´(3), derivada da função f no ponto 3, pode ser igual a:
(A)
-1
(B)
0
(C)
1
f (3)
(D)
1
4. Um projéctil é lançado verticalmente de baixo para cima. Admita que a sua altitude h
(em metros), t segundos após ter sido lançado, é dada pela expressão:
h (t) = 100 t – 5 t 2
Qual é a velocidade (em m/s) do projéctil, dois segundos após o lançamento?
(A)
230
(B)
170
(C)
130
(D)
80
1
5. Num dado movimento, a velocidade de um móvel no instante t é dada por
v (t) = t 2 + 4
A aceleração instantânea em t = 2 é:
4
(A)
(B)
6
(C)
8
(D)
2
8. A recta t é tangente ao gráfico da função f no
ponto A de abcissa 2.
A derivada de f no ponto 2 é:
(A)
1
(B)
2
(C)
1
2
(D)
3
4
12. A recta t é tangente ao gráfico da função f no ponto ( a, f (a) ).
y
f
a
x
t
Sabendo que f admite 1ª e 2ª derivadas no ponto a, então podemos concluir que:
(A) f ' (a) × f ' ' (a) > 0
(B) f (a) × f ' ' (a) > 0
(C) f ' (a) × f ' ' (a) < 0
(D) f (a) × f ' (a) < 0
2
16. Considera a função h (x) = e 2 x – 1 . O valor de h´ (1) é:
(A) 2 e
(B) 1
(C )
e
(D)
0
17. Uma função real de variável real f é tal que f (x) = f ´ (x), para qualquer número real x. Qual
das seguintes expressões pode definir a função f :
(A) 3 x2
(B) 4 e 2 x
(C) e 5 x
(D) 2 e x
18. Sendo g uma função definida por g (x) = x e , a expressão analítica de g ´ é
e . x e–1
(A)
(B)
xe
(C)
xe–1
(D) x e . ln x
22. A representação gráfica de uma função g é:
Podemos então concluir que:
(A)
g´ (1) = 0
(C) g´ (1) = 1
(B) g´ (1) = + ∞
(D)
g´ (1) não existe
25. Na figura ao lado está parte da representação
gráfica de uma função g, de domínio — \ {0}.
Qual das figuras seguintes poderá ser parte da
representação gráfica da função g ´, derivada
de g ?
3
27. Para um certo número real a, o gráfico da função g, definida por g (x) = a x2 + 3 , tem, no
ponto de abcissa 1, uma recta tangente com declive 4. Qual o valor de a ?
(A)
2
(B)
4
(C)
1
2
(D)
3
2
28. A recta de equação y = x é tangente ao gráfico de uma certa função f, no ponto de abcissa 0.
Qual das seguintes expressões pode definir a função f ?
(A) x2 + x
(B) x2 + 2 x
(C) x2 + 2 x + 1
(D)
x2 + x + 1
29. Na figura estão representadas, num referencial o. n. xOy:
• Parte do gráfico de uma função f, de domínio — + ,
definida por f (x) = 1 + 2 ln x .
• A recta r , tangente ao gráfico de f no ponto de
abcissa 1 .
Qual o declive da recta r ?
(A)
1
(B)
2
(C) 3
(D)
4
30. Seja g uma função cujo gráfico tem um ponto de inflexão de abcissa 1. Qual dos seguintes
gráficos poderá ser o da segunda derivada de g ?
32. Considere a função f definida por f (x) = ln (2 x – 1) e a recta de equação y = 2 x – 2,
tangente ao gráfico de f no ponto de abcissa a. Qual o valor de a ?
(A)
-1
(B)
0
(C) 1
(D)
2
4
33. Considere a função g definida por g (x) = ln x. No gráfico da função g existe um ponto
onde a recta tangente é paralela à bissectriz dos quadrantes ímpares. Qual é a abcissa desse
ponto?
(A)
34.
0
f
Seja
(C) e
1
(B)
uma função de domínio
(D)
ln 2
—. Sabe-se que a sua derivada, f ´ , é tal que
f ´ (x) = x – 2 . Relativamente à função f , qual das afirmações seguintes é verdadeira?
