Centro Brasileiro de Pesquisas Físicas (CBPF)
Minicurso – Cristalografia e Difração de Raios-X
Segunda aula:
Interações de Raios-x com a Matéria
Laudo Barbosa
(07 de Novembro, 2006)
1
Plano de apresentação
• Espalhamento Thomson, Efeito Compton, Efeito Fotoelétrico
• Espalhamento de raios-x por uma, duas e n partículas
• Difração de raios-x por um arranjo linear de partículas
(Condições de Laue, Lei de Bragg)
• Difração por um cristal
2
Espalhamento
Outra possibilidade
Uma possibilidade
p1
p1
p2
p2
• Há diversas possibilidades de interação entre partículas (colisão elástica, colisão inelástica, fusão,
fissão, desintegração... )
• Cada interação tem uma probabilidade de ocorrência
• A probabilidade depende, em geral, da energia e das características de cada partícula envolvida na
interação
• A probabilidade específica para uma interação é chamada Seção de Choque
• O resultado efetivo das interações é naturalmente relacionado com a Seção de Choque
NOTA: na descrição física mais rigorosa, não se fala mais em campos,
pois o próprio campo é composto por partículas. Também não se calculam
valores exatos, somente probabilidades
3
Raios-X (interação de fóton com elétron)
Espalhamento Thomson ( = “clássico”)
Ef  E
Ef
Processo análogo
E
• O campo elétromagnético (fóton) leva o elétron a oscilar em sua órbita
• A oscilação implica aceleração/desaceleração
• Elétrons acelerados emitem radiação
• A radiação emitida tem a mesma frequência da incidente (coerente)
4
Raios-X (interação de fóton com elétron)
Espalhamento Compton
Ef >> E
Ef
E
λ2 > λ1
λ1
• A energia do fóton é muito maior que a energia de ligação do elétron
• Portanto, é como se o elétron estivesse “livre”
• Ocorre colisão inelástica
• O elétron adquire energia, o fóton perde energia
5
Raios-X (interação de fóton com elétron)
Efeito fotoelétrico
Ef > E
Ef
E
• A energia do fóton é apenas maior que a energia de ligação do elétron
• O elétron adquire (absorve) a energia do fóton
• Com o excesso de energia, o elétron se desprende do átomo
• O fóton desaparece
6
Produção de pares
Produção de Par elétron-pósitron
Ef > mec2 (512keV)
Ef
• A energia do fóton é suficiente para “materializar” um elétron e um pósitron
• O núcleo do átomo adquire momento de recuo
• O fóton desaparece (aniquilação)
7
Interação de fótons com a matéria
m/r (cm2/g)
Resumo Compartivo das seções de choque
10
4
10
3
10
2
10
1
10
0
10
-1
10
-2
10
-3
1x10
-4
1x10
-5
10
-6
10
-7
10
-8
10
-9
10
Espalhamento Compton
Efeito fotoelétrico
Produção de pares
Total
-10
10
0
10
1
10
2
10
3
10
4
10
5
10
6
10
7
10
8
Energia (keV)
http://physics.nist.gov/PhysRefData/Xcom/Text/XCOM.html
Para a difração de raios-x, o efeito relevante é o espalhamento coerente (Thomson)
8
Espalhamento (coerente) por uma partícula
Conforme já foi mostrado, o campo elétrico se exprime como uma soma infinita (integral) de termos:
 
E ( x, t ) 
1
2
 


 i ( k . x t )
d
 dk  F (k ,  )e
Cada um dos termos se refere a um comprimento de onda específico, e contribui com amplitude F = F(k,)
Consideremos o caso de uma onda monocromática, de amplitude constante
 
E ( x, t ) 
A
1
2
1
2
 


 i ( k . x t )
d 
 dk  F (k , )e
1
2
 

 i ( k . x t )
F (k ,  )e

1
2
 

 ik . x it
F (k ,  )e e  Ae2ivt  Yo
 

F (k ,  )e ik . x ;   2v
Podemos calcular o espalhamento da onda Yo por uma partícula carregada (elétron)
9
Espalhamento (coerente) por uma partícula
Pergunta-se: qual é a amplitude Y da onda espalhada devido à incidência de Yo sobre um elétron ?
O
^
So
2
P
^
S
D
Encontra-se:
Y f
A
D
2
e
2iv ( t  Dc ) i s 
  ( 2 , D )e
2ivt 2i D i s 
• A amplitude da onda espalhada depende do ângulo e cai com 1/D
• A intensidade [  |Y|2 ] da onda espalhada cai com 1/D2
• A onda espalhada chega ao ponto P depois de um intervalo de tempo D/c
• A onda espalhada é defasada por um fator αs relativamente à onda incidente
10
Espalhamento (coerente) por duas partículas
Pergunta-se: qual é a amplitude Y da onda espalhada devido à incidência de Yo sobre dois elétrons ?
^
O2
O2
O2
So
^
O1
^
^
r
So
2
O1
S
^
S
P
^
So
O1
^
S
D
Diferença de caminho óptico:
  r.Sˆo  r.Sˆ
Encontra-se:
Y  Y1  Y2   ( 2 , D )e
Y   ( 2 , D )e
2ivt 2i D i s 
  ( 2 , D )e
1  e     e
1  e   f 1  e ;
2ivt2i D i s 
2i 
(2 , D)
2ivt 2i D i s  2i  
2ivt2i D i s 
Como r << D
2
2 (2 , D)  f
A
2 D
2i 
A
2 D
2irˆ . sˆ
ˆ ˆ
S S
onde sˆ  
o
 O ângulo de
espalhamento é o mesmo
para as duas partículas
11
Espalhamento (coerente) por n partículas
Por extensão deste raciocínio, podemos calcular o espalhamento devido a várias partículas, não necessariamente
idênticas. O único que muda é o termo referente à amplitude de espalhamento para cada partícula, . As contribuições
individuais de cada partícula se somam:
 (2 , D) 
j  n 1
 (2 , D) e
j 0
 
