Faculdade de Economia da Universidade Nova de Lisboa
Apontamentos Cálculo II
Lista 3.2 – Limite de uma Função
1.
Limite de uma função de
domínio: n
m
em
num ponto de acumulação a do seu
Valor ou vector do qual as imagens dos pontos do domínio da função que se encontram junto a a estão muito próximas. Formalmente, b é o limite de uma função quando os seus objectos se aproximam de a se, qualquer que seja a vizinhança definida à volta de b, for possível definir uma segunda vizinhança à volta de a tal que todos os objectos que lhe pertencem tenham imagens contidas na primeira vizinhança, com a possível excepção da imagem de a (que pode não existir). n
m
f x
b
f: Df
limx
a
δ
0,
ε
0: x
0
Df
x
a
ε
f x
b
δ 2.
Limite de uma função escalar num ponto de acumulação a do seu domínio: n
f x
b
f: Df
limx
a
δ
0, ε
0: x
Limite de uma função de
3.
domínio: 2
f: Df
lim x,y
δ
a1 ,a2
2
0
Df
em
x
a
ε
|f x
δ b|
num ponto de acumulação a1 ,a2 do seu
f x,y
0, ε
b
0:
x,y
Df
0
x
a1
2
y
a2
2
ε
|f x,y
b|
δ Limite sucessivo de uma função de
4.
seu domínio: n
em
m
num ponto de acumulação a do
Limite de uma função quando as coordenadas dos seus objectos tendem sucessivamente para as coordenadas homólogas de a, por qualquer ordem. Ex.: f: Df
2
Limites sucessivos relativos a lim x,y
f x,y : a1 ,a2
1º limite sucessivo: limx
a1
limy
a2
f x,y
2º limite sucessivo: limy
a2
limx
a1
f x,y
Limite segundo uma trajectória específica de uma função de
5.
ponto de acumulação a do seu domínio: n
em
m
num
Limite de uma função quando os seus objectos tendem para a ao longo de uma trajectória específica que passa por a. Ex.: f: Df
2
1
Apontamentos Cálculo II
Lista 3.2 – Limite de uma Função
x2 relativo a lim x,y
Limite segundo a parábola y
lim x,y
y
0,0
f x,y
limx
0
0,0
f x,y : f x, x2 x2
6.
Limite direccional de uma função de
seu domínio: n
m
em
num ponto de acumulação a do
Caso específico dos limites segundo uma trajectória específica de uma função correspondente ao limite quando os objectos da função tendem para a ao longo de uma recta que passa por a. 2
Ex.: f: Df
Limites direccionais relativos a lim x,y
Limite direccional vertical: lim x,y
f x,y : a1 ,a2
a1 ,a2
x a1
f x,y
limy
Limites direccionais não verticais: lim
x,y
a1 ,a2
y a2 m. x a1
a2
f a1 ,y f x,y
limx
a1
f x, a2
m. x
a1
7.
Limite de uma função num ponto e limites sucessivos e segundo trajectórias
específicas: Uma função tem limite num ponto se todos os limites sucessivos e segundo trajectórias específicas relativos a esse limite existirem e forem iguais. Se dois destes limites forem diferentes, ou um não for finito, a função não tem limite no ponto. 8.
Limite de uma função vectorial num ponto: O limite de uma função vectorial num ponto, se existir, corresponde ao vector cujas coordenadas são os limites de cada uma das suas funções componentes nesse ponto. n
f: Df
m
f1 x , … ,fm x f x
limx
a
f x
limx
a f1
x , … ,limx
a fm
x
9.
Propriedades de limites de funções (se existem limx
Constante: limx
Soma: limx
a
b
f x
Produto: limx
a
g x
limx
a
f x
f x .g x
limx
a
f x . limx
f x
a g x
Norma: limx
f x
a
composição a
f x
e limx
a
g x ): b Quociente: limx
Composta: limx
2
a
a
fg x
limx a f x
limx a g x
limx
a
limx
limx
a
a
g x g x , se g é escalar e limx
f x
a
g x
0 limx a g x
f x , se f e g são compatíveis para Apontamentos Cálculo II
Lista 3.2 – Limite de uma Função
10.
Limites notáveis de funções escalares de variável real: limx
a
1
f x
sen f x
limf x
0
limf x
0
limf x
0
limf x
0
ea f x
1 f x
1 cos f x
0 f x
ef x
1 f x
ln f x
1
1 f x
11.
Regra de l’Hospital: Se: f: Df
a
; g: Dg
int Df
int Dg f, g diferenciáveis em a f a
g a
g a
0 ε
0: 0
0 |x
a|
ε
g x
0 Então: limx
f a
f x
a g x
g a
12.
Extensões à Regra de l’Hospital: Denominador nulo: f a
0
g a
Numerador e denominador nulos: f a
∞
Numerador infinito: f a
Denominador infinito: f a
13.
limx
0
f x
∞ g x
f x
a g x
g a
g a
g a
Aproximação de infinito: limx
0
limx
∞
∞ 0
limx
f x
a g x
limx
f x
a g x
1
limy
f y
0
1
g y
, se y
f x
a g x
limx
f x
a g x
∞ 0 1
x
Regra de Cauchy: Se: f: Df
a
; g: Dg
α,β
Df
Dg
a
∞ 3
Apontamentos Cálculo II
Lista 3.2 – Limite de uma Função
limx
a
limx
f x
limx
f x
a g x
g x
a
0
limx
a
∞ limx
f x
a
∞ g x
Então: limx
f x
a g x
limx
f x
a g x
14.
Majoração de expressões não negativas: Módulo da soma: |a
|a|
b|
b|
Módulo da diferença: |a
|a|
|b| |a|. |b| Módulo do produto: |a.b|
Módulo do quociente: |b| a
|a|
b
|b|
Módulo do módulo: |a|
|a| Raíz quadrada da soma: √a
b
Raíz quadrada da diferença: √a
√a
b
√b, se a
√a
0, a
√b, se a
b
0 e b
0, a
Argumento do módulo do Seno: |sen f x |
1 b
Argumento de uma função decrecente: Se f decrescente, a
b
b
b
a
c
c
f b
f a b
f a
c
c
a
b
Produto por um escalar entre 0 e 1: a 0
Produto por um escalar maior ou igual a 1: a 4
0 |f x | Argumento de uma função crecente: Se f crescente, a
Denominador: a
0 e b
1 Coseno: |cos f x |
Numerador: a
0 √a Módulo e raíz quadrada: |a|
Seno: |sen f x |
b
b
0,1
0
b
b.a
1
a a
b.a f b