(A) f é crescente em —
(B) f é decrescente em —
(C) f tem um mínimo para x = 2
(D) f tem um máximo para x = 2
36. Seja f uma função de domínio —. Sabe-se que a primeira e a segunda derivadas de f são
negativas em —. Em qual das figuras seguintes pode estar representada parte do gráfico da
função f ?
39. Seja f ' (a) =
2
, com a ∈ Df . Então f (x) é definida por:
a
(A) 2 x
(C)
3
2
(B) −
2
x2
1
(C) ln ( x 2 )
(D) e x
(D) 2
53. A equação reduzida da recta tangente ao gráfico da função f ( x) = e x , no ponto de abcissa 1, é:
(A) y = e x
(B) y = x
(C) y = e x + 1
(D) y = x – 1
55. Se o gráfico de uma função f tem um ponto de inflexão com abcissa 1, qual das seguintes
afirmações é necessariamente verdadeira ?
(A) f ´(1) = 0
(B) A função segunda derivada, f ´´ , muda de sinal em x = 1
(C) f ´(1) ≠ 0
(D) f tem um extremo em x = 1
5
58. A recta tangente ao gráfico da função f ( x) = x 2 + ln ( x + 1) no ponto de abcissa 0 é:
(A) A bissectriz dos quadrantes pares
(B) A bissectriz dos quadrantes ímpares
(C) O eixo dos xx
(D) O eixo dos yy
59. Considere a f.r.v.r. definida por g ( x) = ( x 2 − 4) . e − 3 x . O valor de g ´(0) é :
(A)
12
(B)
0
(C)
4
(D)
13
60. Sendo f (x) = ln (x + k) e g (x) = ln x + 2, o valor de k de modo que f ´(x) = g ´(x) é:
(A)
-2
(B)
0
(C)
2
(D)
1
II PARTE
1. Um projéctil, seguindo a trajectória da figura, é lançado com uma velocidade inicial de 140 m/s.
A distância, em metros, a que se encontra do solo decorrido um tempo de t segundos, é dada
por
s (t) = 140 t - 20 t 2
1.1 Decorridos 5 segundos, a que distância se encontra o projéctil do solo?
1.2 Defina a velocidade (1ª derivada) e a aceleração (2ª derivada) do projéctil ao fim de
t segundos.
1.3 Qual a altura máxima atingida pelo projéctil? Em que instante ela ocorre?
1.4 Passado quanto tempo o projéctil atinge o solo?
2. Uma bola é lançada do cimo de uma ponte, para o alto, e a sua altura y, acima do solo, em
metros, t segundos depois é dada por
y = f (t) = - 5 t 2 + 15 t + 12
2.1 Qual é a altura da ponte?
2.2 Qual é a velocidade média da bola durante o 1º segundo? E no 2º ?
2.3 Qual a velocidade da bola quando t = 1? E em t = 2? Como interpreta os resultados?
2.4 Qual é a velocidade da bola em cada instante t ?
2.5 Ao fim de quanto tempo a bola atingiu o topo? Qual foi a altura máxima atingida pela
bola?
2.6 Qual é a aceleração da bola no instante t ?
6
3. Considere a f.r.v.r. definida por f (x) = 5 x2 – 3 x .
3.1 Mostre, usando a definição de derivada, que f ´ (4) = 37.
3.2 Escreve a equação da recta tangente ao gráfico de f no ponto de abcissa 4.
3.3 Qual é o ponto do gráfico de f cuja recta tangente tem por equação y = 7 x – 5.
4. Considere a função f , real de variável real, tal que f (x) =
3x + 1 .
4.1 Calcule f ´ (1), aplicando a definição de derivada.
4.2 Escreve uma equação da recta tangente ao gráfico da função no ponto de abcissa 1.
5. Considera a função real g , definida por g (x) = x3 – 6 x2 .
5.1 Calcule g´ (1), aplicando a definição de derivada.
5.2 Escreve uma equação da recta tangente ao gráfico da função no ponto de abcissa 1.
6. Um balão meteorológico é solto e sobe verticalmente de modo que a sua distância d (t) ao solo
durante os primeiros 10 segundos de voo é dada por d (t) = 6 + 2 t + t 2 , na qual d (t) é medido
em metros e t em segundos.