2ir j . s
j

j  n 1
A
D
( f  ) e
j 0
 
 j n 1
2 ir . s  ( 2ivt 2i
Yn (2 , D, t )    ( f 2 ) j e
e

 j 0

A
D
Intensidade  | Yn
j
2
j
D  i
s

 
2 ir j . s
)
|2
• A intensidade do espalhamento é o que efetivamente se mede.
• Nesta medida estão “embutidas” as informações sobre estrutura rj.
• Idealmente, uma medida complementar deveria prover a informação sobre a
fase, para se chegar à disposição espacial das partículas (“problema da fase”)
12
Difração por um arranjo linear de partículas
Porquê “Difração” ?
• Como o espalhamento é coerente, cada centro espalhador (elétron, partícula) atua como re-emissor da onda incidente.
• Num dado ponto de observação, as contribuições de cada centro re-emissor se somam (interferem)
• A interferência pode ser construtiva ou destrutiva
• O fenômeno é chamado de difração, em alusão ao que ocorre com as ondas.
13
n partículas regularmente espaçadas
So
a

n.a << D
n
1
2
S
Tomamos a expressão genérica, para o espalhamento de n partículas, com rj = j.a
n 1
 An    f 2 q e
q 0
A
D

2iqa . s

n 1
A
D

f 2  e 2iqa.s
q 0
Os termos do somatório estão em progressão geométrica, de razão e2ias
Sn  a
Ao 
1 q n
o 1 q
A
D
 An  Ao

f 2 ; x  a.s
1 e 2 inx
1 e 2 ix
14
n partículas regularmente espaçadas
A intensidade do espalhamento numa dada direção é dada por:
I n  An  An An  Ao
2
*
f n ( x) 
onde:
2 sen 2 (nx )
sen (x )
2
 Ao f n ( x)
2
sen 2 (nx )
sen 2 (x )
10
f(x)
n=3
5
0
-2,0
30
-1,5
-1,0
-0,5
0,0
0,5
1,0
1,5
2,0
-1,0
-0,5
0,0
0,5
1,0
1,5
2,0
-1,0
-0,5
0,0
0,5
1,0
1,5
2,0
n=5
f(x)
20
10
0
f(x)
-2,0
100
80
60
40
20
0
-1,5
n=10
-2,0
-1,5
x
Para um número
muito grande de
partículas, fn(x) só
é significativa
quando x é um
número inteiro
15
Condição de Laue
A condição para que a intensidade difratada seja significativa é:

x  a.s  m ( m inteiro)
 S S a
 a.    sen(2   )  sen   m
o
 (para ψ  0o )
a

sen 2  m
Intensidade
(*) Lembra a Lei de Bragg
x
16
Difração por um cristal
Um cristal é, por definição, uma rede de centros espalhadores, distribuídos regularmente num arranjo
periódico sobre as três direções espaciais
Portanto, a posição de cada um dos centros espalhadores de um cristal pode ser especificada por:




r  ua  vb  wc
(u, v, w inteiros)
A mesma análise usada no caso unidimensional se aplica, estendida a três dimensões.
Chegamos a uma expressão que envolve o produto de três somatórios:
n1 1 n2 1 n3 1
An1n2n3  
u 0
 e
n 0
w 0
   
2i ( ua  vb  wc ). s

e
u ,v , w

2ir .s
17
Difração por um cristal
Em vez de apenas uma, temos, para o cristal, três “Condições de Laue”:

a.s  h
 
b .s  k
c.s  l

( h,k,l inteiros)
Existe um vetor que, substituindo s, satisfaz simultaneamente as três condições
 * h (bc ) k ( ca )l ( ab ) 
r 
  
|a|.|b |.|c |
(vetor de rede recíproca)
Portanto, as condições de Laue se reduzem a:
 
s  r*
18
Difração por um cristal
• Verifica-se que o vetor de rede recíproca é normal ao plano hu+kv+lw=1
• Verifica-se que o módulo deste vetor é 1/dhkl, onde dhkl é a distância entre o plano e a origem
• dhkl é também a distância entre planos paralelos a este e adjacentes: hu+kv+lw=n, n inteiro
w
v
1/v
1/w
u
1/u
dhkl
Tomando o valor absoluto dos dois vetores, obtemos:
2 sen
2
S/λ
s
So /λ

 d1h kl
Lei de Bragg
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Outra maneira de se deduzir a Lei de Bragg

d
Família de planos
A diferença de caminho óptico para o feixe refletido é: 2dsen
Nas direções em que a diferença de caminho óptico é múltiplo de λ tem-se interferência construtiva
 2dsen   n
20