ANÁLISE DA DINÂMICA DO SISTEMA NÃO LINEAR COMPOSTO POR UMA
MASSA M PRESA A UM FIO CIRCULAR COM ATRITO (b)
1Primeiro
autor ([email protected])
2Segundo autor ([email protected])
3Prof. Dr. Fulano de tal ([email protected])
1Universidade Federal do Pará, Belém – PA – Graduando(a) do Curso de Física
2Universidade Federal do Pará – Faculdade de Física - Instituto de Ciências Exatas e Naturais, Belém –PA
Introdução
Na natureza a maioria dos fenômenos é descrito por equações não lineares cuja
dinâmica pode desenvolver comportamento complexo e errático ou até mesmo
caótico. Estes sistemas não apresentam métodos analíticos que os resolvam
algebricamente tendo assim que utilizarmos métodos numéricos para sua análise.
Objetivo
Assim, para o presente trabalho propomos objetivamente entender e analisar a
dinâmica de um sistema não linear composto por uma conta de massa m presa a um
fio circular de raio constante a, e se movimentando livremente com velocidade
angular ω também constante, com simetria no plano vertical, deslizando com atrito
proporcional a sua velocidade angular. Tal sistema é representado por uma equação
diferencial ordinária não linear de segunda ordem, e que para fins computacionais
transformamos em um conjunto de equações diferenciais de primeira ordem
adimensionais.
Podemos notar, a partir da visualização da equação (9) que essa exibe simetria
com relação à mudança x
-x, o que nos sugere a existência de uma bifurcação de
forquilha para algum valor do parâmetro K.
Já definido o sistema de EDO adimensionais, encontramos a solução através do
método de resolução de EDO de Runge-Kutta de 4º ordem (RK4), utilizando linguagem
C, com passo de integração h=0,04. Em seguida, foi projetado a simulação do diagrama
de espaço-fase (espaço versus velocidade) e a série temporal do sistema da conta.
Resultados
Mudando os parâmetros da EDO definitiva conseguimos mostrar a evolução do
sistema da conta com relação ao seu diagrama de espaço-fase e as respectivas séries
temporais com relação a primeira e a segunda EDO definitiva.
1 – Diagrama de espaço-fase
Metodologia
Neste trabalho foi utilizado o método das equações de Lagrange definidas por
d  L

dt  q j
 L
 0,
 

q
j

Fig. 03 - A = 1,2 , ωd = 0,249 ,
K = 0,27001 , B = 0,008
2 – Séries Temporais
(2)
Fizemos os gráficos de séries temporais da posição e da velocidade com parâmetros
muito próximos e notamos uma grande sensibilidade às condições iniciais, característica
essa de um sistema caótico.
na qual T é a energia cinética e V é a energia potencial do sistema. Sendo assim, a
Lagrangeana do sistema composto pela conta é
1
1 2
2 2
2
2 2
L  m( a sen   a  )  mga cos   b
2
2
Fig. 02 - A = 1,21 , ωd = 0,27 ,
K = 0,2701 , B = 0,008
(1)
sendo a função L, chamada lagrangeana, definida como
L  T V ,
Fig. 01 - A = 1,2 , ωd = 0,3 ,
K = 0,2701 , B = 0,00079
(3)
e a equação de movimento do sistema não-linear é
d
d
2
ma 2  b
 mgsen  ma sen cos   0,
dt
dt
2
(4)
Utilizando propriedades trigonométricas podemos escrevê-la como
d  b d
1 2
a 2 
 gsen  a sen2  0,
dt
m dt
2
2
(5)
e modificando-a de modo a torná-la adimensional, primeiramente a dividindo por 02e
posteriormente, tomando t '  t
g
a
d 1
ex
, temos
dt 0
1
x  Bx  sen  Ksen 2  0,
2
2
(6)
b

Onde B 
e K 2 .
2
ma0
0
Podemos tornar a eq. (6) , uma equação diferencial ordinária (EDO) de 2º ordem,
para duas EDO de 1º ordem:
dx
y
dt
dy
  By  senx  0,5 Ksen 2 x,
dt
(7)
(8)
Inserimos um forçamento do tipo cossenoidal, na forma
Fd  A cos d t
(9)
o que contribui para o surgimento do comportamento caótico do sistema da conta.
Assim, temos nosso sistema de EDO de 1º ordem definitivo (o qual aproximadamente
governa o movimento da conta):
dx
y
dt
dy
  By  senx  0,5Ksen 2 x
dt
dz
 d
dt
(10)
Fig. 04 - posição x tempo com posições iniciais
1,224 (preto) e 1,225 (vermelho)..
Fig. 05 - velocidade x tempo com velocidades iniciais
1,23344 (preto) e 1,23345 (vermelho).
Conclusões
Neste trabalho implementou-se através de um sistema não linear uma integração
numérica para obter uma solução numérica, a qual nos deu um movimento
completamente complexo e caótico ao longo da simulação entre posição e velocidade da
massa m. Este sistema embora muito simples expressa uma interação do tipo dissipativa
e não-linear, gerando assim uma dinâmica caótica no espaço-fase. Fisicamente este
sistema de conta sofre ao passar de seu movimento uma dissipação proporcional a
velocidade do sistema, porém antes de adicionarmos o forçamento cossenoidal seu
gráfico espaço-fase era do tipo atrator ponto, ou seja, suas trajetórias simuladas decaiam
rapidamente, o que não era interessante, por não caracterizar caos. Então, foi proposto
adicionar uma força em função de cosseno, a qual permitiu o aparecimento dos ciclos
limites e dos atratores caóticos do sistema da conta. Já as séries temporais, notou-se que
mesmo alterando a terceira e a quinta casa decimais das condições iniciais, essas séries
temporais divergem para sistemas muito distintos a longo prazo. Uma análise mais
profunda dos atratores caóticos ficará para trabalhos posteriores.
Bibliografia
[1] – Monteiro, Luiz Henrique Alves. “ Sistemas dinâmicos”, São Paulo, Ed. Livraria da
Física, 2002.
[2] – Fiedler-Ferrara N e Prado C.P.C. , “Caos – uma introdução”, Ed. Edgard Blücher,
1994.
[3] – Santos, Elinei P. dos, “Introdução a Teoria do Caos” – II SEMANA DE PÓSGRADUAÇÃO EM FÍSICA DA UFPA, 2007.
Agradecimentos (OPICIONAL)
(11)
(12)
Primeiramente a DEUS, pelo dom da vida e da sabedoria, e posteriormente, ao
professor Dr. Elinei P. dos Santos pela paciência conosco e sua competência para nos
ajudar a construir nosso conhecimento e ao apoio financeiro do SESU/ MEC.