6.1 Determina a velocidade média do balão durante o 1º segundo de voo.
6.2 Determina a velocidade instantânea do balão quando t = 1 segundo.
6.3 Entre que instantes esteve o balão a uma altura superior a 20 metros?
7. A área A de pele, afectada por uma infecção cutânea, ao longo dos primeiros 10 dias após o
início de um tratamento, é dada pela função
A (t ) = 6 +
5t
,
t +1
2
com t expresso em dias
e a área em cm2 . O tratamento iniciou-se às 0 horas do dia 15 de Fevereiro.
7.1 Qual era a área da infecção quando foi iniciado o tratamento? E ao fim do 1º dia?
7.2 Compare a rapidez no aumento da infecção durante o 1º dia com a rapidez na sua
diminuição durante o 2º dia. O que se pode concluir? E o que se passou durante o 3º dia?
7.3 Qual foi a taxa de variação inicial da propagação da infecção?
8. Uma avaria numa central atómica fez disparar o sistema de alarme. Os técnicos activaram
imediatamente os procedimentos de emergência. Supõe que a temperatura T da água (em
graus Celsius) do sistema de refrigeração do núcleo da central evolui a partir daí durante 12
7
horas de acordo com a função
T ( x) =
5 x 2 + 2 x + 128
, em que x é o tempo (em horas)
x+2
decorrido a partir do momento em que o sistema de alarme disparou.
8.1 Calcule o valor da taxa de variação de T quando x = 1 h. Interprete o resultado no
contexto do problema.
8.2 A sirene de alarme dispara se a temperatura for superior a 43º C. Quando é que a sirene
esteve, então, a tocar?
9. A temperatura F (em graus centígrados) do forno de uma padaria varia, a partir do momento
em que é ligado, de acordo com a equação
F (t ) =
190 t + 44
, com t em minutos.
t+2
9.1 A que temperatura está o forno quando é ligado?
9.2 Com o decorrer do tempo, para que valor vai tender estabilizar a temperatura?
9.3 Qual é a velocidade de aquecimento do forno no momento em que é ligado?
9.4 E aos 10 minutos?
14. Considera a função definida por f ( x) =
x2 + 8
.
2x+2
14.1 Determina a expressão da função derivada de f .
14.2 Qual é a equação da recta tangente ao gráfico de f no ponto de abcissa - 2 ?
15. Determina o valor de k de modo que o mínimo da função g (x) = x2 + 2 x + k seja 8.
16. Determina a e b de modo que a função h (x) = x3 + a x + b tenha um extremo relativo no
ponto (1, 1).
18. Considera a função g (x) = x 3 – 2 x2 + x . Determina:
18.1 Domínio;
18.2 Intervalos de monotonia;
18.3 Extremos relativos;
18.4 Sentido da concavidade;
18.5 Pontos de inflexão.
19. Considere a função definida em — por h ( x) = −
x3 7 2
25
.
+ x − 10 x +
3 2
6
19.1 Calcule a taxa de variação média de h no intervalo [- 1, 1];
8
19.2
Determine uma expressão de h ´ , derivada de h e calcule h ´ (0) ;
19.3 Estude a função h quanto à monotonia e existência de extremos relativos;
19.4
Estude a função h quanto ao sentido das concavidades e existência de pontos de inflexão;
19.5
Escreve a equação da recta tangente ao gráfico no ponto de inflexão.
22. A evolução da temperatura do ar na Relva entre as 0 e as 24 horas do dia 1 de Fevereiro foi
dada pela função
f (t ) = 17 +
t 2 − 30 t + 225
, com f em graus e t em horas.
t − 45
22.1 Qual foi a temperatura máxima nesse dia na Relva?
22.2 E a temperatura mínima?
22.3 Qual era a taxa de aquecimento do ar às 10 horas da manhã?
23. A equação T (t ) = 30 +
250 t
relaciona a temperatura T (em graus Celsius) de uma reacção
t 2 + 10
química com o tempo da experiência (em minutos). Sabendo que ela durou 60 minutos:
23.1 Calcula e explica o significado do seguinte quociente:
23.2 Qual o significado de lim
t → 2
T (2) − T (0)
.
2
T (t ) − T (2)
?
t−2
23.3 Determina, analiticamente, o valor de t correspondente ao momento em que se registou a
temperatura máxima.
23.4 O gráfico da função, no intervalo considerado, tem algum ponto de inflexão? No caso
afirmativo, determina-o e explica o seu significado.
+
24. Considere a função f , de domínio — , definida por f (x) = 3 x – 2 ln x .
24.1
Estude f quanto à existência de assimptotas do seu gráfico;
24.2
Mostre que a função f tem um único mínimo;
24.3 O gráfico de f contém um único ponto cuja ordenada é o quadrado da abcissa.
Recorrendo à calculadora, determine um valor aproximado para a abcissa desse ponto,
arredondando às décimas.
9
25. Uma nódoa circular de tinta é detectada sobre um tecido. O comprimento, em centímetros, do
raio dessa nódoa, t segundos após ter sido detectada, é dado por:
r (t ) =
1 + 4t
2+t
(t ≥ 0)
25.1 Calcule r (0) e diga qual é o significado físico deste valor.
25.2 Esboce o gráfico de r , tendo em conta que, no domínio indicado, a função r tem
primeira derivada positiva e segunda derivada negativa.
25.4 Calcule, com aproximação à décima de segundo, o instante t para o qual a área da nódoa
é igual a 30 cm2 .
26. Um chá acabado de fazer, foi colocado no frigorífico a 100º C. Passados 5 minutos, o chá
estava a 60º C. A temperatura do chá evolui de acordo com uma lei do tipo T (t) = e
a– b t
,
em que T é a temperatura do chá e t o tempo decorrido em minutos.
26.1 Determina os valores de a e de b.
26.2 Qual é a velocidade de arrefecimento do chá quando é colocado no frigorífico? E um
minuto depois?
26.3 Quem gosta de beber o chá frio, a 8º C, quanto tempo tem de esperar?
27. Numa pastelaria a temperatura ambiente é constante. Admita que a temperatura do café, em
graus centígrados, servido nessa pastelaria, t minutos após ter sido colocado na chávena, é dada
por:
f (t) = 20 + 50 . e – 0,04 t ,
t ∈ [ 0, + ∞ [.
27.1 Determine a temperatura do café no instante em que é colocado na chávena.
27.2 Estude a função f quanto à monotonia e ao sentido das concavidades.
27.3 Justifique a seguinte afirmação: “ A taxa média de variação da função f, em qualquer
intervalo do seu domínio, é negativa “.
27.4 Com o decorrer do tempo, a temperatura do café tende a igualar a temperatura ambiente.
Qual é a temperatura ambiente?
27.5 Quanto tempo decorre entre o instante em que o café é colocado na chávena e o instante
em que a sua temperatura atinge 65º C?
29. Considere a função h , de domínio — \ {1}, definida por h ( x) =
ex
.
x −1
29.1 Estude a função h quanto à monotonia e quanto à existência de extremos relativos.
10
29.2 Resolva a equação ln [ h (x) ] = x .
30. Um fio encontra-se suspenso entre dois postes. A distância entre ambos é de 30 metros.
f (x)
2º poste
1º poste
x
30 m
(
)
Considere a função f definida por f (x) = 5 e 1− 0,1 x + e 0,1 x −1 .
Admita que f (x) é a distância ao solo, em metros, do ponto do fio situado x metros à direita
do primeiro poste.
30.1 Determine a diferença de altura dos dois postes;
30.2 Mostre que
(
f ´ (x) = 0, 5 − e 1− 0,1 x + e 0,1 x −1
)
e determine a distância ao primeiro poste do
ponto do fio mais próximo do solo.
31. Foi administrado um medicamento a um doente às 9 horas da manhã de um certo dia. A
concentração desse medicamento, em miligrama por mililitro de sangue, t horas após ter
sido administrado, é dada por:
C (t) = 2 t e – 0,3 t .
31.1 Utilize o Teorema de Bolzano para mostrar que houve um instante, entre as 9h 30m e as
10 h, em que a concentração do medicamento foi de 1 mg / ml.
31.2 Recorrendo à derivada da função C, determine o instante em que a concentração de
medicamento no sangue do doente foi máxima.
32. Injectou-se no instante t = 0 uma substância no sangue de um animal. No instante t (t > 0 em
segundos), a concentração C da substância injectada é dada por
C (t) = 8 ( e – t – e – 2 t )
11
32.1 Calcula o instante para o qual o valor da concentração é igual a
32.3 Mostra que C ' (t ) =
7
;
8
8 ( 2 − et )
e determina o valor máximo da concentração.
e2t
33. Considere a f.r.v.r. g (x) = ln ( e x – 1 ) .
33.1 Determina o domínio e os zeros de g .
33.2 Estude a monotonia da função.
33.3 Determina uma equação da recta tangente ao gráfico de g no ponto de abcissa ln 2.
34. De uma função f de domínio — \ {0}, sabe-se que:
• f (1) = 1;
• A sua derivada f ´ é definida por f '( x) =
x + 4 ln x 2
.
x
34.1 Escreva uma equação da recta tangente ao gráfico de f no ponto de abcissa 1;
34.2 Poderá concluir-se que f é contínua para x = 1 ? Justifique a sua resposta;
34.3 Estude f quanto ao sentido das concavidades do seu gráfico.
35. De uma função f sabe-se que:
• A sua derivada f ´ é definida por f ' ( x) =
• f (1) = 0;
1 + ln x
.
x
35.1 Escreva uma equação da recta tangente ao gráfico de f no ponto de abcissa 1;
35.2 Poderá concluir-se que f é contínua para x = 1 ? Justifique a sua resposta;
35.3
Mostre que
f ' ' ( x) =
− ln x
e estude f quanto ao sentido das concavidades do seu
x2
gráfico e à existência de pontos de inflexão.
36. Uma rampa de desportos radicais foi construída entre duas paredes, A e B, distanciadas de 10
metros, como se mostra na figura.
Considere a função h definida por
h ( x) = 15 − 4 ln (− x 2 + 10 x + 11)
( ln designa logaritmo de base e )
Admita que h (x) é a altura, em metros, do ponto da rampa situado x metros à direita da parede A .
36.1 Determine a altura da parede A . Apresente o resultado em metros, arredondando às décimas;
12
36.2 Estude a função h quanto à monotonia e conclua daí que, tal como a figura sugere, é num
ponto equidistante das duas paredes que a altura da rampa é mínima;
36.3 Mostre, analiticamente, que h (5 − x) = h (5 + x) .
Interprete esta igualdade no contexto da situação descrita.
f ( x) =
39. Considere a função f , de domínio — \ {0}, definida por
ex −1
.
x
39.1 Determine a equação reduzida da recta tangente ao gráfico de f no ponto de abcissa 1;
39.2 Estude a função f quanto à existência de assimptotas do seu gráfico, paralelas aos eixos
coordenados.
Soluções
I PARTE
1. (C)
2. (B)
3. (A)
4. (B)
5. (A)
6. (D)
7. (A)
8. (D)
9. (A)
10. (D)
11. (C)
12. (C)
13. (B)
14. (C)
15. (D)
16. (A)
17. (D)
18. (A)
19. (A)
20. (C)
21. (D)
22. (D)
23. (A)
24. (A)
25. (C)
26. (A)
27. (A)
28. (A)
29. (B)
30. (B)
31. (A)
32. (C)
33. (B)
34. (C)
35. (B)
36. (A)
37. (B)
38. (B)
39. (C)
40. (C)
41. (B)
42. (B)
43. (B)
44. (C)
45. (B)
46. (D)
47. (C)
48. (B)
49. (D)
50. (A)
51. (A)
52. (D)
53. (A)
54. (B)
55. (B)
56. (A)
57. (D)
58. (B)
59. (A)
60. (B)
61. (A)
62. (A)
II PARTE
1.1 200 m
2.1 12 m
1.2
v (t) = 140 – 40 t ; a (t) = - 40
2.2 10 m /s ; 0 m / s
1.3 245 m aos 3,5 s
1.4 7 s
2.3 5 m/s ; - 5 m/s ; São iguais em valor
absoluto, mas para t = 1 a bola estava a subir e para t = 2 a bola encontrava-se a descer
2.4 v (t) = - 10 t + 15
2.5 t = 1,5 s ; a altura máxima é de 23,25 m
2.6 a (t) = v´(t) = - 10, a aceleração é de 10 m/s, sendo o movimento uniformemente retardado
3.2
y = 37 x - 80
3.3 (1 , 2)
4.1
3
4
4.2 y =
3
5
x+
4
4
5.1 - 9
5.2 y = - 9 x + 4
6.1 3 m / s
6.2 4 m / s
7.1 Área inicial: 6 cm2 ; Ao fim do 1º dia: 8,5 cm2
6.3 a partir dos 2,87 s
7.3 A´ (0) = 5 cm2 / dia
13
7.2 tmv
[0, 1]
= 2,5 cm2 / dia e tmv [1, 2] = - 0,5 cm2 / dia ; Isto significa que no 1º dia a infecção
aumentou, enquanto que no 2º dia estava já a diminuir com rapidez inferior à do aumento do 1º
dia. No 3º dia diminui ao mesmo ritmo do 2º dia, pois tmv [2, 3] = - 0,5 cm2 / dia
8.1 T ´ (1) = - 11º C / hora, significa que 1 hora depois de se terem activado os procedimentos de
emergência, a temperatura estava a descer à taxa de 11º C por hora
8.2 Das 0h à 1h 12m e a partir das 7h
9.1 22º
9.2 190º
10.1 k = 1300
10.5
10.2
9.3 84
20º
9.4
10.3 310
2,3
10.4 42 ºC / min
10.6 Não, porque f ´ (10+) = - 13 e f ´ (10-) = 12
A arrefecer, porque f ´ (20) < 0
11. 156
10. Não, porque não existe derivada em x = 2
13.1 Não, as derivadas laterais são diferentes
13.2 Nada se pode concluir quanto à continuidade, porque não há derivada finita em x = 3
14.1
2 x 2 + 4 x − 16
f ' ( x) =
(2 x + 2) 2
14.2 y = - 4 x - 14
15. k = 9
16. a = - 3 e b = 3
17.1 Não, porque h ´ (3) = ∞
17.2
⎧ 2x−3
⎪
2
⎪2 x − 3 x
h ' ( x) = ⎨
⎪ −9
⎪⎩ ( x − 3) 2
, x>3
, x<3
17.3 Verdadeira porque h ´ (2) = - 9 é um número finito
18.1 D = —
1⎡
⎤
⎤ 1
⎡
18.2 Crescente: ⎥ − ∞ , ⎢ e em ] 1, + ∞ [ ; Decrescente: ⎥
,1⎢
3⎣
⎦
⎦ 3
⎣
18.3 Máximo:
4 ⎛
⎜ para x =
27 ⎝
1⎞
⎟ ; Mínimo: 0 (para x = 1)
3⎠
2⎡
⎤ 2
⎡
⎤
18.4 Concavidade voltada para cima: ⎥
, + ∞ ⎢ ; Para baixo: ⎥ − ∞ , ⎢
3⎣
⎦ 3
⎣
⎦
19.1 −
31
3
19.2
2 ⎞
⎛2
18.5 ⎜ ,
⎟
⎝ 3 27 ⎠
h '( x) = − x 2 + 7 x − 10 ; h ´ (0) = - 10
19.3 Crescente em ] 2, 5 [ ; Decrescente em ] - ∞ , 2 [ e em ] 5, + ∞ [
Mínimo relativo: h (2) = −
9
;
2
Máximo relativo: h (5) = 0
⎤
⎦
19.4 Concavidade voltada para cima em ⎥ − ∞ ,
⎛7
7 ⎡
⎤ 7
⎡
; Voltada para baixo em ⎥ , + ∞ ⎢
⎢
2 ⎣
⎦ 2
⎣
9⎞
Ponto de inflexão: ⎜ , − ⎟
4⎠
⎝2
14
19.5 y =
9
81
x−
Ù y = 2,25 x – 10,125
4
8
20.1 V
20.2 F
21.1 10
20.3 V
20.4 V
21.2 Para t = 1 a área tem o máximo de 10,5
22.1 17º às 15 h
22.2 12º às 0 h
21.3 Estabiliza em 10
22.3 f ´ (10) = 0,265 ºC / hora
23.1 tvm [0, 2] = 17,9 ºC / minuto
23.2 Velocidade de aquecimento no instante t = 2 ; 7,65 ºC/minuto
23.3 Temperatura máxima = 69,5 ºC para t = 3,2 min
23.4 Sim, no ponto de abcissa
30 . Corresponde ao momento em que a velocidade de
arrefecimento tem o seu valor mais baixo
24.2 Tem um mínimo em x =
24.1 Tem uma A V. : x = 0
2
3
24.3 2,3
1
, é o comprimento, em cm, do raio da nódoa no instante em que foi detectada
2
25.1 r (0) =
lim r (t ) = 4, é o maior comprimento, em cm, que o raio da nódoa pode atingir
t →+∞
25.2
lim +
t → 0
r (t ) − r (0)
7
=
4
t
cm / s, define a velocidade de crescimento do raio da nódoa no
instante em que foi detectada
26.1 a = 4,6 e b = 0,1
27.1 70º C
25.4
5,7 s
26.2 T ´(0) = - 10º C/min.; T ´(1) = - 9º C/min
27.3 Verdadeira, porque f ´ (t) < 0
27.4 20º C
26.3 25 m
27.5 2m 38s
27.2 Assimptota horizontal: y = 20; Sempre decrescente; Concavidade voltada para cima
28.2 Concavidade voltada para cima: ] - ∞ , - 4 [ e em ] – 1, + ∞ [; Concavidade
28.1 y = x
voltada para baixo: ] – 4, - 1 [ ; Pontos de inflexão: 2 (para x = - 4 e para x = - 1)
28.3 A. V. : não tem ; A. H. : y = 0 (quando x → − ∞ )
29.1 Crescente: ] 2 , + ∞ [ ; Decrescente: ] - ∞ , 1 [ e em ] 1 , 2 [ ; Mínimo: e 2 (x = 2)
29.2 S = { 2 }
30.1 f (30) – f (0) = 22,2 m
29.3 A. V. : x = 1 ; A. H. : y = 0 (quando x → − ∞ )
30.2 10 m
31.1 Como a função é contínua em [0,5 ; 1] e sendo C (0,5) = 0,86 < 1 e C (1) = 1,48 > 1, logo
pelo Teorema de Bolzano existe um t0 ∈ [0,5 ; 1] tal que C ( t0 ) = 1
32.1 0,13 s e 2,08 s
32.2
31.2 12h 20m
32.3 2 , para t = ln 2
0; A concentração no sangue da substância injectada aproxima-se de zero após um longo
período de tempo
+
33.1 D = — ; Zeros: ln 2
34.1 y = x
+
33.2 Crescente em —
33.3 y = 2 x – ln 4
34.2 Como f admite derivada finita em x=1 ( f ´ (1) = 1), logo é contínua nesse ponto
34.3 Concavidade voltada para cima: ] - e, 0 [ e ] 0, e [; Para baixo: ] - ∞, - e [ e ] e , + ∞ [ ;
15
35.1 y = x – 1 35.2 Como f admite derivada finita em x = 1 ( f ´ (1) = 1), logo é contínua nesse ponto
35.2 Concavidade voltada para cima: ] 0, 1 [; Concavidade voltada para baixo: ] 1, + ∞ [;
Ponto de inflexão: (1,0)
36.1 5,4 m
36.2 Decrescente em ] 0, 5 [ ; Crescente em ] 5, 10 [ ; Mínimo no ponto de abcissa 5
36.3 h (5 − x) = h (5 + x) = 15 – 4 ln (- x2 + 36) e significa que a altura de dois quaisquer pontos
equidistantes do ponto médio situado a 5 metros da parede A é a mesma
37. 1,2
39.1 y = x + e – 2
39.2 A.V. : não tem ; A. H. : y = 0 (quando x → - ∞)
40.1 Mínimo: f (0) = 1 ; Máximo: f (2)
40.2 g (x) = f (x) – 4 e como g (- 1) = - 3 + 3 e > 0 e g (0) = - 3 < 0, então pelo CTB está provado
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